CN109918706A - 一种基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于广义动力学的卫星‑天线耦合系统路径规划算法，将中继卫星、地面接收站和运动天线引入任务场景实现实拍实传作业。首先，算法通过构建标称姿态坐标系以实现观测约束简化；之后，针对通信节点优先级最高、持续通信时间最长等优化指标，建立基于人工势场的广义受力模型，并采用饱和函数将广义力矩进行归一化处理；最后，建立卫星平台和运动天线的二体动力学系统，并将其置于广义受力模型之中，通过动力学积分实现卫星‑天线转动路径的耦合规划。本发明弥补了现有寻优算法不考虑实拍实传需求、多体问题路径规划算法不健全等缺点，提高了寻优效率，适用于新一代观测卫星实拍实传服务下，卫星平台和天线转动路径的快速规划。

Description

一种基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法

技术领域

本发明属于飞行器设计技术领域，具体涉及一种实拍实传任务需求下、基于广义动力学的卫星运动天线耦合路径的快速规划算法。

背景技术

据了解，实拍实传服务已经成为新一代敏捷卫星对地、对天观测任务的核心需求，是未来航天器技术发展的重要方向。为了实现此技术需求，需要将中继卫星、地面接收站等通信节点引入任务场景、同时为敏捷卫星平台配备大功率数传天线。由于大功率数传天线往往存在半波束角很小的不利情况，因此需要将天线作为运动机构处理。在敏捷卫星实施对地、对天观测任务过程中，通过二维转台将天线实时对准地面接收站或中继卫星，从而实现实拍实传服务。

在实际任务过程中，由于敏捷卫星有效载荷视场有限、且出于光学图像成像需求，往往需要考虑偏流角约束。所以在敏捷卫星执行观测任务的过程中，需要实时进行姿态机动以将载荷对准目标。因此，运动天线与敏捷卫星本体的同时转动就形成了二体耦合转动问题。考虑运动天线在敏捷卫星平台上的转动区域受限、通信节点的可见弧段受到敏捷卫星姿态影响、中继卫星轨道约束与地面接收站随地球转动等问题，使得实拍实传任务需求下，敏捷卫星本体和运动天线转动路径的耦合规划问题变得极其复杂。在实拍实传过程中难免出现中断和通信节点切换等情况。在实际任务中，实拍实传中断弧段的长短和天线跟踪效果的好坏将直接影响到任务效果和地面数据处理评估的效率，因此对上述问题的研究是非常有必要的，需要采用先进的建模和寻优手段才可以得出较为有利的规划结果。

在敏捷卫星姿态规划领域，在先文献H.Kim,Y.K.Chang,Mission schedulingoptimization of SAR satellite constellation for minimizing system responsetime,Aerospace Science and Technology.40(2015)17-32中通过引入遗传算法，将敏捷卫星非线性任务规划模型直接进行全局寻优，以实现对目标区域的最大程度覆盖，但是遗传算法的效率较低、对计算环境要求严苛，难以实现在轨快速任务规划需求。因此，Y.She,S.Li,Y.Zhao,Onboard mission planning for agile satellite using modifiedmixed-integer linear programming,Aerospace Science and Technology,72(2018)204–216中提出将规划模型离散并线性化后，采用线性规划器Linear Programming对任务进行规划，从而大大增加了规划算法的计算效率和速度，实现了在轨任务规划的需求。但是上述先验技术均未能考虑实拍实传任务需求，没有在这一任务场景下实验算法的有效性。

带有运动天线的航天器可以被视为空间多体系统，在空间多体系统路径规划方面，空间机械臂的研究较为深入。G.Misra,X.Bai,Optimal Path Planning for Free-Flying Space Manipulators via Sequential Convex Programming,Journal ofGuidance,Control,and Dynamics,40(2017)3019-3026中提出采用凸优化工具包对复杂约束环境下的空间机械臂系统运动路径进行快速规划；而考虑到空间多体系统的动量守恒现象，K.Yoshida,K.Hashizume,and S.Abiko,Zero Reaction Maneuver:Flight Validationwith ETS-VII Space Robot and Extension to kinematically Redundant Arm,Proceedings 2001ICRA.IEEE International Conference on Robotics andAutomation，access number 6999608中提出采用零空间矩阵实现对机械臂系统的有效控制。但是上述技术均需要多体系统为冗余系统，本专利所述的运动天线为两自由度转动平台，不具备冗余性，因此零空间矩阵法在此并不适用。且先验技术中很少考虑运动天线转动任务的特点，没有处理天线转动过程中的对准目标切换和可见窗口离散等问题。因此，上述先验技术均存在较大提高空间。

