CN110133106B - 一种输电线路振动损伤度量仪 - Google Patents

Abstract

本发明为了有效地分析输电线振动引起的线路损伤，设计一种输电线振动损伤度量仪：首先利用MEMS惯性测量节点采集输电线运动的三轴加速度和角速度，进行滤波和分段处理，根据输电线的振动特性，通过积分和FFT变换来计算输电线平动/转动的幅值和频率；然后从损伤耗能的角度，利用幅值和频率参数构造振动耗能函数，度量输电线振动中材料损伤所消耗的能量；然后根据振动损伤与振动耗能函数之间的关系，建立振动损伤函数模型，计算输电线的损伤程度。该损伤度量方法仪利用现有的在线测量数据，可以很好的计算输电线的振动损伤程度，可对输电线损伤的长期监测，也可为输电线损伤预警提供参考，可广泛应用于各种运动损伤度量的场合。

Description

一种输电线路振动损伤度量仪

技术领域

本发明属于电网线路安全领域，具体涉及一种输电线路振动损伤度量仪。

背景技术

在外界的影响下输电线经常处于振动状态，由于振动的冲击性与循环性，长期的振动不仅使输电线增大动弯应力而产生疲劳，还使输电线与金具或自身的摩擦而产生磨损，无论疲劳还是磨损都会对输电线造成一定的损伤，严重时导致输电线断股、断线、金具损坏等，威胁电网的安全稳定运行。输电线的振动损伤多发生于导线内部股线间、导线与金具连接点等隐蔽部位，不易查看，且振动损伤是不断积累的，巡检人员很难及时、准确的发现输电线的损伤情况，因此对输电线振动损伤分析具有重要的意义。

目前对振动损伤的研究主要是对疲劳损伤的分析以及疲劳寿命的预测。对于损伤的测量方法有：通过实验模拟线夹处的应力，计算动弯应变并预测导线的疲劳寿命；采用迭代法根据风输入的能量求振动水平，进而分析输电线的疲劳损坏程度；采用基于能量平衡原理的传递矩阵法分析输电线的振动特性，计算平衡状态下的振动幅值，得出系统响应和动弯应变；考虑输电线的质量和刚度采用有限元法分析振动和曲率的关系，得出动弯应变。

随着在线监测技术的发展，采用悬臂梁式传感器在线测量导线的弯曲幅度，计算导线的振动幅值、频率和动弯应变；提出基于压电式加速度计的微风振动监测系统，采集导线的振动加速度，并通过快速傅里叶变换得到振动的幅值与频率，进而计算动弯应变。通过上述方法得到输电线的动弯应变，利用以Miner损伤理论和Wohler安全边界曲线为基础的损伤法可以在一定程度上分析出输电线的损伤程度与疲劳寿命。

目前这些方法还存在一些不足，一方面，由于动弯应变复杂的受力情况，不能充分考虑所有的影响因素，且在线监测所用的传感器在特高压强磁和强电流中会受到很大的干扰，使计算的动弯应变产生误差；另一方面，振动损伤的表现形式不仅是振动疲劳，振动产生的摩擦磨损也会造成输电线损伤，二者相互影响，滑移面间的摩擦会加速疲劳裂纹的扩展，缩短导线使用寿命，疲劳裂纹的形成也会增大摩擦系数，加快磨损，所以，研究输电线的振动损伤程度时应综合考虑。

发明内容

随着智能电网的建设，由于MEMS惯性测量单元成本低、体积小、功耗小、寿命长、抗振和抗干扰能力强，很适合安装在导线进行在线监测，因此只要输电线路在线监测系统里增加一块MEMS惯性测量单元即可。

本发明的目的在于通过由MEMS惯性器件构建惯性测量单元，嵌入到输电在线监测系统里，采集输电线运动的三轴加速度和角速度，然后进行滤波和分段处理，根据输电线的振动特性，用积分和FFT变换计算平动/转动的幅值和频率，从损伤耗能的角度，综合摩擦磨损和疲劳损伤对输电线的耗能作用，以输电线平动/转动的幅值和频率为变量构建振动耗能函数，然后分析振动损伤与振动耗能函数的关系，建立振动损伤函数模型，计算输电线的损伤程度；输电线路损伤度量仪包括两个单元：运动敏感单元(MEMS惯性测量单元)和损伤分析度量单元。

