CN109859153B - 一种基于自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的多光谱图像融合方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于自适应光谱‑空间梯度稀疏正则化的多光谱遥感图像与全色图像的融合方法，包括如下步骤：步骤1：获得同一时间同一地理区域已配准的多光谱图像和全色图像；步骤2：基于步骤1的结果，对融合图像进行下采样，获得融合图像和多光谱图像的l₂范数；步骤3：计算融合图像和复制的全色图像的差值图像在空间和光谱方向上的梯度和权重矩阵，从而获得融合图像和全色图像的l₁范数；步骤4：基于步骤2和步骤3，获得融合图像与多光谱图像，全色图像的能量函数，并迭代求解获得融合图像。本发明主要针对多光谱遥感图像与全色图像融合的应用需求，考虑到多光谱图像的光谱一致特性和空间梯度稀疏特性。

Description

一种基于自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的多光谱图像融 合方法

技术领域

本发明属于图像融合技术领域，涉及一种全变分正则化图像融合方法，具体涉及一种基于自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的多光谱图像融合方法，适用于多光谱遥感图像与全色图像的融合。

背景技术

多光谱遥感图像的影像数据含有多个波段的光谱图像，不同光谱的组合可以轻易地发现从全色图像中观察不到的信息，广泛应用于环境监测，精准农业，矿产勘探等领域。一般来说，多光谱图像的光谱分辨率较高，空间分辨率较低，而全色图像的光谱分辨率较低，空间分辨率较高。显然，只使用多光谱图像获得的空间信息较少。通过图像融合的方法，融合图像可以同时保持较高的光谱分辨率和空间分辨率，为环境监测，精准农业等提供更精确的信息。

常用的多光谱遥感图像融合方法有的是基于成分替换的思路，即使用矩阵变换，把多光谱图像投影到一个新的空间，投影变化可以从不同的光谱带图像中提取空间结构，然后用全色图像替换多光谱图像的结构成分信息，最后逆变换得到融合图像，典型的方法有Intensity-Hue-Saturation(IHS),Principal Component Ananlysis(PCA)和Wavelet；这几种方法可以提供较好的视觉效果，但是它们都会造成一定程度的光谱畸变。基于滤波器的融合方法是用滤波器提取全色图像的高频分量，即空间信息的细节部分，然后将高频分量加入到多光谱图像中形成融合图像，例如HPF,Laplacian Pyramid(LP)，

trous-wavelet transform based pansharpening(AWLP)。这些方法可以较好地保存光谱信息和空间信息，但会存在一些噪声，伪影或模糊。还有一些是基于变分的方法，即基于某种弱假设构造一个能量函数，然后对能量函数进行优化，例如P+XS方法。这种方法较好地表达了融合图像与多光谱图像，全色图像的关系，但没有考虑到多光谱图像光谱之间的关系。

同一地区对相邻光谱的响应程度是相似的，所以在同一地区，相邻光谱有较小的梯度变化，我们称之为“光谱一致性”，我们提出的方法考虑到这种光谱一致性，使得融合图像的光谱之间的梯度也满足这一性质。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提供一种基于自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的多光谱图像融合方法。

本发明所采用的技术方案是：一种基于自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的多光谱图像融合方法，其特征在于考虑到多光谱图像在空间和光谱方向的梯度稀疏性，引入自适应权重矩阵来突出融合图像的边缘信息同时平滑噪声。该方法包括以下步骤：

步骤1：获得同一时间同一地理区域已配准的多光谱图像M和全色图像P。本步骤在于获得同一时间同一地理区域已配准的多光谱图像和全色图像，并对下面的步骤用到的符号做出规定。我们定义多光谱图像为

