CN110254703A - 一种倾转双旋翼自动悬停t型无人机系统 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，包括无人机和上位控制系统，无人机包括机身、传感器单元、控制器单元、执行机构和无线通讯模块；机身主要由起落架、电控系统舱、两根支撑臂、T型架和轴承组成，两根支撑臂分别通过轴承安装在T型架两端；执行机构主要由两个驱动电机、两个舵机和两个旋翼组成，舵机安装于T型架上且其输出轴连接支撑臂，以带动其转动，驱动电机安装于支撑臂上以随其转动，驱动电机的输出轴连接旋翼，以驱动其旋转，执行机构通过舵机和驱动电机调整旋翼的倾角和转速，以提供不同方向和大小的推力；该无人机系统不仅可以调控无人机旋翼的倾角和转速，从而改变推力的方向和大小，而且结构小巧，灵活性好。
Description
技术领域
本发明涉及无人飞行器技术领域，具体涉及一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统。
背景技术
倾转双旋翼T型无人机是指通过舵机带动支撑臂的旋转，使旋翼的转动平面与机体平面形成一定夹角的旋翼配置，由于该无人机具有倾转旋翼的特点，使该无人机可以利用旋翼的倾转和转速的变化产生变化的推力，无人机更加容易进行俯仰、滚转和偏航运动，实现灵活飞行的目的。固定旋翼的无人机只能进行升降和自转运动，不能实现平动。传统的倾转旋翼无人机，如贝尔波音V-22鱼鹰，都是机械上复杂的系统，其分别采用旋转斜盘和差速旋翼倾斜来控制俯仰和偏航，因此，存在维护和更换成本高，结构脆弱，使用寿命短等缺点。基于这些原因，研制一种既能实现自由悬停飞行又能稳定飞行的微型倾转旋翼无人机备受关注。
发明内容
本发明的目的在于提供一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，该无人机系统不仅可以调控无人机旋翼的倾角和转速，从而改变推力的方向和大小，而且结构小巧，灵活性好。
为实现上述目的，本发明的技术方案是：一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，包括无人机和上位控制系统，所述无人机包括机身(1)、传感器单元(2)、控制器单元(3)、执行机构(4)和无线通讯模块(5)；
所述机身(1)主要由起落架(101)以及设于起落架(101)上的电控系统舱(102)、两根支撑臂(103)、T型架(104)和轴承(105)组成，所述两根支撑臂(103)分别通过轴承(105)安装在T型架(104)两端，所述传感器单元(2)、控制器单元(3)和无线通讯模块(5)设于电控系统舱(102)内；
所述传感器单元(2)主要由惯性测量单元(201)和位置测量单元(202)组成，所述惯性测量单元(201)用于接收控制器单元(3)的控制命令，并将惯性数据传输给执行机构(4)，所述位置测量单元(202)用于进行方位感应，并将感应数据信息传输给控制器单元(3)，构成闭环控制系统；
所述控制器单元(3)用于根据无线通讯模块(5)发来的指令，控制传感器单元(2)和执行机构(4)工作，还用于将传感器单元(2)发来的感应数据信息通过无线通讯模块(5)进行上传；
所述执行机构(4)主要由分设于T型架(104)两端的两个驱动电机(401)、两个舵机(402)和两个旋翼(403)组成，所述舵机(402)安装于T型架(104)上且其输出轴连接支撑臂(103)，以带动其转动，所述驱动电机(401)安装于支撑臂(103)上以随其转动，所述驱动电机(401)的输出轴连接旋翼(403)，以驱动其旋转，所述执行机构(4)接收控制器单元(3)的控制命令，通过舵机(402)和驱动电机(401)调整旋翼(403)的倾角和转速，以提供不同方向和大小的推力；
所述无线通讯模块(5)用于接收并向控制器单元(3)发送上位控制系统发来的指令，还用于向上位控制系统上传传感器单元(2)的感应数据信息；
所述上位控制系统用于向无人机发送指令以控制无人机运行，还用于接收无人机发来的感应数据信息以实时监测无人机的运行状态。
