CN110068816A - 一种基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法。针对隧道衬砌背后空洞检测信号特征的提取问题，提出一种根据双正交小波理论和目标信号波形特征来构造匹配小波的方法。该方法以完全重构滤波器条件和提升格式小波为基础，通过对初始双正交滤波器进行提升与对偶提升，获得不同的提升算子和对偶提升算子，并结合探地雷达信号的实际特点，构造出既满足线性相位、紧支撑性，又具有与探地雷达信号匹配度高等优势的新双正交小波基。本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法将该小波基应用于室内空腔检测试验空洞缺陷的定量分析中，同其他类型小波相比，用提升方法构造的小波能更准确地识别空洞缺陷信号突变点的时刻和位置，能更准确的实现隧道工程中空洞缺陷的位置和垂直尺寸的定量分析，从而大大提高了探地雷达对缺陷探测的可靠度和准确度。

Description

一种基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法

技术领域

本发明涉及隧道衬砌结构背后缺陷无损检测领域，尤其涉及一种基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法。

背景技术

隧道在修建以及长期的运营过程中，由于地应力场的改变，初期支护失效以及隧道设计施工缺陷等会造成隧道衬砌结构出现各种病害问题，衬砌结构开裂和衬砌背后空洞就是其中两个较为主要的问题，其中又尤以衬砌背后空洞产生的危害更为严重。

衬砌背后存在空洞的具体成因主要有以下几点：

①在隧道施工时，光面爆破控制不当，造成超挖，施工单位又未按照规定方案充填，造成了支护与围岩之间充填不密实，甚至形成了大的空洞。

②在对隧道二次衬砌进行施工中，因为泵送混凝土的压力不是很足、流动性不好以及抽拔泵送管太早太快等一些原因，混凝土往往难以饱满，这造成模筑混凝土厚度不足进而形成了空洞。

③模板支架底部不是很坚实，或者支架比较疏松，使得顶部模板下沉量过大，所以会导致混凝土下沉脱空，以至于形成空洞。

④衬砌拱部二次衬砌浇筑混凝土后没有及时浇筑立墙底部，立墙可能产生相对位移，导致拱顶下沉，造成拱顶衬砌混凝土下沉脱空，进而形成空洞。

⑤隧道施工时使用的原材料质量控制不严格、砂粒太细、水泥用量太大、混凝土水灰比太太、温差以及隧道内通风状况等都会引起混凝土收缩，导致衬砌混凝土下沉脱空，甚至形成空洞。

⑥隧道在长期的运营中，地下水侵蚀或冲刷隧道背后围岩，造成支护结构与围岩脱空。

当衬砌背后存在空洞时，衬砌结构的受力和围岩的应力状态会发生改变：①衬砌上边缘容易发生开裂，同时空洞也是水的通道，如果有渗漏水发生，则渗漏水会沿着空洞和裂缝进入衬砌，引起渗漏、冻害、钢筋锈蚀等缺陷；②围岩会失去应有的支护而松弛、变形，导致失稳、脱落，严重时会发生突发性崩塌，这将严重影响到行车安全。

空洞的存在给隧道施工及运营带来极大的安全隐患，及时发现并准确识别隧道衬砌结构背后空洞位置及其范围对于维护工程的安全性有重要意义。

采用探地雷达进行地质灾害问题定性识别比较容易实现，但对空洞(溶洞) 的准确量化识别是一个比较有难度的课题，主要问题在于定量分析用小波基的选取问题。在工程诊断中往往是根据研究对象的波形特点从已有的小波库中选择一个比较合适的小波，但已有的通用小波基由于其对具体问题缺乏针对性的事实已严重影响了小波分析的实际应用效果。

