CN110287593A - 一种螺栓连接模型界面参数识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于连接结构动力学分析技术领域，尤其涉及一种螺栓连接模型界面参数识别方法。其包括以下步骤，S1：通过对螺栓连接结构切向界面的准静态实验，获取用于构建目标函数和计算切向参数初始值的实验数据；S2：根据S1的实验数据和预先构建的理论模型中的理论数据构建目标函数，计算切向参数初始值；S3：根据切向参数初始值对所构建的目标函数进行优化，获取切向参数辨识的结果；S4：通过对螺栓连接结构法向界面的准静态实验，获取用于线性拟合的实验数据；S5：根据S4的实验数据进行线性拟合，获取法向参数辨识的结果。本方法很好地实现了对螺栓连接装配体的动力学分析。

Description

一种螺栓连接模型界面参数识别方法

技术领域

本发明属于连接结构动力学分析技术领域，尤其涉及一种螺栓连接模型 界面参数识别方法。

背景技术

在工程装配结构中常伴随有机械连接的使用，常见的连接形式有螺栓连 接、铆接、拉杆连接、过盈配合等。其中，螺栓连接结构具有易于加工、便 于拆卸、承载能力高、可靠性好等诸多优点，因此在装配结构的工程应用被 大量的使用，例如航空发动机的鼓筒和机匣等连接结构。螺栓连接的存在影 响了装配结构的连续性，引起了局部刚度的非线性变化，也是装配结构阻尼 的重要来源。当承受外界复杂的负载时，连接结构也成为整个装配体上容易 出现破坏的部位。对于含有螺栓连接的装配结构的动力学特性分析，螺栓连 接非线性行为的影响也是不容忽略的。因此，对于螺栓连接的非线性特性研 究具有重要的实际与理论意义。

在以往对含有螺栓连接的装配结构的动力学分析中，常用的研究方法有 两种：一种是基于线性化的思想对连接部位进行线性处理，包括考虑被连接 件之间的位移、转角、力等的连续性条件对连接直接进行忽略，或者是将螺 栓连接等效为一个线性弹簧与阻尼的组合。这些模型忽略了螺栓连接本身的 非线性特征，这显然是不够精确的；另一种比较常用的处理方式是采用有限 元方法对连接部位进行建模，模型中往往会考虑连接界面之间的摩擦行为， 能较为精确的反映螺栓连接的非线性特性，但是往往涉及到的自由度维数会 较大，计算效率较低。

对于螺栓连接的参数识别目前主要依赖于实验手段。一种简便直接的识 别方法是采用准静态实验对螺栓结合面的迟滞行为进行分析，通过滞回曲线 对连接结构的刚度阻尼参数或者模型参数进行识别与调整。另一种方法是对 螺栓连接件进行动力学测试，通过动力学响应对所建立的模型参数进行反推。

发明内容

(一)要解决的技术问题

针对现有存在的技术问题，本发明提供一种可以很好实现对螺栓连接 装配体的动力学分析的螺栓连接模型界面参数识别方法。

(二)技术方案

为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：

一种螺栓连接模型界面参数识别方法，包括以下步骤，

S1：通过对螺栓连接结构切向界面的准静态实验，获取用于构建目标函 数和计算切向参数初始值的实验数据；

S2：根据S1的实验数据和预先构建的理论模型中的理论数据构建目标 函数，计算切向参数初始值；

S3：根据切向参数初始值对所构建的目标函数进行优化，获取切向参数 辨识的结果；

S4：通过对螺栓连接结构法向界面的准静态实验，获取用于线性拟合的 实验数据；

S5：根据S4的实验数据进行线性拟合，获取法向参数辨识的结果。

具体地，S1具体包括，

将两段由钢材料制成的梁通过一颗螺栓连接起来，建立一个螺栓搭 接梁结构，在螺栓与被连接件之间安装环形测力传感器用来控制所施加 的初始螺栓预紧力，由此建立一个准静态实验环境；把实验件安装在电- 液疲劳试验机上，将连接件的左端固定，右端沿连接界面切向施加准静 态循环剪切位移载荷，通过试验机液压夹具自带的传感器和数据采集软 件，获取位移与剪切力的实验数据，用于构建目标函数和计算切向参数初 始值。

