CN110278069A - 一种无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统 - Google Patents

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Abstract

本发明属于自动控制方法技术领域，具体涉及一种无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统；提出了一种新的无平衡点的分数阶混沌系统，产生一种具有隐藏的混沌吸引子的分数阶混沌系统，并设计了混沌系统的有限时间同步方法和组合同步方法；该系统丰富了具有隐藏吸引子的分数阶混沌系统的多样性；根据有限时间稳定性理论，实现了具有隐吸引子的分数阶混沌系统的有限时间同步；为其它分数阶混沌系统的有限时间稳定性提供了参考；提出了分数阶混沌系统的组合同步方法，由于组合同步在信息传输应用中的天然优势和分数阶系统的复杂性，它在实现安全通信方面将比许多其他类型的同步和整数阶混沌系统具有更高的安全性。

Description

一种无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统
技术领域
本发明属于自动控制方法技术领域，具体涉及一种无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统。
背景技术
随着计算机技术的发展，新混沌系统的发现引起了许多研究者的极大兴趣。1994年，首次提出了隐藏型混沌系统，隐藏型吸引子存在于许多自然现象和一些重要领域，如著名的鼻胡佛振荡器、钻井系统、飞机控制、对流流体运动等、安全通信等。此外，隐藏型混沌吸引子也有一些缺点，它们可能导致意想不到和灾难性的结果。隐藏型混沌系统可以分为以下种类：混沌系统的吸引子为面平衡点、没有平衡点、仅有一个稳定的平衡点、曲线平衡点、直线平衡点，特别是隐藏混沌吸引子无平衡点的情况，Shilnikov定理判据不再适用，这也是隐藏型混沌吸引子难以发现的原因。虽然近年来已有大量的隐藏混沌吸引子的研究，但大多数研究只涉及整数阶混沌系统，忽略了混沌吸引子之间的关系，而分数阶系统比整数阶系统更能精确地描述复杂的动态系统。因此，有必要对隐藏吸引子进行研究和控制。
自1990年实现混沌同步以来，提出了越来越多的混沌同步方法，包括主动控制，反步控制，自适应同步，模糊控制，完全同步，反同步，相位同步，投影同步等。虽然有很多同步方法，但大多数都适用于整数阶系统的同步。在加密和通信中，与整数阶系统相比，分数阶系统的同步具有很大的优势，因此，这是一个极具潜力的领域，值得深入研究。2011年，首次提出组合同步，组合同步可以通过两个驱动系统和一个响应系统实现同步，这种同步的优点是可以将传输信号分割和调制到不同的驱动系统中，这将提高信号的反破解性能，提高通信的安全性和保密性。另一个重要的问题是，许多同步方法只强调系统的鲁棒性，而没有考虑时间的优化，忽略了时间有限性。因此，实现分数阶混沌系统的组合同步和有限时间同步是有意义的。
发明内容
本发明的发明目的在于为解决现有技术的不足，而提供一种无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统，提出了一种新的无平衡点的分数阶混沌系统，产生一种具有隐藏的混沌吸引子的分数阶混沌系统，并设计了混沌系统的有限时间同步方法和组合同步方法。
本发明涉及的无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统，其具体设计为
其中n≠0，当0.99<q<0.992时，该系统表现出混沌行为，该混沌系统的建立步骤如下：
步骤1：首先给出Caputo分数阶导数的定义：
其中q是微分算子的阶数，t和A是极限，w是最小的正整数，w-1<q<w。Γ(*)是伽马函数，f(*)是连续函数。
Caputo分数阶微分的相关性质如下：
性质1：我们考虑一般的分数微分方程
方程的通解是
x(t)＝x(0)Eq(Atq)， (3)
并且Mittag-Leffter函数是
