CN109685400B - 基于时间积分igd的时滞电力系统稳定性判别方法 - Google Patents
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Abstract
本公开公开了基于时间积分IGD的时滞电力系统稳定性判别方法，包括：建立时滞电力系统模型；采用隐式龙格‑库塔方法对无穷小生成元进行离散化，得到无穷小生成元的离散化矩阵；将无限维的特征值问题转化为有限维的特征值问题；采用隐式Arnoldi算法计算离散化矩阵经过位移‑逆变换后模值最大的特征值的近似值；采用位移‑逆变换和Kronecker积的性质进行稀疏实现，采用诱导降维算法迭代求解矩阵逆与向量的乘积问题；根据谱映射关系，将离散化矩阵模值最大的特征值的近似值转化为时滞电力系统模型的近似特征值；采用牛顿迭代法对近似特征值进行修正，得到精确特征值；根据精确特征值的大小来判断时滞电力系统的稳定性。
Description
技术领域
本公开涉及基于时间积分IGD的时滞电力系统稳定性判别方法。
背景技术
本部分的陈述仅仅是提到了与本公开相关的背景技术，并不必然构成现有技术。
随着全球能源互联网的兴起，互联电力系统的规模逐渐增大，区间低频振荡问题更加显著。传统的解决方案是安装电力系统稳定器(Power System Stabilizer,PSS)，但是由于其反馈控制信号来源于当地，不能有效阻尼互联电力系统的区间振荡。
广域测量系统(Wide-Area Measurement System，WAMS)的出现给大规模互联电力系统稳定分析与控制的发展带来新的契机。基于WAMS提供的广域信息的互联电网低频振荡控制，通过引入有效反映区间振荡模式的广域反馈信号，能够获得较好的阻尼控制性能，其为解决互联电网中的区域间低频振荡问题，进而提高系统的输电能力提供了新的控制手段，具有良好而又广泛的应用前景。
广域信号在由不同通信介质(如光纤、电话线、数字微波、卫星等)组成的WAMS通信网络中传输和处理时，存在几十到几百毫秒间变化的通信延时。时滞是导致系统控制律失效、运行状况恶化和系统失稳的一种重要诱因。因此，利用广域测量信息进行电力系统闭环控制时，必须计及时滞的影响。
在现代电力系统中，小干扰稳定主要关注的是机电振荡问题。以状态空间模型为基础的特征值分析法是研究机电振荡的强有力工具。目前，研究人员已经提出了许多计算大规模电力系统关键特征值子集的有效方法，主要包括基于降阶系统的选择模式分析法，AESOPS算法和S-矩阵法，幂法、牛顿法、Rayleigh商迭代法等序贯法以及同时迭代法、Arnoldi算法、重新分解的双重迭代和Jacobi-Davidson方法等子空间迭代法。这些方法在计算部分特征值时都利用了增广状态矩阵的稀疏性，多数方法都是通过对原系统进行谱变换从而改变特征谱的分布，然后求取系统的特征值，再通过反变换得到原系统的关键特征值。但是，以上提到的方法均未考虑时滞的影响。中国发明专利基于Padé近似的时滞电力系统特征值计算与稳定性判别方法.201210271783.8:[P].利用Pade近似多项式逼近时滞环节，进而计算系统最右侧的关键特征值，并判断系统的时滞稳定性。中国发明专利基于EIGD的大规模时滞电力系统特征值计算方法.201510055743.3.[P].提出了一种基于显示IGD(Explicit IGD,EIGD)的大规模时滞电力系统特征值计算。利用计算得到的系统最右侧的关键特征值，可以判断系统在固定时滞下的稳定性。这些时滞稳定性判别方法，均需要通过多次扫描[0.1,2.5]Hz低频振荡频率范围内、靠近虚轴的关键特征值，才能判断系统的时滞稳定性。
发明内容
为了解决现有技术的不足，本公开提供了基于时间积分IGD的时滞电力系统稳定性判别方法；
本公开提供了基于时间积分IGD的时滞电力系统稳定性判别方法；
基于时间积分IGD的时滞电力系统稳定性判别方法，包括：
步骤(1)：建立时滞电力系统模型；依据时滞电力系统模型的特征值与时滞电力系统模型的无穷小生成元特征值之间的谱映射关系，将计算时滞电力系统模型的特征值转化成计算无穷小生成元的特征值；从而将判断时滞电力系统稳定性的问题转化为计算无穷小生成元的模值最大的特征值问题；
步骤(2)：采用隐式龙格-库塔方法对无穷小生成元进行离散化，得到无穷小生成元的离散化矩阵；将无限维的特征值问题转化为有限维的特征值问题；
步骤(3)：采用隐式Arnoldi算法计算步骤(2)得到的无穷小生成元的离散化矩阵经过位移-逆变换后模值最大的特征值的近似值；计算过程中采用位移-逆变换和Kronecker积的性质进行稀疏实现，采用诱导降维算法迭代求解矩阵逆与向量的乘积问题；