全色图像为P∈R^m×n，融合图像为

其中m，n表示图像的行数和列数，b表示图像的光谱数，c表示全色图像与多光谱图像的分辨率之比。

步骤2：基于步骤1的结果,获得融合图像F与多光谱图像M的l₂范数。

步骤3：计算融合图像和复制的全色图像的差值图像在空间和光谱方向上的梯度和权重矩阵，从而获得融合图像F与全色图像P的l₁范数。

步骤4：基于步骤2和步骤3，获得融合图像F与多光谱图像M，全色图像P的能量函数，并迭代求解获得融合图像F。

作为优选，步骤2的具体实现包括以下子步骤：

步骤2.1：假设融合图像的下采样图像的光谱信息与多光谱图像相似。故对融合图像F进行下采样操作，下采样操作符为ψ，使下采样的融合图像与多光谱图像M有相同的大小。

步骤2.2：获得融合图像的下采样图像与多光谱图像的l₂范数。则融合图像与多光谱图像的l₂范数如下所示：

作为优选，步骤3的具体实现包括以下子步骤：

步骤3.1：获得复制的全色图像

即对全色图像进行复制，并在光谱方向上进行拼接，使复制的全色图像

和融合图像F谱段数相同。

步骤3.2：获得融合图像F与复制后的全色图像

的差值图像X，其中

步骤3.3：对差值图像X求空间和光谱方向上的梯度。梯度信息多数存在于地物的边缘，所以梯度信息在多光谱图像中是稀疏的，对差值图像求水平和竖直方向上的梯度可以获得一个谱段的空间信息的分布情况。另外，相邻谱段之间同一地区也有一个梯度，即光谱间的梯度信息，同一地区对谱段相邻的光谱的响应程度是相似的，所以在同一地区，相邻光谱有较小的梯度变化，这是很少考虑到的。故本步骤对差值图像求空间和光谱方向上的梯度可得：

其中

分别表示对差值图像求其水平方向，竖直方向和光谱方向上的梯度。β_q＝1,2,3分别是赋予水平方向，竖直方向和光谱方向上梯度的系数，当β_q＝1＝0时表示水平方向上梯度系数为0，即不考虑水平方向上的梯度，i,j,d分别代表F在水平、垂直和光谱方向的坐标。

步骤3.4：基于步骤3.3的结果，获得自适应权重矩阵W。差值图像X表示融合图像F与复制的全色图像

的差值。差值越大，说明融合图像和全色图像在该像素的灰度值的差别越大；差值变化越剧烈，说明融合图像的梯度变化与全色图像的梯度变化越不相似。为了使融合图像的梯度信息与全色图像的梯度信息尽可能一致，我们对不同谱段，不同区域赋予不同的权重，得到一个自适应矩阵。该矩阵对差值较小的区域赋予较大的权重，对差值较大的区域赋予较小的权重，从而使融合图像的梯度信息与全色图像的梯度信息尽可能保持一致。

令Z_i,j表示所有像素在空间和光谱方向上的梯度的平方根，即：

则自适应权重矩阵W_i,j定义如下：

μ是一个常数，取值范围为[0,1],

是τ_i,j的均值，W_i,j表示τ_i,j和

的比值。W_i,j在梯度不同的谱段和区域有不同的权重，当梯度较大时，W_i,j较小，反之权重较大，这样使得融合图像既能保持边缘信息的清晰，同时也能使内部区域保持平滑。

步骤3.5：基于步骤3.4的结果，获得融合图像F与全色图像P的l₁范数。融合图像F与全色图像P的l₁范数如下：

作为优选，步骤4的具体实现包括以下子步骤：

步骤4.1：基于步骤2和步骤3，获得融合过程的能量函数E。融合问题转化成求能量函数最小值的问题，即：

E(F)＝E₁+λE'₂ (8)

其中，λ为正则化参数，为一常数；

根据(1)和(7)，上述方程的具体形式为：

方程(9)的第一项使得融合图像与多光谱图像有相似的光谱信息，第二项在梯度不同的区域赋予其不同的权重，使得融合图像与扩展的全色图像有相似的梯度信息。

步骤4.2：根据可分离估计稀疏重建算法，更新Z^t。在方程(9)中，两个优化项都是凸函数。根据可分离估计稀疏重建算法(Sparse Reconstruction Algorithm bySeparable Approximation)。上述的方程可以转化为：

其中

α代表一个变量参数，t代表迭代次数，α^t代表第t次迭代时α的值；为了求解方程(10)，我们使用扩展的拉格朗日方法来求解。我们引入矩阵

为了描述方便，我们将其中的部分矩阵改换为了列向量形式，大写字母代表矩阵，小写字母代表矩阵对应的列向量(将矩阵的每一列首尾相连形成一个列向量)。则方程(10)的拉格朗日形式如下：