传统小波的构造是在Fourier变换理论的框架上通过对函数的平移和伸缩来实现的，提升格式与传统小波的主要区别在于它不依赖于Fourier变换，完全在时空域完成了对双正交小波滤波器的构造。双正交小波滤波器能保证线性相位，并能确保信号分析的稳定性和准确性。提升方法构造小波基可以在提高小波基消失矩、使小波变得光滑的同时，使小波基更加符合待分析信号波形特点，以满足工程计算需要。本发明以提升方法为基础，根据探地雷达信号特征，通过对初始双正交滤波器进行提升和对偶提升，构造出与探地雷达信号波形匹配度高的双正交小波滤波器组。通过对试验检测信号进行分析，表明新小波基能够更准确地检测出探地雷达信号中的突变点，能更准确的实现隧道工程中空洞缺陷的位置和垂直尺寸的定量分析。

发明内容

本发明针对隧道衬砌结构背后空洞探地雷达检测信号特征的提取及空洞定量识别问题，提出了一种基于完全重构滤波器组和提升格式理论的探地雷达信号定量分析用小波基构造方法。

为了解决隧道衬砌结构背后空洞缺陷的准确定位和定量化识别问题，本发明通过下述技术方案得以解决：

提供一种基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，包括如下步骤：

S1、设置h、g构成一双正交小波滤波器组；

S2、双正交小波滤波器组的设计；

S3、利用Mallat算法，双正交小波变换的重构过程；

S4、对偶提升算子的计算；

S5、优化α₀和α₁；

S6、对新小波基与实际探地雷达信号的相似度进行分析和计算；

进一步地，所述步骤S1中和为一组分析滤波器，h和g为一组综合滤波器；

通过信号的卷积运算可知，滤波器组构成双正交完全重构滤波器组的充要条件为：

定义h和g的多相位矩阵为

和的多相位矩阵可表示为：

进一步地，所述步骤S2在双正交小波滤波器组的设计中，设输出系数对应的z变换多项式分别为s(z)，d(z)，则分解端可以表示为：

对于滤波器的z变换实现多相位表示，例如，h(z)＝h_e(z²)+z^-1h_o(z²)，h_e， h_o分别表示偶、奇系数多项式；

由此通过变换，(4)式可表示为：

即有

根据(3)式并基于Mallat算法的信号分解过程，(6)式可表示为：

进一步地，所述步骤S3中利用Mallat算法，双正交小波变换的重构过程为：

因此有：

从而有：

矩阵表示，则有：

结合(7)式，完全重构公式(1)可等价表示为：

因此可选取矩阵p(z)的行列式detP(z)＝1。

进一步地，在所述步骤S4中假设一个初始双正交滤波器组为若多相位矩阵p(z)的行列式为1，则初始滤波器组可通过提升公式(13) 和对偶提升公式(14)构造一新滤波器组其中提升算子 s(z)、对偶提升算子均为Laurent多项式：

考虑初始滤波器具有线性相位，则经提升方式构造得到的满足线性相位，同时提升算子s(z)和对偶提升算子必具有线性相位。因此s(z)可表示为：

其中数列代表s(z)中的自由参数，m是与消失矩有关的参数。

进一步地，所述初始滤波器为具有1阶消失矩的Haar小波，设提升后主小波及其对偶小波消失矩均为3。

进一步地，首先对所述初始滤波器作对偶提升，由于则有对偶提升算子其中

设提升目标是把的消失矩从提升到则提升可以看成是设计合适的提升算子使得能被整除

求解(16)式，可得：

令

则消失矩的提升目标要求上式满足

计算可得：则有

从而对偶提升后，新的滤波器函数满足

此时双正交滤波器函数变为再利用该组滤波器对和g(z)作提升；

对于s(z)中的自由参数一部分用来提高新小波的消失矩，一部分用来改善小波函数的性质，使其与探地雷达信号波形相匹配；

令m＝2，则有

由于新小波消失矩提高了2阶，因此有：

通过计算，得到：α₀+α₁＝-1/8

由于

因此提升后新滤波器满足：

经对偶提升和提升后，初始双正交滤波器变为

进一步地，所述步骤S5中通过优化α₀和α₁的取值使新小波的波形与探地雷达信号波形匹配。通过计算，在满足小波构造条件下，当α₀＝3·2^-5时，新小波与探地雷达信号较为匹配；

