CN109800814A - 曲线测量定位的不变特征量提取方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种曲线测量定位的不变特征量提取方法，所述包括：基于Frenet公式建立的曲率和挠率表达式，通过估算切向量，并利用紧致差分计算得到曲率和挠率。通过本发明计算得到的曲率和挠率，均在可容许的误差范围内，由此，本发明可以应用于如叶片测量等技术领域。

Description

曲线测量定位的不变特征量提取方法

技术领域

本发明涉及曲线测量技术领域，特别涉及一种曲线测量定位的不变特征量提取方法。

背景技术

测量曲线存在点云各向异性、噪声以及直线曲率等问题。曲线微分几何不变特征量是解决曲线测量定位问题的关键。而曲线微分几何属性-曲率和挠率是刚体变换几何特征不变量。如何提取更准确的曲率和挠率对于曲线测量定位具有重大意义。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：针对上述存在的问题，提供一种曲线测量定位的不变特征量提取方法，通过估算切向，再利用紧致差分估算离散曲线的曲率和挠率。

本发明采用的技术方案如下：

一种曲线测量定位的不变特征量提取方法，包括：基于Frenet公式建立的曲率和挠率表达式，通过估算切向量，并利用紧致差分计算得到曲率和挠率。

进一步，所述基于Frenet公式建立曲率和挠率表达式的方法为：

(1)定义空间参数曲线r的方程为：r(t)＝(x(t)，y(t)，z(t))，并定义空间参数曲线r从点r(t₀)到r(t₁)的弧长s为：将曲线r对t和s的导数分别记为r′(t)和r′(s)；

(2)建立空间参数曲线r的Frenet标架{r(s)；T(s)，N(s)，B(s)}，其中，曲线的切向量T(s)＝r′(s)，法向量N(s)＝r′(s)/|r′(s)|，副法向量B(s)＝T(s)×N(s)；

(3)定义曲率k(s)＝|r″(s)|，挠率τ(s)；基于Frenet公式建立曲率k(s)和挠率τ(s)表达式：所述Frenet公式为：

则，将曲率k(s)和挠率τ(s)表示为：

k(s)＝T′(s)·N(s)；

τ(s)＝N′(s)·B(s)；

由此得到曲率k(s)和挠率τ(s)采用T′(s)、N′(s)、N(s)、B(s)的表达式。

进一步，所述估算切向量的方法为：

设空间离散曲线C上任一点p(x，y，z)的K最近邻域：nbr(p)＝{p_i}(1≤i≤k，质心点为px，y，z，真中x＝1ki三1kxi，y＝1ki＝1kyi，z＝1ki＝1kzi；

令则有协方差矩阵M表示为：M＝XX^T；

计算协方差矩阵M的特征值与特征向量，假设协方差矩阵M的特征值分别为λ₁，λ₂和λ₃(λ₁≤λ₂≤λ₃)，其对应的特征向量分别为e₁，e₂和e₃，则协方差矩阵M的最大特征值λ₃对应的特征向量e₃即为曲线在p点的切向量T(s)。

进一步，所述利用紧致差分计算得到曲率和挠率的方法为：

(1)建立曲线的紧致差分中间节点方程式、起点方程式和终点方程式：

中间节点方程式：

αT′_i-1+T′_i+βT′_i+1＝AT_i+1+BT_i+CT_i-1；

边界节点i＝1，对应曲线的起点方程式：

T′₁+αT′₂＝AT₁+BT₂+CT₃；

边界节点i＝n，对应曲线的终点方程式：

T′_n+αT′_n-1＝AT_n+BT_n-1+CT_n-2；

设点在x轴方向的坐标为x_i(1≤i≤n)，间距h_i＝x_i+1-x_i，则将中间节点方程式、起点方程式和终点方程式利用Taylor级数展开，比较相同导数项的系数并求解方程组，分别得到中间节点方程式、起点方程式和终点方程式的系数：

