CN110058302A - 一种基于预条件共轭梯度加速算法的全波形反演方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于预条件共轭梯度加速算法的全波形反演方法，属于地震勘探反演成像技术领域，旨在针对共轭梯度类全波形反演方法收敛速度慢、深部反演精度低的缺陷，结合梯度预处理算子和Nesterov加速的梯度下降法的优势，在提高共轭梯度类全波形反演方法深部反演精度的同时，有效地提高了收敛速度，从而降低了全波形反演的计算量，为全波形反演的实际应用提供了技术支撑。
Description
技术领域
本发明属于地震勘探反演成像技术领域，涉及一种基于预条件共轭梯度加速算法的全波形反演方法。
背景技术
地震全波形反演拥有非常完善的数理基础，充分利用了叠前地震波场的运动学和动力学信息，具有揭示复杂地质条件下的地质构造细节和岩性参数的能力，是目前公认的精度最高的建模技术。自从Lailly(1983)和Tarantola(1984)将全波形反演的理念引入到石油地震勘探领域以来，该技术在地震速度建模的研究与应用中受到了越来越多的关注，并且已经成为地球物理勘探领域的研究热点之一。
全波形反演的实现是在数据匹配正则化约束下通过迭代更新初始模型进而减小计算数据和观测数据之间的误差，逐步逼近真实模型的过程。全波形反演本质上是一个高度“病态的”非线性优化问题，其目标函数存在非常多的局部极值，需要重点解决它的多解性和收敛性问题。虽然求解非线性优化问题的主要方法包含全局优化和局部优化方法；但是考虑到全局优化方法的计算过程具有一定的随机性且计算量大，仅适用于规模小、结构简单的模型，故对于全波形反演问题的求解，目前多采用局部优化方法，包括梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。共轭梯度法是介于梯度法和牛顿法之间的一种无约束优化方法，它具有Q-超线性收敛速度、算法结构简单和易于实现等优点。共轭梯度法不仅克服了梯度下降法收敛速度慢的缺陷；而且避免了牛顿法中Hessian矩阵及其逆的计算，降低了庞大的计算量和内存需求。因此，共轭梯度法已经成为求解地震全波形反演最流行的局部优化方法。此外，Nesterov(2004)在研究凸优化问题的时候针对梯度下降法收敛速度慢的问题，基于动量法提出了一种新颖的加速梯度下降法，即Nesterov’s Accelerated GradientMethods(NAGM)，将梯度下降法的收敛速度从O(1/k)提高到了O(1/k2)。虽然NAGM已经成为当前凸优化问题研究的热点，但是在地震全波形反演中的应用研究鲜有报道。
实际地震数据的反演问题通常是强非线性的，因此采用局部优化方法的全波形反演对实际地震资料的品质和初始模型的精度有较高的要求。如果初始模型偏离真实模型较大，或者地震资料中缺少足够多的低频信息，就会出现周波跳跃现象。当计算波场和观测波场的相位差大于半个周期时，就会出现周波跳跃现象，全波形反演就会陷入局部极小，从而不能得到准确的速度模型。就反射波地震勘探而言，全波形反演主要利用地表采集到的反射波信息来重构速度模型。由于地震波传播的几何扩散效应、地层吸收衰减作用以及照明能量不均匀性的影响，常规的全波形反演方法在模型浅部的反演精度明显高于模型深部。很多学者针对这些问题进行了大量的研究，提出了一些有效的解决方案。Shin等提出Laplace域(2008)和Laplace-Fourier域(2009)的全波形反演算法，先在Laplace域中反演得到初始模型，然后在Fourier域中反演得到了比较准确的速度模型。