CN109766613A - 基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，包括：步骤1：获取待预测复合材料板铺层信息、材料和几何参数；步骤2：计算待预测复合材料的总体刚度矩阵；步骤3：热噪声载荷下薄壁结构动力学方程推导，获取无量纲单模态方程；步骤4：获取待预测复合材料板的刚度曲线，利用刚度曲线极值点获得跳变临界力f_cr关于屈曲系数s的函数表达式；步骤5：列出给定声压级SPL的噪声载荷概率密度函数g(p)；步骤6：比较噪声载荷的概率密度函数和跳变临界力对应的临界声压p_cr，推导跳变临界声压级表达式，并给出对应的跳变概率。本发明对给定的薄壁结构以及温度噪声载荷，能基于理论计算立即给出跳变概率，具有高效快速的优点。

Description

基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法

技术领域

本发明属于动力学响应预测领域，特别涉及一种基于概率理论进行飞行器薄壁结构在热噪声载荷下的突弹跳变边界及跳变概率预测的方法。

背景技术

飞行器壁板结构在服役过程中将受到严酷的气动热和强噪声激励，其响应将表现出强非线性特征。高温使薄壁结构膨胀延伸导致热屈曲，在强噪声激励下，结构将在两个屈曲后平衡位置间跳动，即产生突弹跳变，频繁的应力反转容易造成结构的疲劳破坏。不同温度下，引起突弹跳变的临界载荷也各不相同，他们构成跳变边界。准确预测跳变边界有助于把握结构的响应规律，为结构的安全性评价和优化设计提供指导。

目前已有的研究突弹跳变的方法包括等效线性法^[1]、Fokker-Planck-Kolmogorov方法^[2](FPK法)、有限元法^[3]、实验法等^[3]。

文献[2]中的方法基于单模态方程，采用FPK方法获得位移响应的概率密度函数，根据概率密度函数随载荷的演化规律与跳变响应规律之间的关联，采用概率密度的极大值与极小值的比值构建判别参数Δ，当Δ靠近0时不发生跳变，当Δ靠近1时，响应为持续性跳变，在0和1之间，Δ越大，跳变频次越高。

等效线性法仅适用于稳态的无跳变和持续性跳变响应，无法预测非稳态的间歇性跳变。FPK法不能定量给出跳变概率，不能直观评估安全裕度。有限元法、实验法作为常规方法，需要通过大量的计算和实验，效率不高，且无法揭示跳变的内在机理。

参考文献：

[1]Ng,C.F."The analysis of non-linear dynamic behavior(includingsnap-through)of postbuckled plates by simple analytical solution,"NASATechnical Memorandum.1988.

[2]Liu,L.,Lv,B.Y.,and He,T.R."The stochastic dynamic snap-throughresponse of thermally buckled composite panels,"Composite Structures Vol.131,2015,pp.344-355.

[3]Goley,G.,Zappia,B.,Beberniss,T.,and Shukla,A."Effect of Loading onthe Snap-Through Response of a Post-Buckled Beam,"49th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASCStructures,Structural Dynamics,and Materials Conference,16th AIAA/ASME/AHSAdaptive Structures Conference,10th AIAA Non-Deterministic ApproachesConference,9th AIAA Gossamer Spacecraft Forum,4th AIAA MultidisciplinaryDesign Optimization Specialists Conference.American Institute of Aeronauticsand Astronautics,Schaumburg,IL,2008.

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，以解决上述技术问题。本发明从突弹跳变的内在机理出发，能覆盖包括间歇性跳变在内的所有响应类型，能定量给出跳变概率，便于评估安全裕度。对给定的薄壁结构以及温度噪声载荷，能基于理论计算立即给出跳变概率，具有高效快速的优点。