<>表示向量或者矩阵的内积，R＝[r₁,r₂,r₃]表示拉格朗日乘子矩阵。

步骤4.3：根据交替迭代算法，更新F^v。使用交替方向迭代法，方程(12)可以转化为下列形式：

ρ为一常数，v代表内层的迭代次数(本发明中有两层循环，内层是嵌套在外层循环里面)，其中vec把矩阵转换成相应的行向量，例如F∈R^m×n×b表示为f∈R^mnb×1即

根据交替迭代算法，更新F^v。

这里I表示单位矩阵，D表示梯度运算对应的变换矩阵。因此：

(I+ρD^TD)^*表示I+ρD^TD的逆变换。

步骤4.4：根据迭代收缩算法，更新L^v。(14)可以表示为：

其中

代表r_q(q＝1,2,3)在第v次迭代时的结果。

步骤4.5：根据扩展的拉格朗日方法，更新R^v。R的更新方式为：

步骤4.6：根据Barzilai-Borwein方法更新α^t+1＝ηα^t，η为常数，循环步骤4.2至步骤4.5，输出融合图像F。

本发明主要针对多光谱遥感图像与全色图像融合的应用需求，考虑到多光谱图像的光谱一致特性和空间梯度稀疏特性，引入了自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的概念，通过计算光谱-空间方向上的梯度信息，并赋予其自适应矩阵，建立一种多光谱遥感图像与全色图像的融合方法。

本发明引入全变分正则化思想，一方面假设融合图像的下采样图像的光谱信息与多光谱图像相似，从而构造能量函数的保真项；另一方面利用融合图像在光谱和空间方向上梯度稀疏性构造能量函数的正则项，引入自适应权重矩阵来突出融合图像的边缘信息同时平滑噪声。

附图说明

图1：是本发明实施例的能量函数构造流程图。

图2：是本发明实施例的多光谱图像。

图3：是本发明实施例的全色图像。

图4：是本发明实施例的参考图像。

图5：使用本发明方法获得的融合图像。

具体实施方式

为了便于本领域普通技术人员理解和实施本发明，下面结合附图及实施例对本发明作进一步的详细描述，应当理解，此处所描述的实施实例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，本发明提供的一种基于自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的多光谱图像融合方法，包括如下步骤：

步骤1，获得同一时间同一地理区域已配准的多光谱图像M和全色图像P，设多光谱图像为

全色图像为P∈R^m×n，融合图像为

其中m，n表示图像的行数和列数，b表示图像的光谱数，c表示全色图像与多光谱图像的分辨率之比；

步骤2，基于步骤1的结果，获得融合图像F与多光谱图像M的l₂范数，具体实现包括以下子步骤，

步骤2.1，假设融合图像的下采样图像的光谱信息与多光谱图像相似，故对融合图像F进行下采样操作，下采样操作符为ψ，使下采样的融合图像与多光谱图像M有相同的大小；

步骤2.2，获得融合图像的下采样图像与多光谱图像的l₂范数，则融合图像与多光谱图像的l₂范数如下所示：

步骤3，计算融合图像和复制的全色图像的差值图像在空间和光谱方向上的梯度和权重矩阵，从而获得融合图像F与全色图像P的l₁范数；具体实现包括以下子步骤，

步骤3.1，获得复制的全色图像

即对全色图像进行复制，并在光谱方向上进行拼接，使复制的全色图像

和融合图像F谱段数相同；

步骤3.2，获得融合图像F与复制后的全色图像

的差值图像X，其中

步骤3.3，对差值图像X求空间和光谱方向上的梯度，

其中

分别表示对差值图像求其水平方向，竖直方向和光谱方向上的梯度，β_q＝1,2,3分别是赋予水平方向，竖直方向和光谱方向上梯度的系数，当β_q＝1＝0时表示水平方向上梯度系数为0，即不考虑水平方向上的梯度，i,j,d分别代表F在水平、垂直和光谱方向的坐标；

步骤3.4，基于步骤3.3的结果，获得自适应权重矩阵W，该矩阵对差值较小的区域赋予较大的权重，对差值较大的区域赋予较小的权重，使融合图像的梯度信息与全色图像的梯度信息尽可能保持一致；

