CN109916935B - 基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法，包括以下步骤：建立微通道的实体模型，提取微通道的骨架；确定微通道分割平面；提取微通道分割平面与微通道实体模型四面体边界面的交点；测量微通道横截面几何尺寸。本发明基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法的优点，能够实现高深宽比的微通道不同位置的横截面几何尺寸的测量；该方法以分割实体模型四面体的方法代替操作复杂的测量方法，操作简单，适用范围广，横截面划分更准确；而且该方法不损坏任何结构，实现了微通道横截面几何尺寸的无损测量。

Description

基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法

技术领域

本发明涉及微流控芯片几何尺寸测量技术领域，具体涉及一种基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法。

背景技术

当前，微流控芯片已成为微全分析系统(μ-TAS))和芯片实验室(Lab on a Chip)的发展重点和前沿技术。但目前也存在许多亟待解决的问题，其中一个的方面就是微流控芯片中微通道质量的评定问题。微通道是微流控芯片的基础结构，微通道横截面几何尺寸对微流体的运动、流型、扩散等均会产生影响，进而可能对样品的分析结果产生影响，所以对微通道横截面几何尺寸的测量显得尤为重要。

微通道横截面几何尺寸主要有：微通道宽度、深度，以及相应的深宽比。微流控芯片中的微通道横截面几何尺寸一般在微米量级，给测量带来很大的困难。目前，在微通道横截面几何尺寸的测量工具中，最常用的有扫描电子显微镜(Scanning ElectronMicroscope,SEM)、触针式轮廓仪(Stylus Profiler)和白光干涉仪(White-lightInterferometer)等。

扫描电子显微镜(SEM)具有纳米级的分辨率，可以得到高清晰的微结构形貌图像，但主要是进行平面二维尺寸测量，可定性观察被测表面的形貌，在测量微通道横截面几何尺寸时，则需要将微流控芯片破坏性地切开。扫描电子显微镜(SEM)工作时，需要保证电子束行进的整个路径都处于高真空状态，并且要求样品必须具有导电性，整个工作过程操作复杂，需要专门的人员进行操作。触针式轮廓仪(Stylus Profiler)的针尖角度和针尖圆弧半径会对测量精度产生影响，对不规则的微通道横截面尺寸测量结果有时会存在误差。采用触针式轮廓仪测量微通道，测针通常可以完全抵达微通道底部，故深度尺寸测量较准确，但在宽度方向上，由于微通道深度及侧壁倾角不同，可能产生测针与微通道侧壁干涉；同时由触针式轮廓仪测得的轮廓并不总是能反映出真实的微通道横截面几何尺寸。而且，当测量PDMS等质地较软的基质微流控芯片时，会发生不同程度的变形。白光干涉仪(White-light Interferometer)测量是非接触的，对被测表面没有损伤，测量精度高；但是这种测量仪器测量系统复杂，并对被测表面的光学特性要求较高，透明的材料需要进行镀膜等反射处理，当前在微流控芯片领域很少使用。

本发明提出的基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法，该方法能够实现不同位置横截面几何尺寸测量，不损坏任何结构，实现了微通道的无损检测，为微通道横截面几何尺寸的测量提供了一种新的思路。

发明内容

本发明的目的是为克服上述现有技术的不足，提供一种基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法。

为实现上述目的，本发明采用下述技术方案：基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法，包括以下步骤：

