CN110008530B - 一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法 - Google Patents

一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法，包括以下步骤：将柔性复合材料弹性参数利用混沌多项式进行展开；根据弹性参数的空间分布特征，利用正交多项式拟合混沌多项式确定性系数，得到柔性复合材料弹性参数的解析表达式；建立柔性复合材料有限元模型，得到各个单元弹性参数和单元刚度，并组装得到结构本征方程；基于拉丁超立方抽样方法对本征方程中随机变量集进行抽样，解析计算柔性复合材料结构动特性统计特征值。本发明能够体现柔性复合材料参数的随机性和非均匀性，更加符合工程实际，具有十分重要的工程应用价值。

Description

一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法
技术领域
本发明属于柔性复合材料建模及动特性分析技术领域，尤其涉及一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法。
背景技术
柔性复合材料是由各类纺织物增强材料和韧性聚合物基体组成的一种具有高强度、高韧性的膜结构织物，广泛应用于航空航天、土木工程等领域。其优秀的力学性能是通过纤维和基体的安排来实现的，但由于纤维编织路径、纤维和基体力学性能等具有一定的离散性，导致柔性复合材料弹性性能存在一定的不确定性，从宏观均匀等效方面考虑材料性能将难以满足更高的精度要求，应考虑弹性性能的非均匀空间分布和随机性。
不确定性是工程结构分析领域面临的主要挑战之一，建立准确的不确定性数值模型和结构动力学模型是工程结构动态特性分析、动响应预测以及不确定性动态优化设计的前提，将结构参数考虑成不确定性有助于提高分析结果的可信度以及为人们的决策提供科学依据。因此，建立一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法具有重要的理论意义和工程应用价值。
发明内容
发明目的：针对以上问题，本发明提出一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法，能够对具有空间非均匀分布随机弹性参数的柔性复合材料结构进行不确定动特性分析。
技术方案：为实现本发明的目的，本发明所采用的技术方案是：一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法，包括以下步骤：
S1：将柔性复合材料弹性参数利用混沌多项式进行展开；
S2：根据弹性参数的空间分布特征，利用正交多项式拟合混沌多项式确定性系数，得到柔性复合材料弹性参数的解析表达式；
S3：建立柔性复合材料有限元模型，根据步骤S2中弹性参数解析表达式得到各个单元弹性参数和单元刚度，并组装得到结构本征方程；
S4：基于拉丁超立方抽样方法对本征方程中随机变量集进行抽样，解析计算柔性复合材料结构动特性统计特征值。
所述步骤S1中，将柔性复合材料弹性参数利用混沌多项式进行展开，方法如下：
将柔性复合材料结构根据几何特性划分为n个区域，针对每一个小区域内复合材料相互独立的随机弹性参数，利用混沌多项式进行展开，如式(1)所示：
Figure GDA0002393485160000011
其中，
Figure GDA0002393485160000021
表示第n个小区域上第i种独立的弹性参数，j表示第j阶多项式，取值范围为[0，p-1]，p为混沌多项式截断阶数，
Figure GDA0002393485160000022
为对应弹性参数的混沌多项式系数，
Figure GDA0002393485160000023
为对应弹性参数所确定的混沌多项式基底，ξi为标准随机变量。
所述步骤S2具体包括以下步骤：
S2.1：考虑柔性复合材料弹性参数在空间分布的非均匀性和连续性，根据几何位置将i组n×p维的混沌多项式系数利用正交多项式拟合，如式(2)所示：
Figure GDA0002393485160000024
其中，
Figure GDA0002393485160000025
表示n个区域上对应弹性参数的混沌多项式系数
Figure GDA0002393485160000026
的集合，g表示第g阶多项式，取值范围为[0，q-1]，q为正交多项式截断阶数，
Figure GDA0002393485160000027
为对应的正交多项式系数，
Figure GDA0002393485160000028