令Z_i,j表示所有像素在空间和光谱方向上的梯度的平方根，即：

则自适应权重矩阵W_i,j定义如下：

μ是一个常数，取值范围为[0,1],

是τ_i,j的均值，W_i,j表示τ_i,j和

的比值；W_i,j在梯度不同的谱段和区域有不同的权重；

步骤3.5，基于步骤3.4的结果，获得融合图像F与全色图像P的l₁范数，融合图像F与全色图像P的l₁范数如下：

步骤4，基于步骤2和步骤3，获得融合图像F与多光谱图像M，全色图像P的能量函数，并迭代求解获得融合图像F，具体实现包括以下子步骤，

步骤4.1，基于步骤2和步骤3，获得融合过程的能量函数E，融合问题转化成求能量函数最小值的问题，即：

E(F)＝E₁+λE'₂ (8)

其中，λ为正则化参数，为一常数。

根据(1)和(7)，上述方程的具体形式为：

方程(9)的第一项使得融合图像与多光谱图像有相似的光谱信息，第二项在梯度不同的区域赋予其不同的权重，使得融合图像与扩展的全色图像有相似的梯度信息；

步骤4.2，根据可分离估计稀疏重建算法，更新Z^t；在方程(9)中，两个优化项都是凸函数，根据可分离估计稀疏重建算法，上述的方程转化为：

其中

α代表一个变量参数，t代表迭代次数，c代表第t次迭代时α的值；为了求解方程(10)，使用扩展的拉格朗日方法来求解，引入矩阵

为了描述方便，将其中的部分矩阵改换为了列向量形式，大写字母代表矩阵，小写字母代表矩阵对应的列向量，则方程(10)的拉格朗日形式如下：

<>表示向量或者矩阵的内积，R＝[r₁,r₂,r₃]表示拉格朗日乘子矩阵；

步骤4.3，根据交替迭代算法，更新F^v，使用交替方向迭代法，方程(12)可以转化为下列形式：

ρ为一常数，v代表内层的迭代次数，根据交替迭代算法，更新F^v；

这里I表示单位矩阵，D表示梯度运算对应的变换矩阵；因此：

(I+ρD^TD)^*表示I+ρD^TD的逆变换；

步骤4.4，根据迭代收缩算法，更新L^v，(14)可以表示为：

其中

代表r_q(q＝1,2,3)在第v次迭代时的结果；

步骤4.5，根据扩展的拉格朗日方法，更新R^v，R的更新方式为：

步骤4.6，根据Barzilai-Borwein方法更新α^t+1＝ηα^t，η为常数，循环步骤4.2至步骤4.5，输出融合图像F。

下面以一个实施例对本发明方法的具体实施进行说明。

请见图2，图3，图2是多光谱图像，分辨率为400*400*3，图3是全色图像，分辨率为800*800，为了便于对融合结果进行评价，我们采用一种常见的策略，即把原始多光谱图像和全色图像进行下采样，得到的新的多光谱图像和全色图像用于融合，而原始多光谱图像用作参考图像。则多光谱图像分辨率为200*200*3，全色图像分辨率为400*400*3，参考图像的分辨率为400*400*3。如图1所述，本实施例提供一种基于自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的多光谱图像融合方法，包括以下步骤：

步骤1：获得同一时间同一地理区域已配准的多光谱图像和全色图像。

本步骤在于获得同一时间同一地理区域已配准的多光谱图像和全色图像，并对下面的步骤用到的符号做出规定。我们假设已经获得同一时间同一地理区域已配准的多光谱图像和全色图像。定义多光谱图像为

全色图像为P∈R^m×n，融合图像为F＝[F₁,...,F_b]∈R^m×n×b，其中m，n表示图像的行数和列数，b表示图像的光谱数，c表示全色图像与多光谱图像的分辨率之比。在此例中多光谱图像分辨率为200*200*3，全色图像分辨率为400*400*3，参考图像分辨率为400*400*3，故m＝400,n＝400,b＝3,c＝2。

步骤2：基于步骤1的结果,获得融合图像与多光谱图像的l₂范数。

本步骤进一步包含以下子步骤：

步骤2.1：对融合图像F进行下采样操作，下采样操作符为ψ，使下采样的融合图像与多光谱图像M有相同的大小。

步骤2.2：本步骤使融合图像与多光谱图像保持相似的光谱信息。由于融合图像的分辨率为400*400*3，多光谱图像的分辨率为200*200*3，我们可以假设下采样后的融合图像和多光谱图像具有相似的光谱信息，从而得到式(1)。