步骤一：建立微通道的实体模型，提取微通道的骨架；

步骤二：确定微通道不同位置的分割平面；

步骤三：提取微通道分割平面与实体模型四面体边界面的交点；

步骤四：测量微通道横截面几何尺寸。

优选的，所述步骤一中，建立微通道实体模型和提取微通道骨架的步骤如下：

(1-1)以微通道的CT断层扫描图像为基础，对图像进行预处理，获取微通道的体数据；

(1-2)以微通道的体数据为基础，采用三维重构技术建立微通道三维表面模型，并通过四面体剖分算法得到微通道的实体模型；

(1-3)以微通道的体数据为基础，采用细化算法提取微通道的骨架。

优选的，所述步骤(1-2)中，采用MC算法建立微通道三维表面模型，采用Delaunay四面体剖分算法得到微通道的实体模型。

优选的，所述步骤(1-3)中，采用Paragyi K提出的8-Subiteration细化算法提取微通道的骨架。

优选的，所述步骤二中，确定微通道不同位置的分割平面的步骤如下：

(2-1)步骤一中提取的微通道骨架由N个骨架点组成，构成集合T，骨架点标记为T₀、T₁、T₂……T_i-1、T_i、T_i+1……T_N-1；

(2-2)提取微通道不同位置的横截面，选取除第一个骨架点及最后一个骨架点之外的任意骨架点作分割点；

取任意骨架点T_i作为一个分割点，以该分割点T_i的前一个骨架点T_i-1和后一个骨架点T_i+1为直线上两点，来确定一条直线，然后过分割点T_i且垂直于该直线确定分割平面S。

优选的，所述步骤三中，确定微通道分割平面与实体模型四面体边界面的交点的步骤如下：

(3-1)确定微通道分割点所在的微通道实体模型的四面体，方法如下：

取任意分割点T_i，以分割点T_i为中心，建立包围盒，包围盒内的四面体构成集合M_t，通过体积比较法，寻找分割点T_i所在的四面体，该四面体记为M_ti；

(3-2)确定分割点所在四面体的边界面，方法如下：

对于分割点T_i及包含该分割点的四面体M_ti，该四面体的四个顶点分别为P₁、P₂、P₃、P₄，遍历包围盒内四面体构成的集合M_t，记录包含P₁、P₂、P₃、P₄四个顶点中的三个点的四面体，标记为四面体M_ti的相邻四面体，构成集合M_i-neighbor；如果四面体M_ti的相邻四面体集合M_i-neighbor中的四面体数少于4个，就证明四面体M_ti存在边界面；确定包含分割点T_i的四面体M_ti的边界面F_i；

(3-3)确定边界面与分割平面的交点，步骤如下：

(3-3-1)当包含分割点T_i的四面体M_ti存在边界面F_i时，确定边界面F_i与分割平面S相交的棱边L_i，查找与棱边L_i共边的三角面片，标记为F_i+1，确定与分割平面S相交棱边L_i+1；继续查找与棱边L_i+1共边的三角面片，标记为F_i+2，确定与分割平面S相交的棱边L_i+2；此过程一直进行下去，直到确定的棱边L_i+n与棱边L_i重合为止，记录分割平面S与棱边的交点，构成集合C_i；

(3-3-2)当四面体M_ti不存在边界面F_i时，以四面体M_ti为种子四面体，根据四面体拓扑关系向外生长，直至找到包围盒内存在边界面且与分割平面S相交的四面体，然后重复步骤(3-3-1)，来确定分割平面S与边界面棱边的交点。