运动敏感单元包括：三轴MEMS加速度计、三轴MEMS陀螺仪和温度计，采集三轴加速度、三轴角速度和温度数据，通过高速采集卡或SPI接口把数据传输到损伤分析度量单元。

损伤分析度量单元也即是损伤度量仪的核心，由高速的嵌入式处理器、静/动态存储器、外围辅助电路和Mini USB接口构成，通过Mini USB接口与在线监测系统连接。

损伤分析度量单元对采集数据先经过低通滤波器去除高频噪声，然后进行温度漂移和零偏补偿，采用统计卡尔曼滤波进行动态误差处理，最后根据处理后的加速度和角速度数据进行度量损伤程度，并把加速度和角速度通过Mini USB接口传输到在线监测系统。

由于输电线路损伤度量仪功耗很低，并且采用5V供电，因此可直接通过Mini USB接口供电。

损伤分析度量方法，其步骤如下：

由于线路测量环境的干扰，采集的惯性测量数据存在噪声，且加速度计的偏差和陀螺仪的漂移使通过积分得到的平动/转动幅值产生较大误差，为精准提取线路运动特征，须通过滤波消除信号中的噪声干扰和偏差；常用的滤波方法有插值滤波、小波滤波和卡尔曼滤波等；卡尔曼滤波可快速实时处理数据、对下一时刻数据变化进行预测，因此采用多维时间序列的卡尔曼滤波方法。

将输电线的加速度和角速度用三维时间序列表示为a_t＝{a_xt,a_yt,a_zt}，ω_t＝{ω_xt,ω_yt,ω_zt}，对a_t和ω_t建立时间序列模型时，先平滑处理采集的数据，建立AR(2)模型：

式中，

τ₁、τ₂为自回归参数矩阵，

为测量噪声。

通过最小二乘法拟合

τ₁、τ₂，进一步采用卡尔曼滤波对参数进行优化，使线路运动数据更加准确，加速度信号的状态空间模型为

式中，X_k＝[a_ta_t-1]^T为系统状态，

为过程噪声，

B＝[1_1×3 0_1×3]^T为状态空间模型参数，H＝[I_3×3 0_3×3]为观测矩阵。

将加速度状态空间模型参数带入卡尔曼滤波公式，得到输电线三轴加速度最优滤波值；同理，对线路角速度进行卡尔曼滤波。

输电线路振动损伤与线路运动特征——幅值和频率有直接关系，首先需要计算线路运动的幅值和频率，然后根据幅值和频率建立振动耗能函数和振动损伤函数模型，进而分析和度量输电线的振动损伤程度。

输电线平动特征提取：输电线平动时，X、Y、Z轴的振动幅值与各轴向的振动加速度线性正相关，因此选取振动加速度信号a_t作为平动特征量，为了便于幅值和频率的计算，对处理过的数据进行分段，分段长度为L，分段后振动加速度记为a_l(a_l1,a_l2,a_l3,...,a_lL)，其中a_li为l段的加速度。

根据加速度与速度的关系，得出第l段的速度为

式中，V₀为平动的初始速度，t为每段数据的采样时间，a_li为第l段第i个加速度数据。

根据加速度与位移的关系，得出第l段的位移为

式中，S₀为平动的初始位移，V_li为第l段的第i个速度数据。

综上，第l段的平动幅值为

输电线的振动是不同频率信号的叠加，可根据FFT变换计算振动加速度信号的频率，进而得到平动频率；对一段数据做FFT变换，得到L个复数序列，每个点对应一个频率点f_n＝(n-1)*f_s/L，式中，f_n为某点n的信号频率，f_s为采样频率，L为FFT变换点数。

由于输电线的振动是不同频率信号的叠加，根据频谱中显示的主值频率f₁,f₂,…,f_p，由主值频率构造加速度信号的等效频率为

其中f_tlmax为幅值最大的频率。由平动幅值与振动加速度的关系式可知，加速度变换一个周期，平动幅值达到最大，故平动的周期近似为振动加速度周期的二倍，故平动频率为f_tl＝0.5f'_tl。

输电线转动特征提取：输电线转动时，角速度表示转动角的变化率，转动幅值即为转动角，选取角速度信号作为转动特征量；同样将滤波后的角速度滑动分段，分段后记为ω_l(ω_l1,ω_l2,ω_l3,...,ω_lL)，对角速度进行积分运算，第l段转动幅值为