然后根据分数阶系统有限时间稳定性理论，引入以下引理1和引理2。
引理1：对于一般分数阶系统，如果它满足
其中x＝[x1 x2 … xn]，则在有限时间t内，状态函数x趋于零，分数阶系统渐近稳定，其中v＝x(xq)T，
引理2：如果a、b>0和0<c<1，则可以得到如下不等式：
(a+b)c≤ac+ac。 (7)
步骤2：构造无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统如下:
混沌系统(8)的雅可比矩阵为：
令式(8)的右边等于零，有
设初值为[x1(0)y1(0)z1(0)]＝[0.2 0.4 0.6]，当0.986<q<0.99时，系统状态开始出现倍周期分叉；当0.99<q<0.992时，混沌行为出现；当q>0.992时，混沌行为逐渐消失。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
(1)本发明设计了一种具无平衡点的隐藏混沌吸引子的分数阶混沌系统，该系统丰富了具有隐藏吸引子的分数阶混沌系统的多样性；
(2)根据有限时间稳定性理论，实现了具有隐吸引子的分数阶混沌系统的有限时间同步；为其它分数阶混沌系统的有限时间稳定性提供了参考；
(3)提出了分数阶混沌系统的组合同步方法，由于组合同步在信息传输应用中的天然优势和分数阶系统的复杂性，它在实现安全通信方面将比许多其他类型的同步和整数阶混沌系统具有更高的安全性。
附图说明
图1为本发明系统(8)的变量x随阶次q变化的分岔图；
图2为本发明系统(8)的相轨迹图；
图3为本发明有限时间同步误差曲线图：
图4为本发明在控制器(12)作用下有限时间同步系统状态变化图；
图5为本发明组合同步误差曲线图；
图6为本发明在控制器(24)作用下组合同步系统状态变化图。
具体实施方式
下面通过具体实施例对本发明作进一步说明。
实施例1：
本实施例涉及的无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统，具体包括以下步骤：
步骤1：首先给出Caputo分数阶导数的定义：
其中q是微分算子的阶数，t和A是极限，w是最小的正整数，w-1<q<w。Γ(*)是伽马函数，f(*)是连续函数。
Caputo分数阶微分的相关性质如下：
性质1：我们考虑一般的分数微分方程
方程的通解是
x(t)＝x(0)Eq(Atq)， (3)
并且Mittag-Leffter函数是
然后根据分数阶系统有限时间稳定性理论，引入以下引理1和引理2。
引理1：对于一般分数阶系统，如果它满足
其中x＝[x1 x2…xn]，则在有限时间t内，状态函数x趋于零，分数阶系统渐近稳定，其中v＝x(xq)T，
引理2：如果a、b＞0和0＜c＜1，则可以得到如下不等式：
(a+b)c≤ac+bc。 (7)
步骤2：构造无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统如下：
其中n≠0，混沌系统(8)的雅可比矩阵为：
令式(8)的右边等于零，有
得n＝0，与上述n≠0矛盾，因此，式(9)无解，即当n>0或n<0时，式(8)中不存在平衡。根据希尔尼科夫定理：如果一个非线性系统是一个混沌系统，它至少必须有一个不稳定的平衡，而吸引子必须与不稳定平衡相关联，在这种情况下，没有平衡。当n＝0.004时，得到式(8)的分岔图，如图1所示；当0.986<q<0.99时，系统状态开始出现倍周期分叉；当0.99<q<0.992时，混沌行为出现；当q>0.992时，混沌行为逐渐消失；具有无平衡点的分数阶混沌系统的相图如图2所示。
实施例2：
本实施例涉及的无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统，基于分数阶系统的有限时间稳定性理论，设计了具有隐吸引子的分数阶系统的有限时间同步控制器和组合同步控制器。
有限时间同步：设驱动系统为式(8)，响应系统如下:
其中，m＝0,n≠0。设e1＝x1-x,e2＝＝y1-y,e3＝z1-z,q＝0.99，误差系统为
然后得到下面的定理。
定理1：对于误差系统式(11)，我们将有限时间同步控制器设计为
