CN110222458B - 一种复合材料板簧的模态预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种复合材料板簧的模态预测方法，包括如下步骤：步骤一、建立复合材料板簧模型，计算复合材料板簧截面的中性层位移系数λ；步骤二、根据中性层位移系数λ计算复合材料板簧截面的抗弯刚度；步骤三、将复合材料板簧沿板簧的长度方向离散成多个单元，求解单元的质量矩阵和单元的刚度矩阵，确定板簧整体的质量矩阵和板簧整体的刚度矩阵；步骤四、根据所述板簧系统的质量矩阵和所述板簧系统的刚度矩阵，确定板簧弯曲固有频率及对应振型。本发明提供的复合材料板簧的模态预测方法，可操作性强，板簧模型的修改方便快捷，且计算的效率较快、精度较高。

Description

一种复合材料板簧的模态预测方法

技术领域

本发明属于复合材料板簧技术领域，特别涉及一种复合材料板簧的模态预测方法。

背景技术

近年来，能源短缺问题和环境危机有愈演愈烈的趋势，安全、节能和环保已经成为人们对汽车的基本要求，因此轻量化已成为汽车发展的必然趋势。目前，汽车上用的复合材料板簧基本上都是纤维增强型复合材料板簧，其不仅轻量化优势明显，而且具有疲劳寿命高、减振性能好、安全性高的特点，装车后能降低汽车的非簧载质量，提高汽车的舒适性，已经成为了国内外专家学者研究的热点问题。

在汽车行驶过程中，复合材料板簧会受到路面、发动机等产生的振动激励。如何在复合材料板簧开发初期准确预测复合材料板簧的模态，并使复合材料板簧的固有频率避开外界激励的频率范围，最终避免复合材料板簧与外界激励耦合发生共振，这对保证复合材料板簧的疲劳寿命及整车的NVH性能均具有重要的意义。

目前，对复合材料板簧的研究主要集中在复合材料板簧的结构、刚度、损伤、疲劳性能方面，与复合材料板簧模态相关的报道较少。现在应用较多的是利用有限元软件(如ABAQUS、ANSYS等)对复合材料板簧进行建模分析，而在复合材料板簧的正向开发设计时，为了得到较满意的设计结果，可能需要对复合材料板簧的参数进行反复的修改设计，采用有限元软件的方法需要修改模型、重新划分网格、计算、后处理等过程，这样显然增加了后续优化的难度，很难获得最优的设计方案。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的缺陷，提供一种复合材料板簧的模态预测方法，该方法在板簧设计过程中能够准确预测板簧的模态，并且计算效率高，板簧模型修改方便快捷。

本发明提供的技术方案为：

一种复合材料板簧的模态预测方法，包括：

步骤一、建立复合材料板簧模型，计算复合材料板簧截面的中性层位移系数λ；

步骤二、计算复合材料板簧截面的抗弯刚度：

其中，

式中，b为截面的宽度，n₁为板簧截面中复合材料部分受拉区域总层数，n₂为板簧截面中复合材料部分受压区域总层数，

为板簧截面中复合材料部分受拉区域第k₁层的偏轴弹性模量，

为板簧截面中复合材料部分受压区域第k₂层的偏轴弹性模量；p、q分别截面金属部分为受拉、压区域的截面厚度，t_m、c_m分别为板簧截面中金属部分受拉、受压的位置相对于中性层的距离；δ为板簧截面中复合材料的单层厚度，t为板簧截面的厚度；λ为中性层位移系数；

步骤三、将复合材料板簧沿板簧的长度方向离散成多个单元，求解单元的质量矩阵和单元的刚度矩阵，确定板簧整体的质量矩阵和板簧整体的刚度矩阵；

步骤四、根据所述板簧系统的质量矩阵和所述板簧系统的刚度矩阵，确定板簧弯曲固有频率及对应振型。

优选的是，在所述步骤一中，通过建立复合材料板簧截面的中性层位移系数方程，并且求解所述中性层位移系数方程得到中性层位移系数λ；

其中，簧身部分的中性层位移系数方程为：

包夹部分的中性层位移系数方程为：

式中，n₁为板簧截面中复合材料部分受拉区域总层数，n₂为板簧截面中复合材料部分受压区域总层数，

为板簧截面中复合材料部分受拉区域第k₁层的偏轴弹性模量，

为板簧截面中复合材料部分受压区域第k₂层的偏轴弹性模量；z_k为第k层距中性层的距离；δ为板簧截面中复合材料的单层厚度，t为板簧截面的厚度；λ为中性层位移系数；p、q分别截面金属部分为受拉、压区域的截面厚度，t_m、c_m分别为板簧截面中金属部分受拉、受压的位置相对于中性层的距离，j为板簧截面中复合材料部分的厚度。

