CN110249741A - 一种基于点云模型的马铃薯种薯切块方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种马铃薯种薯处理方法，包括：1.根据马铃薯种薯切块的要求，对马铃薯种薯的质量和芽眼总数进行分配，得到拟分割的芽块数及每个芽块含有的芽眼数；2.根据每个芽块含有的芽眼数，按照“坐标就近原则”提出两种分配方法，分别依次分配芽眼的三维坐标；3.根据步骤2中分配的相邻两个芽块上芽眼的三维坐标求解分割面；4.确定马铃薯种薯的执行切块方法。所述方法充分利用了点云模型能够体现马铃薯种薯三维空间结构及表面芽眼的空间分布这一特点，按照马铃薯种薯切块的要求进行芽块数、芽眼数及芽眼三维坐标分配，并求解分割面方程，利用所得分割面能够实现对马铃薯种薯的芽块分割，为实现智能化的种薯切块奠定了理论基础。

Description

一种基于点云模型的马铃薯种薯切块方法

技术领域

本发明涉及一种马铃薯种薯处理方法，尤其是一种基于点云模型的马铃薯种薯切块方法。

背景技术

马铃薯种薯切块是根据种薯的质量和表面芽眼的分布情况，将完整的种薯块茎分割为多个芽块的过程。根据生产经验及文献研究，马铃薯种薯切块的要求如下：经切块得到的每个芽块的质量不小于25克(一般取25-45克范围内的值)，且芽块上至少含有2个芽眼，以保证芽块的正常繁殖能力。将马铃薯种薯切块后播种，能够充分利用种薯上的芽眼，节约用种量，在保证产量的同时提高经济效益。

随着马铃薯种植机械化的发展，种薯切块方式逐渐由人工切块向机械切块方式转变。总结这两种切块方式的特点可以发现，人工切块方式由人眼观察芽眼的位置后进行人工切块，劳动强度大，工作效率低，且所得芽块的质量及含芽眼数目的均匀性较差；机械切块方式由切块机构对种薯直接进行切块，该过程未根据芽眼位置确定切割位置，虽提高了切块的速度，但易产生无繁殖能力的芽块，需要人工进一步分拣，耗费人力，且造成了种薯浪费。因此，根据种薯质量和芽眼位置设计切块方法对实现智能化种薯切块，保障芽块的繁殖能力具有重要意义。

田海韬提出了一种马铃薯种薯切块的方法，结合种薯质量以及在种薯彩色图像中的芽眼识别和二维坐标定位结果设计切块方式，从二维平面的角度阐释了根据马铃薯种薯切块的要求设计切块方法的过程。但是，马铃薯种薯是具有三维立体结构的物体，彩色图像中的二维坐标难以真实体现芽眼在种薯表面的空间分布特征。

本发明针对上述问题及种薯切块的要求，提出了一种基于点云模型的马铃薯种薯切块方法。本发明采用在马铃薯种薯的点云模型上所定位得到的芽眼的三维坐标能够更准确地体现芽眼相对种薯的空间位置关系，进一步结合种薯质量设计切块方法，为实现种薯的智能化切块奠定理论基础。

发明内容

针对现有技术中存在的缺陷，本发明的目的在于提供一种基于点云模型的马铃薯种薯切块方法，实现马铃薯种薯的智能化切块。

为达到以上目的，本发明采取的技术方案是：

本发明主要包括四个步骤：步骤1：根据马铃薯种薯切块的要求，基于点云模型，对马铃薯种薯的质量和芽眼总数进行分配，得到拟分割的芽块数及每个芽块含有的芽眼数；

步骤2：根据每个芽块含有的芽眼数，分别按照方法一和方法二依次分配芽眼的三维坐标；所述方法一为基于芽眼纵向分布密度的芽眼三维坐标分配方法，所述方法二为基于芽眼欧氏距离的芽眼三维坐标分配方法；

步骤3：根据步骤2中分配的相邻两个芽块上芽眼的三维坐标求解分割面；

步骤4：确定马铃薯种薯的执行切块方法：经过步骤1-3，得到基于方法一的芽块分割面，和基于方法二的芽块分割面，按照此两种分割面执行的切块方法，所得到的芽块的体积标准差不同，此时选择体积标准差较小的一种切块方法作为对该马铃薯种薯的执行切块方法。