式中，θ₀为初始转角，ω_li为第l段的i个角速度，t为每段数据的采样时间。

由转动幅值与角速度的关系式可知，平动的周期近似为角速度变化的一个周期；同样利用FFT变换求取角速度频率，得到转动频率为f_rl。

振动耗能函数构建：输电线振动是能量转换和消耗的过程，不断的振动会导致输电线在与金具接触部位出现较大的动弯应变，以疲劳的形式消耗能量，还加速输电线与金具或自身的摩擦，以磨损的形式耗能，二者消耗的能量称为输电线的振动耗能，代表输电线振动中材料损伤消耗的能量。由上述可知，输电线的振动耗能是振动带来能量的一部分，根据动能定理，振动耗能函数为

式中，K是振动耗能系数，V是t时刻的速度。

由于输电线的振动速度不是线性变化的，难以直接计算振动耗能，可以分段计算。在疲劳损伤的研究中，利用振动幅值和频率计算动弯应变，进而分析输电线的疲劳程度；在摩擦学中，摩擦磨损速率为接触压力F与摩擦速度V的乘积，依据摩擦与振动的相互作用，可以用振动幅值表示接触压力F，用振动频率表示摩擦速度，故可用振动幅值和频率来计算振动耗能。根据振动速度与振动幅值存在的正比关系，结合提取的平动和转动特征，可将振动耗能表示为各段平动和转动耗能的总和，构建以振动幅值和频率为变量的振动耗能函数为

式中，m为测量数据的总段数，k₁、k₂为平动/转动的振动耗能系数，f_tl、f_rl为第l段的平动/转动频率，A_tl、A_rl为第l段的平动/转动幅值，e_p为振动耗能误差项，用以补偿幅值和频率提取中的误差对振动耗能的影响，例如，振动频率提取中选用幅值较大的频率计算等效频率，忽略了微幅值振动对输电线的损伤作用，e_p与平动/转动总耗能存在比例关系。

输电线运动不是单一的水平或垂直运动，可分为绕X、Y、Z轴的平动和转动，每个轴向的振动都会使输电线消耗一定的能量，造成不同程度的损伤，因此在构建振动耗能函数时要考虑耦合作用，故构建振动耗能函数为：

式中，f_xtl、f_ytl、f_ztl为第l段的平动频率，A_xtl、A_ytl、A_ztl为第l段的平动幅值，f_xrl、f_yrl、f_zrl为第l段的转动频率，A_xrl、A_yrl、A_zrl为第l段的转动幅值，

为损伤耗能耦合矩阵。

当输电线的平动与转动耦合作用时，对于平动来说，三轴加速度信号会偏离上一时刻的三个轴向，例如当前的X轴加速度与上一时刻的X轴加速度的相关系数较小，而与上一时刻的Y轴加速度相关系数较大，说明X轴向Y轴转动了较大的幅度，因此，可用三轴加速度的相关系数矩阵表示耦合矩阵ρ＝I-R_a，式中，

为加速度信号的相关系数矩阵。

德国学者Fleischer的能量理论中提到，磨损耗能以势能的形式在材料中积累，当内能达到临界值时，摩擦使材料从表面脱落而形成磨屑或裂纹。磨损是输电线损伤的显著特征，所以，随着振动耗能的积累输电线的损伤程度会增加，但在不同的阶段，振动耗能会不同程度的影响输电线损伤。损伤初期，输电线表面的尖峰会增大摩擦力，损伤随着振动耗能的积累迅速增加，至尖峰被磨去而减缓损伤速度；损伤稳定阶段，损伤初期产生的磨损颗粒会加快摩擦速度，同时磨损作用使输电线的强度降低，动弯应力变大，疲劳损伤增强，损伤以振动耗能的幂函数加倍；损伤加剧阶段，当振动耗能达到一定值，磨损与疲劳使输电线发生明显的变形，磨损间隙变大，输电线的强度急剧降低，损伤以振动耗能的指数加剧，此时，输电线进入老化期，应及时更换。由于加工精度的提高，输电线表面十分光滑，损伤初期阶段持续的时间较短，故将其并入损伤稳定阶段。