优选的是，单层复合材料的偏轴弹性模量为：

其中，

式中，θ为复合材料板簧长度方向与单层复合材料正轴方向之间的夹角；E₁为复合材料的纵向拉伸或压缩弹性模量，E₂为复合材料的横向拉伸或压缩弹性模量，ν₁为纵向泊松比，G₁₂为面内剪切弹性模量。

优选的是，在所述步骤三中，所述单元的质量矩阵为：

其中，l_e为单元的长度，ρ为单元的密度，A为单元的截面积。

优选的是，在所述步骤三中，所述单元的刚度矩阵为：

式中，l_e为单元的长度，K_e为单元的截面抗弯刚度；

其中，簧身部分及包夹部分的单元抗弯刚度为：K_ei＝D_i；

纯金属部分的单元抗弯刚度为：K_ei＝E_mI_i；

式中，E_m金属材料的弹性模量，I_i为截面对几何中心轴的惯性矩。

优选的是，在所述板簧整体的质量矩阵为：

以及

所述板簧整体的刚度矩阵为：

其中，

β为独立坐标转换矩阵。

优选的是，在所述步骤四中，根据模态频率的特征方程确定板簧的各阶固有频率，其中，所述模态频率的特征方程为：

|K-ω_n ²M|＝0；

式中，M为板簧整体的质量矩阵，K为板簧整体的刚度矩阵，ω_n为板簧的固有频率。

优选的是，根据板簧系统运动方程确定板簧的各阶固有频率对应的阵型；其中所述板簧系统的运动方程为：

[K-ω_n ²M]{φ}＝{0}；

式中，M为板簧整体的质量矩阵，K为板簧整体的刚度矩阵，板簧的固有频率对应的阵型。

本发明的有益效果是：

(1)本发明提供的复合材料板簧的模态预测方法，考虑了中性层相对几何中面偏移对模态的影响，模型精度相对较高，从而显著降低复合材料板簧的开发风险和成本。

(2)本发明提供的复合材料板簧的模态预测方法，可操作性强，板簧模型的修改方便快捷，且计算的效率较快、精度较高，有利于实现在正向开发时的优化设计。

附图说明

图1为本发明所述的复合材料板簧的模态预测方法示意图。

图2为本发明所述的板簧变形前的截面示意图。

图3为本发明所述的板簧纯弯曲变形后的截面示意图。

图4为本发明所述的复合材料板簧的三维结构示意图。

图5为本发明所述的复合材料板簧的侧面示意图。

图6为本发明所述的复合材料板簧的结构简化示意图。

图7a为本发明实施例中得到板簧一阶弯曲阵型图。

图7b为通过模态试验得到的板簧一阶弯曲阵型图。

图8a为本发明实施例中得到板簧二阶弯曲阵型图。

图8b为通过模态试验得到的板簧二阶弯曲阵型图。

图9a为本发明实施例中得到板簧三阶弯曲阵型图。

图9b为通过模态试验得到的板簧三阶弯曲阵型图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明书文字能够据以实施。

如图1所示，本发明提供了一种复合材料板簧的模态预测方法，包括以下步骤：

S1.获得构成板簧的材料的性能参数，所述材料性能参数包括：复合材料层合板正轴的纵向拉伸弹性模量

纵向压缩弹性模量

横向拉伸弹性模量

横向压缩弹性模量

纵向泊松比ν₁、面内剪切弹性模量G₁₂、密度ρ_f；接头部分金属材料的弹性模量E_m、泊松比ν_m、密度ρ_m；其中，纵向是指材料的正轴方向，横向是指与材料正轴方向垂直的方向。

S2.计算得到单层的偏轴弹性模量，所述偏轴弹性模量E_x计算如下：

上式中，θ为单层的方向角，所述方向角定义为复合材料板簧长度方向x与单层复合材料正轴方向(纤维长度方向)之间的夹角，且规定自偏轴x转至正轴方向的夹角θ逆时针转向为正，顺时针为负；U_1S、U_2S、U_3S为中间变量，满足

