CN108879669B - 基于低阶iigd算法的时滞电力系统特征值分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，建立时滞电力系统线性化数学模型，得到时滞电力系统的微分方程；根据时滞电力系统的微分方程将系统的状态变量分为与时滞无关项和与时滞有关项；对无穷小生成元进行伪谱离散化，在时滞区间内取多个离散点，建立离散函数空间，基于重组后的时滞系统的数学模型，在离散函数空间上，只对与时滞有关的部分进行离散化，从而生成低阶的无穷小生成元离散化矩阵；采用稀疏特征值算法，得到时滞电力系统特征值；针对得到的时滞电力系统特征值，利用牛顿法校验计算出的特征值，若满足收敛条件，即可得到时滞电力系统的精确特征值和特征向量。

Description

基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法

技术领域

本发明涉及电力系统技术领域，特别是涉及基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法。

背景技术

随着电力系统的发展和能源需求的不断増加，传统电力系统正面临系统规模扩大和新能源接入带来的挑战。对于大规模互联系统而言，基于同步相量单元(PhasorMeasurement Unit， PMU)的广域量测系统(Wide-Area Measurement System，WAMS)可以实时同步采集现代电力系统的运行数据，以帮助操作人员实现广域态势感知，为提高电力系统运行稳定性提供了新的控制手段。

基于WAMS的广域阻尼控制器(Wide-Area Damping Controller，WADC)可以有效提高区间低频振荡模式的阻尼水平，是广域量测技术最先得到应用的领域之一。WADC可以削弱系统区间低频振荡。多种不同的技术可用于设计WADC，如极点配置和鲁棒控制等等。WADC实际上是发电机励磁系统或静止无功补偿器电压控制器的辅助控制，同时用于高压直流输电的功率调制。在绝大多数应用中，分层的广域阻尼控制结构用于确保系统的可靠性和运行的灵活性。

然而，信息在Wifi、Zigbee等公用、低成本的无线通信网络及卫星通信网络中的传输必然引入时滞。一般来说，时滞在几十到几百毫秒范围内，这与通信协议、信号传输距离、信道带宽和通信网络情况等因素有关。电力系统因此成为时滞信息物理融合的电力系统(Delayed cyber-physical power system,DCPPS)。时滞会使系统稳定性恶化，严重时导致其失稳，因此有必要分析大规模时滞电力系统的小干扰稳定性。

在现代电力系统分析中，大规模时滞电力系统小干扰稳定性分析方法总体上可以分为时域法和频域法两类。这些已有的分析方法各有其缺点：时域法不需要求解系统方程而直接判定稳定性，但是其存在保守型；频域法中的Rekasius变换只能求解虚轴上的特征值，频域法中的Padé近似的精确性未在大规模多时滞电力系统上验证。中国发明专利基于Padé近似的时滞电力系统特征值计算与稳定性判别方法.201210271783.8:[P].利用Padé近似多项式逼近时滞环节，计算时滞电力系统的特征值。而频域法中的谱离散化方法是近几年提出的时滞系统特征值计算方法，并应用与电力领域，该方法可以精确计算出大规模时滞电力系统的最右侧的部分特征值，但存在计算量大的缺点。

中国发明专利基于EIGD的大规模滞电力系统特征值计算方法.201510055743.3[P].提出了一种基于显示IGD(Explicit Infinitesimal Generator Discretization,EIGD)的大规模时滞电力系统特征值算法，计算出时滞电力系统的特征值，从而判定系统的稳定性。然而，这些基于谱离散化的时滞电力系统的特征分析方法，在离散化过程中生成的近似矩阵维数较大，特别是在分析大规模电力系统时，虽然采用稀疏特征值算法利用系统状态矩阵的稀疏特性提高算法效率，但是由于固有的维数问题，不可避免的产生较大的计算量与计算时间，限制了算法的效率。

发明内容

为了解决现有技术的不足，本发明提供了基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，用来进行时滞电力系统的特征值计算。低阶IIGD算法只对与时滞有关的部分进行离散化，除去与时滞无关的状态变量的离散化，大大降低了离散化近似矩阵的维数，从根本上解决了离散化矩阵维数较大对计算效率的限制，使算法能够高效的计算DCPPS的低频振荡模态。

基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，IIGD为“IterativeInfinitesimal Generator Discretization”的缩写，中文含义为：迭代无穷小生成元离散化，包括：

