CN110555190B - 非经典阻尼系统动力响应的实模态法及其应用 - Google Patents

Abstract

本发明是一种非经典阻尼系统动力响应的实模态法及其应用，属于土木工程中的结构抗震设计领域，包括以下步骤：建立耗能结构的动力方程组；运动方程组的一阶微分方程组转化；一阶微分方程组的复模态解耦；结构响应的杜哈梅复参数积分表达式；三角函数相位差计算；利用欧拉公式获得结构响应的杜哈梅实参数积分表达式；基于设计反应谱理论的实参数表示的频率、阻尼比及强度系数；基于设计反应谱理论的地震动响应分析。本发明解决了目前一类抗震控制结构无法应用规范推荐的设计反应谱方法进行工程设计的窘况，提高了计算效率，且物理意义明确，容易被工程界所熟悉并应用，有效促进抗震减灾工作的开展。

Description

非经典阻尼系统动力响应的实模态法及其应用

技术领域

本发明属于土木工程中的结构抗震设计领域，涉及一种非经典阻尼系统动力响应的实模态法及其应用。

背景技术

地震是人类的“百害之首”，每年因地震所导致的建筑结构、桥梁结构、水利设施、电力设施等出现不同程度的损毁，同时会导致大量的人员伤亡和次生灾害的发生。为此，各类地震动控制结构被科学家提出并应用于工程结构，如钢-混凝土混合结构、隔震结构、调制质量阻尼器减震结构(TMD)、粘弹性耗能减震结构等，它们可以有效降低地震动产生的结构响应，有利的保护了结构安全。

结构的地震动响应分析经历了静力法、反应谱方法和动力阶段。静力法始于意大利，发展于日本，该方法针对刚体结构是准确的，但对于变形较明显的结构，无法考虑共振的影响，结果与实际相差较大，因此，工程上现在已经不再采用。反应谱方法始于20世纪的20年代，但直到20世纪的40年代才有所发展，日本学者和美国学者做出了重大贡献；该理论是利用大量的地震动时程曲线来分析单自由度二阶微分方程的地震动响应，通过正规化之后的地震时程分析的最大值作为结构地震动响应，大量的工程应用表明该方法的准确性和有效性。为此反应谱方法目前已经成为建筑、桥梁、水利设施，电力设施地震动分析的规范指定方法。动力阶段是针对地震动具有空间、时间和强度的随机性的特点提出的一种分析结构地震动响应的方法，目前还在研究阶段。

基于反应谱的结构地震动响应设计是当前世界各国结构抗震的主要设计方法，该方法需要获得结构基于二阶微分方程的频率和阻尼比及模态强度系数，这些参数均为实参数。对于传统经典结构可以采用实模态解耦，直接利用反应谱理论进行抗震设计。而传统结构抗震能力不足，随着20世纪60年代振动控制理论的发展，各类减震装置被提出并成功应用于结构的防震减灾中。而减震耗能结构为非经典阻尼结构，无法满足实模态解耦的条件。目前工程上采用模态应变能方法和强制解耦法等对此类非经典阻尼结构进行近似实模态解耦，均存在精度差、物理意义不明确的问题。

为此，为促进结构减震控制系统能应用反应谱进行工程抗震设计，提出了一种分析精度高、物理意义明确，计算高效的方法极为必要。

发明内容：

针对当前传统方法无法精确获得非经典阻尼结构基于设计反应谱理论所需要的频率、阻尼比和模态强度系数，本发明提供一种非经典阻尼系统动力响应的实模态法及其应用，在复模态方法的基础上利用欧拉变换，将共轭振动特征值及强度系数转化为实参数表示的频率、阻尼比和模态强度系数，满足反应谱理论进行抗震设计所需要的基本参数，从而将非经典耗能减震结构应用于基于反应谱的设计，促进耗能减震结构的工程应用。

本发明采用的技术方案如下：

一种非经典阻尼系统动力响应的实模态法及其应用，包括以下步骤：

步骤1：建立线性耗能系统动力方程组先根据工程设计需要，建立结构基于地震动的动力方程(结构类型包括，混合结构、隔震结构、质量调制结构(TMD)、粘弹性耗能减震结构)；

式中，M,C,K分别为结构及减震装置的质量、刚度和阻尼矩阵，其为n*n阶矩阵；x、为结构相对于地面的位移向量、速度向量及加速度向量；α为一列向量，表述与各质点振动与地面加速度的关系；/>为地面地震动加速度。