上式中的参数由S1获得，E₁为复合材料的纵向拉伸或压缩弹性模量，即当材料受拉时公式中带入

当材料受压时，公式中带入

E₂为复合材料的横向拉伸或压缩弹性模量，即当材料受拉时公式中带入

当材料受压时，公式中带入

S3.建立中性层位移系数的统一化模型，确定任意截面的抗弯刚度，所述统一化模型说明如下：

以板簧横截面的纵向对称轴为x轴，板簧厚度方向为z轴，且向下为正，以y轴为中性轴，当复合材料的拉伸与压缩模量不相等时，复合材料板簧受弯曲力时中性层与簧身厚度方向的几何中面不重合，因此，中性轴的位置尚待确定。由于整个板簧存在复合材料簧身(仅由复合材料构成)与金属接头两部分，对于前、后接头以及中间夹板区域，都可能存在金属-复合材料-金属的包夹段，由于包夹段包含了复合材料簧身的情况(即包夹金属层的厚度为零)，因此，取包夹段进行主要的中性层及截面抗弯刚度的推导。假设金属层与复合材料层接触表面没有相对移动，且截面中复合材料部分与金属部分的曲率半径相同。

如图2-3所示，为板簧纯弯曲变形前后的示意图，其中，p、q分别为截面中受拉、压金属层的厚度，j为截面中复合材料部分的厚度，aa为几何中面，oo为中性层。

根据平面假设，变形前相距dx的两个横截面，变形后相对旋转了一个角度dθ，并仍保持平面。距中性层距离为z的纵向纤维

的长度变为：

其中，ρ为中性层的曲率半径。纤维

的原长为dx，且有

根据应变的定义，求得纤维

的应变为：

以复合材料板簧纵向为x轴方向，横向为y轴方向，厚度方向为z轴方向，对任意一个截面A，沿x轴方向的力可表示为：

F_N＝∫_Aσ_xdA，

式中，σ_x为整个截面沿着x轴方向的应力；

定义中性层位移系数λ如下：

其中，d为中性层与几何中面之间的距离；t为该截面的厚度，且满足：

t＝p+j+q，

则对于厚度为j的复合材料区域，第k层距中性层的距离z_k为：

其中，δ为复合材料单层厚度；

对截面内受拉区域和受压区域分别积分，将F_N表示为：

其中，

为截面中受拉区域沿x轴方向的应力，

为截面中受压区域沿x轴方向的应力，A^t为受拉区域截面面积，A^c为受压区域截面面积，且有：

A^t+A^c＝A，

求解截面应力时，对于截面中复合材料部分，不考虑各单层之间的层间应力，可以对复合材料各层进行分层积分求和；对金属区域，由于金属材料的各向同性，可以沿着厚度方向积分。因此，

其中，b为截面的宽度，n₁为截面中复合材料部分受拉区域总层数；n₂为截面中复合材料部分受压区域总层数；

为截面中复合材料部分受拉区域第k₁层沿x轴的应力；

为截面中复合材料部分受压区域第k₂层沿x轴的应力；

为截面中金属部分受拉区域沿x轴的应力，

为截面中金属部分受压区域沿x轴的应力；t_m、c_m分别定义为截面金属部分受拉、受压的积分位置相对中性层的距离，且

因为

复合材料板簧为纯弯曲工况，因此

且弯曲半径ρ不随z变化，复合材料在单层内模量保持不变，因此：

在复合材料板簧受力为纯弯曲情况下，有：

F_N＝0，

故有

对上式方程求解，即可解得中性层位移系数λ。

所述截面的抗弯刚度，求解过程如下：

对于复合材料板簧簧身垂直于x轴的任意一个截面，其受到绕y轴的弯矩可表示为：

因为

复合材料板簧为纯弯曲工况，因此

且弯曲半径ρ不随z变化，故有

设截面抗弯刚度为D，则

即有

当计算簧身部分，即不存在金属接头部分时，有p＝q＝0；

S4.将复合材料板簧离散成若干个单元，求解单元的质量与刚度矩阵，确定整个板簧系统的质量与刚度矩阵；

当单元的密度ρ与截面A为常数时，所述单元的质量矩阵如下：

式中，l_e为单元的长度；

当单元的截面抗弯刚度K_e为常数时，所述单元的刚度矩阵如下：

将板簧系统离散为i个单元，整个系统的局部坐标刚度矩阵

及局部坐标质量矩阵

可分别表示为：

分析竖直弯曲时，每个单元存在四个自由度的局部坐标，即单元两端的移动自由度与转动自由度，但是由于相邻单元存在两个相同自由度的坐标，因此在整体坐标系下，独立坐标数量为n＝2i+2，因此用独立坐标表示系统的刚度矩阵K与质量矩阵M：