为实现以上的目的，本发明采取以下技术方案：

基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，包括以下步骤：

步骤1：获取待预测复合材料板铺层信息、材料和几何参数；

步骤2：计算待预测复合材料的总体刚度矩阵；

步骤3：热噪声载荷下薄壁结构动力学方程推导，获取无量纲单模态方程；

步骤4：获取不同温度下结构的刚度曲线，利用刚度曲线极值点获得跳变临界力f_cr关于屈曲系数s的函数表达式；

步骤5：列出给定声压级SPL的噪声载荷概率密度函数g(p)；

步骤6：比较噪声载荷的概率密度函数和跳变临界力对应的临界声压p_cr，推导跳变临界声压级表达式，并给出对应的跳变概率。

进一步的，步骤1中：

获取复合材料板的铺层信息，包括铺设层数N、每层厚度h、每层铺设方向θ；

获取每层的材料参数，包括弹性模量E₁，E₂，泊松比ν₁₂，ν₂₁，剪切模量G₁₂，G₁₃，G₂₃，密度ρ，热膨胀系数α₁，α₂；

获取几何参数，包括长L_x、宽L_y、厚h。

进一步的，步骤2中，首先确定每个单一铺层刚度矩阵，第k层的刚度矩阵为：

其中，

然后计算总体刚度矩阵

其中，A_ij,B_ij,D_ij分别为拉伸、拉弯耦合、弯曲刚度矩阵元素，z为厚度方向坐标，z_k+1和z_k分别为第k层上下表面坐标，T^(k)为第k层坐标转换矩阵。

θ^(k)为第k层铺设角。

进一步的，步骤3具体包括：

采用假设模态法，将响应表示成双重傅里叶级数并截取第一项，应用伽辽金法将板的偏微分动力学方程转化为常微分方程，并将方程无量纲化得：

其中q＝w/h为无量纲位移，w为板中点位移，h为板厚；

τ＝t/γ为无量纲时间；

为无量纲基频，β＝L_y/L_x，L_x和L_y分别为板的长和宽，β小于1；

ξ为名义粘性阻尼；

s＝T/T₀为屈曲系数，T为板的温升，T₀为板发生热屈曲的临界温升，板内各处温升相等，

其中，分别为单位温升引起的x,y方向的热内力以及xy平面内的剪切力，

κ为立方项系数

其中L_z＝z_N+1-z₁为板的总厚度，为时间缩放系数，[A^*]＝[A]^-1为拉伸刚度矩阵的逆矩阵，

f＝p_coefficientp(t)为激励项，p(t)为板上施加的声压，为载荷转换系数。

进一步的，步骤4具体包括：

考虑式(4)对应的静平衡方程，即令加速度项和速度项为零，得到力与位移的关系：

绘制s取不同值时式(8)对应的刚度曲线，其中力f转换为声压p,无量纲位移q转换为有量纲位移w；在s>1情况下，取极值点B和C的纵坐标即为跳变临界声压p_cr:

p_cr＝f_cr/p_coefficient (9)

其中

进一步的，步骤5具体包括：

假设声压幅值为高斯白噪声，其幅值p为零均值的正态分布，其概率密度函数表示为：

对给定声压级SPL的高斯白噪声，其均方根值为

P_rms＝2×10^(SPL/20-5) (13)

由于均值为零，均方根值P_rms就是标准差σ，因此上式转换为

σ＝2×10^(SPL/20-5) (14)。

进一步的，步骤6具体包括：

绘制概率密度函数式(12)对应的钟形曲线，并将跳变临界声压p_cr标记在横坐标上，横坐标绝对值大于p_cr的曲线围成的面积为跳变发生的概率。

进一步的，钟形曲线的宽度正比于标准差σ，p_cr＝nσ时,跳变刚开始发生，联立(9)(10)(11)(14)式得跳变临界声压级：

跳变概率的表达式为：

相对于现有技术，本发明具有以下有益效果：

1)从跳变机理出发结合噪声载荷概率密度函数直观地揭示了突弹跳变的本质；

2)从概率角度出发，能全面覆盖无跳变、间歇性跳变和持续性跳变响应类型，并给出跳变发生的概率，所得跳变边界可用于直观评估安全裕度；

3)本方法基于理论分析，推导出跳变临界声压级的表达式，能快速给出不同尺寸和材料参数复合材料板在一定温度和噪声声压级范围内的跳变边界，有助于把握结构的全局特性，加速优化设计迭代进程，相比于有限元和实验方法有巨大的时间成本和人力物力成本优势。