步骤2：运动方程组的一阶微分方程组转化

引入状态变量：

方程(1)变为：

式中，步骤3：一阶微分方程组的复模态解耦

运用复模态法理论，存在左、右特性向量U、V和特征值矩阵P，使方程(3)解耦；

特征值矩阵P，由式(3)的特征值方程获得：

式中，|·|为求行列式；特征值矩阵P为对角阵，且具有两两复共轭特点；

左、右特性向量U、V的求解方法如下：

式中，[·]^T表示对矩阵转置；U、V的任一列向量也具有两两复共轭特点；

令：

y＝UZ (6)

式中，Z为复模态广义变量；

把式(6)带入式(3)：

式(7)左乘左特征向量V^T：

由于P为对角阵，式(8)改写为：

式中，Υ为激励系数向量，其满足，

式(9)的分量形式为：

式中,z_j、η_j、p_j分别为Z、Υ、P的分量,均具有两两复共轭性质；

步骤4：结构响应的杜哈梅(Duhamel)复参数积分表达式

由式(5)、(9)及(14)，减震体系的位移x杜哈梅积分形式：

式中，u_i为右特征向量矩阵的第i行向量，λ_ij＝u_ij*η_j。

步骤5：利用欧拉公式获得结构响应的实参数的频率和阻尼比及模态强度系数根据特征值p_j和系数λ_kj成对共轭性的特点，式(12)可以改写为：

令：

λ_j＝a_1j+ia_2j；p_k＝b₁+ib₂ b₂＞0 (15)

则式(14)改写为：

式中，Real(·),Imag(·)分别为所求参数的实部和虚部；

则结构基于反应谱的频率、阻尼比和强度系数为

ξ_j＝b_1j/ω_j＝b_1j/|p_j| (18)

强度系数为：

步骤6：基于设计反应谱理论的地震动响应分析

反应谱理论中地震力的计算采用振型分解反应谱法，其认为在获得结构沿某方向的阵型、频率及阻尼比，按照以下方式获得结构第j阵型的i质点的等效地震力：

F_ji＝αβ_jG_j (20)

式中，F_ji为第j阵型第i层质点的水平地震作用的标准值；α_j为由第j阵型的振动频率和阻尼比查《结构抗震设计规范》中反应谱方法中的地震影响系数曲线；G_i为结构i质点的重力代表值；

由式(20)获得等效地震力之后，将其施加在结构上，利用结构力学获得结构的质点位移、质点速度、质点加速度、层间剪力、弯矩等结构效应之后，利用平方和开平方法(SRSS法)：

式中，m为考虑的总振型个数，S为某一效应的所有阵型之和，S_i为某一振型的效应值。

本发明的有益效果：

本发明的有益效果如下：

1.解决了目前一类抗震控制结构无法应用规范推荐的设计反应谱方法进行工程设计的窘况。此类结构主要包括混合结构、隔震结构、调谐质量阻尼器、粘滞阻尼器结构、粘弹性耗能减震结构等当前减震控制的典型结构。

2.本发明计算地震响应时不需要按照传统方法获得结构的振型参与系数，提高了计算效率，物理意义明确。

3.本发明获得了与反应谱理论原理一致的用实参数表示的频率、阻尼、强度系数，地震力的分析采用传统实模态阵型反应谱方法进行分析，容易被工程界所熟悉并应用。

4.本发明可以有效促进混合结构、隔震结构、调谐质量阻尼器、粘滞阻尼器结构、粘弹性耗能减震结构等当前减震性能好的控制的工程应用，促进抗震减灾工作的开展。

附图说明

图1为本发明等效地震力计算示意图；

图2为本发明应用的TMD结构示意图；

图3为本发明应用的隔震结构示意图；

图4为本发明应用的粘弹性耗能减震结构示意图。

图5为本发明流程图；

为了进一步说明本发明，下面结合附图及实施例对本发明进行详细地描述，但不能将它们理解为对本发明保护范围的限定。

实施例：

本发明一种非经典阻尼系统动力响应的实模态法及其应用，包括以下步骤：

步骤1：建立线性耗能系统动力方程组

先根据工程设计需要，建立结构基于地震动的动力方程(结构类型包括，混合结构、隔震结构如图3、质量调制结构(TMD)如图2、粘弹性耗能减震结构如图4)。

式中，M,C,K分别为结构及减震装置的质量、刚度和阻尼矩阵，其为n*n阶矩阵；x、为结构相对于地面的位移向量、速度向量及加速度向量；α为一列向量，表述与各质点振动与地面加速度的关系；/>为地面地震动加速度。