步骤(4)：根据谱映射关系，将无穷小生成元离散化矩阵模值最大的特征值的近似值转化为时滞电力系统模型的近似特征值；
步骤(5)：采用牛顿迭代法对近似特征值进行修正，得到时滞电力系统的精确特征值；
步骤(6)：根据精确特征值的大小来判断时滞电力系统的稳定性。
作为一种可能的实现方式，所述步骤(2)被替换为：
采用线性多步法LMS对无穷小生成元进行离散化，得到无穷小生成元的离散化矩阵；将无限维的特征值问题转化为有限维的特征值问题；
作为一种可能的实现方式，所述步骤(3)被替换为：
采用隐式Arnoldi算法计算步骤(2)得到的无穷小生成元的离散化矩阵经过位移-逆变换后模值最大的特征值的近似值；计算过程中采用位移-逆变换和Kronecker积的性质进行稀疏实现，采用诱导降维算法迭代求解矩阵逆与向量的乘积问题。
与现有技术相比，本公开的有益效果是：
第一、本公开提出的方法用于计算实际系统机电振荡模式对应的关键特征值时，充分考虑了实际系统的规模，以及通信时滞的影响。
第二、本公开提出的方法计算指定位移点附近的部分特征值，就可以得到时滞电力系统机电振荡模式对应的特征值，计算精度较为准确。
第三、本公开提出的方法利用隐式龙格-库塔离散化方案或者采用线性多步法LMS对无穷小生成元进行离散化，拓展了大规模时滞电力系统关键特征值的计算方法，并且其得到的关键特征值有助于广域阻尼控制器的设计。
第四、本公开提出的方法时滞电力系统关键特征值计算方法，使得沿用常规电力系统小干扰稳定性的特征值分析方法理论和框架，分析时滞电力系统的小干扰稳定性和设计广域阻尼控制器成为可能。这对于完善和丰富基于特征值的小干扰稳定性分析理论，具有重要的意义和价值。
附图说明
构成本申请的一部分的说明书附图用来提供对本申请的进一步理解，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。
图1为本公开的流程图；
图2单时滞情况下，IGD-IRK方法中的离散点集合ΩN；
图3多时滞情况下，IGD-IRK方法中的离散点集合ΩN；
图4为本公开的流程图；
图5为单时滞情况下，IGD-LMS方法中的离散点集合ΩN；
图6为多时滞情况下，IGD-LMS方法中的离散点集合ΩN。
具体实施方式
应该指出，以下详细说明都是示例性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。
需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。
英文缩写介绍：
无穷小生成元离散化(Infinitesimal Generator Discretization，IGD)
基于无穷小生成元的龙格-库塔离散化(Infinitesimal GeneratorDiscretization Method with Implicit Runge-Kutta,IGD-IRK)
基于无穷小生成元的线性多步离散化(Infinitesimal GeneratorDiscretization Method with Linear Multistep,IGD-LMS)
实施例一：
如图1所示，基于时间积分IGD的时滞电力系统稳定性判别方法，包括：
步骤(1)：建立时滞电力系统模型；依据时滞电力系统模型的特征值与时滞电力系统模型的无穷小生成元特征值之间的谱映射关系，将计算时滞电力系统模型的特征值转化成计算无穷小生成元的特征值；从而将判断时滞电力系统稳定性的问题转化为计算无穷小生成元的模值最大的特征值问题；
步骤(2)：采用隐式龙格-库塔方法对无穷小生成元进行离散化，得到无穷小生成元的离散化矩阵；将无限维的特征值问题转化为有限维的特征值问题；
步骤(3)：采用隐式Arnoldi算法计算步骤(2)得到的无穷小生成元的离散化矩阵经过位移-逆变换后模值最大的特征值的近似值；
计算过程中采用位移-逆变换和Kronecker积的性质进行稀疏实现，采用诱导降维算法迭代求解矩阵逆与向量的乘积问题；
步骤(4)：根据谱映射关系，将无穷小生成元离散化矩阵模值最大的特征值的近似值转化为时滞电力系统模型的近似特征值；
步骤(5)：采用牛顿迭代法对近似特征值进行修正，得到时滞电力系统的精确特征值；
步骤(6)：根据精确特征值的大小来判断时滞电力系统的稳定性。
所述步骤(1)的时滞电力系统模型为：
式中：
为系统状态；τi>0，τi为时滞常数；
假设
其中τmax为最大时滞。
设
