CN110569611B - 一种基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法，针对频响函数灵敏度分析问题，对设计参数进行不同方向上的虚部摄动，把偏导数的计算转化为多复数函数值的计算，再将多复数运算转化为实数矩阵运算，提取实数矩阵运算结果的对应部分，即可得到多复数运算的实部和虚部结果，从而一次性计算得到结构的实部响应和虚部响应、实部灵敏度和虚部灵敏度。本发明可以提供高效、高精度的频响函数灵敏度分析方法，解决由于摄动步长导致的分析误差的难题，提高问题的分析精度。

Description

一种基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法
技术领域
本发明涉及结构优化技术领域，尤其是一种基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法。
背景技术
灵敏度分析作为模型修正领域中的重要环节，灵敏度的数值可以反映结构各设计参数对结构性能的影响程度和影响规律。灵敏度分析的结果对结构设计具有重要指导意义，主要体现在两个方面：一是指导结构设计参数选取。如果设计参数的灵敏度较大，则要求设计时的初始数据要相对精确。二是减少分析变量和模型修正参数选取的数量。通过灵敏度分析可以将对结构性能影响较大的参数作为确定性变量，减少分析参数的数量，从而降低结构分析和模型修正难度，提高计算效率。
频响函数灵敏度在模型修正领域具有优势。相较于基于模态参数的模型修正方法，基于频响函数灵敏度的模型修正方法不需要参数识别步骤，减小了误差。但目前频响函数灵敏度的计算主要基于实数域的残差和摄动，该类方法在函数偏导数急剧震荡处或摄动量过小时，存在近似数相减后再除以小数值的问题，计算精度较差，有一定局限性。
复步长法是一种计算高精度一阶导数的数值微分技术，相比于其他方法，不需要相似值相减，独立于步长。运用复步长法计算频响函数灵敏度可以更加高效精确，但由于频响函数本身含有复数，再对变量进行虚部摄动会产生不同方向虚数单位间运算的问题，计算方法与编程均是难点。
发明内容
本发明所要解决的技术问题在于，提供一种基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法，通过实数矩阵间的运算来代替复数的运算，以实数的运算得出所求解参数的实部灵敏度和虚部灵敏度，实现了在频响函数自身含有虚数的情况下对设计参数进行不同方向的虚数摄动，计算出结构的频响函数灵敏度。
为解决上述技术问题，本发明提供一种基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法，包括如下步骤：
(1)对柔性结构进行动力学建模，得到结构的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外部力向量，从而得到结构的频响函数方程；
(2)构造设计参数的虚数摄动量，该虚数方向与频响函数自身虚数的方向不同，使设计参数从实数变为复数，频响函数方程变为多复数方程；
(3)将摄动后的频响函数方程运用多复数理论进行扩维，得到等价的实数矩阵，并利用数值分析方法对该实数矩阵求解；
(4)提取实数矩阵的运算结果，得到结构的实部响应和虚部响应，并可计算得到对应参数的加速度频响函数的实部灵敏度和虚部灵敏度。
优选的，步骤(1)中，对柔性结构进行动力学建模，得到结构的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外部力向量，从而得到结构的频响函数方程，具体为：根据柔性结构的实际物理参数，在有限元软件中建立柔性结构的有限元模型，并通过仿真分析得到结构的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K；根据结构的外部激励位置和施加载荷大小得到外部力向量F(ω)，由此得到结构的频响函数方程如下：
(-ω2M+iωC+K)x(ω)＝F(ω) (1)
其中，x(ω)表示整体结构的频率响应，i和ω分别为虚数单位和圆频率。
优选的，步骤(2)中，构造设计参数的虚数摄动量，该虚数方向与频响函数自身虚数的方向不同，使设计参数从实数变为复数，频响函数方程变为多复数方程，具体包括如下步骤：
(2.1)针对设计参数p，构造虚部摄动量
Figure BDA0002200586600000021
其中，
Figure BDA0002200586600000022
表示进行虚部摄动后得到的复数域的设计参数，hp表示设计参数的虚数摄动系数，j为与i不同方向的虚数单位，j2＝-1；
对结构的设计参数p的摄动，会引起频响函数方程中质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵中一个或多个的变化，三个相应矩阵的变化量为
Figure BDA0002200586600000023
其中，
Figure BDA0002200586600000024
分别为摄动后的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，jΔM、jΔC、jΔK分别为对设计参数p进行虚数摄动后引起的结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的变化量；