其中，k1和B1是缩放参数，误差系统(11)在有限时间t1内收敛于零，且
证明：由引理1得
根据式(7)，得到
因此，我们得到如下结论:
因此，所提控制器(12)满足分数阶稳定性理论，在有限时间t1内实现了同步，t1的证明详见文献：Zhao L D.Afinite-time stable theorem aboutfractional systems andfinite-time synchronizingfractional super chaotic Lorenz systems[J].ActaPhysica Sinica,2011,60(10):687-709。
组合同步：通过设计一个组合同步控制器，并实现三个不同初值的分数阶系统的组合同步。首先，给出组合同步的定义：
如果一个驱动系统是由
第二个驱动系统是
那么响应系统是
其中x＝(x1，x2，…，xn)T，y＝(y1，y2，…，yn)T，z＝(z1，z2，…，zn)T，f,g,s:Rn→Rn是三个连续函数，U是设计控制器，是x,y,z对t的倒数。
定义2：对于两个驱动系统(15)、(16)和响应系统(17)，如果存在三个常数矩阵Q、W、E∈Rn和E≠0满足
将其称为组合同步。
设Q＝W＝E＝diag(1，…，1)，两个驱动系统如下:
响应系统为：
然后重新定义了e1＝x3-x2-x1,e2＝y3-y2-y1,e3＝z3-z2-z1，组合同步误差系统为
其中，
然后得到下面的定理：
定理2：对于系统(22)，我们将组合同步控制器设计为
其中k2和B2是缩放参数，误差系统(22)在有限时间t2误差收敛到零，且
证明：从式(22,23,24)有
由引理2，式(26)变为
然后有
因此，所提出的组合同步控制器(24)满足分数阶有限时间稳定性理论，驱动响应系统可以在t2时刻同步，t2的证明详见文献：Zhao L D.A finite-time stable theoremabout fractional systems and finite-time synchronizing fractional superchaotic Lorenz systems[J].Acta Physica Sinica,2011,60(10):687-709。
实施例3：
仿真，为了观察分数阶混沌系统不同初值之间的混沌同步，采用预测校正法对有限时间同步和组合同步进行了研究。对于有限时间同步，迭代总数为600，所有分数阶系统的阶数为q＝0.99。有限时间同步的初始值是[x(0)y(0)z(0)x1(0)y1(0)z1(0)]＝[-0.3 -0.4 -0.6 0.2 0.6 0.4]，根据式(5)，得到
如图3-4，为了得到清晰的结果，将总迭代次数限制在600次，e1,e2,e3在第12次迭代时近似收敛于零，而x-x1,y-y1,z-z1同时实现同步。结果表明，在不考虑计算误差的情况下，驱动系统与响应系统之间的误差均收敛于零，且误差系统在有限时间内逐渐稳定。此外，为了验证仿真中式(13)的t1与同步时间的一致性，我们考虑k1＝9,B1＝0.8,q＝0.99。然后计算t1的具体值，具体值如下:
结果表明，t1与仿真结果吻合较好。
对于组合同步，我们令k2＝12,q＝0.99，B2的值也参照式(5)
选B2＝0.8，组合同步的初始值为
误差曲线如图5所示，迭代次数为600次，x1+x2,y1+y2,z1+z2,x3,y3,z3的相图如图6所示，误差函数e1,e2,e3在第17次迭代时收敛于零。
为了验证仿真中式(25)的t2与实际组合同步时间的一致性，我们考虑k2＝12,B2＝0.8,q＝0.99,e(0)＝0.3。然后计算t2的比值，具体如下：
结果表明，t2与仿真结果一致。从图中可以看出，利用所提出的控制器(12)可以快速实现分数阶有限时间同步，取得了很好的效果，对其他分数阶系统具有一定的启示。对于分数阶组合同步，我们利用所提出的控制定理(24)实现了分数阶同步。仿真结果表明，分数阶组合同步比有限时间同步困难。造成这一现象的原因有很多。首先，组合同步由三个分数阶混沌系统和一个控制器组成，其动态行为比其他许多类型的同步更为复杂。然后，分数阶导数在时间和空间上的非局域效应的复杂几何解释，以及新的混沌系统固有的缠结混沌行为，可能导致这一结果。然而，复杂的组合同步动态行为为基于隐藏吸引子的分数阶系统的未来安全通信提供了良好的准备。