具体地，在S2之前，还包括构建理论模型并获取理论数据，具体包括，

在连接界面上建立空间坐标系o-xyz，当承受拉压载荷时，被连接件 受到沿界面法向(z方向)的约束力，由于螺栓连接的法向刚度具有非线性 特性，得到螺栓连接法向约束力的分段线性表达式：

其中k_T、k_C分别为抗拉刚度和抗压刚度，u为被连接件沿z方向的位移 分量，u₀为螺栓连接轴向刚度改变时对应的临界z向位移；

被连接件沿界面法向的相对运动会引起界面之间法向压力的变化：

其中，F_pre为螺栓预紧力；

由于存在法向压力，螺栓连接界面之间形成接触，接触面之间产生 相对运动时存在摩擦行为，包括粘滞、滑移、分离等不同的摩擦状态， 进而对被连接件形成切向约束力，从而建立螺栓连接切向约束力表达式：

其中f_v、f_w分别为界面约束力沿空间坐标系o-xyz中x、y方向的分量， k_v、k_w是剪切刚度，k_vl、k_wl是界面发生滑移时的剩余剪切刚度，v、w是被连 接件沿x、y方向的位移分量，d_v、d_w是干摩擦阻尼器沿x、y方向的位移分 量，υ是界面摩擦系数，γ是摩擦方向角，定义为摩擦力与x方向之间的夹角， 其求解表达式如下：

其中，建立的螺栓连接法向约束力的分段线性表达式和螺栓连接切向约 束力表达式为理论模型；

根据理论模型和其对应的滞回曲线的几何关系可以推导出理论模型 中一个滞回周期内的能量耗散为：

等效刚度为：

其中，能量耗散与等效刚度为理论数据。

具体地，S2中构建目标函数，具体包括，

根据S1得到的实验数据绘制相应的滞回曲线，分别对一个滞回周期内 加载段和卸载段的实验数据进行多项式函数拟合，具体为七次多项式， 得到如下形式的滞回曲线表达式：

其中F_u表示加载段，F_d表示卸载段，v为沿界面切向的位移；

根据拟合得到的滞回曲线表达式得到一个滞回周期内的能量耗散和 等效刚度计算表达式为：

其中，v₁、v₂是滞回曲线上位移的最小值与最大值；

以理论模型与实验所得等效刚度与能量耗散的误差最小为优化目标， 构造以下形式的目标函数：

具体地，S2中计算切向参数初始值，具体包括，

S1实验所得的滞回曲线的加载段和卸载段都分别包含三种摩擦状态， 包括粘滞、微滑移和宏滑移，忽略微滑移状态，分别选取粘滞和宏滑移阶段 的部分数据并采用最小二乘法进行线性拟合，分别得到加载段和卸载段的粘 滞状态剪切刚度k_stick和滑移状态剪切刚度k_slip，通过对两个刚度计算平均值作 为优化过程中粘滞状态剪切刚度k_stick和滑移状态剪切刚度k_slip的初始值；根据 所建立的理论模型，在位移v＝0时的约束力为f_v＝±υF_n，(F_n＝F_pre)，根据约束 力分别对加载段和卸载段的摩擦系数υ进行计算，然后取平均值作为优化过 程中摩擦系数υ的初始值。

具体地，S3具体包括，

根据构建的目标函数和切向参数初始值，通过MATLAB中的fminsearch 优化求解器对目标函数进行无约束非线性优化，获取切向参数的辨识结果， 包括粘滞状态剪切刚度k_stick、滑移状态剪切刚度k_slip、摩擦系数υ。

具体地，S4具体包括，

建立一个螺栓搭接梁结构，将两段由钢材料制成的梁通过一颗螺栓 连接起来并施加一定的预紧力，由此建立一个准静态实验环境；把实验 件安装在电-液疲劳试验机上，将连接件的上端固定，下端沿连接界面法 向施加准静态循环载荷，通过试验机液压夹具自带的传感器和数据采集 软件，获取位移与法向力的实验数据。