由上述分析可知，输电线振动损伤和振动耗能并不是单纯的线性关系，因此建立振动损伤函数模型来表示损伤与振动耗能的关系，振动损伤函数模型为

式中，k₃、k₄和c为常值系数。u＝P_m/P_cm，P_cm为损伤稳定阶段与损伤加剧阶段的临界值，当u＜1时，损伤主要以幂函数增加；u≥1时，损伤主要呈指数加剧。

为分析振动损伤程度，需要计算当前的振动损伤与最大振动损伤D_max(P_m)的比值，振动损伤程度为D'(P_m)＝D(P_m)/D_max(P_m)×100％。

度量输电线振动损伤程度的直观方式为测量损伤深度，结合现有的钢丝损伤深度理论模型，利用振动耗能函数建立输电线振动损伤深度的理论模型为：

式中，h_l为振动累计l段的损伤深度，r为输电线的半径(mm)，k和k₅是与输电线材料相关的系数。

输电线多采用钢芯铝绞线，当钢芯断裂或铝线损伤截面超过铝线总面积的25％应切断重接。因此，当输电线的损伤深度为铝线半径的25％时，损伤由稳定阶段进入急剧阶段，此时的振动耗能为P_cm；当输电线的损伤深度为铝线半径时振动耗能达到最大值，记为maxP_m，带入式

可得最大振动损伤D_max(P_m)。

该度量仪结构简单，可嵌入式使用，安装和更换方便，不仅仅适用于线路运动损伤度量，可广泛基于运动而产生的损伤场合的度量，具有较长的使用寿命和较高的应用价值。

附图说明

图1是损伤度量仪结构图。

图2是输电线路振动损伤分析度量流程图。

图3是输电线平动/转动示意图。

具体实施方式

本发明的目的在于通过由MEMS惯性器件构建惯性测量单元，嵌入到输电在线监测系统里，采集输电线运动的三轴加速度和角速度，然后进行滤波和分段处理，根据输电线的振动特性，用积分和FFT变换计算平动/转动的幅值和频率，从损伤耗能的角度，综合摩擦磨损和疲劳损伤对输电线的耗能作用，以输电线平动/转动的幅值和频率为变量构建振动耗能函数，然后分析振动损伤与振动耗能函数的关系，建立振动损伤函数模型，计算输电线的损伤程度，以下结合附图说明本发明的具体实施。

如图1所示，输电线路损伤度量仪包括两个单元：运动敏感单元(MEMS惯性测量单元)和损伤分析度量单元。

运动敏感单元包括：三轴MEMS加速度计、三轴MEMS陀螺仪和温度计，采集三轴加速度、三轴角速度和温度数据，通过SPI接口把数据传输到损伤分析度量单元。

损伤分析度量单元也即是损伤度量仪的核心，硬件上由350M～500MHz时钟频率的ARM1176JZ嵌入式处理器，ROM/RAM存储器、SD卡、Mini USB接口和外围辅助电子元件构成。

度量仪采用锂电池供电或从Mini USB接口取电。

损伤分析度量方法，如图2所示，首先对输电线加速度和角速度运动数据，进行滤波和分段处理，对处理过三轴加速度和角速度进行积分、FFT变换计算平动/转动的三轴幅值和频率，从损伤耗能的角度构建振动耗能函数和振动损伤函数模型，计算振动损伤程度并与探伤仪的测量值进行对比，其具体步骤如下：

采用多维时间序列的卡尔曼滤波方法：将输电线的加速度和角速度用三维时间序列表示为a_t＝{a_xt,a_yt,a_zt}，ω_t＝{ω_xt,ω_yt,ω_zt}，对a_t和ω_t建立时间序列模型时，先平滑处理采集的数据，建立AR(2)模型：

式中

τ₁、τ₂为自回归参数矩阵，

为测量噪声。

通过最小二乘法拟合

τ₁、τ₂，进一步采用卡尔曼滤波对参数进行优化，使线路运动数据更加准确，加速度信号的状态空间模型为：

式中，X_k＝[a_ta_t-1]^T为系统状态，

为过程噪声，

B＝[1_1×3 0_1×3]^T为状态空间模型参数，H＝[I_3×3 0_3×3]为观测矩阵。

将加速度状态空间模型参数带入卡尔曼滤波公式，得到输电线三轴加速度最优滤波值；同理，对线路角速度进行卡尔曼滤波。

输电线路振动损伤与线路运动特征——幅值和频率有直接关系，首先需要计算线路运动的幅值和频率，然后根据幅值和频率建立振动耗能函数和振动损伤函数模型，进而分析和度量输电线的振动损伤程度。