优选的，所述步骤(3-1)中，通过体积比较法寻找分割点T_i所在的四面体的方法如下：

四面体M_ti的体积为V，四面体M_ti的四个顶点记为P₁、P₂、P₃、P₄；

分割点T_i与顶点P₁、P₂、P₃组成的小四面体体积为V₁；

分割点T_i与顶点P₁、P₂、P₄组成的小四面体体积为V₂；

分割点T_i与顶点P₁、P₃、P₄组成的小四面体体积为V₃；

分割点T_i与顶点P₂、P₃、P₄组成的小四面体体积为V₄；

如果|V-V₁-V₂-V₃-V₄|<ε，其中ε＝1.0e-3，则该分割点T_i在四面体M_ti中。

优选的，所述步骤四中，微通道横截面几何尺寸测量的步骤如下：

(4-1)以步骤三中分割平面与边界面棱边的交点为离散点，建立坐标系，并将离散点向面YOZ投影，得到投影点；

(4-2)定义顶部投影点与Y轴之间的最小距离Z_顶min、最大距离Z_顶max；

定义底部投影点与Y轴之间的最小距离Z_底min、最大距离Z_底max；

定义左侧投影点与Z轴之间的最小距离Y_左min、最大距离Y_左max；

定义右侧投影点与Z轴之间的最小距离Y_右min、最大距离Y_右max；

根据上述距离，分别建立顶部投影点、底部投影点、左侧投影点和右侧投影点的误差带，并取每个误差带的中心线，作为横截面轮廓线；

(4-3)根据投影点误差带中心线对微通道横截面几何尺寸进行测量：

顶部投影点误差带中心线与底部投影点误差带中心线之间的距离作为微通道的深度H；

左侧投影点误差带中心线与右侧投影点误差带中心线之间的距离作为微通道宽度L；

微通道深度H与微通道宽度L之比作为深宽比m，m＝H/L。

本发明具有以下有益效果：

本发明基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法的优点，能够实现了高深宽比的微通道不同位置的横截面几何尺寸的测量；该方法以分割实体模型四面体的方法代替操作复杂的测量方法，操作简单，适用范围广，横截面划分更准确；而且该方法不损坏任何结构，实现了微通道横截面几何尺寸的无损测量。

附图说明

构成本申请的一部分的说明书附图用来提供对本申请的进一步理解，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。

图1是本发明基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法的流程示意图；

图2为本发明步骤一中微通道实体模型示意图；

图3为本发明步骤二中微通道分割平面示意图

图4为本发明步骤三中分割点所在四面体示意图；

图5为本发明步骤三中分割平面与边界面相交示意图。

图6为本发明步骤四中离散点投影示意图；

图7为本发明步骤四中投影点误差带示意图；

图8为本发明步骤四中微通道横截面几何尺寸测量示意图。

具体实施方式

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法，具体的流程示意图见图1，包括以下步骤：

步骤一：建立微通道的实体模型，提取微通道的骨架；

其中，所述步骤一中，建立微通道实体模型和提取微通道骨架的步骤如下，其中微通道实体模型如图2所示；

(1-1)以微通道的CT断层扫描图像为基础，对图像进行预处理，获取微通道的体数据；

CT技术,也称为Micro-CT技术、微焦点CT或者微型CT、X射线微断层摄影术，它是一种非侵入性和无损性的三维成像技术。在不破坏样品的前提下，利用能量波对样品进行扫描,从而获得扫描样品的图像。从样品的不同层面分别进行扫描，即可获得一系列的图像，进而从图像中了解其三维结构信息。

(1-2)以微通道的体数据为基础，采用三维重构技术建立微通道三维表面模型，并通过四面体剖分算法得到微通道的实体模型；微通道三维表面模型是由相互连接的三角面片集合F构成；微通道的实体模型是由具有拓扑关系的四面体集合M构成；

(1-3)以微通道的体数据为基础，采用细化算法提取微通道的骨架。

其中，所述步骤(1-2)中，采用MC算法建立微通道三维表面模型，采用Delaunay四面体剖分算法得到微通道的实体模型。

其中，所述步骤(1-3)中，采用Paragyi K提出的8-Subiteration细化算法提取微通道的骨架。

步骤二：确定微通道不同位置的分割平面；

其中，所述步骤二中，确定微通道不同位置的分割平面的步骤如下：

(2-1)步骤一中提取的微通道骨架由N个骨架点组成，构成集合T，骨架点标记为T₀、T₁、T₂……T_i-1、T_i、T_i+1……T_N-1；

(2-2)提取微通道不同位置的横截面，选取除第一个骨架点及最后一个骨架点之外的任意骨架点作分割点；分割点就是分割位置处的骨架点，确定分割点位置就是确定分割面位置；通过分割点位置确定分割平面的位置，进而提取不同位置的微通道横截面，结果更有说服力，同时可以用来判断加工稳定性；

取任意骨架点T_i作为一个分割点，以该分割点T_i的前一个骨架点T_i-1和后一个骨架点T_i+1为直线上两点，来确定一条直线，然后过分割点T_i且垂直于该直线确定分割平面S，其中分割平面的示意图如图3所示；以相同的方法确定其他分割点位置的分割平面。