为与空间坐标Z相关的正交多项式基函数，Z表示在有限元模型整体坐标系下，模型上任意一点的坐标值；
S2.2：综合式(1)和式(2)，得到与空间坐标Z和标准随机变量ξi相关的柔性复合材料分布式弹性参数的解析表达形式，如式(3)所示：
Figure GDA0002393485160000029
进一步，所述步骤S3具体包括以下步骤：
S3.1：建立柔性复合材料结构有限元模型，有限元模型中包括若干个单元，单元之间的连接节点为单元节点。根据式(3)可以计算得到有限元模型上任意一点的弹性参数值，此处只需计算有限元模型中各个单元节点的弹性参数值，根据平均法得到各个单元弹性参数，如式(4)所示：
Figure GDA00023934851600000210
其中，
Figure GDA00023934851600000211
为第e个单元中与标准随机变量ξi相关的第i个独立的弹性参数的平均值，s为单元中节点数，Zc为单元中第c个节点的空间坐标，Ei(Zc,ξi)为根据式(3)得到的第e个单元中c节点的第i种弹性参数；
S3.2：根据虚功原理推导柔性复合材料结构有限元模型的单元刚度，如式(5)所示：
Figure GDA00023934851600000212
其中，Ke(ξ)为单元刚度矩阵，由式(4)得到的相互独立的弹性参数
Figure GDA00023934851600000213
求得弹性系数矩阵D(ξ)，且Ke(ξ)和D(ξ)均与标准随机变量集ξ＝[ξ1,…,ξi]相关，B为单元应变矩阵，BT为B矩阵的转置，Ve为柔性复合材料有限元模型中第e个单元体积，dV表示对体积积分；
S3.3：根据式(5)得到的单元刚度矩阵Ke(ξ)计算与标准随机变量集ξ相关的结构整体刚度矩阵K(ξ)，如式(6)所示：
Figure GDA0002393485160000031
根据结构整体刚度矩阵和整体质量矩阵，得到结构本征方程，如式(7)所示：
[K(ξ)-ω2M]Φ＝0 (7)
其中，M为结构整体质量矩阵，ω为结构模态频率，Φ为相应模态频率下的特征向量。
进一步，所述步骤S4中，基于拉丁超立方抽样方法对本征方程中随机变量集进行抽样，解析计算柔性复合材料结构动特性统计特征值，方法如下：
利用拉丁超立方抽样方法，对结构本征方程中标准随机变量集ξ＝[ξ1,…,ξi]进行随机抽样，并计算如式(7)所示的结构特征方程，得到结构模态频率统计特征值。
有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案具有以下有益的技术效果：本发明公开的一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法，提出了考虑柔性复合材料分布式弹性参数，通过混沌多项式和基于拉丁超立方的有限元分析方法计算柔性复合材料结构动特性统计特征值，能够体现柔性复合材料参数的随机性和非均匀性，更加符合工程实际，具有十分重要的工程应用价值。
附图说明
图1为本发明具体实施方式中柔性复合材料结构几何示意图；
图2为本发明具体实施方式中柔性复合材料弹性参数E11分布图；
图3为本发明具体实施方式中柔性复合材料弹性参数E22分布图；
图4为本发明具体实施方式中柔性复合材料弹性参数μ12分布图；
图5为本发明具体实施方式中柔性复合材料弹性参数μ23分布图；
图6为本发明具体实施方式中柔性复合材料弹性参数G12分布图；
图7为本发明具体实施方式中柔性复合材料模态频率PDF图；
图8为本发明具体实施方式中柔性复合材料模态频率CDF图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的说明。
如图1所示，以柔性复合材料薄膜结构在自由状态下的动特性分析为例进行说明，结构面密度为6.1e-10t/mm2，共包含5个相互独立的弹性参数，主方向为x方向，其中弹性参数均值为
Figure GDA0002393485160000032
存在标准偏差为10％的正态随机分布。本发明所述的一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法，包括以下步骤：
S1：将柔性复合材料弹性参数利用混沌多项式进行展开；
S2：根据弹性参数的空间分布特征，利用正交多项式拟合混沌多项式确定性系数，得到柔性复合材料弹性参数的解析表达式；
S3：建立柔性复合材料有限元模型，根据步骤S2中弹性参数解析表达式得到各个单元弹性参数和单元刚度，并组装得到结构本征方程；
S4：基于拉丁超立方抽样方法对本征方程中随机变量集进行抽样，解析计算柔性复合材料结构动特性统计特征值。