用A₁代表新小波tsg3.3与探地雷达信号的相似度，A₂表示通用小波基中常用于分析探地雷达信号的bior2.6双正交小波基与探地雷达信号的相似度，通过相关性计算，可得A₁＝0.8224＞A₂＝0.2518。

将α₀＝3·2^-5代入和g₁(z)中，两步提升后新的滤波器系数满足：

h₁(z)＝{-1/16,1/16,1/2,1/2,1/16,-1/16}

将上述h₁(z)和添加至小波工具箱，从而构造出新的双正交小波基(tsg3.3)。

与现有技术相比本发明由于采用了以上技术方案，在隧道衬砌结构无损检测领域做出了巨大的突破，具有如下的有益效果：

本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法针对隧道衬砌背后空洞检测信号特征的提取问题，提出一种根据双正交小波理论和目标信号波形特征来构造匹配小波的方法。该方法以完全重构滤波器条件和提升格式小波为理论基础，通过对初始双正交滤波器进行提升与对偶提升，获得不同的提升算子和对偶提升算子，并结合探地雷达信号的实际特点，构造出既满足线性相位、紧支撑性，又具有与探地雷达信号匹配度高等优势的新双正交小波基。

本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法将该小波基应用于室内空腔检测试验空洞缺陷的定量分析中，同其他类型小波相比，用提升方法构造的小波能更准确地识别空洞缺陷信号突变点的时刻和位置，能更准确的实现隧道工程中空洞缺陷的位置和垂直尺寸的定量分析，从而大大提高了探地雷达对缺陷探测的可靠度和准确度。

附图说明

为了更清楚地说明本发明的应用效果和实施过程，下面将对技术描述过程中所使用的附图作简要介绍。

图1为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法tsg3.3新小波滤波器组及函数图-分解端尺度函数图。

图2为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法tsg3.3新小波滤波器组及函数图-分解端小波函数图。

图3为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法tsg3.3新小波滤波器组及函数图-分解端低通滤波器图。

图4为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法tsg3.3新小波滤波器组及函数图-分解端高通滤波器图。

图5为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法tsg3.3新小波滤波器组及函数图-重构端尺度函数图。

图6为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法tsg3.3新小波滤波器组及函数图-重构端小波函数图。

图7为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法tsg3.3新小波滤波器组及函数图-重构端低通滤波器图。

图8为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法tsg3.3新小波滤波器组及函数图-重构端高通滤波器图。

图9为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法室内空腔检测试验图。

图10为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法室内空腔检测试验实物图。

图11为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法探地雷达检测图像结果。

图12为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法探地雷达图像第80道信号波形图。

图13为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法基于 tsg3.3新小波基的小波变换时-频分析结果-第一层细节系数d₁。

图14为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法基于 tsg3.3新小波基的小波变换时-频分析结果-第二层细节系数d₂。

图15为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法基于 tsg3.3新小波基的小波变换时-频分析结果-第三层细节系数d₃。

图16为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法基于 tsg3.3新小波基的小波变换模值图。

图17为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法基于已有通用小波基bior2.6的小波变换时-频分析结果-第一层细节系数d₁。

图18为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法基于已有通用小波基bior2.6的小波变换时-频分析结果-第二层细节系数d₂。

图19为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法基于已有通用小波基bior2.6的小波变换时-频分析结果-第三层细节系数d₃。

图20为本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法基于已有通用小波基bior2.6的小波变换模值图。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作进一步的说明。其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本专利的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。