其中，β为独立坐标转换矩阵，行数为4i，列数为2i+2；可以根据边界条件求得。

例如：当i＝2时，

当i＝3时，

当i＝4时，

对于复合材料簧身以及包夹部分，第i个单元的截面抗弯刚度为：K_ei＝D_i；

D_i为S4中求解的第i个单元的截面抗弯刚度；

对于纯金属部分，

K_ei＝E_mI_i；

其中，I_i为金属材料截面对几何中心轴的惯性矩。

S5.求解板簧模态的特征方程，确定弯曲固有频率及对应振型；所述具体求解过程如下：

板簧系统运动方程：

[K-ω_n ²M]{φ}＝{0}；

其中，K、M为S4求得的板簧系统的刚度、质量矩阵，ω_n为复合材料板簧的固有频率矩阵，{φ}为振型矩阵。

模态频率的特征方程为

|K-ω_n ²M|＝0；

求解即可得到各阶固有频率ω_i，代回到运动方程，即可求得对应振型{φ_i}。

实施例

综合考虑成本与性能，目前应用较多的为等宽度、厚度近似按抛物线变化的复合材料板簧，因此，本实施例结合此类板簧的模态预测过程来进行详细说明。板簧结构如图4所示，复合材料板簧总成由复合材料簧身110、前金属接头、后金属接头、中部金属连接结构组成。其中，前、后金属接头121、111分别通过螺栓与复合材料簧身110连接，中部金属连接结构130与复合材料簧身110通过胶接的方式连接在一起。

首先，依据复合材料层合板的力学性能测试标准：GB/T 32376-2015，对复合材料层合板进行力学性能测试，获得板簧材料的性能参数，所述性能参数包括复合材料层合板正轴的纵向拉伸弹性模量

纵向压缩弹性模量

横向拉伸弹性模量

横向压缩弹性模量

纵向泊松比ν₁、面内剪切弹性模量G₁₂、密度ρ_f；接头部分金属材料的弹性模量E_m、泊松比ν_m、密度ρ_m；

其次，对于簧身部分，根据各层铺层角度的不同，结合上面的材料测试参数，计算得到各单层的偏轴弹性模量

然后根据结构参数分别对簧身部分、包夹部分，计算截面的中性层位移系数与截面抗弯刚度。

第k层距中性层的距离z_k为：

其中，δ为单层厚度。

对簧身部分，中性层位移系数满足方程：

其中，b为截面的宽度,n₁为截面中复合材料部分受拉区域总层数；n₂为截面中复合材料部分受压区域总层数；

为截面中复合材料部分受拉区域第k₁层沿x轴的应力；

为截面中复合材料部分受压区域第k₂层沿x轴的应力。对应截面抗弯刚度：

对于包夹部分：

其中，p、q分别为受拉、压金属区域的截面厚度，t_m、c_m分别定义为截面金属部分受拉、受压的分位置相对于中性层的距离，且

对应截面抗弯刚度：

对于纯金属部分：

D＝E_mI；

其中，I为截面对几何中心轴的惯性矩。

然后根据板簧的具体结构形式，进行板簧刚度、质量矩阵的求解。

由于接头部分形状复杂，难以求解。因此，将如图5所示的板簧结构简化为如图6的结构后进行计算。

对于前、后金属接头的圆环部分，等效为长方体块状结构，且等效前后与原结构长度、质量、密度一致，可以求出图6中的左右两侧等效高度h₄、h₅；对于中部连接结构，等效为匀质区域，且总质量、尺寸与原结构一致。将板簧沿长度方向以l_e＝1mm长度离散化为i个单元，在matlab软件中进行编程处理，从左到右分别求得各单元的质量矩阵m_e、刚度矩阵k_e及板簧整体的质量M、刚度矩阵K。

最后，求解板簧模态的特征方程，确定板簧弯曲固有频率及对应振型。

取复合材料板簧的前三阶弯曲振型及对应的固有频率与模态试验的结果进行对比，对比结果如表1所示：

表1复合材料板簧的前三阶弯曲阵型及对应的固有频率与模态试验的结果对比表

复合材料板簧的前三阶弯曲振型对比如图7a-9b所示，从图中可以看出，采用本实施例的方法得到的阵型与模态试验的振型结果基本一致。预测的弯曲固有频率与试验结果也较为相近，且对于与激励频率最为接近的一阶弯曲模态频率，预测误差较小，同时验证了该方法的可行性。

尽管本发明的实施方案已公开如上，但其并不仅仅限于说明书和实施方式中所列运用，它完全可以被适用于各种适合本发明的领域，对于熟悉本领域的人员而言，可容易地实现另外的修改，因此在不背离权利要求及等同范围所限定的一般概念下，本发明并不限于特定的细节和这里示出与描述的图例。