附图说明

构成本申请的一部分的说明书附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1为本发明方法的流程图；

图2为刚度曲线；

图3为声压概率密度分布与跳变临界声压；

图4为理论与有限元跳变边界对比。

具体实施方式

下面将参考附图并结合实施例来详细说明本发明。需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。

以下详细说明均是示例性的说明，旨在对本发明提供进一步的详细说明。除非另有指明，本发明所采用的所有技术术语与本申请所属领域的一般技术人员的通常理解的含义相同。本发明所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而并非意图限制根据本发明的示例性实施方式。

请参阅图1所示，本发明提供一种基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，包括以下步骤：

步骤1：获取待预测复合材料板铺层信息、材料和几何参数；

步骤2：计算待预测复合材料的总体刚度矩阵；

步骤3：热噪声载荷下薄壁结构动力学方程推导，获取无量纲单模态方程；

步骤4：获取不同温度下结构的刚度曲线，利用刚度曲线极值点获得跳变临界力f_cr关于屈曲系数s的函数表达式；

步骤5：列出给定声压级SPL(Sound pressure level)的噪声载荷概率密度函数g(p)；

步骤6：比较噪声载荷的概率密度函数和跳变临界力对应的临界声压p_cr，推导跳变临界声压级表达式，即跳变边界，并给出对应的跳变概率。

步骤1中，获取复合材料板的铺层信息，包括铺设层数N、每层厚度h、每层铺设方向θ。获取每层的材料参数，包括弹性模量E₁，E₂，泊松比ν₁₂，ν₂₁，剪切模量G₁₂，G₁₃，G₂₃，密度ρ，热膨胀系数α₁，α₂。几何参数为长、宽、厚：L_x，L_y，h。

步骤2中，首先确定每个单一铺层刚度矩阵，第k层的刚度矩阵为：

其中，

然后计算总体刚度矩阵

其中，A_ij,B_ij,D_ij分别为拉伸、拉弯耦合、弯曲刚度矩阵元素，z为厚度方向坐标，z_k+1和z_k分别为第k层上下表面坐标，T^(k)为第k层坐标转换矩阵。

θ^(k)为第k层铺设角。

需要说明的是，单层板及其他均质材料板可视为复合材料板的特例，只需计算单层刚度矩阵即可，本方法同样适用。

步骤3的方程推导过程如下：基于矩形板横向振动微分方程及变形协调方程，考虑温度引起的热应力，在本构关系中加入热内力；基于冯·卡门大挠度板理论，考虑非线性应变位移关系。采用假设模态法，将响应表示成双重傅里叶级数并截取第一项，应用伽辽金法将板的偏微分动力学方程转化为常微分方程，并将方程无量纲化得

其中q＝w/h为无量纲位移，w为板中点位移，h为板厚；

τ＝t/γ为无量纲时间；

为无量纲基频，β＝L_y/L_x，L_x和L_y分别为板的长和宽，β须小于1；

ξ为名义粘性阻尼；

s＝T/T₀为屈曲系数，T为板的温升，T₀为板发生热屈曲的临界温升，板内各处温升相等，

其中，分别为单位温升引起的x,y方向的热内力以及xy平面内的剪切力，

κ为立方项系数

其中L_z＝z_N+1-z₁为板的总厚度，为时间缩放系数，[A^*]＝[A]^-1为拉伸刚度矩阵的逆矩阵，

f＝p_coefficientp(t)为激励项，p(t)为板上施加的声压，为载荷转换系数。

步骤中4，考虑式(4)对应的静平衡方程，即令加速度项和速度项为零，得到力与位移的关系

绘制s取不同值时式(8)对应的曲线如图2所示，此即刚度曲线，其中力f转换为声压p,无量纲位移q转换为有量纲位移w。在s>1情况下，取极值点B和C的纵坐标即为跳变临界声压p_cr。

p_cr＝f_cr/p_coefficient(9)

其中

进一步，所述步骤5，假设声压幅值为高斯白噪声，其幅值p为零均值的正态分布，因此其概率密度函数可表示为

对给定声压级SPL的高斯白噪声，其均方根值为

P_rms＝2×10^(SPL/20-5) (13)