发明内容

针对于上述现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法，以解决现有技术中无法实现在实拍实传任务背景下，对带有运动天线的敏捷卫星系统进行快速路径规划的问题。本发明通过引入人工势场的概念，将实拍实传时段或通信节点优先级最大化与人工势场结合，建立广义受力模型，并将带有运动天线的敏捷卫星系统视为空间二体系统，考虑载荷视场、偏流角等约束，将广义动力学模型与广义受力模型结合，通过求解广义动力学方程快速直接确定敏捷卫星平台和运动天线的转动路径。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：

本发明的一种基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法，包括步骤如下：

步骤一：将中继卫星、地面接收站引入任务场景，并将二者统称为通信节点；通过目标及敏捷卫星在惯性坐标系下的相对位置来确定目标的观测窗口，并定义标称姿态坐标系；

步骤二：将中继卫星的轨道根数、地面接收站经纬度坐标信息引入轨道动力学，将中继卫星或地面接收站与敏捷卫星的相对运动归一化后投影到标称姿态坐标系下；

步骤三：基于敏捷卫星与标称姿态坐标系的相对运动，确定所有通信节点的可见窗；并构建敏捷卫星本体与数传天线机构的二体动力学模型；

步骤四：通过最大通信节点优先级、最优转动路径和最长连续数传时间来制定不同的指标函数，基于人工势场法建立相对应的广义受力模型；将上述步骤三中所获得的二体动力学模型置于广义受力模型下，并通过求解广义动力学方程得出敏捷卫星和数传天线的转动路径。

进一步地，所述步骤一中的标称姿态坐标系为：

其中，x_sat，y_sat，z_sat分别为标称姿态坐标系的x，y和z轴，A_baseline表示标称姿态坐标系的姿态转换矩阵，P_ti ^J(t)，为目标在地球惯性坐标系下的位置和速度，r_sat(t)，为敏捷卫星在地球惯性坐标系下的位置和速度，为目标与敏捷卫星之间的相对速度矢量。

进一步地，所述步骤二具体包括：

2.1在标称姿态坐标系下，敏捷卫星X轴(载荷光轴)始终对准目标方向、敏捷卫星Y轴指向目标相对于敏捷卫星的速度方向，满足偏流角约束；

2.2将中继卫星与地面接收站在惯性空间的运动投影到标称姿态坐标系下，将敏捷卫星的实际姿态与标称姿态之间的欧拉角定义为相对姿态角；

2.3将敏捷卫星的实际姿态投影到标称姿态坐标系中进行研究，在该坐标系下，载荷视场范围和偏流角约束转化为敏捷卫星X轴(载荷光轴)与标称姿态坐标系X轴之间的夹角约束；2.4基于通信天线在敏捷卫星本体系下的转动范围约束，将通信节点的可见窗口时段转化成为相对姿态角的函数，从而建立相对姿态与通信节点窗口的耦合表达式。

进一步地，所述步骤三具体包括：

3.1基于拉格朗日动力学，将敏捷卫星-运动天线耦合系统视为二体模型并建立动力学模型：

其中，M，D，C分别为广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性力矩阵，T_coupling为施加在系统之上的广义力矩，q包含敏捷卫星本体三轴姿态q_base和天线二维指向方向q_ant：

3.2通过分离参数法，分别针对敏捷卫星平台和运动天线构建转动模型，将拉格朗日动力学模型展开，其具体形式如下：

其中：

式中，算子ag(·)代表求两个向量之间的夹角的运算过程，A(t)为敏捷卫星实际三轴姿态矩阵，与标称姿态坐标系A_baseline对应；M′、D′、C′分别表示敏捷卫星平台姿态的三自由度广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性力矩阵；M_ant、D_ex、C_ant分别表示运动天线指向的二自由度广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性力矩阵；M_c、D_c分别表示敏捷卫星平台和运动天线的动力学耦合矩阵。