为定义在复数域的n维线性向量空间，设状态空间X:＝C是由时滞区间[-τmax,0]到n维实数空间
映射的连续函数构成的巴拿赫Banach空间，并赋有上确界范数
无穷小生成元
定义为：
式中：
是一个线性泛函：
所述步骤(2)的步骤为：
根据无穷小生成元的定义，获得其近似矩阵，即无穷小生成元的离散化矩阵：
步骤(21)：给定正整数N，利用区间[-τmax,0]上N+1个不同的离散点形成集合ΩN，ΩN＝{θi,i＝0,1...,N}，进而将连续状态空间X转化为离散状态空间
步骤(22)：给定连续函数
设其离散近似值为
设
其离散近似值为
计算
的精确导数
(即
)的近似值ψ。在离散点θi处，利用ψi来逼近
在该点的函数值
得：
在离散点θ0＝0处，利用公式(1.5)得到
的精确导数
将
近似为
即
步骤(23)：将
的近似值ψi表示为
的线性组合，得：
式中：aj为常数,dij为常数。
将式(1.6)写成矩阵方程，得：
方程的系数
即为无穷小生成元
的离散化矩阵。
对于单时滞系统，有：θ0＝0，θN＝-τmax。此时，矩阵
的第一个块行得到简化。
至此，论述了无穷小生成元离散化的方法的思想，具体推导公式如下：
首先给出基于Radau-IIA的单时滞系统无穷小生成元的离散化方法，进而将该方法推广至多时滞系统。
p阶s级隐式龙格-库塔法递推公式如下：
令
bT＝(b1,…,bs)，cT＝(c1,…,cs)。
于是，式(1.8)中龙格-库塔法的系数(A,b,c)用Butcher表Butcher’s Tableau表示。
对于Radau-IIA龙格-库塔法的系数(A,b,c)有如下特点：
(1)0<c1<…<cs＝1；
(2)如果方法是自洽的(consistent)，则
(3)b＝[as1,…,ass]T。
单时滞情况
首先，将区间[-τ,0]划分为N个长度为h的子区间，h＝τ/N；
然后，用s级龙格-库塔法的横坐标对每个子区间做进一步划分；
最终，得到具有Ns+1个离散点的集合ΩN。如图2所示；
利用集合ΩN，将连续空间X转化为离散化为空间
给定连续函数
其离散近似向量为Φ∈XN。
令
其离散近似向量为Ψ∈XN。
其中：
由于cs＝1，有：
在θ0＝0处，函数
导数的精确值ψ0，由式(1.3)得到：
在第j+1个子区间[-(j+1)h,-jh](j＝1,…,N-1)上离散点θj-clh(j＝0,1,…,N-1；l＝1,…,s)处，将IRK迭代公式中的yn替换为
将yn+1替换为
得：
对于式(1.13)进行移项，得：
其中，
将式(1.15)中的kl替换为
将ki替换为
得：
将
写成向量形式，得：
令
利用公式(1.101)和公式(1.102)所列变量定义，则式(1.17)简写为：
式(1.18)两边同时左乘
得：
令
可得：
将[ψ]j+1写成向量形式，得：
考虑到式(1.11)，则式(1.21)写为如下简化形式：
式中：矩阵
令ωi表示向量ω的第i个元素，wi和wij分别表示矩阵W中第i列和第(i,j)个元素，则
显式表示为：
联立式(1.12)和式(1.22)，得到无穷小生成元
的离散化矩阵
式中：
多时滞情况
首先在区间[-τmax,0]上建立包含Ns+1个离散点集合ΩN：
式中：
为区间[-τi,-τi-1]上Nis个离散点构成的集合。
利用集合ΩN，连续空间X被转化为离散空间
给定连续函数
其离散近似向量为Φ∈XN；令
其离散近似向量为Ψ∈XN；
其中：
对于区间[-τi,-τi-1](i＝1,…,m)上的离散点，由于cs＝1，于是有如下关系：
此外，由于两个相邻区间[-τi+1,-τi]和[-τi,-τi-1]的端点重合，于是有如下关系：
在θ0＝0处，函数
导数的精确值ψ0，由式(1.3)得到。
如图3所示，在第i个时滞区间[-τi,-τi-1]的第j+1个子区间[-(j+1)hi,-jhi]上离散点θj,i-clh处，将IRK迭代公式中的yn替换为
yn+1替换为
得：
对于式(1.29)进行移项，得：
式中：
将式(1.31)中的kl替换为
kr替换为
得：
将
写成向量形式，得：
令
利用公式(1.251)和公式(1.252)所列变量定义，则公式(1.33)简写为：
式(1.34)两边同时左乘
得：
令
可得：
将[ψ]j+1,i(j＝0,1,…,Ni-1)写成向量形式，得：
考虑到式(1.26)，则式(1.37)写为如下简化形式：
式中：矩阵
令ωi表示向量ω的第i个元素，wi表示矩阵W中第i列元素，则
可显式地表示为：
将式(1.39)应用于所有的时滞区间[-τi,-τi-1](i＝1,…,m)，并考虑到式(1.27)，得：
式中：矩阵