进一步地，所述支撑臂(103)经轴承(105)与T型架(104)转动连接，两根支撑臂(103)的中心轴处于同一条直线上，支撑臂(103)的内侧端连接舵机(402)的输出轴，外侧端安装驱动电机(401)，所述舵机(402)带动支撑臂(103)转动，进而使驱动电机(401)发生倾转，改变旋翼(403)的推力方向。
进一步地，所述执行机构(4)的两个旋翼(403)旋转方向相反，以抵消无人机平动时的摆动运动。
进一步地，所述惯性测量单元(201)为微应变惯性测量仪，所述微应变惯性测量仪主要由三个角速率陀螺、三个正交加速度计、三个正交磁强计、多路复用器和16位A/D转换器组成，用以提供实时角速率和角位置所述位置测量单元(202)采用电磁式位置跟踪器，用于获得无人机的位置(X、Y、Z)。
进一步地，所述起落架(101)包括对称设于机身(1)下侧的左、右支撑架，所述电控系统舱(102)、T型架(104)固定连接于起落架(101)上，所述舵机(402)与T型架(104)之间、驱动电机(401)与支撑臂(103)之间通过螺纹连接或焊接方式固定连接。
本发明还提供了一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统的控制方法，按如下步骤进行：
根据以下无人机在飞行时产生的物理效应情况对无人机的飞行受力情况进行优化：
①陀螺仪效应(和)反向旋转的螺旋桨与转子的倾斜差相结合时产生的能量是自补偿的；
②在变桨控制中，忽略轻微倾斜转子引起的固有陀螺；
③对惯性张量矩阵i和无人机质量m进行了归一化；
根据上面的考虑，运用牛顿-欧拉公式：简化飞行器整体运动方程并将6自由度动力学分为三个子动力学来简化控制任务，即：
其中，x,y,z分别是无人机三维方位坐标，分别是无人机三维方位坐标XYZ轴方向上的速度，分别是无人机三维方位坐标XYZ轴方向上的推动力，g是无人机的竖直重力，ψ是横摆角，是横摆角速度，是横摆时力矩，φ是滚转角，是滚转角速度，是滚转时力矩，θ是俯仰角，是俯仰角速度，是俯仰时力矩，α是偏航运动时旋翼的倾转角度，β是俯仰运动时旋翼的倾转角度，T是旋翼旋翼转动产生的推力，lp是重心到转子的垂直距离，lm是重心到转子的水平距离，力矩差uφ＝lm(T1-T2)，和分别是施加在无人机重心(CG)上的总力和扭矩，表示无人机质量，Ω＝(p,q,r)T是机身的角速度，是机身的角加速度，VB＝(u,v,w)T是无人机质心的平动速度，是无人机质心的平动加速度，包含关于B的转动惯量；
首先，处理高度动力学，按以下公式控制输入：
其中k1和k2是正常数；
然后，由高度动力学公式所得：
选择k1和k2，使s2+k1s+k2是一个Hurwitz多项式，因此和z→0是t→∞；即存在一个足够大的时间T1，所以T＝g
同理，在t>T1时得到：
与高度动力学控制类似，轴向动力学通过以下控制函数进行稳定：
其中k3和k4是正常数；然后，公式(6)转化成：
定义k3和k4，使s2+glmk3s+glmk4是一个Hurwitz多项式，因此和ψ→0是t→∞
综上所得，公式(5)、(8)构成的闭环系统的原点，具有有界光滑函数型控制输入：
其中
a+b+c＜1
b+c＜a
0＜c＜b
是渐近稳定的。
相较于现有技术，本发明具有以下的有益效果：提供了一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，该无人机系统的无人机可以利用舵机带动支撑臂的转动使旋翼发生倾转，继而在倾转旋翼和旋翼转速变化的作用下完成升降、俯仰和偏航运动，以实现自由飞行应变的目的，又可以根据不同飞行环境条件，传感器实时监测无人机的方位和飞行状况信息并传输到上位控制系统进行调节，形成闭环控制系统，利用闭环控制系统的稳定性，对自身的飞行状态加以调控，实现稳定飞行的目的。此外，该无人机系统结构小巧，灵活性好，具有广泛的运用前景。
附图说明
图1是本发明实施例的无人机结构示意图。
图2是本发明实施例的控制流程示意图。
图3是本发明实施例中倾斜偏移运动示意图。
图4是本发明实施例中俯仰运动示意图。
图5是本发明实施例中偏航运动正面示意图。