进一步地，所述步骤四具体包括：根据优化指标函数的特性，建立人工势场，并将步骤三中构建二体动力学模型至于人工势场中，利用求解广义动力学模型确定敏捷卫星平台和天线的转动路径；其中，优化指标包括：

a)model1(模型1)：通过最大通信节点优先级

b)model2(模型2)：最优转动路径

c)model3(模型3)：最长连续传输时间

广义动力学模型分别针对地面接收站和中继卫星进行建立，其定义如下：

其中，Ψ为权重函数，其取值与当前通信节点在敏捷卫星本体系下的位置区域有关；n为用来描述到天线盲区的特征向量，P_{g_i} ^b(t)，P_{geo_i} ^b(t)分别代表地面接收站和中继卫星相对于敏捷卫星的位置矢量，a_g，a_geo分别代表地面接收站和中继卫星的优先级指标，t为当前时刻，T_{g_max_i}，T_{geo_max_i}分别代表当前通信节点可见弧段的末端时刻；D_antenna(t)为运动天线相对于敏捷卫星的二维指向；

基于以上定义，得式(2)中的施加在二体动力学模型上的广义力矩T_coupling表示所有通信节点对系统所施加的力矩之和：

将上式(9)带入式(2)即求解出敏捷卫星平台和运动天线的转动加速度，考虑到敏捷卫星和运动天线的机动能力约束，分别定义二者的最大角速度Ω和Ω_ant，则对上述广义动力学系统按照等比例缩放方式进行抗饱和处理：

本发明的有益效果：

1、将中继卫星和地面接收站引入任务场景，并采用敏捷卫星搭载二维运动天线方案，实现实拍实传任务的概念设计，增加通信节点和通信效率；

2、基于有效载荷视场和偏流角约束，构建标称姿态坐标系，将任务规划问题投影进入该坐标系进行处理；从而将视场范围和偏流角约束表达式大大简化，为运动天线路径规划提供便利；

3、采用人工势场法，将通信节点优先级、最大实拍实传通信时间等优化指标作为人工势场建模依据，从而实现了优化指标向动力学环境的转变；

4、通过空间二体动力学建模方法，描述敏捷卫星平台和运动天线的转动建模；将上述动力学模型至于广义人工势场中，通过动力学求解的方式实现对敏捷卫星平台和运动天线的转动路径的同时规划。

附图说明

图1是任务过程中运动天线转动约束区域在敏捷卫星本体系下的投影示意图；

图2是在标称姿态坐标系下，用以描述有效载荷视场和偏流角约束的归一化函数示意图；

图3a为本发明的规划算法所得到的运动天线与通信节点在规划窗口内的实时通信情况与传统算法结果的比对示意图；

图3b为本发明的规划算法所得到的运动天线指向向量与传统规划算法结果的比对示意图；

图4a为本发明的规划算法所得到的规划窗口内可见通信节点的数量与传统规划算法所得到的结果的比对示意图；

图4b为本发明的规划算法所得到的最终通信节点的分配方案与传统规划算法所得结果的比对示意图；

图5是本发明所得敏捷卫星相对标称坐标系的三轴姿态机动曲线与传统算法的比对示意图；

图6为本发明规划方法的流程图。

具体实施方式

为了便于本领域技术人员的理解，下面结合实施例与附图对本发明作进一步的说明，实施方式提及的内容并非对本发明的限定。

参照图6所示，本发明的一种基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法，包括步骤如下：

步骤一：将中继卫星、地面接收站引入任务场景，并将二者统称为通信节点；通过目标及敏捷卫星在惯性坐标系下的相对位置来确定目标的观测窗口，并定义标称姿态坐标系；

步骤二：将中继卫星的轨道根数、地面接收站经纬度坐标信息引入轨道动力学，将中继卫星或地面接收站与敏捷卫星的相对运动归一化后投影到标称姿态坐标系下；

步骤三：基于敏捷卫星与标称姿态坐标系的相对运动，确定所有通信节点的可见窗；并构建敏捷卫星本体与数传天线机构的二体动力学模型；

步骤四：通过最大通信节点优先级、最优转动路径和最长连续数传时间来制定不同的指标函数，基于人工势场法建立相对应的广义受力模型；将上述步骤三中所获得的二体动力学模型置于广义受力模型下，并通过求解广义动力学方程得出敏捷卫星和数传天线的转动路径。