Claims (8)

1.一种复合材料板簧的模态预测方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、建立复合材料板簧模型，对于前、后金属接头的圆环部分，等效为长方体块状结构，且等效前后与原结构长度、质量、密度一致，对于中部连接结构，等效为匀质区域，且总质量、尺寸与原结构一致；计算复合材料板簧截面的中性层位移系数λ；

步骤二、计算复合材料板簧截面的抗弯刚度：

其中，

式中，b为截面的宽度，n₁为板簧截面中复合材料部分受拉区域总层数，n₂为板簧截面中复合材料部分受压区域总层数，

为板簧截面中复合材料部分受拉区域第k₁层的偏轴弹性模量，

为板簧截面中复合材料部分受压区域第k₂层的偏轴弹性模量；p、q分别截面金属部分为受拉、压区域的截面厚度，t_m、c_m分别为板簧截面中金属部分受拉、受压的位置相对于中性层的距离；δ为板簧截面中复合材料的单层厚度，t为板簧截面的厚度；λ为中性层位移系数；

步骤三、将复合材料板簧沿板簧的长度方向离散成多个单元，求解单元的质量矩阵和单元的刚度矩阵，确定板簧整体的质量矩阵和板簧整体的刚度矩阵；

步骤四、根据所述板簧系统的质量矩阵和所述板簧系统的刚度矩阵，确定板簧弯曲固有频率及对应振型。

2.根据权利要求1所述的复合材料板簧的模态预测方法，其特征在于，在所述步骤一中，通过建立复合材料板簧截面的中性层位移系数方程，并且求解所述中性层位移系数方程得到中性层位移系数λ；

其中，簧身部分的中性层位移系数方程为：

以及

包夹部分的中性层位移系数方程为：

式中，n₁为板簧截面中复合材料部分受拉区域总层数，n₂为板簧截面中复合材料部分受压区域总层数，

为板簧截面中复合材料部分受拉区域第k₁层的偏轴弹性模量，

为板簧截面中复合材料部分受压区域第k₂层的偏轴弹性模量；z_k为第k层距中性层的距离；δ为板簧截面中复合材料的单层厚度，t为板簧截面的厚度；λ为中性层位移系数；p、q分别截面金属部分为受拉、压区域的截面厚度，t_m、c_m分别为板簧截面中金属部分受拉、受压的位置相对于中性层的距离，j为板簧截面中复合材料部分的厚度。

3.根据权利要求2所述的复合材料板簧的模态预测方法，其特征在于，单层复合材料的偏轴弹性模量为：

其中，

式中，θ为复合材料板簧长度方向与单层复合材料正轴方向之间的夹角；E₁为复合材料的纵向拉伸或压缩弹性模量，E₂为复合材料的横向拉伸或压缩弹性模量，ν₁为纵向泊松比，G₁₂为面内剪切弹性模量。

4.根据权利要求3所述的复合材料板簧的模态预测方法，其特征在于，在所述步骤三中，所述单元的质量矩阵为：

其中，l_e为单元的长度，ρ为单元的密度，A为单元的截面积。

5.根据权利要求3或4所述的复合材料板簧的模态预测方法，其特征在于，在所述步骤三中，所述单元的刚度矩阵为：

式中，l_e为单元的长度，K_e为单元的截面抗弯刚度；

其中，簧身部分及包夹部分的单元抗弯刚度为：K_ei＝D_i；

纯金属部分的单元抗弯刚度为：K_ei＝E_mI_i；

式中，E_m金属材料的弹性模量，I_i为截面对几何中心轴的惯性矩。

6.根据权利要求5所述的复合材料板簧的模态预测方法，其特征在于，在所述板簧整体的质量矩阵为：

以及

所述板簧整体的刚度矩阵为：

其中，

β为独立坐标转换矩阵。

7.根据权利要求6所述的复合材料板簧的模态预测方法，其特征在于，在所述步骤四中，根据模态频率的特征方程确定板簧的各阶固有频率，其中，所述模态频率的特征方程为：

|K-ω_n ²M|＝0；

式中，M为板簧整体的质量矩阵，K为板簧整体的刚度矩阵，ω_n为板簧的固有频率。

8.根据权利要求7所述的复合材料板簧的模态预测方法，其特征在于，根据板簧系统运动方程确定板簧的各阶固有频率对应的阵型；其中所述板簧系统的运动方程为：

[K-ω_n ²M]{φ}＝{0}；

式中，M为板簧整体的质量矩阵，K为板簧整体的刚度矩阵，板簧的固有频率对应的阵型。

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