输电线平动特征提取：输电线平动时，X、Y、Z轴的振动幅值与各轴向的振动加速度线性正相关，因此选取振动加速度信号a_t作为平动特征量，为了便于幅值和频率的计算，对处理过的数据进行分段，分段长度为L，分段后振动加速度记为a_l(a_l1,a_l2,a_l3,...,a_lL)，其中a_li为l段的加速度。

根据加速度与速度的关系，得出第l段的速度为

式中，V₀为平动的初始速度，t为每段数据的采样时间，a_li为第l段第i个加速度数据。

根据加速度与位移的关系，得出第l段的位移为

式中，S₀为平动的初始位移，V_li为第l段的第i个速度数据。

综上，第l段的平动幅值为

输电线的振动是不同频率信号的叠加，可根据FFT变换计算振动加速度信号的频率，进而得到平动频率；对一段数据做FFT变换，得到L个复数序列，每个点对应一个频率点f_n＝(n-1)*f_s/L，式中，f_n为某点n的信号频率，f_s为采样频率，L为FFT变换点数。

由于输电线的振动是不同频率信号的叠加，根据频谱中显示的主值频率f₁,f₂,…,f_p，由主值频率构造加速度信号的等效频率为

其中f_tlmax为幅值最大的频率。由平动幅值与振动加速度的关系式可知，加速度变换一个周期，平动幅值达到最大，故平动的周期近似为振动加速度周期的二倍，故平动频率为f_tl＝0.5f'_tl。

输电线转动特征提取：输电线转动时，角速度表示转动角的变化率，转动幅值即为转动角，选取角速度信号作为转动特征量；同样将滤波后的角速度滑动分段，分段后记为ω_l(ω_l1,ω_l2,ω_l3,...,ω_lL)，对角速度进行积分运算，第l段的转动幅值为

式中，θ₀为初始转角，t为每段数据的采样时间。

由转动幅值与角速度的关系式可知，平动的周期近似为角速度变化的一个周期；同样利用FFT变换求取角速度频率，得到转动频率为f_rl。

振动耗能函数构建：输电线振动是能量转换和消耗的过程，不断的振动会导致输电线在与金具接触部位出现较大的动弯应变，以疲劳的形式消耗能量，还加速输电线与金具或自身的摩擦，以磨损的形式耗能，二者消耗的能量称为输电线的振动耗能，代表输电线振动中材料损伤消耗的能量。由上述可知，输电线的振动耗能是振动带来能量的一部分，根据动能定理，振动耗能函数为

式中，K是振动耗能系数，V是t时刻的速度。

由于输电线的振动速度不是线性变化的，难以直接计算振动耗能，可以分段计算。在疲劳损伤的研究中，利用振动幅值和频率计算动弯应变，进而分析输电线的疲劳程度；在摩擦学中，摩擦磨损速率为接触压力F与摩擦速度V的乘积，依据摩擦与振动的相互作用，可以用振动幅值表示接触压力F，用振动频率表示摩擦速度，故可用振动幅值和频率来计算振动耗能。根据振动速度与振动幅值存在的正比关系，结合提取的平动和转动特征，可将振动耗能表示为各段平动和转动耗能的总和，构建以振动幅值和频率为变量的振动耗能函数为

式中，m为测量数据的总段数，k₁、k₂为平动/转动的振动耗能系数，f_tl、f_rl为第l段的平动/转动频率，A_tl、A_rl为第l段的平动/转动幅值，e_p为振动耗能误差项，用以补偿幅值和频率提取中的误差对振动耗能的影响，例如，振动频率提取中选用幅值较大的频率计算等效频率，忽略了微幅值振动对输电线的损伤作用，e_p与平动/转动总耗能存在比例关系。

输电线运动不是单一的水平或垂直运动，可分为绕X、Y、Z轴的平动和转动，每个轴向的振动都会使输电线消耗一定的能量，造成不同程度的损伤。如图3(a)，输电线受X轴负方向的平动作用力和绕Y轴的旋转作用力，运动轨迹如图3(b)，可看出二者的耦合使平动和转动的作用更加显著，因此在构建振动耗能函数时要考虑耦合作用，故构建振动耗能函数为：