一种基于点云模型的马铃薯种薯切块方法，包括：

步骤1：根据马铃薯种薯切块的要求，对马铃薯种薯的质量和芽眼总数进行优化分配，得到拟分割的芽块数及每个芽块含有的芽眼数。

具体内容如下：

已知马铃薯种薯的质量为M(本申请中质量的单位为克)，基于点云模型可得到马铃薯种薯表面芽眼的数目N。根据马铃薯种薯切块的要求，令马铃薯种薯被分割之后得到的每个芽块的质量为m(25≤m≤M)，每个芽块上的芽眼数为n(2≤n≤N，n为正整数)，则根据公式(1)可得到马铃薯种薯拟被分割得到的芽块数N_p，公式(1)中N₁和N₂分别为根据芽块的质量要求和含芽眼数要求所得到的芽块数，N_p、N₁和N₂均为正整数。

因此，令第i个芽块实际含有的芽眼数为x_i(1≤i≤N_p，x_i≤N，i和x_i均为正整数)，得到公式(2)。

由此得到每个芽块上的芽眼数的平均值为在马铃薯种薯的所有芽眼被均匀分配的前提下，若芽眼数N被整除，则每个芽块的芽眼数为(为对平均值取整数部分)；若芽眼数N未被整除，则余数(0<N_r<N_p，N_r为正整数)，此时在分割得到的N_p个芽块中，N_r个芽块含个芽眼，N_p-N_r个芽块含个芽眼。

步骤2：根据每个芽块含有的芽眼数，分别按照方法一和方法二依次分配芽眼的三维坐标。

具体内容如下：

基于点云模型可识别和定位得到马铃薯种薯表面芽眼的三维坐标，令坐标为(x_k,y_k,z_k)(0<k≤N，k为正整数)，其中纵坐标y_k沿着马铃薯种薯的长轴方向。经观察，马铃薯种薯为椭球形形状，所有芽眼沿长轴方向自底部向顶部呈近似螺旋上升的形状随机分布在马铃薯种薯表面，越往顶部，y_k的值越大。由此提出“坐标就近原则”以分配每个芽块上的芽眼对应的三维坐标，其实现方法有两种，具体如下：

方法一：基于芽眼纵向分布密度的芽眼三维坐标分配方法

将芽眼三维坐标按纵坐标值y_k由小到大的顺序进行排序。自马铃薯种薯块茎的底端起，当步骤1中分配的每个芽块上的芽眼数n全部为时，将纵坐标值y_k连续相邻的n个芽眼分配给同一个芽块。当步骤1中分配的每个芽块的芽眼数n不全为时，根据公式(3)计算纵轴方向上相邻两芽眼间的距离ρ_k，令未被分配的芽眼中纵坐标值最小的芽眼为起始芽眼，比较和的值，取值较大者对应的下标号(或)作为当前芽块的芽眼数n，然后基于此结果给当前芽块分配相应的芽眼三维坐标；在依次分配芽眼三维坐标的过程中，当完成了N_r个含芽眼数为的芽块的芽眼三维坐标分配以后，将剩余未被分配的芽眼三维坐标均匀分配给剩余待分配坐标的芽块。

ρ_k＝y_k+1-y_k 公式(8)

方法二：基于芽眼欧氏距离的芽眼三维坐标分配方法

自马铃薯种薯块茎底端起进行芽眼三维坐标的分配。对当前芽块，令未被分配的纵坐标值最小的芽眼为起始芽眼，坐标为(x₁,y₁,z₁)，按照公式(4)依次求其它未被分配的芽眼(x_k,y_k,z_k)相对起始芽眼的欧氏距离D，式中1<k≤N-N_c，N_c为已被分配的芽眼个数。当步骤1中分配的每个芽块上的芽眼数n全部为时，将距离D最小的前n个芽眼对应的三维坐标依次分配给当前芽块。当步骤1中分配的每个芽块的芽眼数n不全为时，由于越往马铃薯种薯块茎顶部，芽眼分布越密集，令马铃薯种薯的前N-N_r个芽块含个芽眼，后N_r个芽块含个芽眼，然后把相应的三维坐标依次分配给每个芽块。

