CN109969183A - 基于安全可控域的弯道跟车控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于安全可控域的智能车辆弯道跟车控制方法，首先，建立纵向跟车模型，采用自车与前车的车间纵向运动学关系建立纵向纵向跟车控制器模型，建立横向动力学模型，基于模型预测控制的算法建立。本发明所设计的弯道跟车控制器通过最小化多目标代价函数实现对车辆纵向跟车性和横向稳定性的偏差控制，以线性不等式的形式对设计的控制器模型输入输出参数进行约束，建立可接受控制域对车速进行限制，最终实现车辆在弯道工况中保持横向稳定和纵向安全跟车的优化目的。

Description

基于安全可控域的弯道跟车控制方法

技术领域

本发明涉及一种自适应巡航控制算法，尤其是一种基于安全可控域的弯道 跟车控制计算方法。

背景技术

现有的自适应巡航控制算法仅可以使车辆实现在纵向行驶方向上的定速巡 航和定距跟车，但是车辆入弯及涉及转向的操纵都需要驾驶员自己进行判断。 而在弯道跟车过程中，过快的车速可能导致较大的横向偏差和方向偏差，影响 车辆的横向稳定性及路径跟踪能力，并且实际车辆是一个强非线性、强耦合的 复杂系统，特别是在弯道行驶时，纵横向参数相互耦合。因此在弯道跟车控制 中，不仅需要考虑自车与前车的纵向跟车能力，还需要考虑车辆纵向车速对于 横向跟车能力的影响，即需要考虑诸多约束条件下的弯道跟车及路径跟踪算法。

自适应巡航系统能够在一定程度上减轻驾驶员驾驶负担，提高车辆行驶的安 全性和舒适性。可是，传统的自适应巡航系统仅能够根据车载传感器感知的环 境信息以及安全车间距控制策略，实现纵向上自车的定速巡航和自动跟随前车 行驶的功能。弯道跟车控制是在传统的自适应巡航控制的基础上，与其他先进 驾驶辅助系统融合，实现车辆在弯道中能够稳定跟车。弯道跟车控制能够扩大 传统自适应巡航系统的适用环境道路范围，实现车辆在弯道中自动稳定跟随前 车行驶及路径保持的功能。

发明内容

本发明提出了一种基于安全可控域的智能车辆弯道跟车控制方法，在现有 跟车控制器中添加横向控制器，并通过安全可控域约束，以期在算法设计上从 车辆的转向极限、侧滑极限以及侧翻极限三个方面对于最大纵向车速进行合理 限制，实现在不同道路曲率条件下，车辆在弯道中稳定跟车行驶和路径保持的 能力。

为实现上述目的，本发明的技术方案如下：

一种基于安全可控域的智能车辆弯道跟车控制方法，设计的弯道跟车控制 器通过最小化多目标代价函数实现对车辆纵向跟车性和横向稳定性的偏差控 制，以线性不等式的形式对设计的控制器模型输入输出参数进行约束，建立可 接受控制域对车速进行限制，最终实现车辆在弯道工况中保持横向稳定和纵向 安全跟车的优化目的，具体步骤如下：

一、建立纵向跟车模型

采用自车与前车的车间纵向运动学关系建立纵向纵向跟车控制器模型；用

a_f、v_f表示前车的加速度和速度，j_h、a_h、v_h表示自车的加加速度、加速度 和速度，x_h、x_f表示自车与前车的位置信息，d表示两车的距离；其中，上层控 制中的期望加速度a_des和实际输出的加速度a存在延迟,用一阶惯性系统表示：

式中τ表示时间常数，设为0.2，s表示拉普拉斯变换算子，

期望车间距离d_ref采用恒定车头时距计算，即：

d_ref＝r₀+t_hv_h (2)

式中，r₀表示自车静止时与前车的距离，t_h表示车头时距；

根据自车与前车之间的纵向运动学关系建立如下状态空间方程：

其中，k表示当前时刻状态值，k+1表示k时刻的下一时刻状态值，T_s为采 样时间，设为0.01s；

状态量选取为x(k)＝[d(k),v_h(k),Δv(k)a_h(k),j_h(k)]^T，T表示转置矩阵符号，控制 量选取为u₁＝a_des，即期望加速度，将前车加速度信息设为纵向系统的扰动w＝a_f， 输出量y(k+1)＝[Δd(k+1),Δv(k+1),a_h(k+1),j_h(k+1)]^T，Δd(k+1)表示两车相对距离d与 期望车间距离d_ref的差值，Δv(k),Δv(k+1)分别表示k时刻和k+1时刻的两车相对 速度；

