CN109548061B - 一种基于马尔科夫链的认知无线网络饱和吞吐量求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于马尔科夫链的认知无线网络饱和吞吐量求解方法。该方法采用二维离散马尔可夫链对对认知无线网络中认知节点动态接入的过程进行数学建模。首先将认知节点的退避过程分为公共控制信道的实际退避过程和数据传输信道的虚拟退避过程，用于解决因公共控制信道节点数量动态变化而引入的误差问题。接着通过结合非空一步状态转移概率和归一化条件，求解出了认知节点在公共控制信道和授权信道上的传输概率和冲突概率。最后，将认知无线网络吞吐量求解转化为公共控制信道上的成功预约问题，将多信道问题的求解转化为单信道问题来解决，得到了网络饱和吞吐量的数学表达式。无线网络仿真环境EXata中的仿真实验证明了该方法的有效性。

Description

一种基于马尔科夫链的认知无线网络饱和吞吐量求解方法

技术领域

本发明属于认知无线网络领域，特别涉及基于马尔科夫链的认知无线网络饱和吞吐量求解方法。

背景技术

认知无线网络作为解决频谱资源短缺的有效方式，在近年来受到了研究人员的广泛关注。在认知无线网络中，通常将授权信道的用户称为主用户，将非授权信道的用户称为认知用户。认知用户在不影响主用户正常通信的前提下，可以机会地使用授权信道频谱资源，提高频谱资源利用率。实现认知接入的常用方法是认知用户在公共控制信道通过控制帧的交互，以分布式的方式竞争授权信道频谱资源，从而实现动态频谱共享。

附图1给出了一种具体的认知无线网络频谱接入方式的流程图，其具体步骤如下：

步骤1：网络中的认知用户感知周围的频谱环境，建立可用授权信道列表。

步骤2：认知用户在公共控制信道以二进制指数退避法为基础，分布式的竞争授权信道使用权。

步骤3：竞争成功的用户若检测到有授权信道空闲，将直接发起RTS预约，接收节点在成功收到RTS帧后，会向发送节点回复CTS帧，表明预约成功；若认知用户检测所有授权信道均处于忙碌状态时，将先发起PTS保留优先预约过程，接收节点收到PTS帧后，会向发送节点回复WTS帧，表明保留预约优先权成功。之后网络中所有节点停止退避过程，持续监听授权信道状态直至有授权信道空闲后，保留预约优先权的收发节点对再发起RTS-CTS预约过程。一旦预约过程发生失败，将按照二进制指数退避法增大退避窗口，重复步骤2直到达到最大重传次数。

步骤：4：认知用户收发节点对将天线频率调谐到约定好的授权信道上，发送节点向接收节点传输DATA帧，接收节点成功收到DATA帧后，向发送节点回复ACK帧，表明数据传输成功，重复步骤2，并尝试发起下一个数据包。若传输失败，在当前的退避窗口基础上重复步骤2，继续重传该数据包。

随着视频通话、流媒体视频、直播等多媒体业务的发展，人们对于带宽的需求越来越高，如何定量分析研究认知无线网络饱和吞吐量对于提升协议性能和优化网络参数具有重要意义。为了求解认知无线网络饱和吞吐量，本文采用离散马尔科夫链模型针对上述认知无线网络信道接入方法进行数学建模，得出了认知无线网络饱和吞吐量的数学表达式。

发明内容

本发明的目的是针对认知无线网络环境，提出一种基于马尔科夫链的认知无线网络饱和吞吐量求解方法，从而对网络性能优化提供理论基础。为了实现该目的，本发明所采用的步骤是：

步骤1：采用离散马尔科夫链对认知无线网络中认知节点动态接入的过程进行数学建模，对于认知网络中任意给定的认知发送节点，它在网络运行过程中的状态可表示为{s(t)，b(t)}，其中s(t)表示在时刻t用户所处的退避阶段；b(t)表示用户当前退避计数器的剩余值。将认知用户在数据传输阶段的虚拟退避过程用{S_i(t)，c(t)}表示，其中S_i(t)表示在时刻t用户所处的“伪状态”；c(t)表示用户当前虚拟退避计数器的剩余值。