由于均值为零，均方根值P_rms就是标准差σ，因此上式转换为

σ＝2×10^(SPL/20-5) (14)

步骤6中，绘制概率密度函数式(12)对应的钟形曲线，并将跳变临界声压p_cr标记在横坐标上，如图3所示，横坐标绝对值大于p_cr的曲线围成的面积(图中阴影)即为跳变发生的概率。钟形曲线的宽度正比于标准差σ，假设p_cr＝nσ时,跳变刚开始发生，则联立(9)(10)(11)(14)式可得跳变临界声压级。

这就是跳变边界表达式。

跳变概率的表达式为

本实施例中，预测该复合材料板的跳变边界及特定声压级下的跳变概率的方法，包括以下步骤：

步骤1：获取该复合材料的几何和材料参数。该复合材料尺寸为300×200×3mm，材料参数如表1所示。该材料采用整体成型，且厚度极薄,因此其材料特性采用工程常数表示，不涉及具体铺层信息，在后续计算中视作单一铺层处理，板的材料主方向与坐标系平行，即沿矩形板的长宽方向。

表1材料参数

步骤2：将表1参数代入(1)至(3)式，可得总体刚度矩阵[K]，式中空白处为0。

步骤3：所述方程详细推导过程见于文献[2]，此处将直接根据步骤3对各变量的说明及具体表达式，获得无量纲单模态方程的各项系数，各项参数如下：ω₀＝1.3777，β＝0.6667，ξ取0.0019，T₀＝252.76，κ＝0.8173，γ＝6.24e-4，p_coefficient＝2.60e-5。

步骤4：将步骤3获得的各项参数代入式(8)，并绘制刚度曲线(如图2所示)，其横纵坐标已转化为有量纲的声压和位移。在s>1(即热屈曲)情况下，如s＝2，取刚度曲线极值点B和C的纵坐标即为跳变临界声压p_cr，p_cr由(9)至(11)式求出，图中零点A和A’为热屈曲平衡位置。为计算简洁，中间推导过程暂不带入具体数值。

步骤5：由式(12)至(14)确定给定声压级SPL的高斯白噪声声压的概率密度函数。为计算简洁，中间推导过程暂不带入具体数值。

步骤6：以屈曲系数s＝1.2,声压级SPL＝165dB为例，此时p_cr＝3.8kPa，σ＝3.56kPa绘制概率密度函数式(12)对应的钟形曲线，并将跳变临界声压p_cr标记在横坐标上，如图3所示，横坐标绝对值大于p_cr的曲线围成的面积(图中阴影)即为跳变发生的概率。根据3σ准则，当p_cr＝3σ时,非跳变区刚好占据钟形曲线的大部分面积，在此基础上若增大声压级SPL，则钟形曲线向两侧拓宽，跳变区面积从几乎为零开始逐渐增加，因而跳变概率也逐渐增加，因此3σ准则可作为确定跳变边界的依据。将n＝3及步骤3中各项参数代入式(15)可得理论跳变边界表达式。

为验证所提方法的准确性，建立相应的有限元模型，对s＝1.2、1.4、1.6、1.8、2.0及SPL＝151～180dB,间隔1dB，共计150个组合工况进行扫描计算，观察获得每个屈曲系数下发生跳变的最小声压级，构成跳变边界。比较本方法所得理论跳变边界与有限元计算的跳变边界如图4所示，两者最大误差1.2dB，最大相对误差0.69％,因此本发明所提方法具有较高的精度。对给定的屈曲系数和声压级，由式(16)可得跳变概率。同样以s＝1.2,SPL＝165dB为例，代入(16)式，可得跳变概率P_snap＝0.286。

对任意给定的屈曲系数和声压级组合工况(s,SPL)，从图4可以立即判断该工况下是否发生跳变，如果发生跳变则可以进一步给出跳变概率，如无跳变发生，也可以根据该工况点(s,SPL)离跳变边界的距离远近直观判断安全裕度。

由技术常识可知，本发明可以通过其它的不脱离其精神实质或必要特征的实施方案来实现。因此，上述公开的实施方案，就各方面而言，都只是举例说明，并不是仅有的。所有在本发明范围内或在等同于本发明的范围内的改变均被本发明包含。