Wang和Rao(2009)在时间域提出采用随深度变化的比例函数对梯度进行快速预处理和基于层剥离思想的全波形反演法，试验结果表明：两种方案都能提高深部的反演精度，而且前者在计算效率和反演效果方面更优；但是这个比例函数与深度的关系不具有普遍性。此外，Pratt等(1998)明确指出了Hessian矩阵在梯度法反演中的比例调节作用。Shin等(2001)提出了一种伪Hessian矩阵并将其作为梯度预处理算子，试验结果表明这种方法在一定程度上补偿了地震波传播的几何扩散效应。Choi等(2008)提出了一种可用于梯度预处理的基于脉冲响应振幅的新伪Hessian矩阵，但是该矩阵仅仅考虑了震源波场的几何扩散效应。鉴于全波形反演中的Hessian矩阵主要由来自震源的正传波场和来自检波器的反传波场决定，Zhang等(2011)同时利用震源端正传波场和检波器端反传波场的能量作为梯度预处理算子，提出了一种基于能量加权梯度的全波形反演方法，并将其应用于时间域声波全波形反演中，试验结果表明，该方法在不过多增加计算量的同时提高了反演的收敛速度和整个模型的反演精度。
综上所述，现有的共轭梯度类反演方法具有算法结构简单、计算和存储量小的优势，是一类十分有效的全波形反演方法。梯度预处理可以改善模型深部的全波形反演的精度，进而在一定程度上提高反演的稳定性和收敛速度。然而大规模三维全波形反演的实际应用仍然存在许多障碍，其中庞大的计算量就是最重要的困难之一。因此，如何在保证计算精度的前提下提高全波形反演的收敛速度，从而减少计算量具有重要的理论价值和现实意义。
发明内容
发明目的
本发明的目的是针对现有的共轭梯度类全波形反演方法收敛速度慢、深部反演精度低的缺陷，提供一种快速且有效的预条件共轭梯度全波形反演方法，它既能够提高深部反演精度，又能够提高收敛速度，进而减少地震波全波形反演的计算量。
为了达到上述目的，本发明提供了一种基于预条件共轭梯度加速算法的全波形反演方法，即在常规的共轭梯度类全波形反演方法的基础上引入基于预条件算子对梯度进行预处理，同时结合Nesterov’s Accelerated Gradient Methods(NAGM)的加速原理对参数模型进行迭代更新，具体步骤为：
步骤1：准备并输入基础数据。
基础数据包括实际的野外地震观测数据、观测系统参数和初始参数模型等。对地震观测数据进行预处理，包括去噪、地震道插值、子波提取和数据变换等。
步骤2：求取数据残差和反演目标函数。基于观测系统参数和初始参数模型，采用波动方程地震数值模拟方法计算模型中的地震波场，即正传波场，并获得计算数据。将计算数据与观测数据作差得到数据残差，并定义数据残差的二范数为反演目标函数，即
其中，J表示反演目标函数，Δd为数据残差，“*”表示共轭转置运算。波动方程的类型需根据实际的反演参数确定，如反演速度参数则采用标量声波方程，反演密度和速度参数则采用一阶应力-速度方程。此外，由于全波形反演可以在时间域、频率域、拉普拉斯域和它们的混合域中进行，所以地震波场模拟需要采用对应计算域中的波动方程。
步骤3：计算反演目标函数的梯度。基于伴随状态法原理，将数据残差作为震源在参数模型中进行共轭反传模拟得到反传波场，将正传波场与反传波场进行零延迟互相关运算得到目标函数的梯度。
步骤4：计算预处理算子并对梯度进行预处理。为了削弱梯度中由地震波传播的几何效应、焦散作用和不均匀的地震照明引起的异常值，基于正传和反传波场的能量，得到如下预处理算子
其中，W表示预处理算子，Ws和Wr分别是正传和反传波场的能量。然后按照如下公式
对梯度进行预处理
其中，g和分别为处理前和处理后的梯度场，I为单位矩阵，η为阻尼因子(为了防止分母为零时出现无穷大的情况)。
步骤5：利用预处理后的梯度计算对应的共轭梯度，即最优迭代方向。共轭梯度的计算公式为