式中，f_xtl、f_ytl、f_ztl为第l段的平动频率，A_xtl、A_ytl、A_ztl为第l段的平动幅值，f_xrl、f_yrl、f_zrl为第l段的转动频率，A_xrl、A_yrl、A_zrl为第l段的转动幅值，

为损伤耗能耦合矩阵。

当输电线的平动与转动耦合作用时，对于平动来说，三轴加速度信号会偏离上一时刻的三个轴向，例如当前的X轴加速度与上一时刻的X轴加速度的相关系数较小，而与上一时刻的Y轴加速度相关系数较大，说明X轴向Y轴转动了较大的幅度，因此，可用三轴加速度的相关系数矩阵表示耦合矩阵ρ＝I-R_a，式中，

为加速度信号的相关系数矩阵。

输电线振动损伤和振动耗能并不是单纯的线性关系，因此建立振动损伤函数模型来表示损伤与振动耗能的关系，振动损伤函数模型为

式中，k₃、k₄和c为常值系数。u＝P_m/P_cm，P_cm为损伤稳定阶段与损伤加剧阶段的临界值，当u＜1时，损伤主要以幂函数增加；u≥1时，损伤主要呈指数加剧。

为分析振动损伤程度，需要计算当前的振动损伤与最大振动损伤D_max(P_m)的比值，振动损伤程度为D'(P_m)＝D(P_m)/D_max(P_m)×100％。

度量输电线振动损伤程度的直观方式为测量损伤深度，结合现有的钢丝损伤深度理论模型，利用振动耗能函数建立输电线振动损伤深度的理论模型为

式中，h_l为振动累计l段的损伤深度，r为输电线的半径(mm)，k和k₅是与输电线材料相关的系数。

输电线多采用钢芯铝绞线，当钢芯断裂或铝线损伤截面超过铝线总面积的25％应切断重接。因此，当输电线的损伤深度为铝线半径的25％时，损伤由稳定阶段进入急剧阶段，此时的振动耗能为P_cm；当输电线的损伤深度为铝线半径时振动耗能达到最大值，记为maxP_m，带入式

可得最大振动损伤D_max(P_m)。

最后说明的是以上实施案例仅用于说明本发明的技术方案而非限制，可以对本发明进行修改或更换，而不脱离本技术方案的范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种输电线路振动损伤分析度量方法，其特征在于损伤分析度量步骤包括：

(1)采用多维时间序列的卡尔曼滤波获取输电线运动加速度和角速度：

①将输电线的加速度a_t＝{a_xt,a_yt,a_zt}和角速度ω_t＝{ω_xt,ω_yt,ω_zt}的三维时间序列，对a_t和ω_t建立时间序列模型时，先平滑处理采集的数据，建立AR(2)模型：

式中，

τ₁、τ₂为自回归参数矩阵，

为测量噪声；

②通过最小二乘法拟合

τ₁、τ₂，进一步采用卡尔曼滤波对参数进行优化，使线路运动数据更加准确，加速度信号的状态空间模型为

式中，X_k＝[a_ta_t-1]^T为系统状态，

为过程噪声，

B＝[1_1×3 0_1×3]^T为状态空间模型参数，H＝[I_3×3 0_3×3]为观测矩阵；

③将加速度状态空间模型参数带入卡尔曼滤波公式，得到输电线三轴加速度最优滤波值；同理，对线路角速度进行卡尔曼滤波；

(2)计算线路运动的幅值和频率：

①计算输电线平动幅值：输电线平动时，X、Y、Z轴的振动幅值与各轴向的振动加速度线性正相关，因此选取振动加速度信号a_t作为平动特征量，为了便于幅值和频率的计算，对处理过的数据进行分段，分段长度为L，分段后振动加速度记为a_l(a_l1,a_l2,a_l3,...,a_lL)，其中a_li为l段的加速度；根据加速度与速度的关系，得出第l段的速度为