(2.2)将摄动后质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵带入频响函数方程，虚部摄动后的频响函数方程如下所示；
[-ω2(M+jΔM)+iω(C+jΔC)+K+jΔK]x(ω)＝F(ω) (4)
其中，M表示结构质量矩阵，C表示结构阻尼矩阵，K表示结构刚度矩阵，jΔM、 jΔC、jΔK分别为对设计参数p进行虚数摄动后引起的结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的变化量，F(ω)表示外部力向量，x(ω)表示整体结构的频率响应。
优选的，步骤(3)中，将摄动后的频响函数方程运用多复数理论进行扩维，得到等价的实数矩阵，并利用数值分析方法对该实数矩阵求解，具体包括如下步骤：
(3.1)对虚数i用多复数理论将方程拓展，得到等价的运算矩阵；
Figure BDA0002200586600000031
其中Rx(ω)、Ix(ω)分别表示x(ω)的实部和虚部，RF(ω)、IF(ω)表示F(ω)的实部和虚部，由于方程后两列运算结果重复，可以将方程简化为式(6)；
Figure BDA0002200586600000032
(3.2)对虚数j再次运用多复数理论，将方程(6)变为等价的实数矩阵运算；
Figure BDA0002200586600000033
其中，
Figure BDA0002200586600000034
和
Figure BDA0002200586600000035
分别为频率响应的实部灵敏度和虚部灵敏度，hp为设计参数的摄动量，运用数值分析方法对该实数矩阵求解。
优选的，步骤(4)中，提取实数矩阵的运算结果，得到结构的实部响应和虚部响应，并可计算得到对应参数的位移频响函数实部灵敏度和虚部灵敏度，具体包括如下步骤：
(4.1)实数矩阵的运算结果为如下矩阵
Figure BDA0002200586600000041
其中，Rx(ω)、Ix(ω)分别为频率响应的实部和虚部响应，进一步计算结构的频响函数实部灵敏度和虚部灵敏度：
Figure BDA0002200586600000042
Figure BDA0002200586600000043
Figure BDA0002200586600000044
表示结构位移频率响应对参数p的实部灵敏度，
Figure BDA0002200586600000045
表示结构位移频率响应对参数p的虚部灵敏度。
本发明的有益效果为：本发明提出一种多复变量解耦的柔性结构频率响应灵敏度分析方法，在频响函数自身含有虚数单位的情况下，通过对结构设计参数进行不同方向上的虚部摄动，再将多复数运算化为矩阵运算，实现了较高精度的频响函数灵敏度的计算。
附图说明
图1为本发明的三品桁架模型示意图。
图2为本发明的结构10号节点位移频率响应关于设计参数p(桁架梁单元横截面积A)在摄动量为10-6时的灵敏度分析结果示意图。
图3为本发明的方法与有限差分法计算结果相对于精确值的误差示意图。
具体实施方式
一种基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法，包括如下步骤：
(1)对柔性结构进行动力学建模，得到结构的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外部力向量，从而得到结构的频响函数方程；
(2)构造设计参数的虚数摄动量，该虚数方向与频响函数自身虚数的方向不同，使设计参数从实数变为复数，频响函数方程变为多复数方程；
(3)将摄动后的频响函数方程运用多复数理论进行扩维，得到等价的实数矩阵，并利用数值分析方法对该实数矩阵求解；
(4)提取实数矩阵的运算结果，得到结构的实部响应和虚部响应，并可计算得到对应参数的加速度频响函数的实部灵敏度和虚部灵敏度。
如图1所示，为本算例所采用的三品桁架模型，该模型可以模拟常见的土木房屋、机械装配等结构。
根据柔性结构的实际物理参数，在有限元软件中建立柔性结构的有限元模型，并通过仿真分析得到结构的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K。其中质量矩阵主要由结构密度、尺寸等决定，刚度矩阵主要受结构弹性模量、横截面积和长度等决定。
以桁架结构为例，桁架结构宽3m，长3×5m，采用梁单元建立桁架结构有限元模型，将桁架上的每一节等分为三个梁单元，共划分为36个单元，有30个节点，每个节点有三个自由度(两个平移一个旋转)，单元节点编号如图所示，桁架左端固支。有限元建模过程中使用的材料参数为：弹性模量E＝7.5×1010N/m2，密度ρ＝2800kg/m3，横截面积 A＝0.004m2。结构阻尼矩阵采用比例阻尼，设C＝αM+βK，取α＝β＝0.0001。
具体操作如下：
步骤(1)中，对柔性结构进行动力学建模，得到结构的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外部力向量，从而得到结构的频响函数方程，具体步骤包括如下步骤：