具体地，S5具体包括，

根据S4实验结果，分别选取螺栓连接件受压与受拉时的部分数据，采 用最小二乘法分别进行分段线性拟合，得到受压与受拉时力-位移表达式如 下：

f_C＝eu+g

f_T＝cu+d

其中系数e、c分别为螺栓抗压刚度k_C和抗拉刚度k_T的辨识结果，对以 上两条拟合直线的表达式求解交点，可以识别出刚度发生变化时的临界位移 u₀的值。

(三)有益效果

本发明的有益效果是：本发明提供的螺栓连接模型界面参数识别方法， 实现了对具有复杂非线性特征的螺栓连接的简化力学建模，建立了可以模拟 螺栓连接界面迟滞非线性特性的干摩擦模型，模型中考虑了界面可能存在的 粘滞、滑移、分离等多种接触状态，可以很好的模拟螺栓连接的刚度与阻尼 特性，同时模型中考虑了螺栓连接抗拉抗压刚度不同的非线性特征，建立了 螺栓沿界面法向约束力的分段线性模型；同时采用准静态实验对螺栓连接简 化力学模型中涉及到的界面参数进行了辨识，使得模型具有了实际意义，可以对实际螺栓连接结构的力学特性进行模拟；可以方便的应用到具有螺栓连 接的装配结构的动力学模型中，实现对螺栓连接装配体的动力学分析。

附图说明

图1为一个螺栓连接梁结构；

图2为螺栓连接界面简化模型示意图；

图3为螺栓连接法向约束力分段线性模型示意图；

图4为本发明中螺栓连接界面模型切向参数识别流程图；

图5为螺栓连接界面模型切向参数识别实验原理示意图；

图6为螺栓连接界面模型法向参数识别实验原理示意图；

图7为螺栓连接界面摩擦一种典型滞回曲线示意图；

图8为螺栓连接界面摩擦实验载荷条件下本发明所建立模型的滞回曲线 示意图；

图9为基于参数识别结果的理论模型与实验结果滞回曲线对比，螺栓预 紧力F_pre＝5.5kN；

图10为基于参数识别结果的理论模型与实验结果滞回曲线对比，螺栓 预紧力F_pre＝8kN；

图11为基于参数识别结果的理论模型与实验结果法向力-位移曲线对比， 测试1；

图12为基于参数识别结果的理论模型与实验结果法向力-位移曲线对比， 测试2。

具体实施方式

为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实 施方式，对本发明作详细描述。

本发明公开了一种螺栓连接模型界面参数识别方法，包括以下步骤，

S1：通过对螺栓连接结构切向界面的准静态实验，获取用于构建目标函 数和计算切向参数初始值的实验数据；

S2：根据S1的实验数据和预先构建的理论模型中的理论数据构建目标 函数，计算切向参数初始值；

S3：根据切向参数初始值对所构建的目标函数进行优化，获取切向参数 辨识的结果；

S4：通过对螺栓连接结构法向界面的准静态实验，获取用于线性拟合的 实验数据；

S5：根据S4的实验数据进行线性拟合，获取法向参数辨识的结果。

具体地，首先建立一个螺栓搭接梁结构，如图1所示，其中两段由45 号钢材料制成的梁结构通过一颗螺栓(M6)连接起来。然后建立螺栓连接界面 的简化力学模型。假设连接界面上的变形与受力是均匀的，可以将被连接件 承受的来自螺栓的约束力简化到一个点上；由于螺栓连接的力学行为是由于 被连接件之间的相对运动形成的，假设下连接件固定，视为一个固定面，上 连接件视为一个运动质量块m，将螺栓连接简化为质量块与固定面之间的一 组约束力，如图2所示。

在图2所示的连接界面上建立空间坐标系o-xyz，上连接件沿x、y、z 方向的位移分别为u、v、w，k_u、k_v、k_w分别为法向约束刚度与剪切刚度， d_v,d_w是摩擦阻尼器沿x、y方向的位移分量，是接触界面的摩擦力沿 x、y方向的分量，F_n是接触面之间的法向压力。当承受拉压载荷时，被连 接件受到沿界面法向(z方向)的约束力，由于螺栓连接的法向刚度具有非 线性特性，用图3中分段线性模型描述螺栓连接法向约束力：

其中k_T、k_C分别为抗拉刚度和抗压刚度，u为被连接件沿z方向的位移 分量，u₀为螺栓连接轴向刚度改变时对应的临界z向位移；

被连接件沿界面法向的相对运动会引起界面之间法向压力的变化：

其中，F_pre为螺栓预紧力；

由于存在法向压力，螺栓连接界面之间形成接触，接触面之间产生 相对运动时存在摩擦行为，包括粘滞、滑移、分离等不同的摩擦状态， 进而对被连接件形成切向约束力，为了表示界面宏滑移和分离时存在的 剩余刚度，用干摩擦力与一个线性力的组合表达螺栓连接切向约束力：