步骤3：计算融合图像与全色图像的l₁范数。

本步骤进一步包括以下子步骤：

步骤3.1：由于融合图像的分辨率为400*400*3，全色图像的分辨率为400*400，我们对全色图像进行复制，使得全色图像的分辨率也为400*400*3，得到复制的全色图像

步骤3.2：获得融合图像F与复制的全色图像

的差值图像X，其中

该差值图像的分辨率也是400*400*3。

步骤3.3：对差值图像X求空间和光谱方向上的梯度。默认β_{q＝1，2，3}＝1，即表示水平方向，竖直方向和光谱方向上梯度系数均为1。

步骤3.4：基于步骤3.3的结果，获得自适应矩阵W_i,j。

步骤3.5：基于步骤3.4的结果，获得融合图像F与全色图像P的l₁范数，得到式(7)。

步骤4：基于步骤2和步骤3，获得融合图像与多光谱图像，全色图像的能量函数E，并迭代求解获得融合图像。本步骤中，α⁰＝0.4，η＝1.1，循环次数为50次。F的初始值为M上采样得到。

本步骤进一步包含以下子步骤：

步骤4.1：基于步骤2和步骤3，获得融合过程的能量函数E。

步骤4.2：在方程(9)中，两个优化项都是凸函数。根据可分离估计稀疏重建算法(Sparse Reconstruction Algorithm by Separable Approximation)。上述的方程可以转化为(10),(11)。

为了求解方程(10)，我们使用扩展的拉格朗日方法来求解。我们引入矩阵

则方程(10)的拉格朗日形式转化为(12)。使用交替方向迭代法，方程(12)可以转化为(13),(14)。

上述方程的求解可以转化为下面三个步骤：

步骤4.3：根据交替迭代算法，更新F^v。

步骤4.4：根据迭代收缩算法，更新L^v。

步骤4.5：根据扩展的拉格朗日方法，更新R^v。

步骤4.6：根据Barzilai-Borwein方法更新α^t+1＝ηα^t，循环步骤4.2至步骤4.5，输出融合图像F。

步骤5：基于上述操作得到融合图像F，为了对融合图像进行定量地评价，引入一些评价指标，包括均方根误差(RMSE)，相关系数(CC)，全局相对光谱误差(ERGAS)，光谱角映射(SAM)，通用图像质量指数(UIQI)。

其中表1是本发明实施例的算法求解流程；为了和其他方法进行比较，我们也使用IHS,PCA,Wavelet等方法和我们的方法进行比较，得出的结果如表2：

表1

表2不同融合方法的定量分析

可以看到，我们提出的方法由于考虑到光谱方向上的梯度变化，并且给予不同区域相应的权重，得到的融合图像的各项指标均最接近理想值。

本发明引入自适应光谱-空间梯度稀疏正则化思想，多光谱图像融合是把光谱信息和空间信息融合到同一张图像的过程。本发明一方面假设融合图像的下采样图像的光谱信息与多光谱图像相似，从而构造能量函数的保真项；另一方面利用融合图像在光谱和空间方向上梯度稀疏性构造能量函数的正则项，引入权重矩阵来突出融合图像的边缘信息同时平滑噪声。

应当理解的是，本说明书未详细阐述的部分均属于现有技术。

应当理解的是，上述针对较佳实施例的描述较为详细，并不能因此而认为是对本发明专利保护范围的限制，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明权利要求所保护的范围情况下，还可以做出替换或变形，均落入本发明的保护范围之内，本发明的请求保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (2)

1.一种基于自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的多光谱图像融合方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，获得同一时间同一地理区域已配准的多光谱图像M和全色图像P，设多光谱图像为

