CN110096753A - 两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，所述方法包括：根据双指数分布的概率密度函数和可靠度函数求出两种随机变量下可靠度R的函数表达式；计算现场数据下的似然函数；确定两种随机变量下指数型现场数据的Bayes验前分布形式；根据似然函数和参数的验前分布计算验后分布；分别对两个参数和可靠度进行评估。该方法综合考虑了包含两种随机变量的双指数分布，使得评估结果更加合理可信。
Description
技术领域
本发明属于系统可靠性领域，具体涉及两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法。
背景技术
双参数指数分布是一类应用非常广泛且重要的分布。在可靠性理论和应用中，它是经常采用的参数化寿命分布模型；在保险和精算领域中，它是常用的损失分布且适用于不同的险种；同时也广泛应用于现代医学和工农业生产中。例如Bain,L.J等利用两个相互独立的双参数指数变量之差产生双参数指数分布这一事实来分析水文站的洪水资料；Epstein,B指出有缺陷材料的强度是服从双参数指数分布的；Easterling,R.G基于双参数测量误差的假定，建立了一个关于蒸汽机发生器的监测模型；胡平、袁子厚取双参数指数分布建立了精算模型。
基于双参数指数分布用途如此的广泛，国内外的学者对双参数指数分布的参数估计及假设检验问题做了很多的研究。有关双参数指数分布的参数估计问题是在不同试验下研究的，例如刘菡、叶尔骅等在截尾寿命试验下分别研究了双参数指数分布的参数及可靠性指标的Bayes估计；郑明等讨论随机删失试验下的生存函的经验似然估计；郑祖康等给出了在随机删失试验下生存函数的一个估计，并计算了它的期望和方差；陆文良讨论了在一类特殊的随机删失下的生存函数的估计及其渐近性；武晓利在三种试验下讨论了双参数指数分布的参数估计问题，给出了参数的极大似然估计，Bayes估计和两种最小二乘估计。但上述学者的研究都是针对单个随机变量展开的，而对两种随机变量下指数分布的评估少之又少，针对这种情况可以根据本发明提出的方法对给予解决。
发明内容
1、本发明的目的
本发明为了提供两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，运用Bayes理论根据现场数据确定两种随机变量下双指数分布参数的验前分布，进而计算参数的后验分布，根据后验分布进行参数及可靠度的评估。
2、本发明采用技术方案
本发明的两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，包括如下步骤：
1.两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：首先假设x和y为双参数指数分布的两个独立随机变量，根据式(1)和式(2)求出两个随机变量下可靠度R的表达式{式(3)}。
其中，μ、θ分别为双指数分布的位置参数和尺度参数。
步骤2：计算现场数据下的似然函数。
假设收集到随机变量x的n个失效数据为{x1,x2,…,xi,…,xn}，其中，1≤i≤n。收集到随机变y的h个失效数据为{y1,y2,…,yi,…,yh}，其中，1≤j≤h。如果xi或yj是失效时间，则将它们表示为xi∈Fx或yj∈Fy，否则，我们将它们表示为或基于样本数据的似然函数为
根据式(1)和式(2)似然函数可以简化为
其中，dx和dy表示样本{x1,x2,…,xi,…,xn}和{y1,y2,…,yi,…,yn}的故障次数，cx、cy、为简化系数，它们的值分别为
步骤3：确定两种随机变量下指数型现场数据的Bayes验前分布形式。
选取参数θ和μ的先验分布分别取共轭伽玛分布和均匀分布，他们的分布形式分别如式(6)、式(7)、式(8)和式(9)所示。
式中，a、b分别表示Gamma分布中的形状参数和尺度参数。
步骤4：根据似然函数和参数的验前分布可以计算如式(10)所示的Bayes验后分布。
π(μx,μy,θx,θy|D)∝π(μx)π(μy)π(θx)π(θy)L (10)
步骤5：根据Bayes的验后分布计算参数μ和θ的后验边际密度，然后对两个参数进行评估，接着通过参数θ与可靠度R的转化对可靠度进行估计。
进一步的，所述步骤3中通过蒙特卡洛的仿真研究，表明参数μ采用均匀先验分布的效果优于Gamma及其他分布。
进一步的，所述步骤5中，具体包括如下步骤：