步骤2：根据离散马尔可夫链非空一步状态转移概率，得出节点在各个状态的稳态概率分布，并利用概率归一化条件求出节点在公共控制信道和数据传输信道的传输概率。

步骤3：分别对节点在公共控制信道和数据传输信道的冲突情况进行分析，求解出节点在公共控制信道和数据传输信道的冲突概率。

步骤4：对节点在公共控制信道上的平均时隙长度进行分析，结合节点传输概率和冲突概率的表达式，求解出认知无线网络饱和吞吐量的数学表达式。

本发明提出的基于公共控制信道的认知无线网络接入方法的性能已经在EXata网络仿真环境中得到了验证。仿真实验中假设网络中的所有认知节点均处于单跳范围内，并且认为认知节点的业务均为饱和状态，即节点总是有数据包需要发送。仿真时长设置为500s，数据包大小为1024字节，公共信道数据传输速率为2Mbps，网络层采用静态路由，传输层采用UDP协议，物理层信噪比门限为10dB。附图4给出了在不同认知节点数量的条件下，由网络仿真工具获得的认知无线网络饱和吞吐量仿真值和本发明得出的计算值结果的对比。仿真值和计算值的一致性说明了本发明提出的基于马尔科夫链的认知无线网络饱和吞吐量求解方法的有效性。

附图说明

图1是认知无线网络信道接入方法的流程图；

图2是本发明采用的二维马尔可夫链模型状态转移图；

图3是本发明采用的虚拟退避过程示意图。

图4是本发明的仿真和计算结果图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细描述。

本发明提出的基于马尔科夫链的认知无线网络饱和吞吐量求解方法已经在无线网络仿真环境EXata中实现，并通过仿真结果证明了该方法的有效性。下面给出本发明的具体实施步骤：

步骤1：采用离散马尔科夫链对认知无线网络中认知节点动态接入的过程进行数学建模。

如附图2所示的二维马尔可夫链，对于认知网络中任意给定的认知发送用户，它在网络运行过程中的状态可表示为{s(t)，b(t)}，其中s(t)表示在时刻t用户所处的退避阶段；b(t)表示用户当前退避计数器的剩余值。根据模型可知，当认知用户的退避计数器值递减为0时，无论用户的退避阶段如何，用户将首先在公共控制信道发起授权信道的预约过程。若认知用户检测到有授权信道空闲，将直接发起RTS预约，预约成功后，用户在授权信道发起数据传输过程；若认知用户检测所有授权信道均处于忙碌状态时，将先发起PTS保留优先预约过程，预约成功后，等待有授权信道空闲后，再发起RTS预约。无论哪种情况，一旦用户完成了RTS预约过程，用户就将进入授权信道发起DATA帧传输过程。将认知用户成功发起RTS预约过程后所处的状态定义为“伪状态”S_i，i∈[0，m]，m表示最大退避阶段，用于区分用户在公共控制信道和授权信道产生的两种不同冲突。如果认知用户在授权信道发送DATA帧成功，认知用户将退避阶段置为0，在[0，W₀-1]区间内选择一个随机值j作为退避计数器的初始值，重新在公共控制信道参与竞争预约过程；如果认知用户在授权信道发送DATA帧失败，将在当前退避阶段[0，W_i-1]选择一个随机值j作为退避计数器的初始值，重新在公共控制信道参与竞争预约过程。当认知用户处于最大退避阶段m时，无论用户传输成功或失败，都将回到初始退避阶段0，发起下一个数据包的传输过程。

定义认知节点在公共控制信道发生冲突的概率为p_C，在数据传输信道发生冲突的概率为p_D，用P(b|a)表示用户从状态a转移到状态b的一步状态转移概率，则该模型的一步非空转移概率为：