图6是本发明实施例中偏航运动俯视示意图。
图中，1-机身；2-传感器单元；3-控制器单元；4-执行机构模块；5-无线通讯模块；6-上位控制系统；101-起落架；102-电控系统舱；103-支撑臂；104-T型架；105-轴承；201-惯性测量单元；202-位置测量单元；401-驱动电机；402-舵机；403-旋翼。
具体实施方式
下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步的详细说明。
本发明提供一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，包括无人机和上位控制系统。如图1、2所示，所述无人机包括机身(1)、传感器单元(2)、控制器单元(3)、执行机构(4)和无线通讯模块(5)。
所述机身(1)主要由起落架(101)以及设于起落架(101)上的电控系统舱(102)、两根支撑臂(103)、T型架(104)和轴承(105)组成，所述两根支撑臂(103)分别通过轴承(105)安装在T型架(104)两端，所述传感器单元(2)、控制器单元(3)和无线通讯模块(5)设于电控系统舱(102)内。
所述传感器单元(2)主要由惯性测量单元(201)和位置测量单元(202)组成，所述惯性测量单元(201)用于接收控制器单元(3)的控制命令，并将惯性数据传输给执行机构(4)，所述位置测量单元(202)用于进行方位感应，并将感应数据信息传输给控制器单元(3)，构成一个稳定的闭环控制系统。
所述控制器单元(3)用于根据无线通讯模块(5)发来的指令，控制传感器单元(2)和执行机构(4)工作，还用于将传感器单元(2)发来的感应数据信息通过无线通讯模块(5)进行上传。
所述执行机构(4)主要由分设于T型架(104)两端的两个驱动电机(401)、两个舵机(402)和两个旋翼(403)组成，所述舵机(402)安装于T型架(104)上且其输出轴连接支撑臂(103)，以带动其转动，所述驱动电机(401)安装于支撑臂(103)上以随其转动，所述驱动电机(401)的输出轴连接旋翼(403)，以驱动其旋转，所述执行机构(4)接收控制器单元(3)的控制命令，通过舵机(402)和驱动电机(401)调整旋翼(403)的倾角和转速，以提供不同方向和大小的推力；
所述无线通讯模块(5)用于接收并向控制器单元(3)发送上位控制系统发来的指令，还用于向上位控制系统上传传感器单元(2)的感应数据信息。
所述上位控制系统(6)用于向无人机发送指令以控制无人机运行，还用于接收无人机发来的感应数据信息以实时监测无人机的运行状态。
在本实施例中，所述支撑臂(103)经轴承(105)与T型架(104)转动连接，两根支撑臂(103)的中心轴处于同一条直线上，支撑臂(103)的内侧端连接舵机(402)的输出轴，外侧端安装驱动电机(401)，所述舵机(402)带动支撑臂(103)转动，进而使驱动电机(401)发生倾转，改变旋翼(403)的推力方向。所述执行机构(4)的两个旋翼(403)旋转方向相反，以抵消无人机平动时的摆动运动。
在本实施例中，所述惯性测量单元(201)为3DM-X1微应变惯性测量仪，所述微应变惯性测量仪主要由三个角速率陀螺、三个正交加速度计、三个正交磁强计、多路复用器和16位A/D转换器组成，用以提供实时角速率和角位置所述位置测量单元(202)采用Polhemus电磁式位置跟踪器，用于获得无人机的位置(X、Y、Z)。该传感器对电磁噪声非常敏感，范围约为1.52m，所以我们把它放在远离电动机的地方。
在本实施例中，所述起落架(101)包括对称设于机身(1)下侧的左、右支撑架，所述电控系统舱(102)、T型架(104)固定连接于起落架(101)上，所述舵机(402)与T型架(104)之间、驱动电机(401)与支撑臂(103)之间通过螺纹连接或焊接方式固定连接。
本发明还提供了上述倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统的控制方法，按如下步骤进行：