其中，和dk分别表示第k次迭代的预处理梯度和共轭梯度方向，βk为PRP(Polak-Ribiere-Polyak)共轭系数，k为迭代次数。此外，最优迭代方向还可以通过其他的共轭系数算法或改进算法得到。
步骤6：采用线性搜索方法求取最优迭代方向上的最佳步长。线性搜索方法包括非精确线搜索法和精确线搜索法，全波形反演主要采用两点抛物线精确线搜索法，这样每次迭代运算仅需要多进行一次正演计算，较其他线性搜索方法计算量最小。
步骤7：根据NAGM的加速原理更新参数模型。NAGM是在经典动量法的基础上发展而来的一种一阶优化方法，它的收敛速度明显优于梯度下降法。NAGM的参数模型更新公式为
其中，μ为动量系数，取值为0.5～0.7时效果理想；αk为最佳步长；mk+1为参数模型更新量。NAGM的加速原理是在当前参数模型vk的基础上利用前一次迭代的模型更新量mk进行部分更新，随后计算部分更新后的梯度g(vk+μmk)，然后用该梯度和前一次迭代的更新量计算新的模型更新量并更新参数模型。将公式(5)中的负梯度-g(vk+μmk)直接替换为由步骤5得到的共轭梯度d(vk+μmk)，同样地按照公式(5)计算模型更新量并更新参数模型。
综上所述，与现有技术方法相比较，本发明具有以下有益效果：
本发明利用正传与反传波场的波场能量作为预条件算子对梯度进行预处理，有效地削弱了梯度计算中由地震波传播的几何扩散效应和焦散作用造成的误差，提高了算法的稳定性和深部反演的精度；将NAGM的加速原理直接应用于共轭梯度法，在不过多增加计算量的情况下，显著提高了共轭梯度法的收敛速度，进而在相同精度条件下减少了全波形反演的计算量。总之，本发明优于常规的共轭梯度类全波形反演方法，能够推动全波形反演方法的实际应用，并降低计算成本。
附图说明
为了更清楚地说明本发明，下面将对实施例中所需要的附图作简单地介绍。显然，附图旨在提供对本发明的进一步理解，与本发明的实施例共同用于解释本发明，并不构成对本发明的限制。
图1是依据本发明的频率域多尺度声波全波形反演流程图；
图2是参数模型更新的几何示意图；
图3是真实的部分Marmousi速度模型；
图4是用于全波形反演的初始速度模型；
图5是根据常规的共轭梯度法进行多尺度全波形反演的结果；
图6是根据本发明实施例的方法进行多尺度全波形反演的结果；
图7是根据常规的共轭梯度法和本发明实施例的方法进行3Hz单频反演得到的归一化目标函数曲线。
具体实施方式
为了使本发明的目的、步骤和特征更加清楚，下面将结合附图对本发明实施例和应用进行详细说明。具体实施例和应用中所提供的描述信息仅为示例，用于解释本发明，并不能作为本发明的限定。这里所描述的实施例的各种延伸和组合对于本领域的技术人员是显而易见的，在不脱离本发明的实质和范围的情况下，本发明定义的一般原则可以应用到其他实施例和应用中。
图1为依据本发明的频率域多尺度声波全波形反演流程图。如图1所示，本发明实施例的一种基于预条件共轭梯度加速算法的全波形反演方法包括以下步骤：
1、准备并输入基础数据，包括实际的野外观测数据、观测系统参数和初始速度参数模型等；将时间域的野外观测数据通过傅里叶变换得到频率域的观测数据dobs。
2、根据基础数据，采用多尺度反演频率选择策略获取离散的反演频率序列{fi}。从低频开始向高频逐次进行反演，并将前一个低频反演的输出结果作为后一个高频反演的初始参数模型。
3、求取数据残差和全波形反演的目标函数。采用频率域的声波波动方程模拟参数模型中的地震波场u，即正传波场；将模拟得到的计算数据dcal与观测数据dobs作差，得到数据残差Δd＝dcal-dobs。最小二乘意义下的目标函数可表示为
其中，J(v)表示反演目标函数，v为速度参数，*表示共轭转置运算。