其中，所述步骤一中的标称姿态坐标系为：

其中，x_sat，y_sat，z_sat分别为标称姿态坐标系的x，y和z轴，A_baseline表示标称姿态坐标系的姿态转换矩阵，P_ti ^J(t)，为目标在地球惯性坐标系下的位置和速度，r_sat(t)，为敏捷卫星在地球惯性坐标系下的位置和速度，为目标与敏捷卫星之间的相对速度矢量。

其中，所述步骤二具体包括：

2.1在标称姿态坐标系下，敏捷卫星X轴(载荷光轴)始终对准目标方向、敏捷卫星Y轴指向目标相对于敏捷卫星的速度方向，满足偏流角约束；

2.2将中继卫星与地面接收站在惯性空间的运动投影到标称姿态坐标系下，将敏捷卫星的实际姿态与标称姿态之间的欧拉角定义为相对姿态角；

2.3将敏捷卫星的实际姿态投影到标称姿态坐标系中进行研究，在该坐标系下，载荷视场范围和偏流角约束转化为敏捷卫星X轴(载荷光轴)与标称姿态坐标系X轴之间的夹角约束；

2.4基于通信天线在敏捷卫星本体系下的转动范围约束，将通信节点的可见窗口时段转化成为相对姿态角的函数，从而建立相对姿态与通信节点窗口的耦合表达式。

其中，所述步骤三具体包括：

3.1基于拉格朗日动力学，将敏捷卫星-运动天线耦合系统视为二体模型并建立动力学模型：

其中，M，D，C分别为广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性力矩阵，T_coupling为施加在系统之上的广义力矩，q包含敏捷卫星本体三轴姿态q_base和天线二维指向方向q_ant：

3.2通过分离参数法，分别针对敏捷卫星平台和运动天线构建转动模型，将拉格朗日动力学模型展开后写成两行形式，其具体形式如下：

其中：

式中，算子ag(·)代表求两个向量之间的夹角的运算过程，A(t)为敏捷卫星实际三轴姿态矩阵，与标称姿态坐标系A_baseline对应；M′、D′、C′分别表示敏捷卫星平台姿态的三自由度广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性力矩阵；M_ant、D_ex、C_ant分别表示运动天线指向的二自由度广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性力矩阵；M_c、D_c分别表示敏捷卫星平台和运动天线的动力学耦合矩阵。

其中，所述步骤四具体包括：根据优化指标函数的特性，建立人工势场，并将步骤三中构建二体动力学模型至于人工势场中，利用求解广义动力学模型确定敏捷卫星平台和天线的转动路径；其中，优化指标包括：

d)model1(模型1)：通过最大通信节点优先级

e)model2(模型2)：最优转动路径

f)model3(模型3)：最长连续传输时间

广义动力学模型分别针对地面接收站和中继卫星进行建立，其定义如下：

其中，Ψ为权重函数，其取值与当前通信节点在敏捷卫星本体系下的位置区域有关；n为用来描述到天线盲区的特征向量，P_{g_i} ^b(t)，P_{geo_i} ^b(t)分别代表地面接收站和中继卫星相对于敏捷卫星的位置矢量，a_g，a_geo分别代表地面接收站和中继卫星的优先级指标，t为当前时刻，T_{g_max_i}，T_{geo_max_i}分别代表当前通信节点可见弧段的末端时刻；D_antenna(t)为运动天线相对于敏捷卫星的二维指向；

基于以上定义，得式(2)中的施加在二体动力学模型上的广义力矩T_coupling表示所有通信节点对系统所施加的力矩之和：

将上式(9)带入式(2)即求解出敏捷卫星平台和运动天线的转动加速度，考虑到敏捷卫星和运动天线的机动能力约束，分别定义二者的最大角速度Ω和Ω_ant，则对上述广义动力学系统按照等比例缩放方式进行抗饱和处理：