上述方程组中的第一个方程表示，在每个时隙开始时，退避计数器的值以概率1递减1；第二个方程表示用户在公共控制信道预约失败进入下一个退避阶段；第三个方程表示，用户在公共控制信道预约成功进入授权信道准备发起DATA帧的传输；第四个方程表示，用户在授权信道发起的DATA帧传输失败，继续从当前退避阶段重新选择一个窗口值进行退避过程；剩下几个方程表示DATA帧在授权信道传输成功或者由于达到了最大重传次数从而将退避阶段重新置为初始阶段0，并在[0，W₀-1]的窗口区间内重新选择一个窗口值进行下一个数据包传输的退避过程。

在认知用户参与数据传输的这个阶段，相当于认知用户在公共控制信道设置了一个虚拟退避计数器，如附图3所示，虚拟退避计数器的时间长度等于数据传输阶段的时长，将其定义为T_L个基本时隙长度，其中T_L1等于认知用户传输成功时虚拟退避计数器的大小，T_L2等于认知用户传输失败时虚拟退避计数器的大小。设置该虚拟退避计数器的目的是模拟将因参与数据传输过程而退出竞争的节点对整个求解过程的影响。将认知用户在数据传输阶段的虚拟退避过程用{S_i(t)，c(t)}表示，其中S_i(t)表示在时刻t用户所处的“伪状态”；c(t)表示用户当前虚拟退避计数器的剩余值。根据模型可知，一旦虚拟退避计数器退避到0，认知用户就将会从数据传输阶段转为竞争阶段，重新参与到竞争过程中。设认知用户在虚拟退避阶段退避计数器的值为v，则根据模型可得：

步骤2：确定认知节点在公共控制信道和数据传输信道的传输概率。

定义b_i，j为用户某时刻处于i退避阶段，退避计数器剩余值为j的概率，即b_i，j＝lim_t→∞P{s(t)＝i，b(t)＝j}，i∈[0，m]，j∈[0，W_i-1]。则在稳定状态下，由上述分析模型可得：

根据上述公式，可以得到：

根据马尔科夫链的规律性，可以得到：

利用公式(4)和(5)可以得到：

将上式化简可以得到：

为了书写方便，定义λ＝p_C/(1-(1-p_C)p_D)，则由上式可以递归推出：

b_i，0＝b_0，0λⁱ 0＜i≤m. (8)

将公式(8)代入(5)，可以推导出：

当用户传输DATA帧成功或者达到最大重传次数时，会将退避阶段重新置为0，此时，可以得到：

综上所述，对于所有稳态概率b_i，j，P_Si，v，i∈[0，m]，j∈[0，W_i-1]，均可以由b_0，0，p_C和p_D这三个概率表示，因此，对于所有稳态概率的状态之和可以表示为：

对稳态概率之和进行归一化可以得到：

联立公式(10)、(11)可以得到P_0，0的表达式为：

当认知用户退避计数器退避到0时，就会在公共控制信道发起预约过程，因此，认知用户在公共控制信道的发送概率为：

当认知用户在公共控制信道预约成功后就会在授权信道发起DATA帧传输，因此认知用户的DATA帧传输概率为：

步骤3：确定认知节点在公共控制信道和数据传输信道的冲突概率。

认知用户A在公共控制信道产生冲突的原因都是由于存在其它认知用户与A同时完成了退避过程，从而产生冲突。，假设认知用户的总数为n，则认知用户在公共控制信道产生冲突的概率p_C可以表示为：

p_C＝1-(1-τ_C)^n-1， (16)

当认知用户A成功收到CTS帧后，就会在预约的授权信道k进行数据传输过程。由于RTS帧中的NAV字段包含了认知用户的预约信息，网络中的其它认知用户可以获知认知用户A在接下来的数据传输过程中将要使用的授权信道和使用时间，从而避免选择相同授权信道产生冲突。因此，数据传输阶段的冲突主要是由于主用户在授权信道k发起了高优先级的数据传输过程而引起的。

主用户对授权信道的占用情况服从经典的ON-OFF模式，当授权信道处于ON状态时，表示主用户正在占用授权信道；当授权信道处于OFF状态时，表示授权信道空闲。假设主用户对授权信道的使用时间服从均值为α个基本时隙长度的指数分布，并且授权信道的空闲时间服从均值为β个基本时隙长度的指数分布。根据指数分布的特性，可以得出授权信道由状态ON转为状态OFF的概率为1/α，由状态OFF转为状态ON的概率为1/β。这是一个连续的马尔科夫过程，其一步非空转移概率为：