如图1～8所示，本发明提供一种基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，包括如下步骤：

S1、设置h、g构成一双正交小波滤波器组；

S2、双正交小波滤波器组的设计；

S3、利用Mallat算法，双正交小波变换的重构过程；

S4、对偶提升算子的计算；

S5、优化α₀和α₁；

S6、对新小波基与实际探地雷达信号的相似度进行分析和计算；

作为上述实施方式进一步地改进，所述步骤S1中和为一组分析滤波器， h和g为一组综合滤波器；

通过信号的卷积运算可知，滤波器组构成双正交完全重构滤波器组的充要条件为：

定义h和g的多相位矩阵为

和的多相位矩阵可表示为：

作为上述实施方式进一步地改进，所述步骤S2在双正交小波滤波器组的设计中，设输出系数对应的z变换多项式分别为s(z)，d(z)，则分解端可以表示为：

对于滤波器的z变换实现多相位表示，例如，h(z)＝h_e(z²)+z^-1h_o(z²)，h_e， h_o分别表示偶、奇系数多项式；

由此通过变换，(4)式可表示为：

即有

根据(3)式并基于Mallat算法的信号分解过程，(6)式可表示为：

作为上述实施方式进一步地改进，所述步骤S3中利用Mallat算法，双正交小波变换的重构过程为：

因此有：

从而有：

矩阵表示，则有：

结合(7)式，完全重构公式(1)可等价表示为：

因此可选取多项式p(z)的行列式detP(z)＝1。

作为上述实施方式进一步地改进，在所述步骤S4中假设一个初始双正交滤波器组为若多相位矩阵p(z)的行列式为1，则初始滤波器组可通过提升公式(13)和对偶提升公式(14)构造一新滤波器组其中提升算子s(z)、对偶提升算子均为Laurent多项式：

考虑初始滤波器具有线性相位，则经提升方式构造得到的满足线性相位，同时提升算子s(z)和对偶提升算子必具有线性相位。因此s(z)可表示为：

其中数列代表s(z)中的自由参数，m是与消失矩有关的参数。

作为上述实施方式进一步地改进，所述初始滤波器为具有1阶消失矩的Haar 小波，设提升后主小波及其对偶小波消失矩均为3。

作为上述实施方式进一步地改进，首先对所述初始滤波器作对偶提升，由于则有对偶提升算子其中

设提升目标是把的消失矩从提升到则提升可以看成是设计合适的提升算子使得能被整除

求解(16)式，可得：

令

则消失矩的提升目标要求上式满足

计算可得：则有

从而对偶提升后，新的滤波器函数满足

此时双正交滤波器函数变为再利用该组滤波器对和g(z)作提升；

对于s(z)中的自由参数一部分用来提高新小波的消失矩，一部分用来改善小波函数的性质，使其与探地雷达信号波形相匹配；

令m＝2，则有

由于新小波消失矩提高了2阶，因此有：

通过计算，得到：α₀+α₁＝-1/8

由于

因此提升后新滤波器满足：

经对偶提升和提升后，初始双正交滤波器变为

作为上述实施方式进一步地改进，所述步骤S5中通过优化α₀和α₁的取值使新小波的波形与探地雷达信号波形匹配。通过计算，在满足小波构造条件下，当α₀＝3·2^-5时，新小波与探地雷达信号较为匹配；

如图13～20所示，用A₁代表新小波tsg3.3与探地雷达信号的相似度，A₂表示通用小波基中常用于分析探地雷达信号的bior2.6双正交小波基与探地雷达信号的相似度，通过相关性计算，可得A₁＝0.8224＞A₂＝0.2518。

将α₀＝3·2^-5代入和g₁(z)中，两步提升后新的滤波器系数满足：

h₁(z)＝{-1/16,1/16,1/2,1/2,1/16,-1/16}

将上述h₁(z)和添加至小波工具箱，从而构造出新的双正交小波基(tsg3.3)。

本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法针对隧道衬砌背后空洞检测信号特征的提取问题，提出一种根据双正交小波理论和目标信号波形特征来构造匹配小波的方法。该方法以完全重构滤波器条件和提升格式小波为理论基础，通过对初始双正交滤波器进行提升与对偶提升，获得不同的提升算子和对偶提升算子，并结合探地雷达信号的实际特点，构造出既满足线性相位、紧支撑性，又具有与探地雷达信号匹配度高等优势的新双正交小波基。