根据以下无人机在飞行时产生的物理效应情况对无人机的飞行受力情况进行优化：
①陀螺仪效应(和)反向旋转的螺旋桨与转子的倾斜差相结合时产生的能量是自补偿的；
②在变桨控制中，忽略轻微倾斜转子引起的固有陀螺；
③对惯性张量矩阵i和无人机质量m进行了归一化；
根据上面的考虑，运用牛顿-欧拉公式：简化飞行器整体运动方程并将6自由度动力学分为三个子动力学来简化控制任务，即：
其中，x,y,z分别是无人机三维方位坐标，分别是无人机三维方位坐标XYZ轴方向上的速度，分别是无人机三维方位坐标XYZ轴方向上的推动力，g是无人机的竖直重力，ψ是横摆角，是横摆角速度，是横摆时力矩，φ是滚转角，是滚转角速度，是滚转时力矩，θ是俯仰角，是俯仰角速度，是俯仰时力矩，α是偏航运动时旋翼的倾转角度，β是俯仰运动时旋翼的倾转角度，T是旋翼旋翼转动产生的推力，lp是重心到转子的垂直距离，lm是重心到转子的水平距离，力矩差uφ＝lm(T1-T2)，和分别是施加在无人机重心(CG)上的总力和扭矩，表示无人机质量，Ω＝(p,q,r)T是机身的角速度，是机身的角加速度，VB＝(u,v,w)T是无人机质心的平动速度，是无人机质心的平动加速度，包含关于B的转动惯量；
首先，处理高度动力学，按以下公式控制输入：
其中k1和k2是正常数；
然后，由高度动力学公式所得：
选择k1和k2，使s2+k1s+k2是一个Hurwitz多项式，因此和z→0是t→∞；即存在一个足够大的时间T1，所以T＝g
同理，在t>T1时得到：
与高度动力学控制类似，轴向动力学通过以下控制函数进行稳定：
其中k3和k4是正常数；然后，公式(6)转化成：
定义k3和k4，使s2+glmk3s+glmk4是一个Hurwitz多项式，因此和ψ→0是t→∞
综上所得，公式(5)、(8)构成的闭环系统的原点，具有有界光滑函数型控制输入：
其中
a+b+c＜1
b+c＜a
0＜c＜b
是渐近稳定的。
根据图2所示，设表示右手惯性系，表示附着在无人机机身上的框架，其原点位于重心，通过倾斜获得两个辅助框架运动。图3所示为第一次倾斜，驱动偏航运动，产生框架和图4所示为第二次倾斜，驱动俯仰运动，产生框架转换无人机的方位的正交旋转矩阵RB→I如下所示：
围绕轴倾斜的两个转换矩阵如下：
其中sa＝sin(a)和ca＝cos(a)。
与俯仰运动相关的矩阵写为：
根据牛顿-欧拉公式表示一个刚体的整体运动方程，其表达式如下：
其中，和分别是施加在无人机重心(CG)上的总力和扭矩，表示无人机质量；Ω＝(p,q,r)T是机身的角速度，是机身的角加速度，VB＝(u,v,w)T是无人机质心的平动速度，是无人机质心的平动加速度，包含关于B的转动惯量。
无人机在倾斜运动时旋翼转动产生的推力如下：
其中R为正交旋转矩阵。
推算出无人机平移运动的矢量方程其表达式如下：
其中GI∈(0,0,-g)是重力矢量。
相对于惯性系的平移动力学由以下表达式所得:
螺旋桨提供的扭矩，由以下表达式所得：
其中是重心到转子的距离。
重心提供的扭矩，由以下表达式所得：
其中
在偏航控制中，倾斜转子引起的陀螺扭矩可以表示为：
力度调节器提供的扭矩是：
其中
综上所得，无人机的总陀螺扭矩相对于机体的扭矩可以写为：
式中，Ip是螺旋桨的惯性矩。
考虑到相同的叶片几何结构一致，阻力矩可表示为：
其中和表示每个螺旋桨的阻力；kD表示叶片的气动参数；以及表示从车辆重心到施加阻力点的距离。
然后对建立的模型进一步简化，根据以下无人机在飞行时产生的物理效应情况对无人机的飞行受力情况进行优化：
①陀螺仪效应(和)反向旋转的螺旋桨与转子的倾斜差相结合时产生的能量是自补偿的。
②在变桨控制中，忽略了轻微倾斜转子引起的固有陀螺。
③我们对惯性张量矩阵i和无人机质量m进行了归一化。
根据上面的考虑，得出：
式中，uφ＝lm(T1-T2)。
为了简化控制任务，将6自由度动力学分为三个子动力学，即：
横向动力学：
这个动力学(θ＝0，ψ＝0，α＝0，β＝0)是由调节滚转角引起的表达式：
纵向动力学：
控制俯仰角θ的结果是纵向动力学其描述如下：
轴向动力学：
剩余动力由转子在其上的差倾驱动，可写为：