又P_ON+P_OFF＝1，联立公式(16)最终可以得出：

假设认知用户A的数据传输阶段将会持续占用授权信道γ个基本时隙长度，那么要保证认知用户A的数据传输阶段不会发生冲突，授权信道k需要持续空闲γ个基本时隙长度。将认知用户在授权信道产生冲突的概率p_D可以表示为：

步骤4：确定公共控制信道的平均时隙长度，结合认知节点的传输概率和冲突概率，确定网络的饱和吞吐量。

认知用户在发起数据传输之前需要在公共控制信道进行授权信道预约过程，一旦预约成功，就将解除对公共控制信道的占用，剩余的认知用户重新发起竞争预约过程。因此，影响网络饱和的限制因素是认知用户对公共控制信道的竞争占用。将认知用户退避计数器值减1的时间定义为一个时隙长度T，时隙长度T的大小可以分为以下几种情况：

(1)所有认知用户在公共控制信道都没有发起预约过程，换言之，所有认知用户均处于退避阶段。定义公共控制信道处于这种状态的概率为P_B，则P_B可以表示为：

P_B＝(1-τ_C)ⁿ. (20)

此时，时隙长度T_B可以表示为：

T_B＝δ. (21)

(2)当前仅有一个认知用户在公共控制信道发起了预约过程，换言之，认知用户在公共控制信道成功预约了授权信道。定义公共控制信道处于这种状态的概率为P_S，则P_S可以表示为：

P_S＝nτ_C(1-τ_C)^n-1， (22)

此时，为了分析时隙长度T_S，需要对数据传输过程进行分析。当认知用户退避计数器退避为0检测到存在有授权信道处于OFF状态时，认知用户会直接发起RTS-CTS模式进行授权信道预约。此时，时隙长度T_S1为：

T_S1＝RTS+SIFS+CTS+DIFS+δ. (23)

当认知用户退避计数器退避为0时检测到所有授权信道均被占用，认知用户会先发起PTS-WTS模式进行保留预约过程。若PTS-WTS握手成功结束之后，仍然没有可用的授权信道用于数据传输，则认知用户持续等待直到出现一个授权信道持续空闲DIFS时长后，再发起RTS-CTS模式进行授权信道预约。此时，时隙长度T_S2为：

T_S2＝PTS+SIFS+WTS+T_挂起+RTS+SIFS+CTS+DIFS+δ. (24)

若PTS-WTS握手成功结束之后，立即有可用的授权信道用于数据传输，则认知用户直接发起RTS-CTS模式进行授权信道预约。此时，时隙长度T_S3为：

T_S3＝PTS+SIFS+WTS+SIFS+RTS+SIFS+CTS+DIFS+δ. (25)

数据传输阶段的时长为T_L，假设可用的授权信道数量为N，节点在公共控制信道的平均竞争时间为E(T_BO)，其中

则在一个数据传输阶段期间，公共控制信道可以完成的信道预约次数为：

其中min()表示取最小值函数。若N≥Boundary+1，在数据传输阶段，所有完成信道预约的节点都可以立马获得一个可用的授权信道，此时时隙长度为T_S1。若N＜Boundary，在数据传输阶段，最后一个发起信道预约的节点需要等待数据传输阶段结束才可以获得授权信道的使用权，此时时隙长度为：

T_S＝max(T_S2，T_S3)， (28)

其中max()表示取最大值函数。

(3)当前有不止一个认知用户在公共控制信道发起预约过程，换言之，认知用户在公共控制信道产生了冲突。定义公共控制信道处于这种状态的概率为P_F，则P_F可以表示为：

当认知用户退避计数器退避为0检测到存在有授权信道处于OFF状态时，认知用户会直接发起RTS-CTS模式进行授权信道预约。此时时隙长度为T_F1，则T_F1可以表示为：

T_F1＝RTS+DIFS+δ. (30)