中间节点方程式的系数：

起点方程式的系数：

终点方程式的系数：

(2)将估算得到的p点的切向量T及其邻近点的切向量T_i-1和T_i+1代入中间节点方程式、起点方程式和终点方程式，计算得到p点的切向量T的切向导数T′；则曲率

(3)根据切向导数T′计算法向量N＝(1/k)T′，将法向量N代入紧致差分的中间节点方程式、起点方程式和终点方程式计算得到法向导数N′，则将法向导数N′和副法向量B代入挠率的表达式计算得到挠率τ。

综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：

本发明通过估算切向，再利用紧致差分估算离散曲线的曲率和挠率，计算得到的曲率和挠率，均在可容许的误差范围内，由此，本发明可以应用于如叶片测量等技术领域。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，应当理解，以下附图仅示出了本发明的某些实施例，因此不应被看作是对范围的限定，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他相关的附图。

图1为本发明的曲线测量定位的不变特征量提取方法的流程框图。

图2a为本发明的直线点云与其特征向量e₃的示意图。、

图2b为本发明的螺旋线点云与其特征向量e₃的示意图。

图3a为本发明构造紧致差分的选择点的起点示意图。

图3b为本发明构造紧致差分的选择点的终点示意图。

图3c为本发明构造紧致差分的选择点的中间节点示意图。

图4为某类叶片CAD模型示意图。

图5为从某类叶片CAD模型中截取的叶面截面轮廓线示意图。

图6a和6b为截取的叶面截面轮廓线的9个特征点示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明，即所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。通常在此处附图中描述和示出的本发明实施例的组件可以以各种不同的配置来布置和设计。因此，以下对在附图中提供的本发明的实施例的详细描述并非旨在限制要求保护的本发明的范围，而是仅仅表示本发明的选定实施例。基于本发明的实施例，本领域技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

以下结合实施例对本发明的特征和性能作进一步的详细描述。

实施例1

本实施例提供的一种曲线测量定位的不变特征量提取方法，一种曲线测量定位的不变特征量提取方法，如图1所示，所述包括：基于Frenet公式建立的曲率和挠率表达式，通过估算切向量，并利用紧致差分计算得到曲率和挠率。

所述基于Frenet公式建立曲率和挠率表达式的方法为：

(1)定义空间参数曲线

定义空间参数曲线r的方程为：r(t)＝(x(t)，y(t)，z(t))。

定义空间参数曲线r从点r(t₀)到r(t₁)的弧长s为：

当r为正则曲线(即满足正则曲线条件：1、曲线的每一个分量都是C^∞函数；2、|d_r/d_t|＞0，成立)，s(t)是严格增函数，必有反函数t(s)。因此，曲线r可以参数化为弧长参数将曲线r对t和s的导数分别记为r′(t)和r′(s)。

(2)建立空间参数曲线r的Frenet标架{r(s)；T(s)，N(s)，B(s)}

令曲线的切向量T(s)＝r′(s)，法向量N(s)＝r′(s)/|r′(s)|，副法向量B(s)＝T(s)×N(s)，则{r(s)；T(s)，N(s)，B(s)}构成一单位正交右手标架，即Frenet标架。另外，可将T(s)，N(s)，B(s)三向量视为基于的一组单位正交基。

(3)定义曲率k(s)＝|r″(s)|，挠率τ(s)；建立曲率k(s)和挠率τ(s)表达式：

曲率刻画了曲线的弯曲程度，能够表示曲线的局部几何形状特征，定义曲率k(s)＝|r″(s)|。挠率用来描述曲线扭转的程度，用τ(s)表示。当有大小又有方向时，可以用副法向量B(s)的转动速度来表示曲线的扭转程度。对于参数曲线r(t)，曲率k(t)与挠率τ(t)分别为：