步骤2：运动方程组的一阶微分方程组转化

引入状态变量：

方程(1)变为：

式中，步骤3：一阶微分方程组的复模态解耦

运用复模态法理论，存在左、右特性向量U、V和特征值矩阵P，使方程(3)解耦。

特征值矩阵P，由式(3)的特征值方程获得：

式中，为求行列式；特征值矩阵P为对角阵，且具有两两复共轭特点。

左、右特性向量U、V的求解方法如下：

式中，表示对矩阵转置；U、V的任一列向量也具有两两复共轭特点。

令：

y＝UZ (6)

式中，Z为复模态广义变量。

把式(6)带入式(3)：

式(7)左乘左特征向量V^T：

由于P为对角阵，式(8)改写为：

式中，Υ为激励系数向量，其满足，

式(9)的分量形式为：

式中,z_j、η_j、p_j分别为Z、Υ、P的分量,均具有两两复共轭性质；

步骤4:结构响应的杜哈梅复参数积分表达式

由式(5)、(9)及(14)，减震体系的位移x杜哈梅积分形式：

式中，u_i为右特征向量矩阵的第i行向量，λ_ij＝u_ij*η_j。

步骤4：三角函数相位差计算针对三角函数公式：

式中，a,n为实数；ω为非零实数；φ为相位差，其计算满足：

但由于tanφ、cosφ与sinφ的象限角不同，为此，通过枚举方法给出两者之间的关系：

n>0，φ＝tan^-1(a/n) (15)

n<0，φ＝tan^-1(a/n)+π (16)

式中，的取值范围为/>步骤5：利用欧拉公式获得结构响应的实参数的频率和阻尼比及模态强度系数根据特征值p_j和系数λ_ij成对共轭性的特点，式(12)可以改写为：

为此，取第j对共轭项进行推导，则λ_ij、p_j存在2种组合：

组合1：

s_j＝a_1j+ia_2j；p_j＝b_1j+ib_1j a_2j＞0,b_2j＞0 (19)

组合2：

s_j＝a_1j-ia_2j；p_j＝b_1j+ib_2j a_2j＞0,b_2j＞0 (20)

对于组合1,把式(19)带入式(18)：

利用欧拉公式：

把式(22)带入式(21)：

经整理：

由步骤5的相关公式：

把式(25)带入式(24)：

对于组合2，按式(20)带入式(18)，经整理：

由步骤4的相关公式：

利用式(25),式(24)变为：

由式(25)、(30)，式(26)与(31)可写成统一表达式：

φ_j＝tg^-1[Real(s_j)/Imag(s_j)] Imag(s_j)≥0 (33)

φ_j＝π+tg^-1[Real(s_j)/Imag(s_j)] Imag(s_j)＜0 (34)

式中，Real(s_j)，Imag(s_j)分别为所求参数的实部和虚部。

把式(34)带入式(32)，则在Imag(s_j)＜0时，

式中，由式(32)、(33)及式(35)，则式(18)最终表示为：

步骤7：基于设计反应谱理论的实参数表示的频率、阻尼比及强度系数

反应谱理论认为结构的地震动响应可化为多个单自由度二阶微分振子的线性组合，其标准地震动方程为：

式中，δ分别为振子的加速度，速度和位移；ξ,ω为振子的阻尼比和自振圆频率；β为外部激励强度系数。则振子位移的杜哈梅积分形式：

式中，a(t)为结构地震动绝对加速度。

反应谱理论认为，忽略φ的影响：

因此，比较式(28)与(31)，等效阻尼比和等效频率：

ξ_j＝b_1j/ω_j＝b_1j/|p_j| (43)

强度系数为：

步骤8：基于设计反应谱理论的地震动响应分析

反应谱理论中地震力的计算采用振型分解反应谱法，振型分解法认为结构某一点的位移响应x_j表示为各个标准振子的线性组合：

式中，q_i为第i个二阶标准振子的振动响应，φ_ji为第j阵型的i质点的相对位移；m为考虑的总振型个数。

振型分解反应谱认为在获得结构沿某方向的阵型、频率及阻尼比按照以下方式获得结构第j阵型的i质点的等效地震力：

F_ji＝αγ_jφ_jG_j (46)

式中，F_ji为第j阵型第i层质点的水平地震作用的标准值；α_j为由第j阵型的振动频率和阻尼比查《结构抗震设计规范》中反应谱方法中的地震影响系数曲线；G_i为结构i质点的重力代表值，γ_j为第j阵型的参与系数。

比较式(17)、(45)可知，则式(46)中的：

β_j＝γ_jφ_j (47)