建立时滞电力系统线性化数学模型，得到时滞电力系统的微分方程；

根据时滞电力系统的微分方程将系统的状态变量分为与时滞无关项和与时滞有关项，时滞系统的微分方程被重写为相对应的两个部分，被重写的相对应的两个部分构成重组后的时滞系统的数学模型；

利用无穷小生成元将时滞电力系统的微分方程进行转化，转换为抽象柯西问题，进而将求解时滞电力系统线性化数学模型的特征值转换为求解无穷小生成元的特征值；

对无穷小生成元进行伪谱离散化，在时滞区间内取多个离散点，建立离散函数空间，基于重组后的时滞系统的数学模型，在离散函数空间上，只对与时滞有关的部分进行离散化，从而生成低阶的无穷小生成元离散化矩阵；

对低阶的无穷小生成元离散化矩阵进行位移、逆变换，得到逆矩阵，从而将时滞电力系统部分模值较小的特征值转换为模值较大的特征值；

采用迭代的方法求解矩阵逆向量的乘积，利用稀疏特征值算法得到时滞电力系统特征值。

针对得到的时滞电力系统特征值，利用牛顿法校验计算出的特征值，若满足收敛条件，即可得到时滞电力系统的精确特征值和特征向量。

进一步优选的技术方案，经线性化后的时滞电力系统模型如下：

式中：n为系统状态变量总数；t为当前时刻；Δx(t)表示增量形式的系统状态变量向量，

表示系统状态变量导数的增量，Δx(t-τ_i)为t-τ_i时刻时系统状态变量的增量；τ_i＞0(i＝1,…,m) 是时滞常数，m表示时滞的个数；τ_max为最大的时滞；Δx(0)为系统状态变量的初始值，简写为

状态矩阵

是稠密矩阵，而系统时滞状态矩阵

是稀疏矩阵，它们均可由系统增广状态矩阵表示为：

式中：

和

均为分块稀疏矩阵，l表示矩阵的维数

式(1)对应的特征方程表示如下：

式中：{λ,v}分别是特征值及其右特征值向量。

进一步优选的技术方案，将状态变量Δx(t)分为与时滞无关部分

和与时滞相关部分

参数n₁表示状态变量中与时滞无关部分的维数,参数n₂表示状态变量中与时滞相关部分的维数，而且满足n₁+n₂＝n，则式(1)被改写为：

式中：

式中：

和

是状态矩阵重新排序并改写后得到的分块矩阵，

和

由时滞状态矩阵重组后得到，其中前三项分别为n₁×n₁、n₁×n₂和n₂×n₁的零元素矩阵。

所以，式(5)表示为：

对应的特征方程随之改写为：

进一步优选的技术方案，基于无穷小生成元

定义，将经线性化后的时滞电力系统模型转换为抽象柯西问题，即将时滞微分方程转换为齐次常微分方程：

式中：u(t):[0,∞)→X是连续可微函数，X表示由时间区间[-τ_max,0]映射到n维实数空间的连续函数组成的Banach空间。u(t)＝Δx(t+θ)，θ∈[-τ_max,0]。

进一步优选的技术方案，设N为任意正整数，在区间[-τ_max,0]上取N+1个离散点θ_N,j，其集合表示为：Ω_N:＝{θ_N,j,j＝0,1,...,N}，且满足-τ_max＝θ_N,N<…<θ_N,0＝0，选取N阶Chebyshev 多项式经位移和归一化处理后的零点作为Ω_N的元素，即