(1.1)对桁架结构进行有限元建模，根据桁架结构的质量、刚度特征得到结构的质量矩阵M和刚度矩阵K，结构阻尼采用比例阻尼，C＝αM+βK，α、β取0.0001。根据结构的外部激励位置和施加载荷大小得到外部力向量F(ω)。为简化计算，外部力向量取 1,F(ω)为单位矩阵E。由此得到结构的频响函数方程如下：
(-ω2M+iωC+K)x(ω)＝F(ω) (11)
其中，x(ω)表示整体结构的位移频率响应，i和ω分别为虚数单位和圆频率。
步骤(2)中，构造设计参数的虚数摄动量，该虚数方向与频响函数自身虚数的方向不同，使设计参数从实数变为复数，频响函数方程变为多复数方程，具体包括如下步骤：
(2.1)针对设计参数p，构造虚部摄动量
Figure BDA0002200586600000051
其中，
Figure BDA0002200586600000052
表示进行虚部摄动后得到的复数域的设计参数，hp表示设计参数的虚数摄动系数，j为与i不同方向的虚数单位，j2＝-1。hp取10-5p＝7.5×105，该值可以实际需要设置。
对结构的设计参数p的摄动，会引起频响函数方程中质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵中一个或多个的变化，三个相应矩阵的变化量为
Figure BDA0002200586600000061
其中，
Figure BDA0002200586600000062
分别为摄动后的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，jΔM、jΔC、jΔK分别为对设计参数p进行虚数摄动后引起的结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的变化量。将摄动后的
Figure BDA0002200586600000063
带入结构有限元模型进行分析，即可得到摄动矩阵ΔM、ΔC、ΔK。
(2.2)将摄动后质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵带入频响函数方程，虚部摄动后的频响函数方程如下所示；
[-ω2(M+jΔM)+iω(C+jΔC)+K+jΔK]x(ω)＝F(ω) (14)
其中，M表示结构质量矩阵，C表示结构阻尼矩阵，K表示结构刚度矩阵，jΔM、 jΔC、jΔK分别为对设计参数p进行虚数摄动后引起的结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的变化量，F(ω)表示外部力向量，x(ω)表示整体结构的频率响应。
步骤(3)中，将摄动后的频响函数方程运用多复数理论进行扩维，得到等价的实数矩阵，并利用数值分析方法对该实数矩阵求解，具体步骤包括如下步骤：
(3.1)对虚数i用多复数理论将方程拓展，得到等价的运算矩阵。
Figure BDA0002200586600000064
其中Rx(ω)、Ix(ω)分别表示x(ω)的实部和虚部，RF(ω)、IF(ω)表示F(ω)的实部和虚部。由于方程后两列运算结果重复，可以将方程简化为式(16)。
Figure BDA0002200586600000065
(3.2)对虚数j再次运用多复数理论，将方程(16)变为等价的实数矩阵运算。
Figure BDA0002200586600000071
其中，
Figure BDA0002200586600000072
和
Figure BDA0002200586600000073
分别为频率响应的实部灵敏度和虚部灵敏度，hp为设计参数的摄动量，运用数值分析方法对该实数矩阵求解。本例中取外部力向量为1，因此实数运算方程变为
Figure BDA0002200586600000074
步骤(4)中，提取实数矩阵的运算结果，得到结构的实部响应和虚部响应，并可计算得到对应参数的位移频响函数实部灵敏度和虚部灵敏度，具体步骤包括如下步骤：
(4.1)实数矩阵的运算结果为如下矩阵
Figure BDA0002200586600000075
其中，Rx(ω)、Ix(ω)分别为频率响应的实部和虚部响应。进一步计算结构的频响函数实部灵敏度和虚部灵敏度：
Figure BDA0002200586600000076
Figure BDA0002200586600000077
Figure BDA0002200586600000078
表示结构频率响应对参数p的实部灵敏度，
Figure BDA0002200586600000079
表示结构频率响应对参数p的虚部灵敏度。根据步骤(4)可以求得结构的位移频率响应的实部和虚部，以及频率响应的实部灵敏度和虚部灵敏度。如图2所示为结构位移频率响应关于设计参数p的灵敏度分析结果图。在计算的时候，结构的频率响应和频率响应灵敏度可以同时求出。
以上，即在一次分析中，通过多复变量构造计算设计参数的结构频率响应灵敏度。本算例中，利用本发明所提的一种多复变量解耦的柔性结构频率响应灵敏度分析方法，相比于有限差分灵敏度分析方法，计算精度更高，不会因为步长过小而结果不准确，同时可以一次计算同时求出频率响应和频率响应灵敏度，效率更高，两者计算结果相对于精确值的误差如图3所示。

Claims (3)