步骤3：根据步骤2中分配的相邻两个芽块上芽眼的三维坐标求解分割面。

具体内容如下：

求解分割面，即是得到一个能够将相邻两个芽块分开的平面，使分割得到的每个芽块含有所分配的芽眼数及三维坐标，且所有芽块的质量尽量趋于均匀。

经过步骤1和步骤2的分配，相邻两个芽块各自的芽眼数可归类为三种情况，即芽眼数均为2个，芽眼数分别为2个和3个，芽眼数均为3个或以上。由于已知每个芽块上芽眼的三维坐标，因此可将相邻两芽块的芽眼数不同的情况拟合为不同的三维空间几何关系：将相邻两芽块的芽眼数均为2个的情况拟合为两条直线的空间位置关系；将相邻两芽块的芽眼数分别为2个和3个的情况拟合为一条直线和一个平面的空间位置关系；将相邻两芽块的芽眼数均为3个或以上的情况拟合为两个平面的空间位置关系(相邻两个芽块中，若至少一个芽块上含有大于3个的芽眼，会形成多个平面，此时取两芽块上纵坐标最邻进的6个芽眼所形成的两个芽眼平面作为求解分割面的芽眼平面)。

根据芽眼三维空间分布的实际情况，由相邻两芽块上芽眼的三维坐标所构成的两直线、直线与平面或两平面之间存在平行、相交或异面等空间位置关系，通过对不同空间位置关系的解析换算，可得到相邻两芽块间分割面的空间位置。当两直线、直线与平面或两平面相互平行时，分割面为到两直线、直线与平面或两平面距离相等且与二者平行的平面；当两直线、直线与平面或两平面相交，或者两直线异面时，分割面为两直线、直线与平面或两平面之间的能将两芽块的芽眼三维坐标分隔开的角平分平面。

当分割面与芽眼三维坐标所构成的两直线、直线与平面或两平面之间平行时，基于芽眼三维坐标求出直线的方向向量或平面的法向量，与方向向量垂直或与法向量平行的向量即可作为分割面的法向量。当分割面为相邻两芽块间的角平分平面时，根据角平分平面与芽眼三维坐标所构成的两直线、直线与平面或者两平面间的位置关系，可确定分割面的法向量。得到的分割面的法向量用表示。进一步根据芽块上的芽眼三维坐标求出分割面上一点的坐标M₀(x₀,y₀,z₀)，从而得出分割面的点法式方程，如公式(5)所示。

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)＝0 公式(10)

步骤4：确定马铃薯种薯的执行切块方法。

经过步骤1-3，得到基于方法一的芽块分割面，和基于方法二的芽块分割面。由于同一个马铃薯种薯的密度是均匀的，因此可以用体积标准差去评价所得到的芽块的质量均匀性。根据实现芽眼三维坐标分配的方法一和方法二得到的分割面，按照此两种分割面执行的切块方法，所得到的芽块的体积标准差不同。此时选择体积标准差较小的一种芽眼三维坐标分配方法得到的切块方法作为对该马铃薯种薯的执行切块方法，由此可得到质量和芽眼数更为均匀的芽块。

本发明的有益效果：所述方法基于点云模型得到芽眼三维坐标及芽眼总数目。根据马铃薯种薯切块的要求，对马铃薯种薯质量及芽眼总数目进行优化分配，得到拟分割的芽块数及每个芽块的芽眼数，进一步按照“坐标就近原则”进行每个芽块上芽眼的三维坐标分配，根据马铃薯种薯上任意两个相邻芽块的芽眼三维坐标分析求解分割面方程。所述方法充分利用了点云模型能够体现马铃薯种薯三维空间结构及表面芽眼的空间分布这一特点，按照马铃薯种薯切块的要求进行芽块数、芽眼数及芽眼三维坐标分配，然后求解分割面方程，利用所得分割面能够实现对马铃薯种薯的芽块分割，为实现智能化的种薯切块奠定了理论基础。

附图说明

本发明有如下附图：

图1为马铃薯种薯的点云模型。所处坐标系为X_wY_wZ_w三维空间直角坐标系，单位为毫米(mm)；模型上用黑色圆点所做的标记表示在点云模型上相应三维坐标处的芽眼。

图2为基于芽眼纵向分布密度的芽眼三维坐标分配方法所推导得出的相邻两芽块的分割面的示意图。图中4个拟分割的芽块分别被编号为Ⅰ～Ⅳ；3个深灰色平面表示3个分割面；图中黑色圆点示意了马铃薯种薯表面的芽眼；Y_w表示马铃薯种薯的长轴。