则本发明中结构第i质点的地震动第j振型的等效地震力为：

F_ji＝αβ_jG_j (48)

由式(48)获得等效地震力之后，将其施加在结构质点上，利用结构力学可获得结构的质点位移、质点速度、质点加速度、层间剪力、弯矩等结构效应，然后利用平方和开平方法(SRSS法)：

式中，S为某一效应的所有阵型之和，S_i为某一振型的效应值。

本发明基本条件举例：等效地震力计算示意图如图1所示；

在8度区，场地类别为二类第三组，其场地特征值：T_g＝0.45s

多遇地震水平地震影响系数最大值为0.16。结构的质量，刚度分别为：

m＝9.8*10⁵kg；k＝2.1*10⁹N/m；ω＝46.29rad/s,ξ＝0.02。

一TMD单自由耗能减震结构，其质量、刚度、阻尼矩阵及荷载列向量如：

(1)减震系统的特征值

特征值为：复模态等效频率和等效阻尼比及强度系数矩阵：

(3)地震影响系数第1振型：ω₁＝43.46；ξ₁＝0.0412

T₁＝2π/ω₁＝2*3.14/43.46＝0.1445s；

η₂＝1+(0.05-ξ)/(0.08+1.6*ξ)

＝1+(0.05-0.0412)/(0.08+1.6*0.0412)

＝0.0603

由于：T₁＝0.1445＜0.45s且大于0.1s，所以:

α₁＝η₂α_max＝0.0603*0.16＝0.00965

第2振型：ω₂＝51.45；ξ₂＝0.0799，则

T₂＝2π/ω₂＝2*3.14/51.45＝0.1221；

η₂＝1+(0.05-ξ)/(0.08+1.6*ξ)

＝1+(0.05-0.0799)/(0.08+1.6*0.0799)

＝0.856

由于：T₂＝0.1221＜0.45s且大于0.1s，所以:

α₂＝η₂α_max＝0.856*0.16＝0.137

不设置TMD时结构的地震动影响系数：

ω＝46.29；ξ₁＝0.02，则

T₂＝2π/ω₁＝2*3.14/46.29＝0.136；

η₂＝1+(0.05-ξ)/(0.08+1.6*ξ)

＝1+(0.05-0.02)/(0.08+1.6*0.02)

＝1.268

由于：T₂＝0.136＜0.45s且大于0.1s，所以:

α₂＝η₂α_max＝1.268*0.16＝0.203

(4)等效地震力，

则施加在结构上的2个振型的等效地震力为：

第1振型：

第2振型：不设置TMD时结构的地震动力：

F₂＝1988*10³N

(5)变形效应分析

利用结构力学理论，则结构在2个振型下的变形：

x₁＝0.5863mm；x₂＝0.2186mm；

利用公式(23)，可计算其总变形为：

不设置TMD时的变形为：0.947mm

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种非经典阻尼系统动力响应的实模态法，其特征在于：包括以下步骤：

1)建立线性耗能系统动力方程组；

2)运动方程组的一阶微分方程组转化；

3)一阶微分方程组的复模态解耦；

4)结构响应的杜哈梅复参数积分表达式；

5)三角函数相位差计算；

6)利用欧拉公式获得结构响应的杜哈梅实参数积分表达式；

7)基于设计反应谱理论的实参数表示的频率、阻尼比及强度系数的计算；

8)基于设计反应谱理论的地震动响应分析；

所述的建立线性耗能系统动力方程组如下：

先根据工程设计需要，建立结构基于地震动的动力方程

式中，M,C,K分别为结构及减震装置的质量、刚度和阻尼矩阵，其为n*n阶矩阵；x、为结构相对于地面的位移向量、速度向量及加速度向量；α为一列向量，表述与各质点振动与地面加速度的关系；/>为地面地震动加速度；

所述的运动方程组的一阶微分方程组转化如下：

引入状态变量：

方程(1)变为：

式中，r＝[α^T 0]^T；

所述的一阶微分方程组的复模态解耦如下：

运用复模态法理论，存在左、右特性向量U、V和特征值矩阵P，使方程(3)解耦；特征值矩阵P，由式(3)的特征值方程获得：

式中，为求行列式；特征值矩阵P为对角阵，且具有两两复共轭特点；左、右特性向量U、V的求解方法如下：

式中，表示对矩阵转置；U、V的任一列向量也具有两两复共轭特点；

令：

y＝UZ (6)