4、求取目标函数关于速度参数的梯度。基于伴随状态法，将单每个炮点对应的数据残差分别进行共轭反传模拟，得到相应的反传波场并与对应炮点的正传波场相乘，然后按炮集叠加起来就得到了单个频率下的梯度，具体计算公式为
其中，g(v)表示梯度，ω为角频率，s表示炮集；为共轭反传模拟算子，R为扩展算子，R(Δd)即是将检波器位置的数据残差扩展到整个模型空间，作为共轭反传模拟的震源项。
5、计算梯度预处理算子，并对梯度进行预处理。考虑到地震波的传播效应，分别求取梯度计算中的正传与反传波场的波场能量Ws和Wr，即
Ws(v)＝∑su(v,xs)*u(v,xs)，Wr(v)＝∑su(v,xr)*u(v,xr)， (3)
其中，u(v,xs)和u(v,xr)分别表示正传和反传波场，“*”表示共轭转置运算。
梯度预处理算子可表示为
预处理后的梯度为
其中，g(v)和分别为处理前和处理后的梯度场，I为单位矩阵，η为阻尼因子(为了防止分母为零时出现无穷大的情况)。
6、利用预处理后的梯度求取对应的共轭梯度，即最优迭代方向。共轭梯度的计算公式为
其中，和dk分别表示第k次迭代的预处理梯度和共轭梯度方向，βk为PRP(Polak-Ribiere-Polyak)共轭系数，k为迭代次数。
7、采用两点抛物线精确线搜索法求取最优迭代方向上的最佳步长
8、根据NAGM的加速原理更新参数模型。
NAGM是在经典动量法的基础上发展而来的一种一阶优化方法，它的收敛速度明显优于梯度下降法。NAGM的参数模型更新公式为
其中，μ为动量系数，取值为0.5～0.7时效果理想；αk为最佳步长；mk+1为参数模型更新量。NAGM的加速原理是在当前参数模型vk的基础上利用前一次迭代的模型更新量mk进行部分更新，随后计算部分更新后的梯度g(vk+μmk)，然后用该梯度和前一次迭代的更新量计算新的模型更新量并更新参数模型。
将公式(7)中的负梯度-g(vk+μmk)直接替换为由步骤6算得的共轭梯度d(vk+μmk)，同样地按照公式(7)计算模型更新量并更新参数模型，图2为参数模型更新的几何示意图。
9、判断是否满足迭代终止条件，若不满足，转到步骤3；若满足，迭代终止，判断当前频率是否满足频率迭代终止条件，若不满足，更新反演频率，将反演结果作为更新高频反演的初始参数模型，转到步骤3，若满足，迭代终止，输出最终反演结果。其中，频率迭代终止条件是当前频率为最大反演频率，迭代终止条件是达到单频最大迭代次数或目标函数收敛，即相邻两次迭代的目标函数值的变化率不大于允许误差，
其中，Jk表示第k次迭代的目标函数值，iter为单频迭代次数，Nmax为单频最大迭代次数；ε为允许误差阈值，通常取值为1E-6。
为了更清楚地展示上述全波形反演方法的效果，下面结合具体实施例对本发明进行直观地说明。
采用上述全波形反演方法对部分的Marmousi速度模型(图3)进行频率域多尺度全波形反演试验。试验参数如下：模型的尺寸为3750m×1550m，纵横向采样网格为301×125，采样间隔为12.5m。观测系统中总共有49个震源，震源布置在地表75～3675m范围内，炮点距为75m，炮点埋深为0m；每一炮采用551个检波器等间距接收，道间距为12.5m，其中301个检波器布置在地表(埋深与震源相同)、其它的250个检波器分别布置在水平位置为12.5m和3737.5m的井中。震源采用峰值频率为15Hz的雷克子波，反演频率范围为[1.5,30]Hz(涵盖了95％的波场信息)。模拟记录时间为3s，时间采样率为1ms。采用多尺度反演频率选择策略得到的反演频率序列为f＝{1.5,2,3,4,6,8,11,16,23,30}，单频的最大迭代次数为20次。图4展示的是初始的速度模型v0，它是由真实模型经过高斯平滑滤波后得到的，高斯窗函数的宽度为30，方差为10。在其他参数相同的情况下，分别采用常规的共轭梯度法和本发明的预条件共轭梯度加速算法进行多尺度全波形反演，反演结果如图5和图6所示。对比反演结果可以看出，共轭梯度法的浅层反演结果比较可靠，深部的反演结果误差较大；本发明方法的反演精度整体优于常规的共轭梯度法全波形反演方法、具有更高的分辨率，特别是在模型的中深部区域，反演精度得到了明显的提升。此外，根据两种反演方法的进行了3Hz单频全波形反演，图7展示的是归一化目标函数曲线，从图中可以看出，本发明方法的目标函数收敛速度明显高于常规的共轭梯度法全波形反演方法。