图3为根据图2所示分割面分割得到的四个芽块的示意图。分割为Ⅰ-Ⅳ共4个芽块，分别与图2中4个芽块对应。每个芽块上的黑色圆点示意了芽眼的位置，与图2中所示意的每个芽块上的芽眼位置相对应。

图4为基于芽眼欧氏距离的芽眼三维坐标分配方法所推导得到的相邻两芽块的分割面的示意图。图中4个拟分割的芽块分别被编号为Ⅰ～Ⅳ；3个深灰色平面表示3个分割面；图中黑色圆点示意了马铃薯种薯表面的芽眼；Y_w表示马铃薯种薯的长轴。

图5为根据图4所示分割面分割得到的四个芽块的示意图。分割为Ⅰ-Ⅳ共4个芽块，分别与图4中4个芽块对应。每个芽块上的黑色圆点示意了芽眼的位置，与图4中所示意的每个芽块的芽眼位置相对应。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步详细说明。

如图1-5所示，本发明所述的基于点云模型的马铃薯种薯切块方法，包括如下步骤：

具体实施例

1、根据芽眼纵向分布密度的芽眼三维坐标分配及分割面求解

已知一个马铃薯种薯样本的质量M＝170g，基于样本的点云模型统计得到芽眼的总数为14个，同时得到每个芽眼的三维坐标，如附图1所示。在步骤1中，令每个芽块的质量初始值为m＝35g，每个芽块的含芽眼数初始值为n＝2，根据步骤1对马铃薯种薯进行拟分割芽块和每个芽块含芽眼数的分配；然后根据方法一(基于芽眼纵向分布密度的三维坐标分配方法)进行每个拟分割芽块上芽眼的三维坐标分配，如表1所示。结果为，该马铃薯种薯拟分割得到4个芽块，自马铃薯种薯底部开始，芽块Ⅰ和芽块Ⅲ各含有4个芽眼，芽块Ⅱ和芽块Ⅳ各含有3个芽眼，因此，对相邻两芽块的分割属于基于两芽眼平面的空间位置关系的分割面求解问题。

表1基于芽眼纵向分布密度的马铃薯种薯样本的芽眼分配结果

公式(6)、(7)和(8)分别为根据步骤三求得的分割芽块Ⅰ与Ⅱ、Ⅱ与Ⅲ、Ⅲ与Ⅳ组合的分割面方程，依次与这三组芽眼平面的角平分平面相对应，式中(x，y，Z₁)、(x，y，Z₂)、(x，y，Z₃)分别为三个分割面上的坐标。相邻两芽块的分割面及将马铃薯种薯分割得到的四个芽块的点云如附图2和附图3所示。

Z₁＝-0.5-27.1207*(x-838.3015)-170.2586*(y+140.7178) 公式(6)

Z₂＝-0.5+28.7391*(x+45.7417)-433.826*(y-8.9023) 公式(7)

Z₃＝-0.5+0.9992*(x+12.8313)-2.1134*(y-35.0087) 公式(8)

2、根据芽眼欧氏距离的芽眼三维坐标分配及分割面求解

已知一个马铃薯种薯样本的质量M＝170g，基于样本的点云模型统计得到芽眼的总数为14个，同时得到每个芽眼的三维坐标，结果如附图1所示。步骤1中，令每个芽块的质量初始值为m＝35g，每个芽块的含芽眼数初始值为n＝2，根据步骤1对马铃薯种薯进行拟分割芽块和每个芽块含芽眼数的分配；然后根据方法二(基于芽眼欧氏距离的三维坐标分配方法)进行芽眼坐标分配，如表2所示。结果为，该马铃薯种薯拟分割得到4个芽块，自马铃薯种薯底部开始，芽块Ⅰ和芽块Ⅱ各含有3个芽眼，芽块Ⅲ和芽块Ⅳ各含有4个芽眼，因此对相邻两芽块的分割属于基于两芽眼平面的空间位置关系的分割面求解问题。

表2基于芽眼欧氏距离的马铃薯种薯样本的芽眼分配结果

根据所分配的4个芽块中芽眼点的三维坐标信息分析可知，芽块Ⅰ、芽块Ⅱ和芽块Ⅲ三者互相邻近。首先计算芽块Ⅰ与芽块Ⅱ的分割面方程，二者的分割面为两芽眼平面的角平分平面，方程如公式(9)所示。