当认知用户退避计数器退避为0时检测到所有授权信道均处于ON状态，认知用户会先发起PTS-WTS模式进行保留预约过程，等待存在有授权信道空闲后，再发起RTS-CTS模式进行授权信道预约。此时时隙长度为T_F2，则T_F2可以表示为：

T_F2＝PTS+DIFS+δ. (31)

RTS帧和PTS帧大小相同，T_F1＝T_F2，因此，时隙长度T_F可以表示为：

T_F＝RTS+DIFS+δ. (32)

综上所述，认知用户在公共控制信道下的平均时隙长度E[T]可以表示为：

E[T]＝P_BT_B+P_ST_S+P_FT_F. (33)

网络饱和吞吐量是衡量网络性能的重要指标之一。认知无线网络的饱和吞吐量S定义为单位时间内认知无线网络中认知用户成功传输数据比特数，S可以表示为：

其中E[P]表示数据包的平均长度。

本发明申请书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种基于马尔科夫链的认知无线网络饱和吞吐量求解方法，所采用的步骤是：

步骤1：采用离散马尔科夫链对认知无线网络中认知节点动态接入的过程进行数学建模，对于认知网络中任意给定的认知发送节点，它在网络运行过程中的状态可表示为{s(t)，b(t)}，其中s(t)表示在时刻t用户所处的退避阶段，b(t)表示用户当前退避计数器的剩余值；将认知用户在数据传输阶段的虚拟退避过程用{S_i(t)，c(t)}表示，其中S_i(t)表示在时刻t用户所处的“伪状态”，c(t)表示用户当前虚拟退避计数器的剩余值；

步骤2：根据离散马尔可夫链非空一步状态转移概率，得出节点在各个状态的稳态概率分布，并利用概率归一化条件求出节点在公共控制信道和数据传输信道的传输概率；

求解节点在公共控制信道和数据传输信道传输概率的具体方法为：

将认知用户成功发起RTS预约过程后所处的状态定义为“伪状态”S_i，i∈[0，m]，m表示最大退避阶段，用于区分用户在公共控制信道和授权信道产生的两种不同冲突，定义认知节点在公共控制信道发生冲突的概率为p_C，在数据传输信道发生冲突的概率为p_D，退避竞争窗口为W_i，用P(b|a)表示用户从状态a转移到状态b的一步状态转移概率，则该模型的一步非空转移概率为：

上述方程组中的第一个方程表示，在每个时隙开始时，退避计数器的值以概率1递减1；第二个方程表示用户在公共控制信道预约失败进入下一个退避阶段；第三个方程表示，用户在公共控制信道预约成功进入授权信道准备发起DATA帧的传输；第四个方程表示，用户在授权信道发起的DATA帧传输失败，继续从当前退避阶段重新选择一个窗口值进行退避过程；剩下几个方程表示DATA帧在授权信道传输成功或者由于达到了最大重传次数从而将退避阶段重新置为初始阶段0，并在[0，W₀-1]的窗口区间内重新选择一个窗口值进行下一个数据包传输的退避过程；

在认知用户参与数据传输的这个阶段，相当于认知用户在公共控制信道设置了一个虚拟退避计数器，虚拟退避计数器的时间长度等于数据传输阶段的时长，将其定义为T_L个基本时隙长度，其中Y_L1等于认知用户传输成功时虚拟退避计数器的大小，T_L2等于认知用户传输失败时虚拟退避计数器的大小，将认知用户在数据传输阶段的虚拟退避过程用{S_i(t)，c(t)}表示，其中S_i(t)表示在时刻t用户所处的“伪状态”，c(t)表示用户当前虚拟退避计数器的剩余值，则根据模型可得：

由此可确定认知节点所有状态的非空一步转移概率；

定义b_i，j为用户某时刻处于i退避阶段，退避计数器剩余值为j的概率，即b_i，j＝lim_t→∞P{s(t)＝i，b(t)＝j}，i∈[0，m]，j∈[0，W_i-1]，则在稳定状态下，由上述公式 (1) 和 (2)可得：