其中f_v、f_w分别为界面约束力沿空间坐标系o-xyz中x、y方向的分量， k_v、k_w是剪切刚度，k_vl、k_wl是界面发生滑移时的剩余剪切刚度，v、w是被连 接件沿x、y方向的位移分量，d_v、d_w是干摩擦阻尼器沿x、y方向的位移分 量，υ是界面摩擦系数，γ是摩擦方向角，定义为摩擦力与x方向之间的夹角， 其求解表达式如下：

针对以上所建立的螺栓连接简化模型，通过准静态实验对界面模型参数 中的切向参数，包括粘滞状态剪切刚度k_stick(k_stick＝k_v+k_vl＝k_w+k_wl)、滑移状 态剪切刚度k_slip(k_slip＝k_vl＝k_wl)、摩擦系数υ进行识别，识别流程如图4所示， 具体表述如下：

首先完成准静态实验，实验原理如图5所示。分被对螺栓施加5.5kN和 8kN的预紧力，在螺栓与被连接件之间安装环形测力传感器用来控制所施加 的初始预紧力大小。把实验件安装在电-液疲劳试验机的液压夹具上，其中 控制图5中螺栓连接件的左端固定，右端沿连接界面切向施加准静态循环剪 切位移载荷(t)，位移载荷幅值为0.1mm，通过试验机液压夹具自带的传感器 和数据采集软件可以获得位移与剪切力的实验数据。

然后根据实验数据绘制相应的滞回曲线。由于实验数据为一些散点，为 了得到滞回曲线的表达式，分别对一个滞回周期内加载段(滞回曲线上半部 分)和卸载段(滞回曲线下半部分)的实验数据进行多项式函数拟合。多项 式的最高次数取的越多拟合精度越高，本发明选择七次多项式，得到如下形 式的滞回曲线表达式：

其中F_u表示加载段，F_d表示卸载段，v为沿界面切向的位移。

根据拟合结果可以得到类似图7所示的滞回曲线及其表达式，进而 获得实验结果中一个滞回周期内的能量耗散和等效刚度计算表达式为：

其中，v₁、v₂是滞回曲线上位移的最小值与最大值。

实验中所对应的螺栓连接模型只考虑一个方向(x方向)运动，且界面法 向正压力为恒定值，依据所建立的螺栓连接力学模型，螺栓约束力的表达式 具有以下形式：

此种情况下当界面存在滑移时，螺栓力学模型所对应的滞回曲线为图8 中所示的平行四边形，根据螺栓的力学表达式和滞回曲线的几何关系可以推 导出理论模型中一个滞回周期内的能量耗散为：

等效刚度为：

为了使理论模型能准确有效的模拟螺栓连接的迟滞非线性行为，要使理 论模型所得的滞回曲线与实验所得的滞回曲线尽可能的吻合，即理论与实验 所得的等效刚度与能量耗散之间的误差应该达到最小。为了达到以上目标， 需要依据实验结果对理论模型中的相关参数进行优化调整。在优化过程中， 以理论模型与实验所得等效刚度与能量耗散的误差最小为优化目标，构造以 下形式的目标函数：

在本发明中，采用数学软件MATLAB中的无约束非线性优化工具 fminsearch优化求解器对目标函数进行优化，以对目标函数中涉及到界面模 型切向参数k_stick、k_slip、υ进行辨识。为了完成优化过程，需要首先对以上参 数设定一个合适的初始值。为了恰当地设置初始值，对实验所获得的滞回曲 线进行初步识别，识别过程如下：

如图7所示，在实验所得滞回曲线的加载段和卸载段都分别包含三种摩 擦状态，包括粘滞(DE、GH)、微滑移(EF、HI段)和宏滑移(ID、FG段)。所 建立的模型忽略微滑移状态，因此可以分别选取粘滞和宏滑移阶段的部分数 据采用最小二乘法进行线性拟合，分别得到加载段和卸载段的粘滞状态剪切 刚度和滑移状态剪切刚度，通过对两个刚度计算平均值作为优化过程中粘滞 状态剪切刚度和滑移状态剪切刚度的初始值。根据所建立的模型，在位移 v＝0时的J、K点约束力f_v＝±υF_n，(F_n＝F_pre)，可以据此分别对加载段与卸载 段的摩擦系数υ进行计算，然后取平均值作为优化过程中摩擦系数的初始值。