本发明所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法将该小波基应用于室内空腔检测试验空洞缺陷的定量分析中，同其他类型小波相比，用提升方法构造的小波能更准确地识别空洞缺陷信号突变点的时刻和位置，能更准确的实现隧道工程中空洞缺陷的位置和垂直尺寸的定量分析，从而大大提高了探地雷达对缺陷探测的可靠度和准确度。

室内空腔检测试验验证

在室内进行已知尺寸的空腔检测试验，采用时频分析和小波变换模极大值法对空腔的埋深和垂直尺寸进行定量分析，以检测新小波基在地质雷达信号奇异性检测分析方面的准确性和优越性。

设计沙槽内空腔检测实验，木质空腔尺寸为25×20×20cm，空腔顶面到沙槽表面的距离为16cm(即埋深16cm)，空腔检测实验的详细参数、具体设计、模型制作过程及实测探地雷达信号详见表1和如图9～11所示。

表1空腔检测实验的具体参数

如图11所示，采用新构造的tsg3.3小波基对图11中图像中部反映空腔位置信息的第80道信号进行小波变换时频分析，得到该信号不同频段的子信号，并对子信号进行奇异性和奇异位置分析，时频分析结果如图13～15所示。信号的奇异性主要体现在小波变换的细节系数中，图中d₁、d₂、d₃分别为第一、第二、第三层细节系数，从图中可看出，第三层小波分解细节系数d₃存在规律性的局部极值变化，能够较明显地体现沙箱表面、空腔上(下)表面的反射波。因此对第三层细节系数d₃进行小波变换，其模值详见图16所示。根据小波奇异性分析特性，用点1表示沙槽的表面反射波，点2、3分别表示空腔的上、下表面反射波，各点的起始时刻分别为3.370ns、4.986ns、6.384ns，详见表2。根据标定的电磁波波速，可计算出空腔的埋深和垂直尺寸分别为15.74cm、20.97cm，与实际值相比，误差为0.26cm、0.97cm，误差百分比分别为1.63％、4.85％，详见表2。

同理，采用通用小波基中常用于分析地质雷达信号的bior2.6小波基对空洞检测信号进行奇异性分析。如图12所示，先对第80道信号进行小波变换时频分析，得到该信号不同频段的子信号，如图17～19所示。其中d₃对空洞缺陷的反映比较强烈，能够较明显地体现沙箱表面、空腔上(下)表面的反射波，对第三层细节系数d₃进行小波变换，其模值详见如图20所示。在如图20所示中根据小波奇异性分析的特性，用点1表示沙槽的表面反射波，用点2、3表示空腔的上下表面反射波，各点的起始时刻分别为3.315ns、5.068ns、6.192ns，详见表2。根据标定的电磁波波速，可计算出空腔的埋深和垂直尺寸分别为17.07cm、 16.86cm，与实际值相比，误差为1.07cm、3.14cm，误差百分比分别为6.69％、 15.70％，详见表2。

表2空腔检测实验第80道信号的定量分析对比结果

从表可知，不管是对于空洞埋深的识别还是对于空洞垂直尺寸的识别，基于tsg3.3新小波基的小波变换模极大值的计算结果均比基于通用小波基bior2.6的小波变换模极大值的计算结果更接近实际值，定量分析结果更准确，说明在探地雷达信号奇异性识别方面，tsg3.3新小波基的的识别效果和分析精度明显优于已有小波基。

Claims (8)