上述具体实施方式仅是本发明的具体个案，本发明的专利保护范围包括但不限于上述具体实施方式的产品形态和式样，任何符合本发明权利要求书且任何所属技术领域的普通技术人员对其所做的适当变化或修饰，皆应落入本发明的专利保护范围。

Claims (3)

1.一种无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统，其特征在于：其具体设计为
其中n≠0，当0.99<q<0.992时，该系统表现出混沌行为，该混沌系统的建立步骤如下：
步骤1：首先给出Caputo分数阶导数的定义：
其中q是微分算子的阶数，t和A是极限，w是最小的正整数，w-1<q<w；Γ(*)是伽马函数，f(*)是连续函数；
Caputo分数阶微分的相关性质如下：
性质1：我们考虑一般的分数微分方程
方程的通解是
x(t)＝x(0)Eq(Atq）， (3)
并且Mittag-Leffter函数是
然后根据分数阶系统有限时间稳定性理论，引入以下引理1和引理2；
引理1：对于一般分数阶系统，如果它满足
其中x＝[x1 x2 … xn]，则在有限时间t内，状态函数x趋于零，分数阶系统渐近稳定，其中v＝x(xq)T，
引理2：如果a、b>0和0<c<1，则得到如下不等式：
(a+b)c≤ac+bc； (7)
步骤2：构造无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统如下:
其中n≠0，混沌系统(8)的雅可比矩阵为：
令式(8)的右边等于零，有
设初值为[x1(0) y1(0) z1(0)]＝[0.2 0.4 0.6]，当0.986<q<0.99时，系统状态开始出现倍周期分叉；当0.99<q<0.992时，混沌行为出现；当q>0.992时，混沌行为逐渐消失。
2.根据权利要求1所述的无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统，其特征在于：基于分数阶系统的有限时间稳定性理论，设计了具有隐吸引子的分数阶系统的有限时间同步控制器，其步骤为：
设驱动系统为式(8)，响应系统如下:
其中，m＝0,n≠0；设e1＝x1-x,e2＝＝y1-y,e3＝z1-z,q＝0.99，误差系统为
然后得到下面的定理：
定理1：对于误差系统式(11)，我们将有限时间同步控制器设计为
其中，k1和B1是缩放参数，误差系统(11)在有限时间t1内收敛于零，且
证明：由引理1得
根据式(7)，得到
因此，我们得到如下结论:
因此，所提控制器(12)满足分数阶稳定性理论，在有限时间t1内实现了同步。
3.根据权利要求1所述的无平衡点的分数阶隐藏型混沌系统，其特征在于：设计了具有隐吸引子的分数阶系统的组合同步控制器，其步骤为：
首先，给出组合同步的定义：
如果一个驱动系统是由
第二个驱动系统是
那么响应系统是
其中x＝(x1，x2，...，xn)T，y＝(y1，y2，...，yn)T，z＝(z1，z2，...，zn)T，f,g,s:Rn→Rn是三个连续函数，U是设计控制器，是x,y,z对t的倒数；
定义2：对于两个驱动系统(15)、(16)和响应系统(17)，如果存在三个常数矩阵Q、W、E∈Rn和E≠0满足
将其称为组合同步；
设Q＝W＝E＝diag(1，…，1)，两个驱动系统如下:
响应系统为：
然后重新定义了e1＝x3-x2-x1,e2＝y3-y2-y1,e3＝z3-z2-z1，组合同步误差系统为
其中，
然后得到下面的定理：
定理2：对于系统(22)，我们将组合同步控制器设计为
其中k2和B2是缩放参数，误差系统(22)在有限时间t2误差收敛到零，且
证明：从式(22,23,24)有
由引理2，式(26)变为
然后有
因此，所提出的组合同步控制器(24)满足分数阶有限时间稳定性理论，驱动响应系统在t2时刻同步。
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