对于i＝1,…,m，令
则
即：
联立式(1.28)和式(1.40)，推导得到多时滞情况下Φ与Ψ之间的关系式：
式中：
为(Ns+1)n×(Ns+1)n维无穷小生成元的离散化矩阵。其第一个块行
写成单位向量
和系统状态矩阵
的Kronecker积之和。
所述步骤(3)的步骤为：
首先，用λ'+s替代时滞电力系统的特征值λ，则可得到位移之后的特征方程，即：
式中：
位移操作之后，IGD-IRK方法得到的无穷小生成元离散化近似矩阵
被映射为
进而，其逆矩阵可表示为：
式中：
然后，利用隐式Arnoldi算法求取
模值最大的特征值。
在IRA算法中，计算量最大的操作是利用
与向量乘积形成Krylov子空间。
设第k个Krylov向量为
则第k+1个Krylov向量q′k+1计算如下：
由于矩阵
不具有特殊的逻辑结构，
不具有显式表达形式。
对于大规模时滞电力系统，利用直接求逆方法(如LU分解和高斯消元法)计算
的逆矩阵时，一方面对内存要求很高，并可能导致内存溢出问题；另一方面，不能充分利用系统增广状态矩阵的稀疏特性。
为了避免直接求解
采用迭代方法计算q′k+1。于是，将式(1.50)转换为：
式中：
是第l次迭代后q′k+1的近似值。
迭代求解的优势在于在求解线性方程组的过程中，不増加任何元素，保持了
的稀疏特性。
采用诱导降维方法计算(q′k+1)(l)，具体步骤如下。
首先，将(q′k+1)(l)中的元素按照列的方向重新排列，得到矩阵
即(q′k+1)(l)＝vec(Q′)。进而，利用Kronecker积的性质，式(1.51)的左端计算为：
式中:
在公式(1.52)中，计算量最大的操作是矩阵向量乘积
采用稀疏实现的幂法进行计算，降低计算负担、提高计算效率。
采用稀疏实现的幂法进行计算：
给定收敛精度ε1，则求解(q′k+1)(l)的IDR(s)算法的收敛条件为：
所述步骤(4)的步骤为：设IRA算法计算得到的
的特征值为λ"，则时滞电力系统模型的近似特征值
为：
所述步骤(5)的步骤为：式(1.54)与λ"对应的Krylov向量的前n个元素形成的向量
是精确特征值λ对应的特征向量v的近似。以
和
为初始值，利用牛顿法通过迭代得到精确特征值λ和对应的特征向量v。
所述步骤(6)的步骤为：根据精确特征值的大小来判断时滞电力系统的稳定性。
若某个特征值λ的阻尼比小于0，则时滞电力系统处于小干扰不稳定的状态；
若所有特征值的最小阻尼比等于0，则时滞电力系统处于临界稳定的状态；
若所有特征值的阻尼比均大于0，则时滞电力系统处于渐进稳定的状态。
实施例二：
如图4所示，基于时间积分IGD的时滞电力系统稳定性判别方法，包括：
步骤(1)：建立时滞电力系统模型；依据时滞电力系统模型的特征值与时滞电力系统模型的无穷小生成元特征值之间的谱映射关系，将计算时滞电力系统模型的特征值转化成计算无穷小生成元的特征值；从而将判断时滞电力系统稳定性的问题转化为计算无穷小生成元的模值最大的特征值问题；
步骤(2)：采用线性多步法LMS对无穷小生成元进行离散化，得到无穷小生成元的离散化矩阵；将无限维的特征值问题转化为有限维的特征值问题；
步骤(3)：采用隐式Arnoldi算法计算步骤(2)得到的无穷小生成元的离散化矩阵经过位移-逆变换后模值最大的特征值的近似值；计算过程中采用位移-逆变换和Kronecker积的性质进行稀疏实现；
步骤(4)：根据谱映射关系，将无穷小生成元离散化矩阵模值最大的特征值的近似值转化为时滞电力系统模型的近似特征值；
步骤(5)：采用牛顿迭代法对近似特征值进行修正，得到时滞电力系统的精确特征值；
步骤(6)：根据精确特征值的大小来判断时滞电力系统的稳定性。
所述步骤(1)的时滞电力系统模型为：
式中：
为系统状态。τi>0为时滞常数。
假设
其中τmax为最大时滞。
设
为定义在复数域的n维线性向量空间，设状态空间X:＝C是由时滞区间[-τmax,0]到n维实数空间
映射的连续函数构成的巴拿赫(Banach)空间，并赋有上确界范数
无穷小生成元
可以定义为：
其中，
是一个线性泛函：
所述步骤(2)的步骤为：
根据无穷小生成元的定义，可以通过下述方法获得其近似矩阵，也即无穷小生成元的离散化矩阵。
步骤(21)：给定正整数N，利用区间[-τmax,0]上N+1个不同的离散点形成集合ΩN，ΩN＝{θi,i＝0,1...,N}，进而将连续状态空间X转化为离散状态空间
步骤(22)：给定连续函数
设其离散近似值为
设
其离散近似值为
计算
的精确导数
(即
)的近似值ψ。具体地，在离散点θi(i＝1,…,N)处，利用ψi来逼近
在该点的函数值