Z_c1＝-0.5+0.4206*(x-47.1361)+0.4144*(y+49.0169) 公式(9)

经分析，芽块Ⅰ与芽块Ⅲ，芽块Ⅱ与芽块Ⅲ的分割平面为同一平面，且平行于点云模型所在三维空间坐标系的X_wO_wZ_w平面，分割面的方程如公式(10)所示。

Y_c2＝2.1641 公式(10)

芽块Ⅲ与芽块Ⅳ的分割面平面为两芽眼平面的角平分平面，方程如公式(11)所示。

Z_c3＝-0.5+3.8481*(x+169.2807)+6.2496*(y-132.8239) 公式(11)

上式中，(x，y，Z_c1)、(x，y，Z_c2)、(x，y，Z_c3)分别为三个分割面上的坐标。点云模型上分割面的结果如附图4所示，分割所得四个芽块的点云如附图5所示。

3、由于不同马铃薯种薯的芽眼分布情况不同，可能不同的马铃薯种薯适合不同的芽眼三维坐标分配方法，因此本申请提供了两种芽眼三维坐标分配方法，以便于使切块后得到的芽块更均匀。

针对某一个马铃薯种薯，分别按照方法一和方法二分配芽眼三维坐标并求解分割面，得到拟分割的所有芽块，然后分别计算两种切块方法得到的芽块的体积标准差，选择标准差较小的一种切块方法作为执行方法，从而得到大小更均匀的芽块。比较上述两种切块方法对同一个马铃薯种薯(质量M＝170g，含芽眼数N＝14，其点云模型及芽眼分布情况如附图1所示)进行分块设计以后得到的芽块的体积标准差，可知根据方法二得到的切块方法所得到的芽块的体积标准差更小，即其分配得到的芽块的大小更为均匀，因此对于该马铃薯种薯，选择根据方法二得到的切块方法作为最终的执行切块方法。

4、更多的与步骤2相关的芽眼三维坐标分配方法均在本发明的权利保护范围内。

本说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (5)

1.一种基于点云模型的马铃薯种薯切块方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：根据马铃薯种薯切块的要求，基于点云模型，对马铃薯种薯的质量和芽眼总数进行分配，得到拟分割的芽块数及每个芽块含有的芽眼数；

步骤2：根据每个芽块含有的芽眼数，分别按照方法一和方法二依次分配芽眼的三维坐标；所述方法一为基于芽眼纵向分布密度的芽眼三维坐标分配方法，所述方法二为基于芽眼欧氏距离的芽眼三维坐标分配方法；

步骤3：根据步骤2中分配的相邻两个芽块上芽眼的三维坐标求解分割面；

步骤4：确定马铃薯种薯的执行切块方法：经过步骤1-3，得到基于方法一的芽块分割面，和基于方法二的芽块分割面，按照此两种分割面执行的切块方法，所得到的芽块的体积标准差不同，此时选择体积标准差较小的一种切块方法作为对该马铃薯种薯的执行切块方法。

2.如权利要求1所述基于点云模型的马铃薯种薯切块方法，其特征在于，步骤1的具体内容如下：

已知马铃薯种薯的质量为M，基于点云模型得到马铃薯种薯表面芽眼的数目N，根据马铃薯种薯切块的要求，令马铃薯种薯被分割之后得到的每个芽块的质量为m，其中25≤m≤M；每个芽块上的芽眼数为n，其中2≤n≤N，n为正整数；则根据公式(1)得到马铃薯种薯拟被分割得到的芽块数N_p，公式(1)中N₁和N₂分别为根据芽块的质量要求和含芽眼数要求所得到的芽块数，N_p、N₁和N₂均为正整数；

令第i个芽块实际含有的芽眼数为x_i(1≤i≤N_p，x_i≤N，i和x_i均为正整数)，得到公式(2)；

由此得到每个芽块上的芽眼数的平均值为在马铃薯种薯的所有芽眼被均匀分配的前提下，若芽眼数N被整除，则每个芽块的芽眼数为 为对平均值取整数部分；若芽眼数N未被整除，则余数其中0<N_r<N_p，N_r为正整数；此时在分割得到的N_p个芽块中，N_r个芽块含个芽眼，N_p-N_r个芽块含个芽眼。