式(3)为车辆纵向跟车模型，该车辆纵向跟车模型不仅考虑自车的加速度 和加加速度，而且将前车的加速度作为干扰项考虑进来，可保证车辆的纵向安 全性、跟车性和舒适性；

二、建立横向动力学模型

横向动力学模型基于考虑纵向、横向和横摆这三个自由度的车辆模型设计， 并且对该车辆模型进行适当简化，忽略车辆的悬架系统的影响，简化转向系统， 假设传动比为定值，并假设车辆左右两侧完全对称，采用线性轮胎模型，车辆 模型，并建立车辆动力学三自由度非线性模型：

式中，m为车辆整备质量，分别为纵向加速度和横向加速度，C_lf、C_lr分别为前后轮的纵向刚度，C_cf、C_cr分别为前后轮的侧偏刚度，l_f、l_r分别为车 辆质心到前、后轴的距离，分别为横摆角速度和横摆角角速度导数，δ_f为 前轮转角，s_f、s_r分别为前后轮的纵向滑移率，I_z表示车辆绕z轴的转动惯量, 为车辆在惯性坐标系中的纵向和横向速度；

对于车辆横向控制，建立车辆路径跟踪模型，将式(4)用状态空间形式表 示：

在该车辆路径跟踪模型中，状态变量选取为ξ为状态变量的导数值，控制量的选取为u₂＝δ_f，输出量 为X,Y为车辆在惯性坐标系中的纵向和横向位置；

由于式(5)是一个非线性的状态空间，采用近似线性化的方法，在工作点 [ξ₀ u₀]对其线性化处理，并进行离散化得到式：

其中，ξ(k+1)为k+1时刻的状态变量，η(k)为k时刻的输出量， d_k,t是状态量在k时刻的偏差量，可表示为d_k,t＝ξ_k+1-A_k,tξ_k-B_k,tξ_k， 式(3)和(6)为推导出来的弯道跟车预测模型；

三、基于模型预测控制的算法建立

1.性能指标和约束设计

为求解所设计的弯道跟车控制器的优化问题，对纵向性能指标和横向性能指 标进行综合设计，纵向性能指标包括安全性、跟车性指标和舒适性指标，而横 向性能指标包括横向稳定性能指标，所设计的多目标代价函数为：

其中L_t表示跟车性能，与纵向车速差和车间距有关，L_c表示舒适性能，与自 车的加速度和加加速度有关，L_la表示横向稳定性能，与横摆角速度偏差、横向 位置偏差以及自车方向盘转角有关，j表示自车加速度变化率，w_Δv表示两车速 度差权重系数，w_Δd表示车间距权重系数，w_a表示自车加速度权重系数，w_j表示 自车加加速度权重系数，表示横摆角速度权重系数，w_ΔY表示横向偏差权重 系数，表示前轮转角权重系数。

建立纵横向约束条件，其中纵向参数的约束主要是体现车辆的跟车性和驾驶 舒适性，设定为软约束，为了避免出现无法得到最优解的情况，对纵向参数的 约束添加松弛变量ε，对于横向参数约束，关系到车辆的安全性，设定为硬约束；

此外，从车辆转向约束、车辆侧偏约束以及车辆侧翻约束三个方面建立不同 转向曲率对于车速的安全可控域；

车辆转向约束λ_steer表征的是车辆运动学和操纵特性对于转向的限制，可用最 大转向角δ_max和车速v_x表示，并定义为函数f₁：

式(8)中，系数k表示为“不足转向参数”或“不足转向梯度”；

车辆侧偏约束|λ_slip|表征的是车辆在道路中收到轮胎与地面附着条件的限制，可以由轮路附着系数μ和车速表示，并定义为函数f₂：

式中，g表示重力加速度；

车辆侧倾约束表征的是防止车辆出现侧翻的情况，用侧倾指数RI表示，侧 倾指数RI与侧倾角、侧倾角速度以及侧向加速度有关，当侧倾指数RI＝1时，车 轮离开地面；

根据侧倾指数RI，防止侧翻的最大侧向加速度a_y可表示为：

式(10)中，C₁、C₂与k₁分别是正值系数，且0<C₁<1，0<C₂<1，φ，分别 表示侧倾角和侧倾角速度，φ_th和分别表示侧倾角和侧倾角速度的临界值，a_y,c表示车辆横向加速度的临界值，RI_max表示车辆保持稳定时最大侧翻指数，a_y,max表 示为满足RI小于RI_max的最大横向加速度；