在实际应用过程往往更关心曲线的Frenet标架沿曲线变化率，即T′(s)，N′(s)，B′(s)的表达式，由此构成Frenet-Serret标架。

所述Frenet公式：

其矩阵形式为：

则曲率k(s)和挠率τ(s)分别为：

k(s)＝T′(s)·N(s)；

τ(s)＝N′(s)·B(s)；

由此得到曲率与挠率采用T′(s)、N′(s)、N(s)、B(s)的表达式。

所述估算切向量的方法为：

设空间离散曲线C上任一点p(x，y，z)的K最近邻域：nbr(p)＝{p_i}(1≤i≤k，质心点为px，y，z，真中，x＝1ki＝1kxi，y＝1ki＝1kyi，z＝1ki＝1kzi

令则协方差矩阵M表示为：M＝XX^T；

计算协方差矩阵M的特征值与特征向量，假设协方差矩阵M的特征值分别为λ₁，λ₂和λ₃(λ₁≤λ₂≤λ₃)，其对应的特征向量分别为e₁，e₂和e₃，如图2a和2b所示，则协方差矩阵M的最大特征值λ₃对应的特征向量e₃即为曲线在p点的切向量T(s)。通过对点p(x，y，z)的K最近邻域的特征分析，可以估算切向量T，然后根据估算的切向量T计算出法向量N和副法向量B，进一步计算出曲率和挠率。

所述利用紧致差分计算得到曲率和挠率的方法为：

由基于所述Frenet公式，以切向量为已知项得到法向量N和副法向量B的表达式：

考虑到噪声、采样非均匀性等因素，可认为点云采样是非均匀的，采用非均匀网格上的紧致差分来近似。紧致差分用Hermite公式表示：

上式本质是由f(x)邻近节点函数、一阶导数及二阶导数组合而成。采用相同网格，构造紧致差分，可达到更高精度，具有更高尺度分辨率、更小波相位误差。本发明构造的紧致差分中间节点方程式为：

αf′_i-1+f″_i+βf″_i+1＝Af_i+1+Bf_i+Cf_i-1

式子中只有一阶导数，因此需要构造非均匀网格上的一阶紧致差分格式，端点及中间数据点构造差分选择点如图3a-3c所示。

由此，(1)以切向量为例，建立曲线的紧致差分中间节点方程式、起点方程式和终点方程式：

中间节点方程式：

αT′_i-1+T′_i+βT′_i+1＝AT_i+1+BT_i+CT_i-1；

边界节点i＝1，对应曲线的起点方程式：

T′₁+αT′₂＝AT₁+BT₂+CT₃；

边界节点i＝n，对应曲线的终点方程式：

T′_n+αT′_n-1＝AT_n+BT_n-1+CT_n-2；

设点在x轴方向的坐标为x_i(1≤i≤n)，间距h_i＝x_i+1-x_i，则将中间节点方程式、起点方程式和终点方程式利用Taylor级数展开，比较相同导数项的系数并求解方程组，分别得到中间节点方程式、起点方程式和终点方程式的系数：

中间节点方程式的系数：

起点方程式的系数：

终点方程式的系数：

(2)将估算得到的p点的切向量T及其邻近点的切向量T_i-1和T_i+1代入中间节点方程式、起点方程式和终点方程式，计算得到p点的切向量T的切向导数T′；则曲率

(3)根据切向导数T′计算法向量N＝(1/k)T′，将法向量N代入紧致差分的中间节点方程式、起点方程式和终点方程式计算得到法向导数N′，则将法向导数N′和副法向量B代入挠率的表达式B＝-τN计算得到挠率τ。

以下以叶片轮廓线为例，通过采用本发明的曲线测量定位的不变特征量提取方法，计算叶片的曲率和挠率：

如图4所示的某类叶片CAD模型，在该模型实线处截取如图5所示的叶片截面轮廓线；然后选取如图6a和6b所示圈内9个特征点，采用本发明的曲线测量定位的不变特征量提取方法，估算特征点的特征值，并计算出各点的曲率和挠率。计算出的各点的曲率和挠率如表一所示。