3.如权利要求1所述基于点云模型的马铃薯种薯切块方法，其特征在于，步骤2的具体内容如下：

基于点云模型可识别和定位得到马铃薯种薯表面芽眼的三维坐标，令坐标为(x_k,y_k,z_k)，其中0<k≤N，k为正整数，纵坐标y_k沿着马铃薯种薯的长轴方向；根据“坐标就近原则”分配每个芽块上的芽眼对应的三维坐标，其实现方法有两种，具体如下：

方法一：基于芽眼纵向分布密度的芽眼三维坐标分配方法

将芽眼三维坐标按纵坐标值y^k由小到大的顺序进行排序，自马铃薯种薯块茎的底端起，当步骤1中分配的每个芽块上的芽眼数n全部为时，将纵坐标值y_k连续相邻的n个芽眼分配给同一个芽块；当步骤1中分配的每个芽块的芽眼数n不全为时，根据公式(3)计算纵轴方向上相邻两芽眼间的距离ρ_k，令未被分配的芽眼中纵坐标值最小的芽眼为起始芽眼，比较和的值，取值较大者对应的下标号作为当前芽块的芽眼数n，然后基于此结果给当前芽块分配相应的芽眼三维坐标；在依次分配芽眼三维坐标的过程中，当完成了N_r个含芽眼数为的芽块的芽眼三维坐标分配以后，将剩余未被分配的芽眼三维坐标均匀分配给剩余待分配坐标的芽块；

ρ_k＝y_k+1-y_k (3)

方法二：基于芽眼欧氏距离的芽眼三维坐标分配方法

自马铃薯种薯块茎底端起进行芽眼三维坐标的分配；对当前芽块，令未被分配的纵坐标值最小的芽眼为起始芽眼，坐标为(x₁,y₁,z₁)，按照公式(4)依次求其它未被分配的芽眼(x_k,y_k,z_k)相对起始芽眼的欧氏距离D，式中1<k≤N-N_c，N_c为已被分配的芽眼个数；当步骤1中分配的每个芽块上的芽眼数n全部为时，将距离D最小的前n个芽眼对应的三维坐标依次分配给当前芽块；当步骤1中分配的每个芽块的芽眼数n不全为时，令马铃薯种薯的前N-N_r个芽块含个芽眼，后N_r个芽块含个芽眼，然后把相应的三维坐标依次分配给每个芽块；

4.如权利要求1所述基于点云模型的马铃薯种薯切块方法，其特征在于，步骤3的具体内容如下：

经过步骤2的芽眼三维坐标分配后，将相邻两个芽块各自的芽眼数归类为三种情况：芽眼数均为2个，芽眼数分别为2个和3个，芽眼数均为3个或以上；

然后将相邻两芽块的芽眼数不同的情况拟合为不同的三维空间几何关系：将相邻两芽块的芽眼数均为2个的情况拟合为两条直线的空间位置关系；将相邻两芽块的芽眼数分别为2个和3个的情况拟合为一条直线和一个平面的空间位置关系；将相邻两芽块的芽眼数均为3个或以上的情况拟合为两个平面的空间位置关系；

根据芽眼三维空间分布的实际情况，由相邻两芽块上芽眼的三维坐标所构成的两直线、直线与平面或两平面之间存在平行、相交或异面等空间位置关系，通过对不同空间位置关系的解析换算，得到相邻两芽块间分割面的空间位置；当两直线、直线与平面或两平面相互平行时，分割面为到两直线、直线与平面或两平面距离相等且与二者平行的平面；当两直线、直线与平面或两平面相交，或者两直线异面时，分割面为两直线、直线与平面或两平面之间的能将两芽块的芽眼三维坐标分隔开的角平分平面。

5.如权利要求4所述基于点云模型的马铃薯种薯切块方法，其特征在于，所述分割面的求解过程如下：

当分割面与芽眼三维坐标所构成的两直线、直线与平面或两平面之间平行时，基于芽眼三维坐标求出直线的方向向量或平面的法向量，将与方向向量垂直或与法向量平行的向量作为分割面的法向量；

当分割面为相邻两芽块间的角平分平面时，根据角平分平面与芽眼三维坐标所构成的两直线、直线与平面或者两平面间的位置关系，求出分割面的法向量；

求出的分割面的法向量用表示，进一步根据芽块上的芽眼三维坐标求出分割面上一点的坐标M₀(x₀,y₀,z₀)，从而得出分割面的点法式方程，如公式(5)所示：

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)＝0 (5)。