式中，V₀为平动的初始速度，t为每段数据的采样时间，a_li为第l段第i个加速度数据；根据加速度与位移的关系，得出第l段的位移为

式中，S₀为平动的初始位移，V_li为第l段的第i个速度数据；综上可获得第l段的平动幅值为

②计算输电线平动频率：输电线的振动是不同频率信号的叠加，可根据FFT变换计算振动加速度信号的频率，进而得到平动频率；对一段数据做FFT变换，得到L个复数序列，每个点对应一个频率点f_n＝(n-1)*f_s/L，式中，f_n为某点n的信号频率，f_s为采样频率，L为FFT变换点数；由于输电线的振动是不同频率信号的叠加，根据频谱中显示的主值频率f₁,f₂,…,f_p，由主值频率构造加速度信号的等效频率为

其中f_tlmax为幅值最大的频率；由平动幅值与振动加速度的关系式可知，加速度变换一个周期，平动幅值达到最大，故平动的周期近似为振动加速度周期的二倍，故平动频率为f_tl＝0.5f'_tl；

③计算输电线转动幅值和频率：输电线转动时，角速度表示转动角的变化率，转动幅值即为转动角，选取角速度信号作为转动特征量；同样将滤波后的角速度滑动分段，分段后记为ω_l(ω_l1,ω_l2,ω_l3,...,ω_lL)，对角速度进行积分运算，第l段的转动幅值为

式中，θ₀为初始转角，ω_li为第l段的i个角速度，t为每段数据的采样时间；由转动幅值与角速度的关系式可知，平动的周期近似为角速度变化的一个周期，同样利用FFT变换求取角速度频率，得到转动频率为f_rl；

(3)根据幅值和频率建立振动耗能函数：

①输电线的振动耗能是振动带来能量的一部分，根据动能定理，振动耗能函数为

式中，K是振动耗能系数，V是t时刻的速度；

②在摩擦学中，摩擦磨损速率为接触压力F与摩擦速度V的乘积，依据摩擦与振动的相互作用，可以用振动幅值表示接触压力F，用振动频率表示摩擦速度，故可用振动幅值和频率来计算振动耗能；根据振动速度与振动幅值存在的正比关系，结合提取的平动和转动特征，可将振动耗能表示为各段平动和转动耗能的总和，构建以振动幅值和频率为变量的振动耗能函数为

式中，m为测量数据的总段数，k₁、k₂为平动/转动的振动耗能系数，f_tl、f_rl为第l段的平动/转动频率，A_tl、A_rl为第l段的平动/转动幅值，e_p为振动耗能误差项，用以补偿幅值和频率提取中的误差对振动耗能的影响；

③构建振动耗能函数为：

式中，f_xtl、f_ytl、f_ztl为第l段的平动频率，A_xtl、A_ytl、A_ztl为第l段的平动幅值，f_xrl、f_yrl、f_zrl为第l段的转动频率，A_xrl、A_yrl、A_zrl为第l段的转动幅值，

为损伤耗能耦合矩阵；

④可用三轴加速度的相关系数矩阵表示耦合矩阵ρ＝I-R_a，式中，I为单位矩阵，

为加速度信号的相关系数矩阵；

(4)振动损伤函数模型：

式中，k₃、k₄和c为常值系数；u＝P_m/P_cm，P_cm为损伤稳定阶段与损伤加剧阶段的临界值，当u＜1时，损伤主要以幂函数增加；u≥1时，损伤主要呈指数加剧；

(5)为分析振动损伤程度，需要计算当前的振动损伤与最大振动损伤D_max(P_m)的比值，振动损伤程度为D'(P_m)＝D(P_m)/D_max(P_m)×100％；

(6)度量输电线振动损伤程度的直观方式为测量损伤深度，结合现有的钢丝损伤深度理论模型，利用振动耗能函数建立输电线振动损伤深度的理论模型为：

式中，h_l为振动累计l段的损伤深度，r为输电线的半径，k和k₅是与输电线材料相关的系数；

(7)输电线多采用钢芯铝绞线，当钢芯铝绞线的钢芯断裂或钢芯铝绞线损伤截面超过钢芯铝绞线总面积的25％应切断重接；因此，当输电线的损伤深度为钢芯铝绞线半径的25％时，损伤由稳定阶段进入急剧阶段，此时的振动耗能为P_cm；当输电线的损伤深度为钢芯铝绞线半径时振动耗能达到最大值，记为maxP_m，带入式

可得最大振动损伤D_max(P_m)。

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