步骤501：结合式(6)-(9)可以得到参数μ和θ的联合先验分布g(μ,θ)，根据公式(11)计算得到μ和θ的后验边际密度hu、hθ。在平方损失下，参数的Bayes估计值为参数的后验期望Eμ,θ，由此得到参数μ和θ的Bayes估计值μ'、θ'。
∫∫h(μ,θ|x,y)dμdθ＝1 (11)
步骤502：根据式(2)可以得到参数θ和可靠度R如式(12)所示的关系式，由此完成从(μ,θ)到(μ,R)的转化。
步骤503：结合式(12)可以计算得到R的后验边际密度hR。在平方损失下可靠度的Bayes估计值等于后验期望ER，由此可以得到可靠度R的Bayes估计值R'。
3、本发明的有益技术效果
(1)本发明提供的两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，运用Bayes理论根据现场数据确定两种随机变量下双指数分布参数的验前分布，进而计算参数的后验分布，根据后验分布进行参数及可靠度的评估；
(2)由于该方法综合考虑了双指数分布的两种随机变量，从而使得评估结果更加合理可信。同时，由于该方法运用的是Bayes理论，在对系统尤其是复杂系统进行评估时可以大大减少试验量，具有较高的经济性。
附图说明
图1为本发明提供的两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法的流程示意图；
图2为按照本发明的两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法的一优选实施例的可靠度函数曲线变化图；
图3为按照本发明的两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法的一优选实施例的可靠度概率密度函数曲线变化图。
具体实施方式
为使本领域技术人员更加清楚和明确本发明的技术方案，下面结合附图，对本发明两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法进行详细说明，其具体步骤如下：
步骤1：首先假设x和y为双参数指数分布的两个独立随机变量，根据式(1)和式(2)求出两个随机变量下可靠度R的表达式{式(3)}。
其中，μ、θ分别为双指数分布的位置参数和尺度参数。
步骤2：计算现场数据下的似然函数。
假设收集到随机变量x的n个失效数据为{x1,x2,…,xi,…,xn}，其中，1≤i≤n。收集到随机变y的h个失效数据为{y1,y2,…,yi,…,yh}，其中，1≤j≤h。如果xi或yj是失效时间，则将它们表示为xi∈Fx或yj∈Fy，否则，我们将它们表示为或基于样本数据的似然函数为
根据式(1)和式(2)似然函数可以简化为
其中，dx和dy表示样本{x1,x2,…,xi,…,xn}和{y1,y2,…,yi,…,yn}的故障次数，cx、cy、为简化系数，它们的值分别为
步骤3：确定两种随机变量下指数型现场数据的Bayes验前分布形式。
选取参数θ的先验分布取共轭伽玛分布，通过蒙特卡洛的仿真研究，表明参数μ采用均匀先验分布的效果优于Gamma及其他分布，所以参数μ采用均匀分布。他们的分布形式分别如式(6)、式(7)、式(8)和式(9)所示。
式中，a、b分别表示Gamma分布中的形状参数和尺度参数。
步骤4：根据似然函数和参数的验前分布可以计算如式(10)所示的Bayes验后分布。
π(μx,μy,θx,θy|D)∝π(μx)π(μy)π(θx)π(θy)L (10)
步骤5：根据Bayes的验后分布计算参数μ和θ的后验边际密度，然后对两个参数进行评估，接着通过参数θ与可靠度R的转化对可靠度进行估计。
首先结合式(6)-(9)可以得到参数μ和θ的联合先验分布g(μ,θ)，根据公式(11)计算得到μ和θ的后验边际密度hu、hθ。在平方损失下，参数的Bayes估计值为参数的后验期望Eμ,θ，由此得到参数μ和θ的Bayes估计值μ'、θ'。
∫∫h(μ,θ|x,y)dμdθ＝1 (11)
接着根据式(2)可以得到参数θ和可靠度R如式(12)所示的关系式，由此完成从(μ,θ)到(μ,R)的转化。
最后结合式(12)可以计算得到R的后验边际密度hR。在平方损失下可靠度的Bayes估计值等于后验期望ER，由此可以得到可靠度R的Bayes估计值R'。
下面采用实施例对本发明的内容作进一步的详细说明。
实例：设一组试验中参数θ和μ分别服从伽玛分布和均匀分布，且μx≠μy,试验的样本量s取55，任务时间范围为0～2000h，按照本发明提供的方法可以得到可靠度R及其概率密度函数，分别如图2和图3所示。