全色图像为P∈R^m×n，融合图像为

其中m，n表示图像的行数和列数，b表示图像的光谱数，c表示全色图像与多光谱图像的分辨率之比；

步骤2，基于步骤1的结果，获得融合图像F与多光谱图像M的l₂范数；

步骤3，计算融合图像和复制的全色图像的差值图像在空间和光谱方向上的梯度和权重矩阵，从而获得融合图像F与全色图像P的l₁范数；

步骤3的具体实现包括以下子步骤，

步骤3.1，获得复制的全色图像

即对全色图像进行复制，并在光谱方向上进行拼接，使复制的全色图像

和融合图像F谱段数相同；

步骤3.2，获得融合图像F与复制后的全色图像

的差值图像X，其中

步骤3.3，对差值图像X求空间和光谱方向上的梯度，

其中

分别表示对差值图像求其水平方向，竖直方向和光谱方向上的梯度，β_q＝1,2,3分别是赋予水平方向，竖直方向和光谱方向上梯度的系数，当β_q＝1＝0时表示水平方向上梯度系数为0，即不考虑水平方向上的梯度，i,j,d分别代表F在水平、垂直和光谱方向的坐标；

步骤3.4，基于步骤3.3的结果，获得自适应权重矩阵W，该矩阵对差值较小的区域赋予较大的权重，对差值较大的区域赋予较小的权重，使融合图像的梯度信息与全色图像的梯度信息尽可能保持一致；

令Z_i,j表示所有像素在空间和光谱方向上的梯度的平方根，即：

则自适应权重矩阵W_i,j定义如下：

μ是一个常数，取值范围为[0,1],

是τ_i,j的均值，W_i,j表示τ_i,j和

的比值；W_i,j在梯度不同的谱段和区域有不同的权重；

步骤3.5，基于步骤3.4的结果，获得融合图像F与全色图像P的l₁范数，融合图像F与全色图像P的l₁范数如下：

步骤4，基于步骤2和步骤3，获得融合图像F与多光谱图像M，全色图像P的能量函数，并迭代求解获得融合图像F；具体实现包括以下子步骤，

步骤4.1，基于步骤2和步骤3，获得融合过程的能量函数E，融合问题转化成求能量函数最小值的问题，即：

E(F)＝E₁+λE'₂ (8)

其中，λ为正则化参数，为一常数；

根据(1)和(7)，方程(8)的具体形式为：

方程(9)的第一项使得融合图像与多光谱图像有相似的光谱信息，第二项在梯度不同的区域赋予其不同的权重，使得融合图像与扩展的全色图像有相似的梯度信息；

步骤4.2，根据可分离估计稀疏重建算法，更新Z^t；在方程(9)中，两个优化项都是凸函数，根据可分离估计稀疏重建算法，方程(9)转化为：

其中

α代表一个变量参数，t代表迭代次数，α^t代表第t次迭代时α的值；为了求解方程(10)，使用扩展的拉格朗日方法来求解，引入矩阵

为了描述方便，将其中的部分矩阵改换为了列向量形式，大写字母代表矩阵，小写字母代表矩阵对应的列向量，则方程(10)的拉格朗日形式如下：

<>表示向量或者矩阵的内积，R＝[r₁,r₂,r₃]表示拉格朗日乘子矩阵；

步骤4.3，根据交替迭代算法，更新F^v，使用交替方向迭代法，方程(12)转化为下列形式：

ρ为一常数，v代表内层的迭代次数，根据交替迭代算法，更新F^v；

这里I表示单位矩阵，D表示梯度运算对应的变换矩阵；因此：

(I+ρD^TD)^*表示I+ρD^TD的逆变换；

步骤4.4，根据迭代收缩算法，更新L^v，方程(14)表示为：

其中

代表r_q(q＝1,2,3)在第v次迭代时的结果；

步骤4.5，根据扩展的拉格朗日方法，更新R^v，R的更新方式为：

步骤4.6，根据Barzilai-Borwein方法更新α^t+1＝ηα^t，η为常数，循环步骤4.2至步骤4.5，输出融合图像F。

2.如权利要求1所述的一种基于自适应光谱-空间梯度稀疏正则化的多光谱图像融合方法，其特征在于：步骤2的具体实现包括以下子步骤，

步骤2.1，假设融合图像的下采样图像的光谱信息与多光谱图像相似，故对融合图像F进行下采样操作，下采样操作符为ψ，使下采样的融合图像与多光谱图像M有相同的大小；

步骤2.2，获得融合图像的下采样图像与多光谱图像的l₂范数，则融合图像与多光谱图像的l₂范数如下所示：

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