Claims (8)

1.基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：获取待预测复合材料板铺层信息、材料和几何参数；

步骤2：计算待预测复合材料的总体刚度矩阵；

步骤3：热噪声载荷下薄壁结构动力学方程推导，获取无量纲单模态方程；

步骤4：获取待预测复合材料板的刚度曲线，利用刚度曲线极值点获得跳变临界力f_cr关于屈曲系数s的函数表达式；

步骤5：列出给定声压级SPL的噪声载荷概率密度函数g(p)；

步骤6：比较噪声载荷的概率密度函数和跳变临界力对应的临界声压p_cr，推导跳变临界声压级表达式，并给出对应的跳变概率。

2.根据权利要求1所述的基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，其特征在于，步骤1中：

获取复合材料板的铺层信息，包括铺设层数N、每层厚度h、每层铺设方向θ；

获取每层的材料参数，包括弹性模量E₁，E₂，泊松比ν₁₂，ν₂₁，剪切模量G₁₂，G₁₃，G₂₃，密度ρ，热膨胀系数α₁，α₂；

获取几何参数，包括长L_x、宽L_y、厚h。

3.根据权利要求1所述的基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，其特征在于，步骤2中，首先确定每个单一铺层刚度矩阵，第k层的刚度矩阵为：

其中，

然后计算总体刚度矩阵

其中，A_ij,B_ij,D_ij分别为拉伸、拉弯耦合、弯曲刚度矩阵元素，z为厚度方向坐标，z_k+1和z_k分别为第k层上下表面坐标，T^(k)为第k层坐标转换矩阵；

θ^(k)为第k层铺设角。

4.根据权利要求1所述的基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，其特征在于，步骤3具体包括：

采用假设模态法，将响应表示成双重傅里叶级数并截取第一项，应用伽辽金法将板的偏微分动力学方程转化为常微分方程，并将方程无量纲化得：

其中q＝w/h为无量纲位移，w为板中点位移，h为板厚；

τ＝t/γ为无量纲时间；

为无量纲基频，β＝L_y/L_x，L_x和L_y分别为板的长和宽，β小于1；

ξ为名义粘性阻尼；

s＝T/T₀为屈曲系数，T为板的温升，T₀为板发生热屈曲的临界温升，板内各处温升相等，

其中，分别为单位温升引起的x,y方向的热内力以及xy平面内的剪切力，

κ为立方项系数

其中L_z＝z_N+1-z₁为板的总厚度，为时间缩放系数，[A^*]＝[A]^-1为拉伸刚度矩阵的逆矩阵，

f＝p_coefficientp(t)为激励项，p(t)为板上施加的声压，为载荷转换系数。

5.根据权利要求1所述的基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，其特征在于，步骤4具体包括：

考虑式(4)对应的静平衡方程，即令加速度项和速度项为零，得到力与位移的关系：

绘制s取不同值时式(8)对应的刚度曲线，其中力f转换为声压p,无量纲位移q转换为有量纲位移w；在s>1情况下，取极值点B和C的纵坐标即为跳变临界声压p_cr:

p_cr＝f_cr/p_coefficient (9)

其中

6.根据权利要求1所述的基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，其特征在于，步骤5具体包括：

假设声压幅值为高斯白噪声，其幅值p为零均值的正态分布，其概率密度函数表示为：

对给定声压级SPL的高斯白噪声，其均方根值为

P_rms＝2×10^(SPL/20-5) (13)

由于均值为零，均方根值P_rms就是标准差σ，因此上式转换为

σ＝2×10^(SPL/20-5) (14)。

7.根据权利要求6所述的基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，其特征在于，步骤6具体包括：

绘制概率密度函数式(12)对应的钟形曲线，并将跳变临界声压p_cr标记在横坐标上，横坐标绝对值大于p_cr的曲线围成的面积为跳变发生的概率。

8.根据权利要求7所述的基于概率理论的热噪声载荷下薄壁结构突弹跳变预测方法，其特征在于，

钟形曲线的宽度正比于标准差σ，p_cr＝nσ时,跳变刚开始发生，联立(9)(10)(11)(14)式得跳变临界声压级：

跳变概率的表达式为：