步骤三：提取微通道分割平面与实体模型四面体边界面的交点；

其中，所述步骤三中，确定微通道分割平面与实体模型四面体边界面的交点的步骤如下：

(3-1)确定微通道分割点所在的微通道实体模型的四面体，方法如下：

取任意分割点T_i，以分割点T_i为中心，建立包围盒，缩小搜索范围，减少计算量，包围盒内的四面体构成集合M_t，通过体积比较法，寻找分割点T_i所在的四面体，该四面体记为M_ti；

其中，所述步骤(3-1)中，通过体积比较法寻找分割点T_i所在的四面体的方法如下：

四面体M_ti的体积为V，四面体M_ti的四个顶点记为P₁、P₂、P₃、P₄；

分割点T_i与顶点P₁、P₂、P₃组成的小四面体体积为V₁；

分割点T_i与顶点P₁、P₂、P₄组成的小四面体体积为V₂；

分割点T_i与顶点P₁、P₃、P₄组成的小四面体体积为V₃；

分割点T_i与顶点P₂、P₃、P₄组成的小四面体体积为V₄；

如果|V-V₁-V₂-V₃-V₄|<ε，其中ε＝1.0e-3，则该分割点T_i在四面体M_ti中；分割点所在四面体示意图如图4所示。

(3-2)确定分割点所在四面体的边界面，方法如下：

对于分割点T_i及包含该分割点的四面体M_ti，该四面体的四个顶点分别为P₁、P₂、P₃、P₄，遍历包围盒内四面体构成的集合M_t，记录包含P₁、P₂、P₃、P₄四个顶点中的三个点的四面体，标记为四面体M_ti的相邻四面体，构成集合M_i-neighbor；如果四面体M_ti的相邻四面体集合M_i-neighbor中的四面体数少于4个，就证明四面体M_ti存在边界面；确定包含分割点T_i的四面体M_ti的边界面F_i。

微通道实体模型中的四面体分为两类：内部四面体和边界四面体；内部四面体有4个相邻四面体，不存在边界面；边界四面体存在三种情况，分别是有1个相邻四面体的边界四面体存在3个边界面，有2个相邻四面体的边界四面体存在2个边界面，有3个相邻四面体的边界四面体存在1个边界面，由于选取的分割点是除了第一个和最后一个骨架点之外的骨架点，所以不考虑存在3个边界面的四面体；分割平面与边界面相交示意图如图5所示。

(3-3)确定边界面与分割平面的交点，步骤如下：

(3-3-1)当包含分割点T_i的四面体M_ti存在边界面F_i时，确定边界面F_i与分割平面S相交的棱边L_i，查找与棱边L_i共边的三角面片，标记为F_i+1，确定与分割平面S相交棱边L_i+1；继续查找与棱边L_i+1共边的三角面片，标记为F_i+2，确定与分割平面S相交的棱边L_i+2；此过程一直进行下去，直到确定的棱边L_i+n与棱边L_i重合为止，记录分割平面S与棱边的交点，构成集合C_i；以相同方法确定其他分割平面与棱边的交点；

(3-3-2)当四面体M_ti不存在边界面F_i时，以四面体M_ti为种子四面体，根据四面体拓扑关系向外生长，直至找到包围盒内存在边界面且与分割平面S相交的四面体，然后重复步骤(3-3-1)，来确定分割平面S与边界面棱边的交点。

具体地，当四面体M_ti不存在边界面F_i时，以四面体M_ti为种子四面体，根据四面体拓扑关系向外生长，首先确定四面体M_ti的四个相邻四面体M_ti+1、M_ti+2、M_ti+3、M_ti+4，然后重复步骤(3-2)，来判断这四个四面体是否存在边界面：

若存在边界面，需要判断该四面体的边界面是否与分割平面S相交；

当然，不难理解的是，分割平面S是分割点位置处的平面，包含分割点T_i的四面体M_ti的边界面肯定与分割平面S相交，四面体M_ti的相邻四面体的边界面不一定与分割平面S相交，需要进行判断；