令X_N表示集合Ω_N上定义的离散函数空间，进而，任意函数

可以被离散化为

元素

是连续函数

在离散点θ_N,j处函数值的近似，依据降阶的基本思路，剔除与时滞无关的状态变量的离散化，即

将(9)在X_N上离散化，得到

的近似矩阵

矩阵的阶数为(n+Nn₂)：

式中：

表示Kronecker积运算，

是n₂阶单位矩阵，

是Nn₂×n₂的零矩阵，

D_N是由切比雪夫微分矩阵

的后N行形成的子矩阵，D_N中各元素的表达式为：

其中：

的第一块行R_N写作：

式中：

为常数拉格朗日向量：

其中，l_N,j(·)，j＝0,1,…,N是点θ_N,j处的拉格朗日系数；

离散化后的有限维的稀疏矩阵

可以直接用于求解电力系统低频机电振荡模式。

进一步优选的技术方案，时滞电力系统的低频振荡模式一般位于复平面虚轴附近，采用位移逆变换技术将其转换为模值较大的特征值，经位移后，特征方程(8)可表示为：

式中：λ′为经位移变换后的特征值，A′₁₁，A′₁₂，A′₂₁，A′₂₂以及A′_di为经位移变换后的系统的分块状态矩阵，将其代入无穷小生成元离散化矩阵

的R_N中，替换其中相应的元素，矩阵的第一块行变为R′_N，离散化矩阵变为

的逆矩阵为：

进一步优选的技术方案，对于大规模电力系统，采用IRA等稀疏特征值算法计算

模值递减的部分关键特征值，其对应着时滞电力系统最接近位移点s的部分特征值；

在IRA迭代过程中，计算量最大的操作是形成Krylov子空间的一组正交基，如下：

式中：

为第k个Kryolv向量，q_k+1为第k+1个向量。

进一步优选的技术方案，采用迭代的方法计算q_k+1，

式中：

是第l次迭代之后向量q_k+1的近似解。

进一步优选的技术方案，对于矩阵

与向量

相乘，利用Kronecker积的特性，表示成：

式中：算子vec(·)表示将矩阵的每一列依次排列成一个向量，Q表示将

的后(N+1)n₂行元素按列的方向排列，即

表示位移后的状态矩阵的块行：

进一步优选的技术方案，得到的

的特征值λ"与

的近似特征值有如下关系：

然后利用牛顿法进行校验和修正，得到精确特征值。

进一步优选的技术方案，牛顿迭代的收敛条件是：

||f^(k)||＜ε₂ (25)

式中：ε₂是足够小的收敛精度，f^(k)表示第k次迭代时增广形式特征方程的不平衡量。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

第一、本发明提出的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法可以适用于计算 DCPPS的机电振荡模式对应的特征值，全面地考虑了系统的规模和时滞对于电力系统的影响。

第二、本发明提出的低阶IIGD算法的特点是剔除了与时滞无关的状态变量的离散化，将离散化矩阵的维数大大减少，使其接近无时滞系统的离散化矩阵的维数。而且在降阶的过程中不涉及简化，在提高效率的同时保证了计算的精度，使算法能高效用于大规模时滞电力系统的特征值计算。

第三、本发明提出的低阶IIGD算法将以下技术结合在一起，提高了算法的可扩展性，减少了算法的计算量：利用位移逆变换预处理技术优先计算模值较小的特征值；采用IRA算法进行稀疏特征值计算，而且利用迭代算法计算矩阵逆向量的乘积，充分利用离散化矩阵和系统状态矩阵的稀疏性。

附图说明

构成本申请的一部分的说明书附图用来提供对本申请的进一步理解，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。

图1为基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法流程图。

具体实施方式

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

技术解释：DCPPS是由广域阻尼控制器、电力系统、广域反馈时滞和控制输出时滞四部分构成。基于DCPPS的结构模型，将其在稳定运行点线性化，可以得到用于DCPPS的稳定性分析的线性化数学模型，并给出DCPPS的特征方程。

本申请的整体技术构思为：为了采用低阶算法的思想，高效实现IIGD算法，需要对DCPPS 的微分方程进行重组。将系统的状态变量分成与时滞相关的部分和与时滞无关的部分，进而状态方程也随之被重写为相对应的两个部分。

基于DCPPS模型状态变量的连续可微性，利用无穷小生成元

将时滞系统模型中的微分方程转化为抽象柯西问题，进而将求解DCPPS的线性模型的特征值转换为求解无穷小生成元

的特征值。

为了求取无穷小生成元

特征值，需要对其进行离散化，得到无穷小生成元的有限维的近似矩阵

基于重组后的时滞电力系统的微分方程，由于时滞无关项与之前的系统状态无关，所以可以认为对于时滞无关项的离散化是不需要的。因此，只需要针对与时滞相关的状态变量，基于伪谱离散化方法的基本理论对

进行离散化，生成低阶的离散化近似矩阵

的维数为(n+Nn₂)。因为在低阶算法的过程中，无任何简化处理，所以保证了该算法得到的特征值的准确性。

为了得到阻尼较弱、实部较小的特征值，需要对

进行位移逆处理，将系统的这部分特征值转换为主特征值。

对于所述时滞电力系统离散化近似矩阵

的维数为(n+Nn₂)，然后利用稀疏特征值算法计算得到大规模时滞电力系统的部分近似特征值。最后，利用牛顿法校验。

本申请的一种典型的实施方式中，如图1所示，提供了基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，包括如下步骤：