以下通过具体实例说明算法的使用流程：

设定如下计算条件和技术参数：

(1)任务场景设计：本例涉及一颗带有运动天线的敏捷卫星，执行对地观测任务。敏捷卫星运行在98°倾角太阳同步轨道上，地面观测目标为点目标，观测过程中敏捷卫星需要实时进行姿态机动以对准目标；为了实现实拍实传任务需求，考虑四个地面接收站和四个中继卫星作为通信节点；

(2)任务过程需要对敏捷卫星平台和运动天线的转动路径同时进行规划。本例规划指标定为通信节点优先级最高，其中由于中继卫星资源紧张、通信链路复杂且窗口不稳定等情况，认为地面接收站直接传输的优先级最高；即当地面接收站处于天线转动范围内时，应优先考虑通过地面接收站进行数传；

(3)本例所涉及的航天器及地面设施的基本参数如表1所示；

表1

(4)任务场景的时间段被设计在一个完整的目标相对于敏捷卫星的可见窗口中，假设全流程中目标可被观测，且敏捷卫星无其他观测任务。目标相对于敏捷卫星的可见窗口计算方法属于现有的成熟技术，在本例中不再赘述；

(5)与目标可见弧段计算方式类似，中继卫星和地面接收站的可见弧段计算同样不在本例中进行展示。本例中所述的“可通信弧段”是可见弧段的一个子集，其定义为：当前通信节点的位置在敏捷卫星本体系投影不处于图1所示的约束区域内，即：

(6)为了对本发明的正确性和可靠性进行进一步验证，将本发明所得的寻优结果与基于遗传算法传统的两层优化方法所得到的寻优结果进行了比对；

基于本发明的规划算法与上述设置的计算条件和技术参数，采用Matlab软件进行仿真验证。通过广义动力学积分，得到了敏捷卫星和天线的转动路径。将所得路径集成进入仿真环境后，得到图3a-图5所示的仿真结果。其中图3a展示了实时通信判定函数，该函数的定义为：若当前天线属于实时通信状态，则函数值为0，若天线不属于实时通信状态，则函数值为1。从图3b中可以清晰地看出基于人工势场的天线路径耦合规划结果可以大大实现持续通信时间，并可以减少实时数据传输被打断的次数。图4a中可以看出，经过耦合路径规划后得到的任务全流程中可通信的通信节点数量大于传统的两层优化所得到的结果，从而证明了新算法的优越性。从图4b中还可以看出，具体的最终通信节点分配结果中，天线优先选择了可见弧段最长的地面接收站作为通信节点；当地面接收站进入天线约束区域后，天线立刻转向并追踪中继卫星继续进行实时通信，并在期间切换了中继卫星以确保通信畅通。最后图5中可以看出敏捷卫星的三轴姿态变化情况，可以看出相较于传统的两层优化算法所得的结果，敏捷卫星在新的规划算法中的姿态机动更加频繁，从而进一步发挥了敏捷卫星的姿态机动潜力，并从可见通信节点数量、通信节点优先级和连续通信时间等方面均取得了更好的任务结果。从而佐证了本发明的优越性和可靠性。

本发明具体应用途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法，其特征在于，包括步骤如下：

步骤一：将中继卫星、地面接收站引入任务场景，并将二者统称为通信节点；通过目标及敏捷卫星在惯性坐标系下的相对位置来确定目标的观测窗口，并定义标称姿态坐标系；

步骤二：将中继卫星的轨道根数、地面接收站经纬度坐标信息引入轨道动力学，将中继卫星或地面接收站与敏捷卫星的相对运动归一化后投影到标称姿态坐标系下；

步骤三：基于敏捷卫星与标称姿态坐标系的相对运动，确定所有通信节点的可见窗；并构建敏捷卫星本体与数传天线机构的二体动力学模型；

步骤四：通过最大通信节点优先级、最优转动路径和最长连续数传时间来制定不同的指标函数，基于人工势场法建立相对应的广义受力模型；将上述步骤三中所获得的二体动力学模型置于广义受力模型下，并通过求解广义动力学方程得出敏捷卫星和数传天线的转动路径。