若该边界面与分割平面S相交，重复步骤(3-3-1)；

若该边界面与分割平面S不相交，以该边界面为种子三角面片，根据三角面片的连接关系向外生长，寻找与分割平面S相交的边界面F_j,然后重复步骤(3-3-1)；

若不存在边界面，就分别以四面体M_ti+1、M_ti+2、M_ti+3、M_ti+4为种子四面体向外生长，继续根据四面体拓扑关系寻找相邻四面体，直至找到包围盒内存在边界面的四面体，然后再判断该四面体的边界面是否与分割平面S相交，最后重复步骤(3-3-1)。

步骤四：测量微通道横截面几何尺寸。

其中，所述步骤四中，微通道横截面几何尺寸测量的步骤如下：

(4-1)以步骤三中分割平面与边界面棱边的交点为离散点，建立坐标系，并将离散点向面YOZ投影，得到投影点，如图6所示；

(4-2)定义顶部投影点与Y轴之间的最小距离Z_顶min、最大距离Z_顶max；

定义底部投影点与Y轴之间的最小距离Z_底min、最大距离Z_底max；

定义左侧投影点与Z轴之间的最小距离Y_左min、最大距离Y_左max；

定义右侧投影点与Z轴之间的最小距离Y_右min、最大距离Y_右max；

根据上述距离，分别建立顶部投影点、底部投影点、左侧投影点和右侧投影点的误差带，并取每个误差带的中心线，作为横截面轮廓线，如图7所示；

(4-3)根据投影点误差带中心线对微通道横截面几何尺寸进行测量：

顶部投影点误差带中心线与底部投影点误差带中心线之间的距离作为微通道的深度H；

左侧投影点误差带中心线与右侧投影点误差带中心线之间的距离作为微通道宽度L；

微通道深度H与微通道宽度L之比作为深宽比m，m＝H/L，如图8所示。

以相同方法测量其他位置处横截面的几何尺寸。

本发明基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法的优点，能够实现高深宽比的微通道横截面几何尺寸的测量；该方法以分割实体模型四面体的方法代替操作复杂的测量方法，操作简单，适用范围广，横截面划分更准确；而且该方法不损坏任何结构，实现了微通道横截面几何尺寸的无损测量。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (5)

1.基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法，其特征是，包括以下步骤：

步骤一：建立微通道的实体模型，提取微通道的骨架；

步骤二：确定微通道不同位置的分割平面；

步骤三：提取微通道分割平面与微通道实体模型四面体边界面的交点；

步骤四：测量微通道横截面几何尺寸；

所述步骤二中，确定微通道不同位置的分割平面的步骤如下：

(2-1)步骤一中提取的微通道骨架由N个骨架点组成，构成集合T，骨架点标记为T₀、T₁、T₂……T_i-1、T_i、T_i+1……T_N-1；

(2-2)提取微通道不同位置的横截面，选取除第一个骨架点及最后一个骨架点之外的任意骨架点作分割点；

取任意骨架点T_i作为一个分割点，以该分割点T_i的前一个骨架点T_i-1和后一个骨架点T_i+1为直线上两点，来确定一条直线，然后过分割点T_i且垂直于该直线确定分割平面S；

所述步骤三中，确定微通道分割平面与实体模型四面体边界面的交点的步骤如下：

(3-1)确定微通道分割点所在的微通道实体模型的四面体，方法如下：

取任意分割点T_i，以分割点T_i为中心，建立包围盒，包围盒内的四面体构成集合M_t，通过体积比较法，寻找分割点T_i所在的四面体，该四面体记为M_ti；

(3-2)确定分割点所在四面体的边界面，方法如下：

对于分割点T_i及包含该分割点的四面体M_ti，该四面体的四个顶点分别为P₁、P₂、P₃、P₄，遍历包围盒内四面体构成的集合M_t，记录包含P₁、P₂、P₃、P₄四个顶点中的三个点的四面体，标记为四面体M_ti的相邻四面体，构成集合M_i-neighbor；如果四面体M_ti的相邻四面体集合M_i-neighbor中的四面体数少于4个，就证明四面体M_ti存在边界面；确定包含分割点T_i的四面体M_ti的边界面F_i；

