CN110472262B - 一种铁制壳、齿永磁球形电机齿槽转矩分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种铁制壳、齿永磁球形电机齿槽转矩分析方法，通过有限元先得到一个磁极时产生的齿槽转矩，再通过空间坐标旋转变换，获取其他磁极产生的齿槽转矩，将所有齿槽转矩叠加获取总的齿槽转矩，从而得到转子空间位置与齿槽转矩的对应关系。

Description

一种铁制壳、齿永磁球形电机齿槽转矩分析方法

技术领域

本发明属于球形电机的齿槽转矩分析领域，尤其涉及到一种铁制壳、齿球形电机齿槽转矩分析方法。

背景技术

伴随现代工业的发展，越来越多的领域对多自由度运动装置产生需求,多自由度运动装置往往是由多个一自由度电机组合而成。组合装置具有较大的体积，结构复杂，响应时间慢，存在结构死区等缺点。国内外学者为解决组合装置的问题研制出了能够绕任意轴旋转的三自由度电机——球形电机。球形电机具有体型小、精度高、反应快、直接驱动以及在工作区非奇异性等优点。随着学者对球机研究的深入，球机的应用范围更加广泛，其主要应用在航空航天、工业自动化和智能机器人等对多自由度运动装置有较大需求的产业。

近年来，国内外学者为增大球形电机电磁转矩将球机无铁心绕组改为有铁心结构，这一变化同时增大了齿槽转矩。齿槽转矩的存在，使得输出转矩产生较大波动，所以需获取齿槽转矩模型，通过控制进行补偿。球机结构复杂，而且转子位置不同时磁路也不同，这些原因增大了齿槽转矩分析的难度，国内外对球形电机齿槽转矩的研究较少。目前，日本学者对定转子壳为非导磁材质、定子齿为铁磁材料的球形电机和定子壳为非导磁材质、定子齿和转子球为铁磁材料的球形电机齿槽转矩进行了研究。而没有同时对定子壳、转子壳、定子齿都为铁磁材料的球型电机齿槽转矩进行研究，这样输出转矩仍不能达到最大；而当三者都为铁磁材料时转子位置的变化使磁路分析更加复杂。

发明内容

本发明的目标是克服球形电机增大电磁转矩时产生齿槽转矩使控制发生误差的问题,提出一种转子在任意位置时铁制壳、齿球形电机的齿槽转矩的分析法。本发明在三者都为铁磁材料下进行，将有限元法与球谐波分解相结合获取转子在任意位置时的齿槽转矩。通过有限元先得到一个磁极时产生的齿槽转矩，再通过空间坐标旋转变换，获取其他磁极产生的齿槽转矩，将所有齿槽转矩叠加就获取了总的齿槽转矩，这样就得到了转子空间位置与齿槽转矩的对应关系，可以用于球形电机控制中。技术方案如下：

一种铁制壳、齿永磁球形电机齿槽转矩分析方法，通过有限元先得到一个磁极时产生的齿槽转矩，再通过空间坐标旋转变换，获取其他磁极产生的齿槽转矩，将所有齿槽转矩叠加获取总的齿槽转矩，从而得到转子空间位置与齿槽转矩的对应关系，包括下列步骤：

(1)获得多齿单极球形电机齿槽转矩:

用有限元获取一极多齿球机模型齿槽转矩T_cog；

T_cog沿直角坐标系分为T_x、T_y、T_z,将其分解为球谐函数形式，表达式为

其中

为球坐标，

为球谐函数系数，l为球谐波的阶数且只能为非负整数，m为球谐波次数，取值为-l与+l之间，

为球谐函数，则：

其中i为虚数单位，P_l ^m(cosθ)为伴随勒让德多项式。

(2)获取齿槽转矩不同坐标系表达式:

将转子整体按照ZYZ欧拉旋转αβγ角度,一号磁极由球坐标

位置转动到

位置,二号磁极由

位置转动到

位置，获取二号磁极坐标为

的相对坐标系x₃y₃z₃,其中，坐标系x₃y₃z₃为坐标系xyz经过ZYZ欧拉旋转得到，旋转角分别为:

二号磁极旋转后在xyz坐标系下的齿槽转矩T₂表达式为

其中m'为旋转时球谐波次数，取值-l与l之间的整数。

二号磁极旋转后在x₃y₃z₃坐标系下的齿槽转矩表达式为

其中球谐系数旋转公式

为

其中

表达式如下

(3)将各个磁极分别产生的齿槽转矩线性叠加得到总的齿槽转矩。

本发明的技术效果如下:

1.本发明提出的铁制壳、齿永磁球型电机齿槽转矩分析方法,采用了铁制导磁材料的壳和齿,大大增加了球机电磁转矩。

2.本发明可以获取转子任意状态下的球机齿槽转矩,使球机控制更加准确。

附图说明

图1：十八齿单极永磁球形电机结构图

图2：球机具体参数图

图3：十八齿单极球形电机在转子磁极任意状态下获取齿槽转矩模型图

图4：十八齿单极球谐函数系数C_p图

图5：坐标系旋转变换图

图6：18齿8极永磁式动量球结构图

图7：18齿8极转子轴转动后球形电机状态图

图8：转子轴为α＝40°,β＝50°时转子所受齿槽转矩图

图9：24齿8极永磁式动量球结构图

图10:二十四齿单极球形电机在转子磁极任意状态下获取齿槽转矩模型图

图11：十八齿单极齿槽转矩球谐函数系数C_p图

图12：24齿8极球机转子轴转动后球形电机状态图

图13：转子轴为α＝40°,β＝50°时转子所受齿槽转矩图

具体实施方式

本发明提供了一种获取铁制壳、齿永磁球形电机在转子任意位置时齿槽转矩的方法，下面结合附图和实施对本发明进行详细的描述。本发明具体实施步骤如下：

(1)十八齿单极齿槽转矩表达式：

本发明以6-8型多面体结构永磁球形电机为例,6-8型多面体永磁球形电机的定子包括铁磁定子外壳和十八个铁磁定子齿,其中定子齿分布在球内虚拟内接正八面体的六个顶点,十二条棱边中点；该单极模型中转子包括铁磁转子内壳和一个N型磁极,该磁极采用圆柱体结构, 并与转子球外部相切与一点，永磁体采用平行充磁方式。该十八齿单极球形电机结构如图1 所示，模型中具体参数如图2所示。

本发明采用有限元法与数值法相结合的方法对其齿槽转矩进行分析。与二维电机相同，球形电机的齿槽转矩是由于永磁体与铁磁定子齿的相对位置变化引起的磁场能量变化导致的。在忽略铁的磁饱和时，永磁体的相对磁导率为1.044，总的齿槽转矩可简化为每个永磁体产生的齿槽转矩的线性叠加。本发明先使用有限元法获取十八齿单极球形电机齿槽转矩 T_cog模型如图3所示，图3中T_cog分别展示了沿xyz方向分解后的齿槽转矩T_x、T_y、T_z模型，该模型任一组数据是转子磁极在不同球坐标下获取齿槽转矩值，由于球形电机定子选用的正八面体结构，所以转子磁场受到的齿槽转矩为关于球心对称的四个周期图形。将该齿槽转矩模型T_x、T_y、T_z分别沿球谐波进行分解，分解公式如下

其中

为球坐标，r为定值在此不表示，

为球谐函数系数，由该模型获取的球谐函数系数如图4所示，l为球谐波的阶数且只能为非负整数，m为球谐波次数，取值为-l与+l之间，

为球谐函数，本发明中l取20阶足以达到齿槽转矩计算精度，各表达式如下

其中i为虚数单位，P_l ^m(cosθ)为伴随勒让德多项式，表达式如下：

其中x为函数自变量，d/dx为求导公式，P_l(x)为勒让德多项式，表达式如下：

(2)齿槽转矩不同坐标系表达式:

转子球上的两个磁极,经过转子整体的旋转。两个磁极在初始坐标系xyz下,转子按照ZYZ 欧拉旋转αβγ角度,使一号磁极由

位置转动到

位置,由欧拉变化导出的数学关系式如下：

二号磁极由

位置转动到

位置，由欧拉变换导出的数学表达式如下：

二号磁极的相对坐标系为x₃y₃z₃,使二号磁极在坐标系xyz下坐标为

在坐标系 x₃y₃z₃下为

坐标系x₃y₃z₃为xyz坐标系经过ZYZ欧拉旋转得到。

坐标系间的ZYZ欧拉角旋转过程如下：二号磁极经过整体转子的旋转变化后为图中点

M在cord₀坐标系中xoy平面投影为点

如图5(a)所示，坐标系xyz 沿z轴逆时针旋转

变成x₁y₁z₁，此时M在x₁y₁z₁坐标系下坐标为(θ₂',0)；如图5(b)所示，坐标系x₁y₁z₁沿y₁轴逆时针旋转(θ₂'-θ₁')变成x₂y₂z₂坐标系，M点在x₂y₂z₂坐标系下投影为M”点， M点在x₂y₂z₂坐标系下坐标为(θ₁',0)；如图5(c)所示，坐标系x₂y₂z₂沿z₂轴顺时针旋

变为x₃y₃z₃，M点在x₃y₃z₃坐标系下坐标为

坐标系间旋转角度如下：

坐标系间的欧拉变换表达式如下：

(3)基于球谐函数欧拉旋转的多齿多极球形电机齿槽转矩表达式：

转子磁极的空间齿槽转矩表达式是不同阶次球谐级数相加得到的,而球谐波的空间旋转可以基于谐波系数变换来进行,因此可以通过欧拉旋转改变球谐波系数和空间位置获取转子整体旋转后磁极齿槽转矩表达式。空间的球谐函数级数表达式上文已给出,对于三维空间中函数图像上任一点

基于z-y-z顺序进行欧拉角旋转变换(α,β,γ)到点

则旋转后得到球谐函数表达式如下：

其中m'为旋转时球谐波次数，取值-l与l之间的整数，

为球谐函数旋转系数：

其中

表达式如下：

其中max表达求最大值，min表达求最小值。

转子按z-y-z顺序旋转(α,β,γ)后，得到的由一号磁极空间坐标表示的二号磁极齿槽转矩表达式如下：

由以上可知通过任意磁极的初始位置、整体转子旋转角度可以得到由一号磁极表示的该磁极齿槽转矩表达式。在忽略铁的磁饱和时，永磁体的相对磁导率为1，所以转子总齿槽转矩满足线性叠加。转子包括铁磁转子内壳和八个永磁体,其中永磁体分布在球外虚拟内接正六面体的八个顶点,永磁体采用平行充磁，其磁性N、S交替排列，其中关于球形对称的一对磁极磁性相反，球形电机整体模型如图6所示。转子总齿槽转矩就可以通过有限元仿真获取只有一个磁极时齿槽转矩的球谐级数系数，再将由空间坐标变换得到任意磁极的齿槽转矩线性叠加，就得到了总的齿槽转矩表达式如下：

其中，

是由初始位置为

的一号磁极同转子共同旋转(α,β,γ)后得到的坐标；各初始位置为

的磁极同转子旋转(α,β,γ)角度其坐标变为

坐标系旋转沿ZYZ旋转 (α_i',β_i',γ_i')，其中

(4)本发明将有限元法与数值法相结合并应用转矩的叠加原理计算了一种铁制壳、齿永磁球形电机的齿槽转矩。依据以上方法，本发明给出了两种6-8面体永磁式球形电机结构仿真验证所提出方法的正确性，一种为上述中十八齿八极结构，一种为二十四齿八极结构，现将结果展示如下：