根据式(10)，侧翻约束|λ_roll|可由下式表示，并定义为函数f₃：

综合式(8)、(9)和(11)，安全可控域表示为：

λ_max＝f(v_x)＝min(f₁,f₂,f₃) (12)

2.跟踪模型的预测

基于控制器设计原理，通过最小化横向控制器的多目标代价函数(7)，求解 得到最优控制值的增量Δu*(k+i|k)，并将Δu*(k+i|k)的第一个元素值作为反馈，最 终实现系统的闭环控制，将多目标代价函数转化为预测型：

其中，J为预测时域内的多目标代价函数，k表示当前时刻，k+i|k表示在时 刻k进行k+i时刻信息预测，N_p为预测时域，N_c为控制时域，且N_c≤N_p；

对于车辆的参考状态值y_ref，考虑距离误差和车辆速度、加速度误差的期望 值为0，加加速度的参考值j_des为自车加速度的导数，期望横摆角速度和期望 横向位置Y_des可以通过期望的参考轨迹得到，

因此，控制量u＝[a_desδ_des]^T，δ_des表示期望前轮转角，其中控制增量Δu(k+i|k)表示当前控制量u(k+i|k)与上一时刻控制量 u(k+i|k-1)的差值，Q和R分别为输出权重矩阵和输入权重矩阵，ρ为松弛变量 的权重系数，设为1000，ε为松弛因子；

最终，控制器的优化问题可以转化为二次规划问题，即求解J的最小解，并 设定以下约束：

式(14)中，u_min、u_max表示控制量的约束范围，Δu_min、Δu_max表示控制增量 的约束范围，v_min、v_max表示车速的约束范围，j_min、j_max表示车辆加加速度的约 束范围，表示横摆角速度偏差约束，ΔY_min，ΔY_max表示横向偏差约束 范围，ε_v和ε_j分别为车辆车速和加速度导数的松弛变量，且都>0。

本发明的有益效果是：

本发明的基于安全可控域的智能车辆弯道跟车控制方法，在现有跟车控制器 中添加横向控制器，并通过安全可控域约束，以期在算法设计上从车辆的转向 极限、侧滑极限以及侧翻极限三个方面对于最大纵向车速进行合理限制，实现 在不同道路曲率条件下，车辆在弯道中稳定跟车行驶和路径保持的能力。

本发明与现有技术相比，弯道跟车控制方法能够扩大传统自适应巡航系统的 适用环境道路范围，实现车辆在弯道中自动稳定跟随前车行驶及路径保持的功 能。

附图说明

图1为跟车模型；

图2为车辆单轨模型；

图3为车速曲线；

图4为横向偏差曲线。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

一种基于安全可控域的智能车辆弯道跟车控制方法，包括以下步骤：

一、建立纵向跟车模型

纵向控制器采用自车与前车的车间纵向运动学关系进行建模。其跟车模型如 图1所示：

图1中，a_f、v_f表示前车的加速度和速度，j_h、a_h、v_h表示自车的加加速度、 加速度和速度，x_h、x_f表示自车与前车的位置信息，d表示两车的距离；

上层控制中的期望加速度a_des和实际输出的加速度a存在延迟,用一阶惯性系 统表示：

式中τ表示时间常数，设为0.2，s表示拉普拉斯变换算子。

期望车间距离d_ref采用恒定车头时距计算，即：

d_ref＝r₀+t_hv_h (2)

式中，r₀表示自车静止时与前车的距离，t_h表示车头时距。

根据自车与前车之间的纵向运动学关系建立如下状态空间方程

在该系统中，k表示当前时刻状态值，k+1表示k时刻的下一时刻状态值， T_s为采样时间，设为0.01s。

状态量选取为x(k)＝[d(k),v_h(k),Δv(k)a_h(k),j_h(k)]^T，T表示转置矩阵符号，控制 量选取为u₁＝a_des，即期望加速度，将前车加速度信息设为纵向系统的扰动w＝a_f， 输出量y(k+1)＝[Δd(k+1),Δv(k+1),a_h(k+1),j_h(k+1)]^T，Δd(k+1)表示两车相对距离d与 期望车间距离d_ref的差值，Δv(k),Δv(k+1)分别表示k时刻和k+1时刻的两车相对 速度。