得：
在离散点θ0＝0处，利用拼接条件(2.5)得到
的精确导数
并将其近似为
即
步骤(23)：将
的近似值ψi表示为
的线性组合，得：
式中：aj为常数,dij为常数。
将式(2.6)写成矩阵方程，得：
实际上，这是抽象柯西方程的离散化形式。方程的系数
即为无穷小生成元
的离散化矩阵。
对于单时滞系统，有：θ0＝0，θN＝-τmax。此时，矩阵
的第一个块行可以得到简化。
至此，论述了无穷小生成元离散化的方法。
为了便于理解，首先给出基于向后差分线性多步法的(Linear Multi-Step withBackward Difference Formula,LMS-BDF)的单时滞系统无穷小生成元的离散化方法，进而将该方法推广至多时滞系统。
给定步长h，k步BDF方法的形式如下：
式中：αl(l＝0,…,k)和βk为线性k步法的系数。
单时滞情况
给定正整数N，区间[-τ,0]上间距为h的N+1个离散点构成的集合为ΩN。从而，连续状态空间X被转化为离散空间
如图5所示；
在θ0＝0处，函数
导数
的近似值
可由拼接条件(2.3)得到。
在离散点θj处，函数
导数
的近似值
由无穷小生成元
的定义式(2.2)得到。
式(2.11)的具体表达式，又可以分为两种情况进行推导。
首先，在离散点θj(j＝k,…,N)处，ψj可以通过对BDF方法的(2.8)进行整理得到。
接着，在离散点θj(j＝1,…,k-1)处，采用公式(2.13)“启动”方法来计算ψj。此时，假设ψj具有式(2.12)类似的形式，即：
式中：γjl(j＝1,…,k-1；l＝0,1,…,k)为未知系数。
下面给出确定γjl的方法。
在
附近，将式(2.13)右端中的
展开成关于步长h、截止误差为
的幂级数。
将式(1.14)代入式(1.13)中，并令等式两边h的同次幂项的系数相等，得：
式中：j＝1,…,k-1。
对于某个设定的j，未知系数γjl通过求解一个与式(2.15)对应的(k+1)×(k+1)阶线性方程组得到；将系数γjl写成(k-1)×(k+1)阶矩阵，得：
例如，对于BDF方法，当k＝3和k＝5时，通过计算可分别得到矩阵Γ3和Γ5。
联立式(2.10)、式(2.12)和式(2.13)，推导得到Φ与Ψ之间的关系式：
式中：
为(N+1)n×(N+1)n维无穷小生成元的离散化矩阵。
多时滞情况
将单时滞情况下无穷小生成元BDF离散化方法，扩展到含有m个时滞τi(i＝1,…,m)的系统。
首先，在区间[-τmax,0]上建立离散点集合ΩN：
式中：
为区间[-τi,-τi-1]上间距为hi的Ni个离散点构成的集合，如图6所示，为了保证线性多步法的可用性，子区间上的离散点数Ni必须大于步数k，即Ni>k。
根据ΩN，连续空间X被转化为离散空间
且有
在θ0＝0处，函数
导数的近似值ψ0，由公式(2.3)得到。
对于第i个时滞子区间[-τi,-τi-1]上的离散点θj,i(j＝1,…,Ni)，函数
导数的近似值ψj,i，通过估计无穷小生成元
的定义式(2.2)得到。
在子区间[-τi,-τi-1]上前k-1个离散点θj,i(j＝1,…,k-1)处，采用类似于单时滞情况下采用的“启动”方法计算系数γj,l；在其余的Ni-k+1个离散点θj,i(j＝k,…,Ni)处，直接利用BDF方法计算系数γj,l。
于是，式(2.24)具体表示为：
令
则式(2.25)写成矩阵形式：
式中：
对于所有的时滞子区间[-τi,-τi-1](i＝1,…,m)上的离散点θj,i(j＝1,…,Ni；i＝1,…,m)，有：
式中：
令
联立式(2.23)和式(2.29)，可以推导得到多时滞情况下Φ与Ψ之间的关系式：
式中：
为(N+1)n×(N+1)n维无穷小生成元的离散化矩阵，其第一个块行
可以写成单位向量
和系统状态矩阵
的Kronecker积之和。
所述步骤(3)的步骤为：
首先，用λ'+s替代时滞电力系统的特征值λ，则可得到位移之后的特征方程，即：
式中：
位移操作之后，IGD-LMS方法得到的无穷小生成元离散化近似矩阵
被映射为
进而，其逆矩阵可表示为：
式中：
然后，利用隐式重启动Arnoldi(Implicitly Restarted Arnoldi,IRA)算法等稀疏算法求取
模值最大的部分特征值。
在IRA算法中，计算量最大的操作是利用
与向量乘积形成Krylov子空间。设第k个Krylov向量为
则第k+1个Krylov向量qk+1可计算如下：
由于矩阵
不具有特殊的逻辑结构，
不具有显式表达形式。对于大规模时滞电力系统，利用直接求逆方法(如LU分解和高斯消元法)计算