表一：

通过随机抽取叶片测量曲线和离散点拟合而成的理论曲线上对应的9个点，对比表一中计算获得的曲率和挠率，曲率最大误差为0.2161mm，挠率最大误差值0.0096mm，均在可容许的误差范围内，由此验证了本发明的曲线测量定位的不变特征量提取方法的有效性。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种曲线测量定位的不变特征量提取方法，其特征在于，所述方法包括：基于Frenet公式建立的曲率和挠率表达式，通过估算切向量，并利用紧致差分计算得到曲率和挠率。

2.如权利要求1所述的曲线测量定位的不变特征量提取方法，其特征在于，所述基于Frenet公式建立曲率和挠率表达式的方法为：

(1)定义空间参数曲线r的方程为：r(t)＝(x(t),y(t),z(t))，并定义空间参数曲线r从点r(t₀)到r(t₁)的弧长s为：将曲线r对t和s的导数分别记为r′(t)和r′(s)；

(2)建立空间参数曲线r的Frenet标架{r(s)；T(s)，N(s)，B(s)}，其中，曲线的切向量T(s)＝r′(s)，法向量N(s)＝r′(s)/|r′(s)|，副法向量B(s)＝T(s)×N(s)；

(3)定义曲率k(s)＝|r″(s)|，挠率τ(s)；基于Frenet公式建立曲率k(s)和挠率τ(s)表达式：所述Frenet公式为：

则，将曲率k(s)和挠率τ(s)表示为：

k(s)＝T′(s)·N(s)；

τ(s)＝N′(s)·B(s)；

由此得到曲率k(s)和挠率τ(s)采用T′(s)、N′(s)、N(s)、B(s)的表达式。

3.如权利要求1所述的曲线测量定位的不变特征量提取方法，其特征在于，所述估算切向量的方法为：

设空间离散曲线C上任一点p(x,y,z)的K最近邻域：nbr(p)＝{p_i}(1≤i≤k，质心点为px,y,z，其中x＝1ki＝1kxi，y＝1ki＝1kyi，z＝1ki＝1kzi；

令则有协方差矩阵M表示为：M＝XX^T；

计算协方差矩阵M的特征值与特征向量，假设协方差矩阵M的特征值分别为λ₁，λ₂和λ₃(λ₁≤λ₂≤λ₃)，其对应的特征向量分别为e₁，e₂和e₃，则协方差矩阵M的最大特征值λ₃对应的特征向量e₃即为曲线在p点的切向量T(s)。

4.如权利要求1所述的曲线测量定位的不变特征量提取方法，其特征在于，所述利用紧致差分计算得到曲率和挠率的方法为：

(1)建立曲线的紧致差分中间节点方程式、起点方程式和终点方程式：

中间节点方程式：

αT′_i-1+T′_i+βT′_i+1＝AT_i+1+BT_i+CT_i-1；

边界节点i＝1，对应曲线的起点方程式：

T′₁+αT′₂＝AT₁+BT₂+CT₃；

边界节点i＝n，对应曲线的终点方程式：

T′_n+αT′_n-1＝AT_n+BT_n-1+CT_n-2；

设点在x轴方向的坐标为x_i(1≤i≤n),间距h_i＝x_i+1-x_i，则将中间节点方程式、起点方程式和终点方程式利用Taylor级数展开，比较相同导数项的系数并求解方程组，分别得到中间节点方程式、起点方程式和终点方程式的系数：

中间节点方程式的系数：

起点方程式的系数：

终点方程式的系数：

(2)将估算得到的p点的切向量T及其邻近点的切向量T_i-1和T_i+1代入中间节点方程式、起点方程式和终点方程式，计算得到p点的切向量T的切向导数T′；则曲率

(3)根据切向导数T′计算法向量N＝(1/k)T′，将法向量N代入紧致差分的中间节点方程式、起点方程式和终点方程式计算得到法向导数N′，则将法向导数N′和副法向量B代入挠率的表达式B＝-τN计算得到挠率τ。