S1：建立DCPPS线性化数学模型，得到时滞系统的微分方程。

S2：将系统的状态变量Δx(t)分为与时滞无关项Δx₁(t)和与时滞有关项Δx₂(t)，随之状态方程也被相应地重写。

S3：利用无穷小生成元，将DCPPS模型中的公式进行转化，转换为抽象柯西问题，进而求解系统线性模型的特征值转换为求解无穷小生成元

的特征值。

S4：在时滞区间内取多个离散点，建立离散函数空间，基于重组后的时滞系统的数学模型，在离散空间上，只对与时滞有关的部分进行伪谱离散化，从而生成低阶的无穷小生成元离散化矩阵

S5：对

进行位移处理技术，然后将位移处理后的近似矩阵

经逆变换，得到逆矩阵

从而将系统部分模值较小的特征值转换为模值较大的特征值。

S6：利用隐式重启动Arnoldi算法(Implicitly Restarted Arnoldi algorithm,IRA)来计算S4 得到的逆矩阵

求解过程中，采用迭代的方法求解矩阵逆向量的乘积

最终可以得到特征值λ″。

S7：利用牛顿法校验S5计算出的特征值，满足收敛条件，即可得到时滞电力系统的精确特征值和特征向量。

所述步骤S1中，经线性化后的时滞电力系统模型如下：

式中：n为系统状态变量总数；t为当前时刻；Δx(t)表示增量形式的系统状态变量向量，

表示系统状态变量导数的增量，Δx(t-τ_i)为t-τ_i时刻时系统状态变量的增量；τ_i＞0(i＝1,...,m)是时滞常数，m表示时滞的个数，τ_max为最大的时滞；Δx(0)为系统状态变量的初始值，简写为

状态矩阵

是稠密矩阵，而系统时滞状态矩阵

是稀疏矩阵。它

们均可由系统增广状态矩阵表示为：

式中：

和

均为分块稀疏矩阵。

式(1)对应的特征方程表示如下：

式中：{λ,v}分别是特征值及其右特征值向量。

所述步骤S2中，将状态变量Δx(t)分为与时滞无关部分

和与时滞相关部分

而且满足n₁+n₂＝n。则式(1)被改写为：

式中：

式中：

和

是状态矩阵重新排序并改写后得到的分块矩阵。

和

由时滞状态矩阵重组后得到，其中前三项分别为n₁×n₁、n₁×n₂和n₂×n₁的零元素矩阵。

所以，式(5)可表示为：

对应的特征方程可随之改写为：

所述步骤S3中，基于无穷小生成元

定义，将式S1中的(1)转换为抽象柯西问题，即将

时滞微分方程转换为齐次常微分方程：

式中：u(t):[0,∞)→X是连续可微函数。X表示由时间区间[-τ_max,0]映射到n维实数空间的连续函数组成的Banach空间。u(t)＝Δx(t+θ)，θ∈[-τ_max,0]。

这说明DCPPS的特征值就是无穷小生成元的特征值，但是由于求解无穷小生成元的特征值是无穷维的问题，需对其进行离散化，进而得到DCPPS的近似特征值。

所述步骤S4：设N为任意正整数，在区间[-τ_max,0]上取N+1个离散点θ_N,j，其集合可以表示为：Ω_N:＝{θ_N,j,j＝0,1,...,N}，且满足-τ_max＝θ_N,N<…<θ_N,0＝0。选取N阶Chebyshev多项式经位移和归一化处理后的零点作为Ω_N的元素，即