1.一种基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)对柔性结构进行动力学建模，得到结构的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和外部力向量，从而得到结构的频响函数方程：
(2)构造设计参数的虚数摄动量，虚数方向与频响函数自身虚数的方向不同，使设计参数从实数变为复数，频响函数方程变为多复数方程；
(3)将摄动后的频响函数方程运用多复数理论进行扩维，得到等价的实数矩阵，并利用数值分析方法对实数矩阵求解；具体包括如下步骤：
(3.1)对虚数i用多复数理论将方程拓展，得到等价的运算矩阵；
Figure FDA0003935982210000011
其中Rx(ω)、Ix(ω)分别表示x(ω)的实部和虚部，RF(ω)、IF(ω)表示F(ω)的实部和虚部，由于方程后两列运算结果重复，将方程简化为式(6)；
Figure FDA0003935982210000012
(3.2)对虚数j再次运用多复数理论，将方程(6)变为等价的实数矩阵运算；
Figure FDA0003935982210000013
其中，
Figure FDA0003935982210000014
和
Figure FDA0003935982210000015
分别为频率响应的实部灵敏度和虚部灵敏度，hp为设计参数的摄动量，运用数值分析方法对实数矩阵求解；
(4)提取实数矩阵的运算结果，得到结构的实部响应和虚部响应，并计算得到对应参数的加速度频响函数的实部灵敏度和虚部灵敏度，具体包括如下步骤：
(4.1)实数矩阵的运算结果为如下矩阵
Figure FDA0003935982210000021
其中，Rx(ω)、Ix(ω)分别为频率响应的实部和虚部响应，进一步计算结构的频响函数实部灵敏度和虚部灵敏度：
Figure FDA0003935982210000022
Figure FDA0003935982210000023
Figure FDA0003935982210000024
表示结构位移频率响应对参数p的实部灵敏度，
Figure FDA0003935982210000025
表示结构位移频率响应对参数p的虚部灵敏度。
2.如权利要求1所述的基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(1)中，对柔性结构进行动力学建模，得到结构的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外部力向量，从而得到结构的频响函数方程，具体为：根据柔性结构的实际物理参数，在有限元软件中建立柔性结构的有限元模型，并通过仿真分析得到结构的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K；根据结构的外部激励位置和施加载荷大小得到外部力向量F(ω)，由此得到结构的频响函数方程如下：
(-ω2M+iωC+K)x(ω)＝F(ω) (1)
其中，x(ω)表示整体结构的频率响应，i和ω分别为虚数单位和圆频率。
3.如权利要求1所述的基于多复变量法的结构频响函数灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(2)中，构造设计参数的虚数摄动量，虚数方向与频响函数自身虚数的方向不同，使设计参数从实数变为复数，频响函数方程变为多复数方程，具体包括如下步骤：
(2.1)针对设计参数p，构造虚部摄动量
Figure FDA0003935982210000026
其中，
Figure FDA0003935982210000027
表示进行虚部摄动后得到的复数域的设计参数，hp表示设计参数的虚数摄动系数，j为与i不同方向的虚数单位，j2＝-1；
对结构的设计参数p的摄动，会引起频响函数方程中质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵中一个或多个的变化，三个相应矩阵的变化量为
Figure FDA0003935982210000031
其中，
Figure FDA0003935982210000032
分别为摄动后的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，jΔM、jΔC、jΔK分别为对设计参数p进行虚数摄动后引起的结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的变化量；
(2.2)将摄动后质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵带入频响函数方程，虚部摄动后的频响函数方程如下所示；
[-ω2(M+jΔM)+iω(C+jΔC)+K+jΔK]x(ω)＝F(ω) (4)
其中，M表示结构质量矩阵，C表示结构阻尼矩阵，K表示结构刚度矩阵，jΔM、jΔC、jΔK分别为对设计参数p进行虚数摄动后引起的结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的变化量，F(ω)表示外部力向量，x(ω)表示整体结构的频率响应。
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