式(3)为车辆纵向跟车模型，该车辆纵向跟车模型不仅考虑自车的加速度 和加加速度，而且将前车的加速度作为干扰项考虑进来，能够保证车辆的纵向 安全性、跟车性和舒适性。

二、建立横向动力学模型

横向动力学模型基于考虑纵向、横向和横摆这三个自由度的车辆模型设计， 并且对该车辆模型进行适当简化，忽略车辆的悬架系统的影响，简化转向系统， 假设传动比为定值，并假设车辆左右两侧完全对称，采用线性轮胎模型，车辆 模型如图2所示：

图中，XOY为惯性坐标系，xoy为车辆坐标系，原点o为车辆质心。lf、lr 为车辆质心到前、后轴的距离，v_x、v_y分别为车辆质心处的纵向速度和横向速度。 F_xf,F_xr为车辆在x方向受到的外力，F_yf,F_yr为车辆在y方向受到的外力。F_lf， F_lr分别为前后轮胎受到的纵向力，F_of，F_cr分别为前后轮胎受到的侧向力。为横摆角和横摆角速度，δ_f为前轮转角，α_f为前轮侧偏角。

建立车辆动力学三自由度非线性模型：

式中，m为车辆整备质量，分别为纵向加速度和横向加速度，C_lf、C_lr分别为前后轮的纵向刚度，C_cf、C_cr分别为前后轮的侧偏刚度，l_f、l_r分别为车 辆质心到前、后轴的距离，分别为横摆角速度和横摆角角速度导数，δ_f为 前轮转角，s_f、s_r分别为前后轮的纵向滑移率，I_z表示车辆绕z轴的转动惯量, 为车辆在惯性坐标系中的纵向和横向速度。

对于车辆横向控制，建立车辆路径跟踪模型，将式(4)用状态空间形式表 示：

在该车辆路径跟踪模型中，状态变量选取为ξ为状态变量的导数值，控制量的选取为u₂＝δ_f，输出量 为X,Y为车辆在惯性坐标系中的纵向和横向位置；

由于式(5)是一个非线性的状态空间，采用近似线性化的方法，在工作点 [ξ₀ u₀]对其线性化处理，并进行离散化得到式：

其中，ξ(k+1)为k+1时刻的状态变量，η(k)为k时刻的输出量， d_k,t是状态量在k时刻的偏差量，可表示为d_k,t＝ξ_k+1-A_k,tξ_k-B_k,tξ_k， 式(3)和(6)为推导出来的弯道跟车预测模型。

三、基于模型预测控制的算法建立

1.性能指标和约束设计

为了求解所设计的弯道跟车控制器的优化问题，需要对纵向性能指标和横向 性能指标进行综合设计。纵向性能指标，主要为安全性、跟车性指标和舒适性 指标，而横向性能，主要为横向稳定性能指标，所设计的多目标代价函数为：

其中L_t表示跟车性能，与纵向车速差和车间距有关，L_c表示舒适性能，与自 车的加速度和加加速度有关，L_la表示横向稳定性能，与横摆角偏差、横向位置 偏差以及自车方向盘转角有关，j表示自车加速度变化率，w_Δv表示两车速度差 权重系数，w_Δd表示车间距权重系数，w_a表示自车加速度权重系数，w_j表示自车 加加速度权重系数，表示横摆角速度权重系数，w_ΔY表示横向偏差权重系数， 表示前轮转角权重系数。

建立纵横向约束条件，其中纵向参数的约束主要是体现车辆的跟车性和驾驶 舒适性，设定为软约束，为了避免出现无法得到最优解的情况，对纵向参数的 约束添加松弛变量ε，对于横向参数约束，关系到车辆的安全性，设定为硬约束。