其中ψ是横摆角；是滚转角；θ是俯仰角；α是偏航运动时旋翼的倾转角度；β是俯仰运动时旋翼的倾转角度；T是旋翼旋翼转动产生的推力；lp是重心到转子的垂直距离；lm是重心到转子的水平距离；uφ＝lm(T1-T2)。
将上面简化的三个子动力学进行处理得到等式(1)，然后对等式(1)进一步控制条件处理得到等式(11)。
下面对等式(11)进行验证：
首先，设为：
式中，描述了以经典的横摆角、俯仰角和横滚角(欧拉角)表示无人机的方位，满足其中为正常数。
将等式(36)引入等式(8)得到：
又
求得：
注意如果即存在时间T2>0，因此
因此，方程式(8)减化为：
定义z1为：
从等式(40)和(41)可得到：
把η1定义为：
η1＝a tanh(z1)+η2 (43)
其中a为正常数，和
假设V2＝ln(cosh(z1)) (44)
然后
如果则可知因此，在T3>T2时存在因此方程式(42)减化为：
从等式(41)得到t>T3时：
因此，在一个足够大的时间内，我们得到δ任意小。确定的界限，定义z2为：
然后从等式(40)、(5)和(46)我们得到：
我们把η2定义为：
η2＝-b tanh(z2)-η3 (50)
式中b为正常数，和
假定V3＝ln(cosh(z2)) (51)
得
注意，如果即因此，存在时间T4>T3时，
因此，方程式(49)减化为：
推导y的界限，定义z3为：
从等式(40)、(53)、(46)和(5)我们获得：
假定η3＝c tanh(z3) (56)
其中c<b为正常数。
假定V4＝ln(cosh(z3)) (57)
得
它对所有的z3都是负定的。可知z3→0即t→∞。
从等式(41)-(56)我们推断，i＝1，2时zi→0。从等式(38)、(39)、(41)、(43)、(50)和(56)得到和φ→0。从等式(48)和(54)可以看出和y→0。
为了稳定剩余动力学，根据等式(4)和(7)，我们提出了以下状态方程：
然后，动力学方程由下式给出：
式中表示相对于惯性系的平移坐标。
假设
此时
因此
选择这样是Hurwitz函数，可知ξ→0即t→∞。
以上是本发明的较佳实施例，凡依本发明技术方案所作的改变，所产生的功能作用未超出本发明技术方案的范围时，均属于本发明的保护范围。
Claims (6)
1.一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，其特征在于，包括无人机和上位控制系统，所述无人机包括机身(1)、传感器单元(2)、控制器单元(3)、执行机构(4)和无线通讯模块(5)；
所述机身(1)主要由起落架(101)以及设于起落架(101)上的电控系统舱(102)、两根支撑臂(103)、T型架(104)和轴承(105)组成，所述两根支撑臂(103)分别通过轴承(105)安装在T型架(104)两端，所述传感器单元(2)、控制器单元(3)和无线通讯模块(5)设于电控系统舱(102)内；
所述传感器单元(2)主要由惯性测量单元(201)和位置测量单元(202)组成，所述惯性测量单元(201)用于接收控制器单元(3)的控制命令，并将惯性数据传输给执行机构(4)，所述位置测量单元(202)用于进行方位感应，并将感应数据信息传输给控制器单元(3)，构成闭环控制系统；
所述控制器单元(3)用于根据无线通讯模块(5)发来的指令，控制传感器单元(2)和执行机构(4)工作，还用于将传感器单元(2)发来的感应数据信息通过无线通讯模块(5)进行上传；
所述执行机构(4)主要由分设于T型架(104)两端的两个驱动电机(401)、两个舵机(402)和两个旋翼(403)组成，所述舵机(402)安装于T型架(104)上且其输出轴连接支撑臂(103)，以带动其转动，所述驱动电机(401)安装于支撑臂(103)上以随其转动，所述驱动电机(401)的输出轴连接旋翼(403)，以驱动其旋转，所述执行机构(4)接收控制器单元(3)的控制命令，通过舵机(402)和驱动电机(401)调整旋翼(403)的倾角和转速，以提供不同方向和大小的推力；
所述无线通讯模块(5)用于接收并向控制器单元(3)发送上位控制系统发来的指令，还用于向上位控制系统上传传感器单元(2)的感应数据信息；