步骤S1中，将柔性复合材料弹性参数利用混沌多项式进行展开，方法如下：
S1.1：在如图1所示柔性复合材料薄膜上选取4*4个测点，针对每一个测点上柔性复合材料5个相互独立的随机弹性参数，利用混沌多项式进行展开，如式(1)所示：
Figure GDA0002393485160000041
其中，
Figure GDA0002393485160000042
表示第n个测点上第i种独立的弹性参数，j表示第j阶多项式，取值范围为[0，p-1]，p为混沌多项式截断阶数，针对本算例，p取值为2，
Figure GDA0002393485160000043
为对应弹性参数的混沌多项式系数，
Figure GDA0002393485160000044
为对应弹性参数所确定的Hermite混沌多项式基底，ξi为标准正态随机变量。
步骤S2中具体包括以下步骤：
S2.1：考虑柔性复合材料薄膜结构弹性参数在空间分布的非均匀性和连续性，根据几何位置将5组16*2维的混沌多项式系数利用二维Legendre正交多项式拟合，如式(2)所示：
Figure GDA0002393485160000045
其中，
Figure GDA0002393485160000046
表示n个区域上对应弹性参数的混沌多项式系数
Figure GDA0002393485160000047
的集合，g表示第g阶多项式，取值范围为[0，q-1]，q为正交多项式截断阶数，q的取值为10，
Figure GDA0002393485160000048
为对应的Legendre多项式系数，利用最小二乘法求得，
Figure GDA0002393485160000049
为与空间坐标(x，y)相关的Legendre多项式基函数，(x，y)表示在有限元模型整体坐标系下，模型上任意一点的坐标值；
S2.2：综合式(1)和式(2)，得到与空间坐标(x，y)和标准正态随机变量ξi相关的柔性复合材料薄膜结构分布式弹性参数的解析表达形式，如式(3)所示：
Figure GDA00023934851600000410
步骤S3中具体包括以下步骤：
S3.1：建立柔性复合材料薄膜结构有限元模型，有限元模型中包括若干个单元，单元之间的连接节点为单元节点。根据式(3)可以计算得到有限元模型上任意一点的弹性参数值，此处只需计算有限元模型中各个单元节点的弹性参数值，如图2～图6所示，为复合材料板5个相互独立参数的弹性参数的空间分布图，根据平均法得到各个单元弹性参数，如式(4)所示：
Figure GDA0002393485160000051
其中，
Figure GDA0002393485160000052
为单元中与标准正态随机变量ξi相关的第i个独立的弹性参数的平均值，s为单元中节点数，s取值为4，(xc，yc)为单元中第c个节点的空间坐标，Ei(xc,yc,ξi)为根据式(3)得到的第e个单元中c节点的第i种弹性参数；
S3.2：根据虚功原理推导柔性复合材料薄膜结构有限元模型的单元刚度，如式(5)所示：
Figure GDA0002393485160000053
其中，Ke(ξ)为单元刚度矩阵，由式(4)得到的相互独立的弹性参数
Figure GDA0002393485160000054
求得弹性系数矩阵D(ξ)，且Ke(ξ)和D(ξ)均与标准正态随机变量集ξ＝[ξ1,…,ξ5]相关，B为单元应变矩阵，BT为B矩阵的转置，Ve为柔性复合材料有限元模型中第e个单元体积，dV表示对体积积分；
S3.3：根据式(5)得到的单元刚度矩阵Ke(ξ)计算与标准随机变量集ξ相关的结构整体刚度矩阵K(ξ)，如式(6)所示：
Figure GDA0002393485160000055
根据结构整体刚度矩阵和整体质量矩阵，得到结构特征方程，如式(7)所示：
[K(ξ)-ω2M]Φ＝0 (7)
其中，M为柔性复合材料薄膜结构整体质量矩阵，ω为结构模态频率，Φ为相应模态频率下的特征向量。
步骤S4中，基于拉丁超立方抽样方法对本征方程中随机变量集进行抽样，解析计算柔性复合材料结构动特性统计特征值，方法如下：
利用拉丁超立方抽样方法，对结构本征方程中标准正态随机变量集ξ＝[ξ1,…,ξ5]进行独立的随机抽样，抽样数量为500次，并计算如式(7)所示的结构特征方程，得到结构动特性的统计特征值，如图7～图8所示，复合材料板模态频率统计特征值如表1所示：
Figure GDA0002393485160000056
Figure GDA0002393485160000061
表1。

Claims (3)