此外，从三个方面建立不同转向曲率对于车速的安全可控域，分别是车辆转 向约束、车辆侧偏约束以及车辆侧翻约束。

车辆转向约束|λ_steer|表征的是车辆运动学和操纵特性对于转向的限制，可用最大转向角δ_max，前轮转向角δ_f和车速v_x表示，并定义为函数f₁：

式(8)中，系数k表示为“不足转向参数”或“不足转向梯度”。

车辆侧偏约束|λ_slip|表征的是车辆在道路中收到轮胎与地面附着条件的限制，可以由轮路附着系数μμ和车速表示，并定义为函数f₂：

式中，g表示重力加速度。

车辆侧倾约束表征的是防止车辆出现侧翻的情况，用侧倾指数RI表示。侧 倾指数RI与侧倾角、侧倾角速度以及侧向加速度有关，当侧倾指数RI＝1时，车 轮离开地面。

根据侧倾指数RI，防止侧翻的最大侧向加速度a_y可表示为：

式(10)中，C₁、C₂与k₁分别是正值系数，且0<C₁<1，0<C₂<1，φ，分别 表示侧倾角和侧倾角速度，φ_th和分别表示侧倾角和侧倾角速度的临界值，a_y,c表示车辆横向加速度的临界值，RI_max表示车辆保持稳定时最大侧翻指数，a_y,max表 示为满足RI小于RI_max的最大横向加速度。

根据式(10)，侧翻约束|λ_roll|可由下式表示，并定义为函数f₃：

综合式(8)、(9)和(11)，安全可控域表示为：

λ_max＝f(v_x)＝min(f₁,f₂,f₃) (12)

2.跟踪模型的预测

基于MPC控制器设计原理，通过最小化横向控制器的多目标代价函数(7)， 求解得到最优控制值的增量Δu*(k+i|k)，并将Δu*(k+i|k)的第一个元素值作为反 馈，最终实现系统的闭环控制，将多目标代价函数转化为预测型：

其中，J为预测时域内的多目标代价函数，k表示当前时刻，k+i|k表示在时 刻k进行k+i时刻信息预测，N_p为预测时域，N_c为控制时域，且N_c≤N_p；

对于车辆的参考状态值y_ref，考虑距离误差和车辆速度、加速度误差的期望 值为0，加加速度的参考值j_des为自车加速度的导数，期望横摆角速度和期望 横向位置Y_des可以通过期望的参考轨迹得到，

因此，控制量u＝[a_des δ_des]^T，δ_des表示期望前轮转角，其中控制增量Δu(k+i|k)表示当前控制量u(k+i|k)与上一时刻控制量 u(k+i|k-1)的差值，Q和R分别为输出权重矩阵和输入权重矩阵，ρ为松弛变量 的权重系数，设为1000，ε为松弛因子。

最终，控制器的优化问题可以转化为二次规划问题，即求解J的最小解，并 设定以下约束：

式(14)中，u_min、u_max表示控制量的约束范围，Δu_min、Δu_max表示控制增量 的约束范围，v_min、v_max表示车速的约束范围，j_min、j_max表示车辆加加速度的约 束范围，表示横摆角速度偏差约束，ΔY_min，ΔY_max表示横向偏差约束 范围。ε_v和ε_j分别为车辆车速和加速度导数的松弛变量，且都>0。

所设计的弯道跟车控制器通过最小化多目标代价函数实现了对车辆纵向跟 车性和横向稳定性的偏差控制，以线性不等式的形式对所设计的系统输入输出 参数进行了约束，建立可接受控制域对车速进行了限制，最终实现了车辆在弯 道工况中保持横向稳定和纵向安全跟车的优化目的。

三、应用例

对弯道跟车控制算法进行驾驶员在环仿真验证，在Matlab/Simulink中搭 建控制器模型，采用Carsim中的C级掀背式车辆作为验证模型，并在交通场景 仿真软件Prescan中搭建仿真道路场景。驾驶员通过罗技G27方向盘、油门和 制动踏板控制前车，自车跟随前车行驶。在该平台下，与没有安全可控域的弯 道跟车模型进行对比。自车与前车相同，仿真参数如表1所示：

表1仿真参数

仿真工况为道路宽3.5m，道路由三段道路组成，第一段为100m直线道路， 第二段为半径25m的弯道，最后为80m的直线道路，以模拟自车在弯道中跟随 前车行驶。初始时刻，自车车速为10m/s，前车车速为11m/s，两车相距30m。 另外在自车中添加TIS传感器模拟激光雷达，来获取前车速度信息和与自车的 相对距离。仿真结果如图3所示：

由图3前车与自车的车速变化曲线分析可知，前车驾驶员以11m/s的初速度 加速度行驶，在3.5s后达到最快速度15.6m/s，随后开始减速入弯，在5.5s左 右进入弯道，并持续减速至13m/s行驶，在11s开始出弯，并在14.5s加速行 驶，符合一般驾驶员减速入弯，加速出弯的特征。不带安全可控域的自车速度 跟随前车车速变化而变化，具有较好的跟车性能，但是在弯道中，横向稳定性 的重要性要高于跟车性能，并且在弯道中两车间距不宜过小，因此带有安全可 控域的自车在7s左右进入弯道后速度被限制在12m/s，直到13s出弯进行加速 跟随前车行驶。