所述上位控制系统用于向无人机发送指令以控制无人机运行，还用于接收无人机发来的感应数据信息以实时监测无人机的运行状态。
2.根据权利要求1所述的一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，其特征在于，所述支撑臂(103)经轴承(105)与T型架(104)转动连接，两根支撑臂(103)的中心轴处于同一条直线上，支撑臂(103)的内侧端连接舵机(402)的输出轴，外侧端安装驱动电机(401)，所述舵机(402)带动支撑臂(103)转动，进而使驱动电机(401)发生倾转，改变旋翼(403)的推力方向。
3.根据权利要求1所述的一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，其特征在于，所述执行机构(4)的两个旋翼(403)旋转方向相反，以抵消无人机平动时的摆动运动。
4.根据权利要求1所述的一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，其特征在于，所述惯性测量单元(201)为微应变惯性测量仪，所述微应变惯性测量仪主要由三个角速率陀螺、三个正交加速度计、三个正交磁强计、多路复用器和16位A/D转换器组成，用以提供实时角速率和角位置所述位置测量单元(202)采用电磁式位置跟踪器，用于获得无人机的位置(X、Y、Z)。
5.根据权利要求1所述的一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统，其特征在于，所述起落架(101)包括对称设于机身(1)下侧的左、右支撑架，所述电控系统舱(102)、T型架(104)固定连接于起落架(101)上，所述舵机(402)与T型架(104)之间、驱动电机(401)与支撑臂(103)之间通过螺纹连接或焊接方式固定连接。
6.一种倾转双旋翼自动悬停T型无人机系统的控制方法，其特征在于，按如下步骤进行：
根据以下无人机在飞行时产生的物理效应情况对无人机的飞行受力情况进行优化：
①陀螺仪效应(和)反向旋转的螺旋桨与转子的倾斜差相结合时产生的能量是自补偿的；
②在变桨控制中，忽略轻微倾斜转子引起的固有陀螺；
③对惯性张量矩阵i和无人机质量m进行了归一化；
根据上面的考虑，运用牛顿-欧拉公式：简化飞行器整体运动方程并将6自由度动力学分为三个子动力学来简化控制任务，即：
其中，x,y,z分别是无人机三维方位坐标，分别是无人机三维方位坐标XYZ轴方向上的速度，分别是无人机三维方位坐标XYZ轴方向上的推动力，g是无人机的竖直重力，ψ是横摆角，是横摆角速度，是横摆时力矩，φ是滚转角，是滚转角速度，是滚转时力矩，θ是俯仰角，是俯仰角速度，是俯仰时力矩，α是偏航运动时旋翼的倾转角度，β是俯仰运动时旋翼的倾转角度，T是旋翼旋翼转动产生的推力，lp是重心到转子的垂直距离，lm是重心到转子的水平距离，力矩差uφ＝lm(T1-T2)，和分别是施加在无人机重心(CG)上的总力和扭矩， 表示无人机质量，Ω＝(p,q,r)T是机身的角速度，是机身的角加速度，VB＝(u,v,w)T是无人机质心的平动速度，是无人机质心的平动加速度，包含关于B的转动惯量；
首先，处理高度动力学，按以下公式控制输入：
其中k1和k2是正常数；
然后，由高度动力学公式所得：
选择k1和k2，使s2+k1s+k2是一个Hurwitz多项式，因此和z→0是t→∞；即存在一个足够大的时间T1，所以T＝g
同理，在t>T1时得到：
与高度动力学控制类似，轴向动力学通过以下控制函数进行稳定：
其中k3和k4是正常数；然后，公式(6)转化成：
定义k3和k4，使s2+glmk3s+glmk4是一个Hurwitz多项式，因此和ψ→0是t→∞
综上所得，公式(5)、(8)构成的闭环系统的原点，具有有界光滑函数型控制输入：
其中
a+b+c＜1
b+c＜a
0＜c＜b
是渐近稳定的。
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