Claims (3)
1.一种基于预条件共轭梯度加速算法的全波形反演方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：准备并输入基础数据；所述的基础数据包括实际的野外地震观测数据、观测系统参数和初始参数模型；对地震观测数据进行预处理；
步骤2：求取数据残差和反演目标函数
基于观测系统参数和初始参数模型，采用波动方程地震数值模拟方法计算模型中的地震波场，即正传波场，并获得计算数据；将计算数据与观测数据作差得到数据残差，并定义数据残差的二范数为反演目标函数，即
其中，J表示反演目标函数，Δd为数据残差，“*”表示共轭转置运算；
步骤3：计算反演目标函数的梯度
基于伴随状态法原理，将数据残差作为震源在参数模型中进行共轭反传模拟得到反传波场，将正传波场与反传波场进行零延迟互相关运算得到目标函数的梯度；
步骤4：计算预处理算子并对梯度进行预处理
为了削弱梯度中由地震波传播的几何效应、焦散作用和不均匀的地震照明引起的异常值，基于正传和反传波场的能量，得到如下预处理算子
其中，W表示预处理算子，Ws和Wr分别是正传和反传波场的能量；然后按照如下公式对梯度进行预处理
其中，g和分别为处理前和处理后的梯度场，I为单位矩阵，η为阻尼因子，为了防止分母为零时出现无穷大的情况；
步骤5：利用预处理后的梯度计算对应的共轭梯度，即最优迭代方向；共轭梯度的计算公式为
其中，和dk分别表示第k次迭代的预处理梯度和共轭梯度方向，βk为PRP共轭系数，k为迭代次数；此外，最优迭代方向还可以通过其他的共轭系数算法或改进算法得到；
步骤6：采用线性搜索方法求取最优迭代方向上的最佳步长
线性搜索方法包括非精确线搜索法和精确线搜索法，全波形反演主要采用两点抛物线精确线搜索法，这样每次迭代运算仅需要多进行一次正演计算，较其他线性搜索方法计算量最小；
步骤7：根据NAGM的加速原理更新参数模型
NAGM的参数模型更新公式为：
其中，μ为动量系数，取值为0.5～0.7时效果理想；αk为最佳步长；mk+1为参数模型更新量；NAGM的加速原理是在当前参数模型vk的基础上利用前一次迭代的模型更新量mk进行部分更新，随后计算部分更新后的梯度g(vk+μmk)，然后用该梯度和前一次迭代的更新量计算新的模型更新量并更新参数模型；将公式(5)中的负梯度-g(vk+μmk)直接替换为由步骤5得到的共轭梯度d(vk+μmk)，同样地按照公式(5)计算模型更新量并更新参数模型。
2.根据权利要求1所述的.一种基于预条件共轭梯度加速算法的全波形反演方法，其特征在于，步骤1中所述的对地震观测数据进行预处理，包括去噪、地震道插值、子波提取和数据变换。
3.根据权利要求1所述的.一种基于预条件共轭梯度加速算法的全波形反演方法，其特征在于，步骤2中，波动方程的类型根据实际的反演参数确定，如反演速度参数则采用标量声波方程，反演密度和速度参数则采用一阶应力-速度方程；此外，由于全波形反演可以在时间域、频率域、拉普拉斯域和它们的混合域中进行，所以地震波场模拟需要采用对应计算域中的波动方程。
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