式中，Z为复模态广义变量；

把式(6)带入式(3)：

式(7)左乘左特征向量V^T：

由于P为对角阵，式(8)改写为：

式中，Υ为激励系数向量，其满足，

式(9)中Z的分量形式为：

式中,z_j、η_j、p_j分别为Z、Υ、P的分量,均具有两两复共轭性质；

利用欧拉公式获得结构响应的杜哈梅实参数积分表达式如下：

由式(5)、(9)及(11)，减震体系的位移x杜哈梅积分形式：

式中，u_i为右特征向量矩阵的第i行向量，λ_ij＝u_ij*η_j；

所述的三角函数相位差计算如下：

针对三角函数公式：

式中，a,n为实数；ω为非零实数；φ为相位差，其计算满足：

但由于tanφ、cosφ与sinφ的象限角不同，为此，通过枚举方法给出两者之间的关系：

n>0，φ＝tan^-1(a/n) (15)

n<0，φ＝tan^-1(a/n)+π (16)

式中，的取值范围为/>

利用欧拉公式获得结构响应的杜哈梅实参数积分表达式如下：

根据特征值p_j和系数λ_ij成对共轭性的特点，式(12)改写为：

为此，取第j对共轭项进行推导，则λ_ij、p_j存在2种组合：

组合1：

λ_ij＝a_1j+ia_2j；p_j＝b_1j+ib_2j a_2j＞0,b_2j＞0 (19)

组合2：

λ_ij＝a_1j-ia_2j；p_j＝b_1j+ib_2j a_2j＞0,b_2j＞0 (20)

对于组合1,把式(19)带入式(18)：

利用欧拉公式：

把式(22)带入式(21)：

经整理：

由(13)-(16)的相关公式：

把式(25)带入式(24)：

对于组合2，按式(20)带入式(18)，经整理：

由步骤4的相关公式：

利用式(25),式(24)变为：

由式(25)、(30)，式(26)与(31)可写成统一表达式：

φ_j＝tg^-1[Real(λ_ij)/Imag(λ_ij)] Imag(λ_ij)≥0 (33)

φ_j＝π+tg^-1[Real(λ_ij)/Imag(λ_ij)] Imag(λ_ij)＜0 (34)

式中，Real(λ_ij)，Imag(λ_ij)分别为所求参数的实部和虚部；

把式(34)带入式(32)，则在Imag(λ_ij)＜0时，

式中，由式(32)、(33)及式(35)，则式(18)最终表示为：

所述的基于设计反应谱理论的实参数表示的频率、阻尼比及强度系数的计算如下：

反应谱理论认为结构的地震动响应可化为多个单自由度二阶微分振子的线性组合，其标准地震动方程为：

式中，δ分别为振子的加速度，速度和位移；ξ,ω为振子的阻尼比和自振圆频率；β为外部激励强度系数；则振子位移的杜哈梅积分形式：

式中，a(t)为结构地震动绝对加速度；

反应谱理论认为，忽略φ的影响：

因此，比较式(28)与(31)，等效阻尼比和等效频率：

ξ_j＝b_1j/ω_j＝b_1j/|p_j| (43)

强度系数为：

所述的基于设计反应谱理论的地震动响应分析如下：

反应谱理论中地震力的计算采用振型分解反应谱法，振型分解法认为结构某一点的位移响应x_j表示为各个标准振子的线性组合：

式中，q_i为第i个二阶标准振子的振动响应，φ_ji为第j阵型的i质点的相对位移；

m为考虑的总振型个数；

振型分解反应谱认为在获得结构沿某方向的阵型、频率及阻尼比按照以下方式获得结构第j阵型的i质点的等效地震力：

F_ji＝α_jγ_jφ_jiG_i (46)

式中，F_ji为第j阵型第i层质点的水平地震作用的标准值；α_j为由第j阵型的振动频率和阻尼比查《结构抗震设计规范》中反应谱方法中的地震影响系数曲线；G_i为结构i质点的重力代表值，γ_j为第j阵型的参与系数；

比较式(17)、(45)可知，则式(46)中的：

β_j＝γ_jφ_ji (47)

则结构第i质点的地震动第j振型的等效地震力为：

F_ji＝α_jβ_jG_i (48)

由式(48)获得等效地震力之后，将其施加在结构质点上，利用结构力学可获得结构的质点位移、质点速度、质点加速度、层间剪力、弯矩等结构效应，然后利用平方和开平方法：

式中，S为某一效应的所有阵型之和，S_i为某一振型的效应值。

2.根据权利要求1所述的非经典阻尼系统动力响应的实模态法，其特征在于：建立结构基于地震动的动力方程包括，混合结构、隔震结构、质量调制结构、粘弹性耗能减震结构。