根据以上优化调整过程得到的界面模型切向参数结果，在与实验相同的 载荷条件下可以得到基于本发明所建立的螺栓连接力学理论模型和实验结 果的滞回曲线对比情况，如图9和图10所示。可以看到理论与实验所得的 迟滞曲线可以具有很好的一致性，证明所建立的螺栓模型可以很好的模拟螺 栓连接的迟滞非线性行为。

针对所建立的螺栓连接理论模型，通过准静态实验对界面模型参数中的 法向参数，包括螺栓连接抗拉刚度k_T、螺栓连接抗压刚度k_C、临界位移

u₀进行识别。识别方法如下：

具体地，首先完成准静态实验，实验原理如图6所示。对螺栓施加两个 不同的预紧力，完成两组测试。在测试中把实验件安装在电-液疲劳试验机 的液压夹具上，其中控制图6中螺栓连接件的左端固定，右端沿连接界面法 向施加准静态循环载荷F(z)，通过试验机液压夹具自带的传感器和数据采集 软件可以获得沿连接界面法向的力与相对位移实验数据。

根据实验结果，分别选取螺栓连接件受压与受拉时的部分数据，采用最 小二乘法分别进行分段线性拟合，得到受压与受拉时力-位移表达式如下：

f_C＝eu+g

f_T＝cu+d

其中系数e、c分别为螺栓抗压刚度k_C和抗拉刚度k_T的辨识结果。对以 上两条拟合直线的表达式求解交点，可以识别出刚度发生变化时的临界位移 u₀的值。

根据以上拟合得到的界面模型法向参数结果，在与实验相同的载荷条件 下可以得到基于本发明所建立的螺栓连接力学理论模型与实验结果的法向 力-位移曲线对比结果，如图11和12所示。可以看到理论与实验所得结果 具有很好的一致性，证明所建立的螺栓模型可以很好的模拟螺栓连接的法向 刚度非线性特征。

以上结合具体实施例描述了本发明的技术原理，这些描述只是为了 解释本发明的原理，不能以任何方式解释为对本发明保护范围的限制。 基于此处解释，本领域的技术人员不需要付出创造性的劳动即可联想到 本发明的其它具体实施方式，这些方式都将落入本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种螺栓连接模型界面参数识别方法，其特征在于，包括以下步骤，

S1：通过对螺栓连接结构切向界面的准静态实验，获取用于构建目标函数和计算切向参数初始值的实验数据；

S2：根据S1的实验数据和预先构建的理论模型中的理论数据构建目标函数，计算切向参数初始值；

S3：根据切向参数初始值对所构建的目标函数进行优化，获取切向参数辨识的结果；

S4：通过对螺栓连接结构法向界面的准静态实验，获取用于线性拟合的实验数据；

S5：根据S4的实验数据进行线性拟合，获取法向参数辨识的结果。

2.根据权利要求1所述的螺栓连接模型界面参数识别方法，其特征在于，S1具体包括，

将两段由钢材料制成的梁通过一颗螺栓连接起来，建立一个螺栓搭接梁结构，在螺栓与被连接件之间安装环形测力传感器用来控制所施加的初始螺栓预紧力，由此建立一个准静态实验环境；把实验件安装在电-液疲劳试验机上，将连接件的左端固定，右端沿连接界面切向施加准静态循环剪切位移载荷，通过试验机液压夹具自带的传感器和数据采集软件，获取位移与剪切力的实验数据，用于构建目标函数和计算切向参数初始值。

3.根据权利要求2所述的螺栓连接模型界面参数识别方法，其特征在于，在S2之前，还包括构建理论模型并获取理论数据，具体包括，

在连接界面上建立空间坐标系o-xyz，当承受拉压载荷时，被连接件受到沿界面法向(z方向)的约束力，由于螺栓连接的法向刚度具有非线性特性，得到螺栓连接法向约束力的分段线性表达式：