1.一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法，其特征在于：包括以下步骤：
S1：将柔性复合材料弹性参数利用混沌多项式进行展开，将柔性复合材料结构根据几何特性划分为n个区域，针对每一个小区域内复合材料相互独立的随机弹性参数，利用混沌多项式进行展开，如式(1)所示：
Figure FDA0002393485150000011
其中，
Figure FDA0002393485150000012
表示第n个小区域上第i种独立的弹性参数，j表示第j阶多项式，取值范围为[0，p-1]，p为混沌多项式截断阶数，
Figure FDA0002393485150000013
为对应弹性参数的混沌多项式系数，
Figure FDA0002393485150000014
为对应弹性参数所确定的混沌多项式基底，ξi为标准随机变量；
S2：根据弹性参数的空间分布特征，利用正交多项式拟合混沌多项式确定性系数，得到柔性复合材料弹性参数的解析表达式；
S2.1：考虑柔性复合材料弹性参数在空间分布的非均匀性和连续性，根据几何位置将i组n×p维的混沌多项式系数利用正交多项式拟合，如式(2)所示：
Figure FDA0002393485150000015
其中，
Figure FDA0002393485150000016
表示n个区域上对应弹性参数的混沌多项式系数
Figure FDA0002393485150000017
的集合，g表示第g阶多项式，取值范围为[0，q-1]，q为正交多项式截断阶数，
Figure FDA0002393485150000018
为对应的正交多项式系数，
Figure FDA0002393485150000019
为与空间坐标Z相关的正交多项式基函数，Z表示在有限元模型整体坐标系下，模型上任意一点的坐标值；
S2.2：综合式(1)和式(2)，得到与空间坐标Z和标准随机变量ξi相关的柔性复合材料分布式弹性参数的解析表达形式，如式(3)所示：
Figure FDA00023934851500000110
S3：建立柔性复合材料有限元模型，根据步骤S2中弹性参数解析表达式得到各个单元弹性参数和单元刚度，并组装得到结构本征方程；
S4：基于拉丁超立方抽样方法对本征方程中随机变量集进行抽样，解析计算柔性复合材料结构动特性统计特征值。
2.根据权利要求1所述的一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法，其特征在于：所述步骤S3包括以下步骤：
S3.1：建立柔性复合材料结构有限元模型，根据式(3)计算得到有限元模型中各个单元节点的弹性参数值，根据平均法得到各个单元弹性参数，如式(4)所示：
Figure FDA0002393485150000021
其中，
Figure FDA0002393485150000022
为第e个单元中与标准随机变量ξi相关的第i个独立的弹性参数的平均值，s为单元中节点数，Zc为单元中第c个节点的空间坐标，Ei(Zc,ξi)为根据式(3)得到的第e个单元中c节点的第i种弹性参数；
S3.2：根据虚功原理推导柔性复合材料结构有限元模型的单元刚度，如式(5)所示：
Figure FDA0002393485150000023
其中，Ke(ξ)为单元刚度矩阵，由式(4)得到的相互独立的弹性参数
Figure FDA0002393485150000024
求得弹性系数矩阵D(ξ)，且Ke(ξ)和D(ξ)均与标准随机变量集ξ＝[ξ1,…,ξi]相关，B为单元应变矩阵，BT为B矩阵的转置，Ve为柔性复合材料有限元模型中第e个单元体积，dV表示对体积积分；
S3.3：根据式(5)得到的单元刚度矩阵Ke(ξ)计算与标准随机变量集ξ相关的结构整体刚度矩阵K(ξ)，如式(6)所示：
Figure FDA0002393485150000025
根据结构整体刚度矩阵和整体质量矩阵，得到结构本征方程，如式(7)所示：
[K(ξ)-ω2M]Φ＝0 (7)
其中，M为结构整体质量矩阵，ω为结构模态频率，Φ为相应模态频率下的特征向量。
3.根据权利要求2所述的一种空间柔性复合材料分布式概率建模方法，其特征在于：步骤S4中，基于拉丁超立方抽样方法对本征方程中随机变量集进行抽样，解析计算柔性复合材料结构动特性统计特征值，方法如下：
利用拉丁超立方抽样方法，对结构本征方程中标准随机变量集ξ＝[ξ1,…,ξi]进行随机抽样，并计算如式(7)所示的结构特征方程，得到结构模态频率统计特征值。
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