由图4可以看出，不带安全可控域的自车横向偏差虽然处于横向偏差约束范 围内，但与期望轨迹偏差较大，最大值为0.84m，而带有安全可控域的自车横向 偏差明显小于没有安全可控域的自车，最大值为0.51m，带有安全可控域的自车 在弯道中横向稳定性能更好。

Claims (1)

1.一种基于安全可控域的智能车辆弯道跟车控制方法，其特征在于：设计的弯道跟车控制器通过最小化多目标代价函数实现对车辆纵向跟车性和横向稳定性的偏差控制，以线性不等式的形式对设计的控制器模型输入输出参数进行约束，建立可接受控制域对车速进行限制，最终实现车辆在弯道工况中保持横向稳定和纵向安全跟车的优化目的，具体步骤如下：

一、建立纵向跟车模型

采用自车与前车的车间纵向运动学关系建立纵向纵向跟车控制器模型；用a_f、v_f表示前车的加速度和速度，j_h、a_h、v_h表示自车的加加速度、加速度和速度，x_h、x_f表示自车与前车的位置信息，d表示两车的距离；其中，上层控制中的期望加速度a_des和实际输出的加速度a存在延迟,用一阶惯性系统表示：

式中τ表示时间常数，设为0.2，s表示拉普拉斯变换算子，

期望车间距离d_ref采用恒定车头时距计算，即：

d_ref＝r₀+t_hv_h (2)

式中，r₀表示自车静止时与前车的距离，t_h表示车头时距；

根据自车与前车之间的纵向运动学关系建立如下状态空间方程：

其中，k表示当前时刻状态值，k+1表示k时刻的下一时刻状态值，T_s为采样时间，设为0.01s；

状态量选取为x(k)＝[d(k),v_h(k),Δv(k)a_h(k),j_h(k)]^T，T表示转置矩阵符号，控制量选取为u₁＝a_des，即期望加速度，将前车加速度信息设为纵向系统的扰动w＝a_f，输出量y(k+1)＝[Δd(k+1),Δv(k+1),a_h(k+1),j_h(k+1)]^T，Δd(k+1)表示两车相对距离d与期望车间距离d_ref的差值，Δv(k),Δv(k+1)分别表示k时刻和k+1时刻的两车相对速度；

式(3)为车辆纵向跟车模型，该车辆纵向跟车模型不仅考虑自车的加速度和加加速度，而且将前车的加速度作为干扰项考虑进来，可保证车辆的纵向安全性、跟车性和舒适性；

二、建立横向动力学模型

横向动力学模型基于考虑纵向、横向和横摆这三个自由度的车辆模型设计，并且对该车辆模型进行适当简化，忽略车辆的悬架系统的影响，简化转向系统，假设传动比为定值，并假设车辆左右两侧完全对称，采用线性轮胎模型，车辆模型，并建立车辆动力学三自由度非线性模型：

式中，m为车辆整备质量，分别为纵向加速度和横向加速度，C_lf、C_lr分别为前后轮的纵向刚度，C_cf、C_cr分别为前后轮的侧偏刚度，l_f、l_r分别为车辆质心到前、后轴的距离，分别为横摆角速度和横摆角角速度导数，δ_f为前轮转角，s_f、s_r分别为前后轮的纵向滑移率，I_z表示车辆绕z轴的转动惯量, 为车辆在惯性坐标系中的纵向和横向速度；

对于车辆横向控制，建立车辆路径跟踪模型，将式(4)用状态空间形式表示：

在该车辆路径跟踪模型中，状态变量选取为ξ为状态变量的导数值，控制量的选取为u₂＝δ_f，输出量为X,Y为车辆在惯性坐标系中的纵向和横向位置；

由于式(5)是一个非线性的状态空间，采用近似线性化的方法，在工作点[ξ₀u₀]对其线性化处理，并进行离散化得到式：

其中，ξ(k+1)为k+1时刻的状态变量，η(k)为k时刻的输出量， d_k,t是状态量在k时刻的偏差量，可表示为d_k,t＝ξ_k+1-A_k,tξ_k-B_k,tξ_k，式(3)和(6)为推导出来的弯道跟车预测模型；