十八齿八极结构：首先，采用图6中永磁式球形电机模型，将转子轴先绕z轴旋转40°，再绕y轴旋转50°，转动到图7位置；然后绕转子轴转动360°，步长为1°。将转子所受总齿槽转矩T_x、T_y、T_z由上述方法所得计算值与有限元仿真值进行对比，结果如图8(a)、(b)、 (c)所示.由于转子每层有4个磁极且齿槽转矩只与磁极个数有关，与磁极极性无关，所以转子轴在任意位置转动一周其周期都为π/2,所以转子转动360°时图8中各方向齿槽转矩都包含4个周期。由结果可知，仿真值和计算值趋势相同。但由于磁极坐标变换、球谐函数计算存在误差，所以图8中误差较大。

二十四齿八极结构：本模型如图9选用定子包括铁磁外壳和24个铁磁定子齿，齿分布于正八面体的面上，每面有3个齿坐标

分别为(30.37°,45°)(68.75°,22.5°)(68.75°,67.5°)；转子包括铁磁内壳和8个磁极，磁极分布于正六面体的顶点，采用平行充磁，磁性N、S交替排列，关于球心对称的一对磁极极性相反。有限元法仿真二十四齿单极模型得到的齿槽转矩T_x、T_y、T_z结果如图10所示，其相应球谐函数系数如图11所示。将图9中模型转子轴先绕z轴旋转40°，再绕y轴旋转50°，转动到图12位置；然后绕转子轴转动360°，步长为1°。将转子所受总齿槽转矩T_x、T_y、T_z由上述方法所得计算值与有限元仿真值进行对比，结果如图13(a)、(b)、(c)所示，该图较好的验证了利用有限元与数值法计算齿槽转矩与实际方正结果的一致性。

Claims (2)

1.一种铁制壳、齿永磁球形电机齿槽转矩分析方法，通过有限元先得到一个磁极时产生的齿槽转矩，再通过空间坐标旋转变换，获取其他磁极产生的齿槽转矩，将所有齿槽转矩叠加获取总的齿槽转矩，从而得到转子空间位置与齿槽转矩的对应关系；包括下列步骤：

(1)获得多齿单极球形电机齿槽转矩:

用有限元获取一极多齿球机模型齿槽转矩T_cog；

T_cog沿直角坐标系分为T_x、T_y、T_z,将其分解为球谐函数形式，表达式为

其中为球坐标，为球谐函数系数，l为球谐波的阶数且只能为非负整数，m为球谐波次数，取值为-l与+l之间，为球谐函数，则：

其中i为虚数单位，为伴随勒让德多项式；

(2)获取齿槽转矩不同坐标系表达式:

将转子整体按照ZYZ欧拉旋转αβγ角度,一号磁极由球坐标位置转动到位置,二号磁极由位置转动到位置，获取二号磁极坐标为的相对坐标系x₃y₃z₃,其中，坐标系x₃y₃z₃为坐标系xyz经过ZYZ欧拉旋转得到，旋转角分别为:

二号磁极旋转后在xyz坐标系下的齿槽转矩T₂表达式为

其中m'为旋转时球谐波次数，取值-l与l之间的整数；

二号磁极旋转后在x₃y₃z₃坐标系下的齿槽转矩表达式为

其中球谐系数旋转公式D_l ^m'm为

其中d_l ^m'm(β')表达式如下

(3)将各个磁极分别产生的齿槽转矩线性叠加得到总的齿槽转矩。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，(3)步骤，对于8磁极电机，将8个磁极分别产生的齿槽转矩线性叠加得到总的齿槽转矩T_cogging表达式:

其中，是由一号磁极从初始位置经转子整体旋转角度(α,β,γ)后的球坐标；(α′_i,β′_i,γ′_i)是由各磁极从初始位置经转子旋转角度(α,β,γ)后得到β′_i＝θ′_i-θ′₁,

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