令X_N表示集合Ω_N上定义的离散函数空间。进而，任意函数

可以被离散化为

元素

是连续函数

在离散点θ_N,j处函数值的近似。依据降阶的基本思路，剔除与时滞无关的状态变量的离散化，即

将(9)在X_N上离散化，得到

的近似矩阵

矩阵的阶数为(n+Nn₂)：

式中：

表示Kronecker积运算，

是n₂阶单位矩阵，

是Nn₂×n₂的零矩阵，

D _N是由切比雪夫微分矩阵

的后N行形成的子矩阵。D_N中各元素的表达式为：

其中：

的第一块行R_N可以写作：

式中：

为常数拉格朗日向量：

其中_N,j(·)，j＝0,1,…,N是点θ_N,j处的拉格朗日系数，

离散化后的有限维的稀疏矩阵

可以直接用于求解电力系统低频机电振荡模式。

所述步骤S5中，DCPPS的低频振荡模式一般位于复平面虚轴附近，采用位移逆变换技术将其转换为模值较大的特征值。经位移后，特征方程(8)可表示为：

式中：λ′为经位移变换后的特征值，A′₁₁，A′₁₂，A′₂₁，A′₂₂以及A′_di为经位移变换后的系统的分块状态矩阵。将其代入无穷小生成元离散化矩阵

的R_N中，替换其中相应的元素，矩阵的第一块行变为R′_N，离散化矩阵变为

的逆矩阵为：

所述步骤S6中，对于大规模电力系统，通常采用IRA等稀疏特征值算法计算

模值递减的部分关键特征值，其对应着时滞电力系统最接近位移点s的部分特征值。

在IRA迭代过程中，计算量最大的操作是形成Krylov子空间的一组正交基，如下所示

式中：

为第k个Kryolv向量，q_k+1为第k+1个向量。

然而，传统的矩阵求逆方法，如LU分解和高斯消元法，对计算机内存有着较高的要求。当将算法用于分析大规模时滞信息物理融合的电力系统时，在求取

过程中，较高的矩阵维数可能导致内存溢出问题。因此，这里采用迭代的方法计算q_k+1，

式中：

是第l次迭代之后向量q_k+1的近似解。

对于矩阵

与向量

相乘，利用Kronecker积的特性，可以表示成：

式中：算子vec(·)表示将矩阵的每一列依次排列成一个向量。Q表示将

的后(N+1)n₂行元素按列的方向排列，即

表示位移后的状态矩阵的块行：

所述步骤S7中，步骤S6中得到的

的特征值λ"与

的近似特征值有如下关系：

然后利用牛顿法进行校验和修正，得到精确特征值。

牛顿迭代的收敛条件是：

||f^(k)||＜ε₂ (25)

式中：ε₂是足够小的收敛精度，f^(k)表示第k次迭代时增广形式特征方程的不平衡量。

以上所述仅为本申请的优选实施例而已，并不用于限制本申请，对于本领域的技术人员来说，本申请可以有各种更改和变化。凡在本申请的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本申请的保护范围之内。

Claims (10)

1.基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，IIGD为“IterativeInfinitesimal Generator Discretization”的缩写，中文含义为：迭代无穷小生成元离散化，其特征是，包括：

建立时滞电力系统线性化数学模型，得到时滞电力系统的微分方程；

根据时滞电力系统的微分方程将系统的状态变量分为与时滞无关项和与时滞有关项，时滞系统的微分方程被重写为相对应的两个部分，被重写的相对应的两个部分构成重组后的时滞系统的数学模型；

利用无穷小生成元将时滞电力系统的微分方程进行转化，转换为抽象柯西问题，进而将求解时滞电力系统线性化数学模型的特征值转换为求解无穷小生成元的特征值；

对无穷小生成元进行伪谱离散化，在时滞区间内取多个离散点，建立离散函数空间，基于重组后的时滞系统的数学模型，在离散函数空间上，只对与时滞有关的部分进行离散化，从而生成低阶的无穷小生成元离散化矩阵；

对低阶的无穷小生成元离散化矩阵进行位移、逆变换，得到逆矩阵，从而将时滞电力系统部分模值较小的特征值转换为模值较大的特征值；

采用迭代的方法求解矩阵逆向量的乘积，利用稀疏特征值算法得到时滞电力系统特征值；

针对得到的时滞电力系统特征值，利用牛顿法校验计算出特征值，若满足收敛条件，即得到时滞电力系统的精确特征值和特征向量。

2.如权利要求1所述的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，其特征是，经线性化后的时滞电力系统模型如下：

式中：t为当前时刻；Δx(t)表示增量形式的系统状态变量向量，

表示系统状态变量导数的增量，Δx(t-τ_i)为t-τ_i时刻时系统状态变量的增量；τ_i＞0(i＝1,...,m)是时滞常数，m表示时滞的个数，τ_max为最大的时滞；Δx(0)为系统状态变量的初始值，简写为

状态矩阵

是稠密矩阵，而系统时滞状态矩阵

是稀疏矩阵，它们均由系统增广状态矩阵表示为：

式中：

和

均为分块稀疏矩阵，A₀和B₀分别表示为状态矩阵；

式(1)对应的特征方程表示如下：

式中：{λ,v}分别是特征值及其右特征值向量。

3.如权利要求2所述的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，其特征是，将状态变量Δx(t)分为与时滞无关部分