(3-3)确定边界面与分割平面的交点，步骤如下：

(3-3-1)当包含分割点T_i的四面体M_ti存在边界面F_i时，确定边界面F_i与分割平面S相交的棱边L_i，查找与棱边L_i共边的三角面片，标记为F_i+1，确定与分割平面S相交棱边L_i+1；继续查找与棱边L_i+1共边的三角面片，标记为F_i+2，确定与分割平面S相交的棱边L_i+2；此过程一直进行下去，直到确定的棱边L_i+n与棱边L_i重合为止，记录分割平面S与棱边的交点，构成集合C_i；

(3-3-2)当四面体M_ti不存在边界面F_i时，以四面体M_ti为种子四面体，根据四面体拓扑关系向外生长，直至找到包围盒内存在边界面且与分割平面S相交的四面体，然后重复步骤(3-3-1)，来确定分割平面S与边界面棱边的交点；

所述步骤四中，微通道横截面几何尺寸测量的步骤如下：

(4-1)以步骤三中分割平面与边界面棱边的交点为离散点，建立坐标系，并将离散点向面YOZ投影，得到投影点；

(4-2)定义顶部投影点与Y轴之间的最小距离Z_顶min、最大距离Z_顶max；

定义底部投影点与Y轴之间的最小距离Z_底min、最大距离Z_底max；

定义左侧投影点与Z轴之间的最小距离Y_左min、最大距离Y_左max；

定义右侧投影点与Z轴之间的最小距离Y_右min、最大距离Y_右max；

根据上述距离，分别建立顶部投影点、底部投影点、左侧投影点和右侧投影点的误差带，并取每个误差带的中心线，作为横截面轮廓线；

(4-3)根据投影点误差带中心线对微通道横截面几何尺寸进行测量：

顶部投影点误差带中心线与底部投影点误差带中心线之间的距离作为微通道的深度H；

左侧投影点误差带中心线与右侧投影点误差带中心线之间的距离作为微通道宽度L；

微通道深度H与微通道宽度L之比作为深宽比m，m＝H/L。

2.如权利要求1所示的基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法，其特征是，所述步骤一中，建立微通道实体模型和提取微通道骨架的步骤如下：

(1-1)以微通道的CT断层扫描图像为基础，对图像进行预处理，获取微通道的体数据；

(1-2)以微通道的体数据为基础，采用三维重构技术建立微通道三维表面模型，并通过四面体剖分算法得到微通道的实体模型；

(1-3)以微通道的体数据为基础，采用细化算法提取微通道的骨架。

3.如权利要求2所示的基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法，其特征是，所述步骤(1-2)中，采用MC算法建立微通道三维表面模型，采用Delaunay四面体剖分算法得到微通道的实体模型。

4.如权利要求2所示的基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法，其特征是，所述步骤(1-3)中，采用Paragyi K提出的8-Subiteration细化算法提取微通道的骨架。

5.如权利要求1所示的基于三维重构模型的微通道横截面几何尺寸测量方法，其特征是，所述步骤(3-1)中，通过体积比较法寻找分割点T_i所在的四面体的方法如下：

四面体M_ti的体积为V，四面体M_ti的四个顶点记为P₁、P₂、P₃、P₄；

分割点T_i与顶点P₁、P₂、P₃组成的小四面体体积为V₁；

分割点T_i与顶点P₁、P₂、P₄组成的小四面体体积为V₂；

分割点T_i与顶点P₁、P₃、P₄组成的小四面体体积为V₃；

分割点T_i与顶点P₂、P₃、P₄组成的小四面体体积为V₄；

如果|V-V₁-V₂-V₃-V₄|<ε，其中ε＝1.0e-3，则该分割点T_i在四面体M_ti中。

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