的逆矩阵时，一方面对内存要求很高，并可能导致内存溢出问题；另一方面，不能充分利用系统增广状态矩阵的稀疏特性。
为了避免直接求解
这里采用迭代方法计算qk+1。于是，将式(2.40)转换为：
式中：
是第l次迭代后qk+1的近似值。
迭代求解的优势在于在求解线性方程组的过程中，不增加任何元素，保持了
的稀疏特性。
采用诱导降维方法计算
具体步骤如下：
首先，将
中的元素按照列的方向重新排列，得到矩阵
即
进而，利用Kronecker积的性质，式(2.41)的左端可计算为：
式中:
在式(2.42)中，计算量最大的操作是矩阵向量乘积
可采用稀疏实现的幂法进行计算，降低计算负担、提高计算效率。其如下：
给定收敛精度ε1，则求解
的IDR(s)算法的收敛条件为：
所述步骤(4)的步骤为：设IRA算法计算得到的
的特征值为λ"，则
的近似特征值，即时滞电力系统模型的近似特征值为：
所述步骤(5)的步骤为：式(2.44)与λ"对应的Krylov向量的前n个元素形成的向量
是精确特征值λ对应的特征向量v的良好近似。以
和
为初始值，利用牛顿法可以通过迭代得到精确特征值λ和对应的特征向量v。所述步骤(6)的步骤为：根据精确特征值的大小来判断时滞电力系统的稳定性。若存在某个特征值的阻尼比小于0，则时滞电力系统处于小干扰不稳定的状态；若所有特征值的最小阻尼比等于0，则时滞电力系统处于临界稳定的状态；若所有特征值的阻尼比均大于0，则时滞电力系统处于渐进稳定的状态。
以上所述仅为本申请的优选实施例而已，并不用于限制本申请，对于本领域的技术人员来说，本申请可以有各种更改和变化。凡在本申请的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本申请的保护范围之内。
Claims (10)
1.基于时间积分IGD的时滞电力系统稳定性判别方法，其特征是，包括：
步骤(1)：建立时滞电力系统模型；依据时滞电力系统模型的特征值与时滞电力系统模型的无穷小生成元特征值之间的谱映射关系，将计算时滞电力系统模型的特征值转化成计算无穷小生成元的特征值；从而将判断时滞电力系统稳定性的问题转化为计算无穷小生成元的模值最大的特征值问题；
步骤(2)：采用隐式龙格-库塔方法对无穷小生成元进行离散化，得到无穷小生成元的离散化矩阵；将无限维的特征值问题转化为有限维的特征值问题；
步骤(3)：采用隐式Arnoldi算法计算步骤(2)得到的无穷小生成元的离散化矩阵经过位移-逆变换后模值最大的特征值的近似值；计算过程中采用位移-逆变换和Kronecker积的性质进行稀疏实现，采用诱导降维算法迭代求解矩阵逆与向量的乘积问题；
步骤(4)：根据谱映射关系，将无穷小生成元离散化矩阵模值最大的特征值的近似值转化为时滞电力系统模型的近似特征值；
步骤(5)：采用牛顿迭代法对近似特征值进行修正，得到时滞电力系统的精确特征值；
步骤(6)：根据精确特征值的大小来判断时滞电力系统的稳定性；
首先给出基于Radau-IIA的单时滞系统无穷小生成元的离散化方法，进而将该方法推广至多时滞系统；
p阶s级隐式龙格-库塔法递推公式如下：
令
bT＝(b1,…,bs)，cT＝(c1,…,cs)；
于是，式(1.8)中龙格-库塔法的系数(A,b,c)用Butcher表Butcher’s Tableau表示；
对于Radau-IIA龙格-库塔法的系数(A,b,c)有如下特点：
(1)0<c1<…<cs＝1；
(2)如果方法是自洽的consistent，则
(3)b＝[as1,…,ass]T；
单时滞情况
首先，将区间[-τ,0]划分为N个长度为h的子区间，h＝τ/N；
然后，用s级龙格-库塔法的横坐标对每个子区间做进一步划分；
最终，得到具有Ns+1个离散点的集合ΩN；
利用集合ΩN，将连续空间X转化为离散化为空间
给定连续函数
其离散近似向量为Φ∈XN；
令
其离散近似向量为Ψ∈XN；
其中：
由于cs＝1，有：
在θ0＝0处，函数
导数的精确值ψ0，由式(1.3)得到：
在第j+1个子区间[-(j+1)h,-jh]上离散点θj-clh处，将IRK迭代公式中的yn替换为
将yn+1替换为
得：
对于式(1.13)进行移项，得：
其中，
将式(1.15)中的kl替换为
将ki替换为
得：
将
写成向量形式，得：
令
利用公式(1.101)和公式(1.102)所列变量定义，则式(1.17)简写为：
式(1.18)两边同时左乘
得：
令
可得：
将
写成向量形式，得：
考虑到式(1.11)，则式(1.21)写为如下简化形式：
式中：矩阵