和与时滞相关部分

而且满足n₁+n₂＝n，则式(1)被改写为：

式中：

式中：

和

是状态矩阵重新排序并改写后得到的分块矩阵，

和

由时滞状态矩阵重组后得到，其中前三项分别为n₁×n₁、n₁×n₂和n₂×n₁的零元素矩阵；

所以，式(5)表示为：

对应的特征方程随之改写为：

4.如权利要求1所述的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，其特征是，基于无穷小生成元

定义，将经线性化后的时滞电力系统模型转换为抽象柯西问题，即将时滞微分方程转换为齐次常微分方程：

式中：

X表示由时间区间[-τ_max,0]映射到n维实数空间的连续函数组成的Banach空间，u(t)＝Δx(t+θ)，其中Δx(t+θ)为t+θ时刻时系统状态变量的增量；θ∈[-τ_max,0]；τ_max为最大的时滞。

5.如权利要求4所述的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，其特征是，设N为任意正整数，在区间[-τ_max,0]上取N+1个离散点θ_N,j，其集合表示为：Ω_N＝{θ_N,j,j＝0,1,...,N}，且满足-τ_max＝θ_N,N<…<θ_N,0＝0，选取N阶Chebyshev多项式经位移和归一化处理后的零点作为Ω_N的元素，即

令X_N表示集合Ω_N上定义的离散函数空间，进而，任意函数F^(N)∈X被离散化为

元素

是任意函数F^(N)在离散点θ_N,j处函数值的近似，依据降阶的基本思路，剔除与时滞无关的状态变量的离散化，即

将公式(9)在X_N上离散化，得到

的近似矩阵

矩阵的阶数为(n+Nn₂)：

式中：

表示Kronecker积运算，

是n₂阶单位矩阵，

是Nn₂×n₁的零矩阵，

D _N是由切比雪夫微分矩阵

的后N行形成的子矩阵，D_N中各元素的表达式为：

其中：θ_N,i和θ_N,j代表的是离散点；N代表的是序列数；c_j为系数；

的第一块行R_N写作：

式中：

为常数拉格朗日向量：

其中，l_N,j(·)是点θ_N,j处的拉格朗日系数；j＝0,1,…,N；

离散化后的有限维的稀疏矩阵

直接用于求解电力系统低频机电振荡模式。

6.如权利要求3所述的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，其特征是，时滞电力系统的低频振荡模式位于复平面虚轴附近，采用位移逆变换技术将其转换为模值较大的特征值，经位移后，特征方程(8)可表示为：

式中：λ′为经位移变换后的特征值，A′₁₁，A′₁₂，A′₂₁，A′₂₂以及A′_di为经位移变换后的系统的分块状态矩阵，将其代入无穷小生成元离散化矩阵

的R_N中，替换其中相应的元素，矩阵的第一块行变为R′_N，离散化矩阵变为

的逆矩阵为：

其中：D _N是由切比雪夫微分矩阵

的后N行形成的子矩阵；

表示Kronecker积运算；

是n2阶单位矩阵；

是Nn2×n1的零矩阵；N为任意正整数；n1和n2矩阵中的元素。

7.如权利要求6所述的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，其特征是，对于大规模电力系统，采用IRA稀疏特征值算法计算

模值递减的部分关键特征值，其对应着时滞电力系统最接近位移点s的部分特征值；

在IRA迭代过程中，计算量最大的操作是形成Krylov子空间的一组正交基，如下：

式中：

为第k个Kryolv向量，q_k+1为第k+1个向量；(n+Nn₂)为矩阵的阶数。

8.如权利要求7所述的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，其特征是，采用迭代的方法计算q_k+1，

式中：

是第l次迭代之后向量q_k+1的近似解。

9.如权利要求8所述的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，其特征是，对于矩阵

与向量

相乘，利用Kronecker积的特性，表示成：

式中：算子vec(·)表示将矩阵的每一列依次排列成一个向量，Q表示将

的后(N+1)n₂行元素按列的方向排列，即

表示位移后的状态矩阵的块行：D _N是由切比雪夫微分矩阵

的后N行形成的子矩阵；

是n2阶单位矩阵；

是矩阵Q的元素；n1和n2是矩阵中的元素；n为系统状态变量Δx(t)的维数；

是l_i的转置矩阵；

10.如权利要求6所述的基于低阶IIGD算法的时滞电力系统特征值分析方法，其特征是，得到的

的特征值λ"与

的近似特征值有如下关系：

然后利用牛顿法进行校验和修正，得到精确特征值；

牛顿迭代的收敛条件是：

||f^(k)||＜ε₂ (25)

式中：ε₂是足够小的收敛精度，f^(k)表示第k次迭代时增广形式特征方程的不平衡量。

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