其中k_T、k_C分别为抗拉刚度和抗压刚度，u为被连接件沿z方向的位移分量，u₀为螺栓连接轴向刚度改变时对应的临界z向位移；

被连接件沿界面法向的相对运动会引起界面之间法向压力的变化：

其中，F_pre为螺栓预紧力；

由于存在法向压力，螺栓连接界面之间形成接触，接触面之间产生相对运动时存在摩擦行为，包括粘滞、滑移、分离等不同的摩擦状态，进而对被连接件形成切向约束力，从而建立螺栓连接切向约束力表达式：

其中f_v、f_w分别为界面约束力沿空间坐标系o-xyz中x、y方向的分量，k_v、k_w是剪切刚度，k_vl、k_wl是界面发生滑移时的剩余剪切刚度，v、w是被连接件沿x、y方向的位移分量，d_v、d_w是干摩擦阻尼器沿x、y方向的位移分量，υ是界面摩擦系数，γ是摩擦方向角，定义为摩擦力与x方向之间的夹角，其求解表达式如下：

其中，建立的螺栓连接法向约束力的分段线性表达式和螺栓连接切向约束力表达式为理论模型；

根据理论模型和其对应的滞回曲线的几何关系可以推导出理论模型中一个滞回周期内的能量耗散为：

等效刚度为：

其中，能量耗散与等效刚度为理论数据。

4.根据权利要求3所述的螺栓连接模型界面参数识别方法，其特征在于，S2中构建目标函数，具体包括，

根据S1得到的实验数据绘制相应的滞回曲线，分别对一个滞回周期内加载段和卸载段的实验数据进行多项式函数拟合，具体为七次多项式，得到如下形式的滞回曲线表达式：

其中F_u表示加载段，F_d表示卸载段，v为沿界面切向的位移；

根据拟合得到的滞回曲线表达式得到一个滞回周期内的能量耗散和等效刚度计算表达式为：

其中，v₁、v₂是滞回曲线上位移的最小值与最大值；

以理论模型与实验所得等效刚度与能量耗散的误差最小为优化目标，构造以下形式的目标函数：

5.根据权利要求4所述的螺栓连接模型界面参数识别方法，其特征在于，S2中计算切向参数初始值，具体包括，

S1实验所得的滞回曲线的加载段和卸载段都分别包含三种摩擦状态，包括粘滞、微滑移和宏滑移，忽略微滑移状态，分别选取粘滞和宏滑移阶段的部分数据并采用最小二乘法进行线性拟合，分别得到加载段和卸载段的粘滞状态剪切刚度k_stick和滑移状态剪切刚度k_slip，通过对两个刚度计算平均值作为优化过程中粘滞状态剪切刚度k_stick和滑移状态剪切刚度k_slip的初始值；根据所建立的理论模型，在位移v＝0时的约束力为f_v＝±υF_n，(F_n＝F_pre)，根据约束力分别对加载段和卸载段的摩擦系数υ进行计算，然后取平均值作为优化过程中摩擦系数υ的初始值。

6.根据权利要求5所述的螺栓连接模型界面参数识别方法，其特征在于，S3具体包括，

根据构建的目标函数和切向参数初始值，通过MATLAB中的fminsearch优化求解器对目标函数进行无约束非线性优化，获取切向参数的辨识结果，包括粘滞状态剪切刚度k_stick、滑移状态剪切刚度k_slip、摩擦系数υ。

7.根据权利要求6所述的螺栓连接模型界面参数识别方法，其特征在于，S4具体包括，

建立一个螺栓搭接梁结构，将两段由钢材料制成的梁通过一颗螺栓连接起来并施加一定的预紧力，由此建立一个准静态实验环境；把实验件安装在电-液疲劳试验机上，将连接件的上端固定，下端沿连接界面法向施加准静态循环载荷，通过试验机液压夹具自带的传感器和数据采集软件，获取位移与法向力的实验数据。

8.根据权利要求7所述的螺栓连接模型界面参数识别方法，其特征在于，S5具体包括，

根据S4实验结果，分别选取螺栓连接件受压与受拉时的部分数据，采用最小二乘法分别进行分段线性拟合，得到受压与受拉时力-位移表达式如下：

f_C＝eu+g

f_T＝cu+d

其中系数e、c分别为螺栓抗压刚度k_C和抗拉刚度k_T的辨识结果，对以上两条拟合直线的表达式求解交点，可以识别出刚度发生变化时的临界位移u₀的值。