令ωi表示向量ω的第i个元素，wi和wij分别表示矩阵W中第i列和第(i,j)个元素，则
显式表示为：
联立式(1.12)和式(1.22)，得到无穷小生成元
的离散化矩阵
式中：
2.如权利要求1所述的方法，其特征是，所述步骤(1)的时滞电力系统模型为：
式中：
为系统状态；τi>0，τi为时滞常数；
假设
其中τmax为最大时滞；
设
为定义在复数域的n维线性向量空间，设状态空间X:＝C是由时滞区间[-τmax,0]到n维实数空间
映射的连续函数构成的巴拿赫Banach空间，并赋有上确界范数
3.如权利要求1所述的方法，其特征是，无穷小生成元
定义为：
式中：
是一个线性泛函：
所述步骤(2)的步骤为：
根据无穷小生成元的定义，获得无穷小生成元的离散化矩阵：
步骤(21)：给定正整数N，利用区间[-τmax,0]上N+1个不同的离散点形成集合ΩN，ΩN＝{θi,i＝0,1...,N}，进而将连续状态空间X转化为离散状态空间
步骤(22)：给定连续函数
设其离散近似值为
设
其离散近似值为
计算
的精确导数
的近似值ψ；在离散点θi处，利用ψi来逼近
在该点的函数值
得：
在离散点θ0＝0处，利用公式(1.5)得到
的精确导数
将
近似为
即
步骤(23)：将
的近似值ψi表示为
的线性组合，得：
式中：aj为常数,dij为常数；
将式(1.6)写成矩阵方程，得：
方程的系数
即为无穷小生成元
的离散化矩阵；
对于单时滞系统，有：θ0＝0，θN＝-τmax；此时，矩阵
的第一个块行得到简化；
至此，论述了无穷小生成元离散化的方法的思想。
4.如权利要求1所述的方法，其特征是，
多时滞情况
首先在区间[-τmax,0]上建立包含Ns+1个离散点集合ΩN：
式中：
为区间[-τi,-τi-1]上Nis个离散点构成的集合；
利用集合ΩN，连续空间X被转化为离散空间
给定连续函数
其离散近似向量为Φ∈XN；令
其离散近似向量为Ψ∈XN；
其中：
对于区间[-τi,-τi-1]上的离散点，由于cs＝1，于是有如下关系：
此外，由于两个相邻区间[-τi+1,-τi]和[-τi,-τi-1]的端点重合，于是有如下关系：
在θ0＝0处，函数
导数的精确值ψ0，由式(1.3)得到；
在第i个时滞区间[-τi,-τi-1]的第j+1个子区间[-(j+1)hi,-jhi]上离散点θj,i-clh处，将IRK迭代公式中的yn替换为
yn+1替换为
得：
对于式(1.29)进行移项，得：
式中：
将式(1.31)中的kl替换为
kr替换为
得：
将
写成向量形式，得：
令
利用公式(1.251)和公式(1.252)所列变量定义，则公式(1.33)简写为：
式(1.34)两边同时左乘
得：
令
可得：
将[ψ]j+1,i写成向量形式，得：
考虑到式(1.26)，则式(1.37)写为如下简化形式：
式中：矩阵
令ωi表示向量ω的第i个元素，wi表示矩阵W中第i列元素，则
可显式地表示为：
将式(1.39)应用于所有的时滞区间[-τi,-τi-1]，并考虑到式(1.27)，得：
式中：矩阵
对于i＝1,…,m，令
则
即：
联立式(1.28)和式(1.40)，推导得到多时滞情况下Φ与Ψ之间的关系式：
式中：
为(Ns+1)n×(Ns+1)n维无穷小生成元的离散化矩阵；其第一个块行
写成单位向量
和系统状态矩阵
的Kronecker积之和；
5.如权利要求3所述的方法，其特征是，
所述步骤(3)的步骤为：
首先，用λ'+s替代时滞电力系统的特征值λ，则可得到位移之后的特征方程，即：
式中：
位移操作之后，IGD-IRK方法得到的无穷小生成元离散化近似矩阵
被映射为
进而，其逆矩阵表示为：
式中：
然后，利用隐式Arnoldi算法求取
模值最大的特征值；
在IRA算法中，计算量最大的操作是利用
与向量乘积形成Krylov子空间；
设第k个Krylov向量为
则第k+1个Krylov向量q′k+1计算如下：
为了避免直接求解
采用迭代方法计算q′k+1；于是，将式(1.50)转换为：
式中：
是第l次迭代后q′k+1的近似值；
采用诱导降维方法计算(q′k+1)(l)，具体步骤如下：
首先，将(q′k+1)(l)中的元素按照列的方向重新排列，得到矩阵
即(q′k+1)(l)＝vec(Q′)；进而，利用Kronecker积的性质，式(1.51)的左端计算为：
式中:
在公式(1.52)中，计算量最大的操作是矩阵向量乘积
采用稀疏实现的幂法进行计算：
给定收敛精度ε1，则求解(q′k+1)(l)的IDR(s)算法的收敛条件为：
6.如权利要求5所述的方法，其特征是，