2.根据权利要求1所述的基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法，其特征在于，所述步骤一中的标称姿态坐标系为：

其中，x_sat，y_sat，z_sat分别为标称姿态坐标系的x，y和z轴，A_baseline表示标称姿态坐标系的姿态转换矩阵，P_ti ^J(t)，为目标在地球惯性坐标系下的位置和速度，r_sat(t)，为敏捷卫星在地球惯性坐标系下的位置和速度，为目标与敏捷卫星之间的相对速度矢量。

3.根据权利要求2所述的基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法，其特征在于，所述步骤二具体包括：

2.1在标称姿态坐标系下，敏捷卫星X轴始终对准目标方向、敏捷卫星Y轴指向目标相对于敏捷卫星的速度方向，满足偏流角约束；

2.2将中继卫星与地面接收站在惯性空间的运动投影到标称姿态坐标系下，将敏捷卫星的实际姿态与标称姿态之间的欧拉角定义为相对姿态角；

2.3将敏捷卫星的实际姿态投影到标称姿态坐标系中进行研究，在该坐标系下，载荷视场范围和偏流角约束转化为敏捷卫星X轴与标称姿态坐标系X轴之间的夹角约束；

2.4基于通信天线在敏捷卫星本体系下的转动范围约束，将通信节点的可见窗口时段转化成为相对姿态角的函数，从而建立相对姿态与通信节点窗口的耦合表达式。

4.根据权利要求3所述的基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法，其特征在于，所述步骤三具体包括：

3.1基于拉格朗日动力学，将敏捷卫星-运动天线耦合系统视为二体模型并建立动力学模型：

其中，M，D，C分别为广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性力矩阵，T_coupling为施加在系统之上的广义力矩，q包含敏捷卫星本体三轴姿态q_base和天线二维指向方向q_ant：

3.2通过分离参数法，分别针对敏捷卫星平台和运动天线构建转动模型，将拉格朗日动力学模型展开，其具体形式如下：

其中：

式中，算子ag(·)代表求两个向量之间的夹角的运算过程，A(t)为敏捷卫星实际三轴姿态矩阵，与标称姿态坐标系A_baseline对应；M′、D′、C′分别表示敏捷卫星平台姿态的三自由度广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性力矩阵；M_ant、D_ex、C_ant分别表示运动天线指向的二自由度广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性力矩阵；M_c、D_c分别表示敏捷卫星平台和运动天线的动力学耦合矩阵。

5.根据权利要求1所述的基于广义动力学的卫星-天线耦合系统路径规划算法，其特征在于，所述步骤四具体包括：根据优化指标函数的特性，建立人工势场，并将步骤三中构建二体动力学模型至于人工势场中，利用求解广义动力学模型确定敏捷卫星平台和天线的转动路径；其中，优化指标包括：

a)模型1：通过最大通信节点优先级

b)模型2：最优转动路径

c)模型3：最长连续传输时间

广义动力学模型分别针对地面接收站和中继卫星进行建立，其定义如下：

其中，Ψ为权重函数，其取值与当前通信节点在敏捷卫星本体系下的位置区域有关；n为用来描述到天线盲区的特征向量，P_{g_i} ^b(t)，P_{geo_i} ^b(t)分别代表地面接收站和中继卫星相对于敏捷卫星的位置矢量，a_g，a_geo分别代表地面接收站和中继卫星的优先级指标，t为当前时刻，T_{g_max_i}，T_{geo_max_i}分别代表当前通信节点可见弧段的末端时刻；D_antenna(t)为运动天线相对于敏捷卫星的二维指向；

基于以上定义，得式(2)中的施加在二体动力学模型上的广义力矩T_coupling表示所有通信节点对系统所施加的力矩之和：

将上式(9)带入式(2)即求解出敏捷卫星平台和运动天线的转动加速度，考虑到敏捷卫星和运动天线的机动能力约束，分别定义二者的最大角速度Ω和Ω_ant，则对上述广义动力学系统按照等比例缩放方式进行抗饱和处理：