1.一种基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、设置h、g构成一双正交小波滤波器组；

S2、双正交小波滤波器组的设计；

S3、利用Mallat算法，双正交小波变换的重构过程；

S4、对偶提升算子的计算；

S5、优化α₀和α₁；

S6、对新小波基与实际探地雷达信号的相似度进行分析和计算。

2.根据权利要求1所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，其特征在于，所述步骤S1中和为一组分析滤波器，h和g为一组综合滤波器；

通过信号的卷积运算可知，滤波器组构成双正交完全重构滤波器组的充要条件为：

定义h和g的多相位矩阵为

和的多相位矩阵可表示为：

3.根据权利要求2所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，其特征在于，所述步骤S2在双正交小波滤波器组的设计中，设输出系数对应的z变换多项式分别为s(z)，d(z)，则分解端可以表示为：

对于滤波器的z变换实现多相位表示，例如，h(z)＝h_e(z²)+z^-1h_o(z²)，h_e，h_o分别表示偶、奇系数多项式；

由此通过变换，(4)式可表示为：

即有

根据(3)式并基于Mallat算法的信号分解过程，(6)式可表示为：

4.根据权利要求3所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，其特征在于，所述步骤S3中利用Mallat算法，双正交小波变换的重构过程为：

因此有：

从而有：

矩阵表示，则有：

结合(7)式，完全重构公式(1)可等价表示为：

因此可选取矩阵p(z)的行列式detP(z)＝1。

5.根据权利要求4所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，其特征在于，在所述步骤S4中假设一个初始双正交滤波器组为若多相位矩阵p(z)的行列式为1，则初始滤波器组可通过提升公式(13)和对偶提升公式(14)构造一新滤波器组其中提升算子s(z)、对偶提升算子均为Laurent多项式：

考虑初始滤波器具有线性相位，则经提升方式构造得到的满足线性相位，同时提升算子s(z)和对偶提升算子必具有线性相位。因此s(z)可表示为：

其中数列代表s(z)中的自由参数，m是与消失矩有关的参数。

6.根据权利要求5所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，其特征在于，所述初始滤波器为具有1阶消失矩的Haar小波，设提升后主小波及其对偶小波消失矩均为3。

7.根据权利要求6所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，其特征在于，首先对所述初始滤波器作对偶提升，由于则有对偶提升算子其中

设提升目标是把的消失矩从提升到则提升可以看成是设计合适的提升算子使得能被整除

求解(16)式，可得：

令

则消失矩的提升目标要求上式满足

计算可得：则有

从而对偶提升后，新的滤波器函数满足

此时双正交滤波器函数变为再利用该组滤波器对和g(z)作提升；

对于s(z)中的自由参数一部分用来提高新小波的消失矩，一部分用来改善小波函数的性质，使其与探地雷达信号波形相匹配；

令m＝2，则有

由于新小波消失矩提高了2阶，因此有：

通过计算，得到：α₀+α₁＝-1/8

由于

因此提升后新滤波器满足：

经对偶提升和提升后，初始双正交滤波器变为

8.根据权利要求7所述基于提升格式的探地雷达信号用小波基构造方法，其特征在于，所述步骤S5中通过优化α₀和α₁的取值使新小波的波形与探地雷达信号波形匹配。通过计算，在满足小波构造条件下，当α₀＝3·2^-5时，新小波与探地雷达信号较为匹配；

用A₁代表新小波tsg3.3与探地雷达信号的相似度，A₂表示通用小波基中常用于分析探地雷达信号的bior2.6双正交小波基与探地雷达信号的相似度，通过相关性计算，可得A₁＝0.8224＞A₂＝0.2518。

将α₀＝3·2^-5代入和g₁(z)中，两步提升后新的滤波器系数满足：

h₁(z)＝{-1/16,1/16,1/2,1/2,1/16,-1/16}

将上述h₁(z)和添加至小波工具箱，从而构造出新的双正交小波基(tsg3.3)。