从图3中可以看出，在任务时间较短时利用本发明提供的方法计算出的可靠度值几乎与真值重合，随着任务时间从500h增加至1500h，可靠度的估计值逐渐开始偏高于真值，而当任务时间从1500h增加至2000h，可靠度的值估计略低于真值。总体来说利用本发明提供的方法计算出的可靠度值非常接近与真值，因此，可以认为利用本发明提出的方法对两种随机变量下双指数分布的评估是合理可信的。
在本实施例中，按照本实施例的两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，本实施例提供的两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，运用Bayes理论根据现场数据确定两种随机变量下双指数分布参数的验前分布，进而计算参数的后验分布，根据后验分布进行参数及可靠度的评估，由于该方法综合考虑了双指数分布的两种随机变量，从而使得评估结果更加合理可信。同时，由于该方法运用的是Bayes理论，在对系统尤其是复杂系统进行评估时可以大大减少试验量，具有较高的经济性。
以上所述，仅为本发明进一步的实施例，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明所公开的范围内，根据本发明的技术方案及其构思加以等同替换或改变，都属于本发明的保护范围。
Claims (3)
1.一种两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：首先假设x和y为双参数指数分布的两个独立随机变量，根据式(1)和式(2)求出两个随机变量下可靠度R的表达式，即式(3)：
其中，μ、θ分别为双指数分布的位置参数和尺度参数；
式中，R1(t；μ,θ)表示一种随机变量下的双指数分布的可靠度函数，R2表示结合式(1)、(2)求出的两种随机变量下的双指数可靠度函数，x、y表示双指数分别的两种随机变量，μx、θx和μy、θy分别表示随机变量分别为x、y时的位置参数和尺度参数，f(x；μx,θx)、f(y；μy,θy)分别表示x、y的概率密度函数；
步骤2：计算现场数据下的似然函数
假设收集到随机变量x的n个失效数据为{x1,x2,…,xi,…,xn}，其中，1≤i≤n；收集到随机变y的h个失效数据为{y1,y2,…,yi,…,yh}，其中，1≤j≤h；如果xi或yj是失效时间，则将它们表示为xi∈Fx或yj∈Fy，否则，我们将它们表示为或基于样本数据的似然函数为
根据式(1)和式(2)似然函数可以简化为
其中，dx和dy表示样本{x1,x2,…,xi,…,xn}和{y1,y2,…,yi,…,yn}的故障次数，cx、cy、为简化系数，它们的值分别为
步骤3：确定两种随机变量下指数型现场数据的Bayes验前分布形式，选取参数θ和μ的先验分布分别取共轭伽玛分布和均匀分布，他们的分布形式分别如式(6)、式(7)、式(8)和式(9)所示：
式中，a、b分别表示Gamma分布中的形状参数和尺度参数；
步骤4：根据似然函数和参数的验前分布可以计算如式(10)所示的Bayes验后分布
π(μx,μy,θx,θy|D)∝π(μx)π(μy)π(θx)π(θy)L (10)
步骤5：根据Bayes的验后分布计算参数μ和θ的后验边际密度，然后对两个参数进行评估，接着通过参数θ与可靠度R的转化对可靠度进行估计。
2.根据权利要求1所述的两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，其特征在于，所述步骤3中通过蒙特卡洛的仿真研究，表明参数μ采用均匀先验分布的效果优于Gamma及其他分布。
3.根据权利要求1所述的两种随机变量下双指数分布的Bayes评估方法，其特征在于，所述步骤5中，具体包括如下步骤：
步骤501：结合式(6)-(9)可以得到参数μ和θ的联合先验分布g(μ,θ)，根据公式(11)计算得到μ和θ的后验边际密度hu、hθ；在平方损失下，参数的Bayes估计值为参数的后验期望Eμ,θ，由此得到参数μ和θ的Bayes估计值μ'、θ'
∫∫h(μ,θ|x,y)dμdθ＝1 (11)
步骤502：根据式(2)可以得到参数θ和可靠度R如式(12)所示的关系式，由此完成从(μ,θ)到(μ,R)的转化
步骤503：结合式(12)可以计算得到R的后验边际密度hR；在平方损失下可靠度的Bayes估计值等于后验期望ER，由此可以得到可靠度R的Bayes估计值R'。
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