三、基于模型预测控制的算法建立

1.性能指标和约束设计

为求解所设计的弯道跟车控制器的优化问题，对纵向性能指标和横向性能指标进行综合设计，纵向性能指标包括安全性、跟车性指标和舒适性指标，而横向性能指标包括横向稳定性能指标，所设计的多目标代价函数为：

其中L_t表示跟车性能，与纵向车速差和车间距有关，L_c表示舒适性能，与自车的加速度和加加速度有关，L_la表示横向稳定性能，与横摆角速度偏差、横向位置偏差以及自车方向盘转角有关，j表示自车加速度变化率，w_Δv表示两车速度差权重系数，w_Δd表示车间距权重系数，w_a表示自车加速度权重系数，w_j表示自车加加速度权重系数，表示横摆角速度权重系数，w_ΔY表示横向偏差权重系数，表示前轮转角权重系数。

建立纵横向约束条件，其中纵向参数的约束主要是体现车辆的跟车性和驾驶舒适性，设定为软约束，为了避免出现无法得到最优解的情况，对纵向参数的约束添加松弛变量ε，对于横向参数约束，关系到车辆的安全性，设定为硬约束；

此外，从车辆转向约束、车辆侧偏约束以及车辆侧翻约束三个方面建立不同转向曲率对于车速的安全可控域；

车辆转向约束λ_steer表征的是车辆运动学和操纵特性对于转向的限制，可用最大转向角δ_max和车速v_x表示，并定义为函数f₁：

式(8)中，系数k表示为“不足转向参数”或“不足转向梯度”；

车辆侧偏约束|λ_slip|表征的是车辆在道路中收到轮胎与地面附着条件的限制，可以由轮路附着系数μ和车速表示，并定义为函数f₂：

式中，g表示重力加速度；

车辆侧倾约束表征的是防止车辆出现侧翻的情况，用侧倾指数RI表示，侧倾指数RI与侧倾角、侧倾角速度以及侧向加速度有关，当侧倾指数RI＝1时，车轮离开地面；

根据侧倾指数RI，防止侧翻的最大侧向加速度a_y可表示为：

式(10)中，C₁、C₂与k₁分别是正值系数，且0<C₁<1，0<C₂<1，φ，分别表示侧倾角和侧倾角速度，φ_th和分别表示侧倾角和侧倾角速度的临界值，a_y,c表示车辆横向加速度的临界值，RI_max表示车辆保持稳定时最大侧翻指数，a_y,max表示为满足RI小于RI_max的最大横向加速度；

根据式(10)，侧翻约束|λ_roll|可由下式表示，并定义为函数f₃：

综合式(8)、(9)和(11)，安全可控域表示为：

λ_max＝f(v_x)＝min(f₁,f₂,f₃) (12)

2.跟踪模型的预测

基于控制器设计原理，通过最小化横向控制器的多目标代价函数(7)，求解得到最优控制值的增量Δu^*(k+i|k)，并将Δu^*(k+i|k)的第一个元素值作为反馈，最终实现系统的闭环控制，将多目标代价函数转化为预测型：

其中，J为预测时域内的多目标代价函数，k表示当前时刻，k+i|k表示在时刻k进行k+i时刻信息预测，N_p为预测时域，N_c为控制时域，且N_c≤N_p；

对于车辆的参考状态值y_ref，考虑距离误差和车辆速度、加速度误差的期望值为0，加加速度的参考值j_des为自车加速度的导数，期望横摆角速度和期望横向位置Y_des可以通过期望的参考轨迹得到，

因此，控制量u＝[a_des δ_des]^T，δ_des表示期望前轮转角，其中控制增量Δu(k+i|k)表示当前控制量u(k+i|k)与上一时刻控制量u(k+i|k-1)的差值，Q和R分别为输出权重矩阵和输入权重矩阵，ρ为松弛变量的权重系数，设为1000，ε为松弛因子；

最终，控制器的优化问题可以转化为二次规划问题，即求解J的最小解，并设定以下约束：

式(14)中，u_min、u_max表示控制量的约束范围，Δu_min、Δu_max表示控制增量的约束范围，v_min、v_max表示车速的约束范围，j_min、j_max表示车辆加加速度的约束范围，表示横摆角速度偏差约束，ΔY_min，ΔY_max表示横向偏差约束范围，ε_v和ε_j分别为车辆车速和加速度导数的松弛变量，且都>0。