所述步骤(4)的步骤为：设IRA算法计算得到的
的特征值为λ"，则时滞电力系统模型的近似特征值
为：
7.如权利要求6所述的方法，其特征是，
所述步骤(5)的步骤为：式(1.54)与λ"对应的Krylov向量的前n个元素形成的向量
是精确特征值λ对应的特征向量v的近似；以
和
为初始值，利用牛顿法通过迭代得到精确特征值λ和对应的特征向量v。
8.如权利要求7所述的方法，其特征是，
所述步骤(6)的步骤为：根据精确特征值的大小来判断时滞电力系统的稳定性：
若某个特征值λ的阻尼比小于0，则时滞电力系统处于小干扰不稳定的状态；
若所有特征值的最小阻尼比等于0，则时滞电力系统处于临界稳定的状态；
若所有特征值的阻尼比均大于0，则时滞电力系统处于渐进稳定的状态。
9.如权利要求1所述的方法，其特征是，
所述步骤(2)被替换为：
采用线性多步法LMS对无穷小生成元进行离散化，得到无穷小生成元的离散化矩阵；将无限维的特征值问题转化为有限维的特征值问题；
所述步骤(3)被替换为：
采用隐式Arnoldi算法计算步骤(2)得到的无穷小生成元的离散化矩阵经过位移-逆变换后模值最大的特征值的近似值；计算过程中采用位移-逆变换和Kronecker积的性质进行稀疏实现，采用诱导降维算法迭代求解矩阵逆与向量的乘积问题。
10.如权利要求9所述的方法，其特征是，
为了便于理解，首先给出基于向后差分线性多步法的LMS-BDF的单时滞系统无穷小生成元的离散化方法，进而将该方法推广至多时滞系统；
给定步长h，k步BDF方法的形式如下：
式中：αl和βk为线性k步法的系数；
单时滞情况
给定正整数N，区间[-τ,0]上间距为h的N+1个离散点构成的集合为ΩN；从而，连续状态空间X被转化为离散空间
在θ0＝0处，函数
导数
的近似值
可由拼接条件(2.3)得到；
在离散点θj处，函数
导数
的近似值
由无穷小生成元
的定义式(2.2)得到；
式(2.11)的具体表达式，又可以分为两种情况进行推导；
首先，在离散点θj处，ψj可以通过对BDF方法的(1.8)进行整理得到；
接着，在离散点θj处，其中，j＝1,…,k-1，采用公式(2.13)“启动”方法来计算ψj；此时，假设ψj具有式(2.12)类似的形式，即：
式中：γjl为未知系数，j＝1,…,k-1；l＝0,1,…,k；
下面给出确定γjl的方法：
在
附近将式(2.13)右端中的
展开成关于步长h、截止误差为
的幂级数；
将式(2.14)代入式(2.13)中，并令等式两边h的同次幂项的系数相等，得：
对于某个设定的j，未知系数γjl通过求解一个与式(2.15)对应的(k+1)×(k+1)阶线性方程组得到；将系数γjl写成(k-1)×(k+1)阶矩阵，得：
联立式(2.10)、式(2.12)和式(2.13)，推导得到Φ与Ψ之间的关系式：
式中：
为(N+1)n×(N+1)n维无穷小生成元的离散化矩阵；
多时滞情况
将单时滞情况下无穷小生成元BDF离散化方法，扩展到含有m个时滞τi的系统；
首先，在区间[-τmax,0]上建立离散点集合ΩN：
式中：
为区间[-τi,-τi-1]上间距为hi的Ni个离散点构成的集合，为了保证线性多步法的可用性，子区间上的离散点数Ni必须大于步数k，即Ni>k；
根据ΩN，连续空间X被转化为离散空间
且有
在θ0＝0处，函数
导数的近似值ψ0，由公式(2.3)得到；
对于第i个时滞子区间[-τi,-τi-1]上的离散点θj,i，其中j＝1,…,Ni，函数
导数的近似值ψj,i，通过估计无穷小生成元
的定义式(2.2)得到；
在子区间[-τi,-τi-1]上前k-1个离散点θj,i处，其中j＝1,…,k-1，采用类似于单时滞情况下采用的“启动”方法计算系数γj,l；在其余的Ni-k+1个离散点θj,i处，其中j＝k,…,Ni，直接利用BDF方法计算系数γj,l；
于是，式(2.24)具体表示为：
令
则式(2.25)写成矩阵形式：
式中：
对于所有的时滞子区间[-τi,-τi-1]上的离散点θj,i，有：
式中：
令
联立式(2.23)和式(2.29)，可以推导得到多时滞情况下Φ与Ψ之间的关系式：
式中：
为(N+1)n×(N+1)n维无穷小生成元的离散化矩阵，其第一个块行
写成单位向量
和系统状态矩阵
的Kronecker积之和，i＝0,1,…,m；
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|---|---|---|---|
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