根据上述公式，可以得到：

根据马尔科夫链的规律性，可以得到：

利用公式(4)和(5)可以得到：

将上式化简可以得到：

为了书写方便，定义λ＝p_C/(1-(1-p_C)p_D)，则由上式可以递归推出：

b_i，0＝b_0，0λⁱ 0＜i≤m， (8)

将公式(8)代入(5)，可以推导出：

当用户传输DATA帧成功或者达到最大重传次数时，会将退避阶段重新置为0，此时，可以得到：

综上所述，对于所有稳态概率b_i，j，

i∈[0，m]，j∈[0，W_i-1]，均可以由b_0，0，p_C和p_D这三个概率表示，因此，对于所有稳态概率的状态之和可以表示为：

对稳态概率之和进行归一化可以得到：

联立公式(10)、(11)可以得到b _0，0的表达式为：

当认知用户退避计数器退避到0时，就会在公共控制信道发起预约过程，因此，认知用户在公共控制信道的发送概率为：

当认知用户在公共控制信道预约成功后就会在授权信道发起DATA帧传输，因此认知用户的DATA帧传输概率为：

由此可确定认知节点在公共控制信道和数据传输信道的传输概率；

步骤3：分别对节点在公共控制信道和数据传输信道的冲突情况进行分析，求解出节点在公共控制信道和数据传输信道的冲突概率；

求解节点在公共控制信道和数据传输信道的具体方法为：

假设认知用户的总数为n，认知用户在公共控制信道产生冲突的概率p_C可以表示为：

p_C＝1-(1-τ_C)^n-1， (16)

主用户对授权信道的占用情况服从经典的ON-OFF模式，其一步非空转移概率为：

又P_ON+P_OFF＝1，联立公式(16)最终可以得出：

假设认知用户的数据传输阶段将会持续占用授权信道γ个基本时隙长度，那么要保证认知用户的数据传输阶段不会发生冲突，授权信道k需要持续空闲γ个基本时隙长度，则认知用户在授权信道产生冲突的概率p_D可以表示为：

由此可确定认知节点在公共控制信道和数据传输信道的冲突概率；

步骤4：对节点在公共控制信道上的平均时隙长度进行分析，结合节点传输概率和冲突概率的表达式，求解出认知无线网络饱和吞吐量的数学表达式；

节点在公共控制信道上的平均时隙长度的具体确定方法为：

公共控制信道时隙长度T的大小可以分为以下几种情况：

(1)所有认知用户在公共控制信道都没有发起预约过程，换言之，所有认知用户均处于退避阶段，定义公共控制信道处于这种状态的概率为P_B，则P_B可以表示为：

P_B＝(1-τ_C)ⁿ， (20)

此时，时隙长度T_B可以表示为：

T_B＝δ， (21)

(2)当前仅有一个认知用户在公共控制信道发起了预约过程，换言之，认知用户在公共控制信道成功预约了授权信道，定义公共控制信道处于这种状态的概率为P_S，则P_S可以表示为：

P_S＝nτ_C(1-τ_C)^n-1， (22)

此时，为了分析时隙长度T_S，需要对数据传输过程进行分析，当认知用户退避计数器退避为0检测到存在有授权信道处于OFF状态时，认知用户会直接发起RTS-CTS模式进行授权信道预约，此时，时隙长度T_S1为：

T_S1＝T_RTS+SIFS+T_CTS+DIFS+δ. (23)

其中T_RTS和T_CTS分别表示认知用户传输RTS帧和CTS帧所需要的时间，当认知用户退避计数器退避为0时检测到所有授权信道均被占用，认知用户会先发起PTS-WTS模式进行保留预约过程，若PTS-WTS握手成功结束之后，仍然没有可用的授权信道用于数据传输，则认知用户持续等待直到出现一个授权信道持续空闲DIFS时长后，再发起RTS-CTS模式进行授权信道预约，此时，时隙长度T_S2为：

T_S2＝T_PTS+SIFS+T_WTS+T_wait+T_RTS+SIFS+T_CTS+DIFS+δ. (24)

其中T_PTS和T_WTS分别表示认知用户传输PTS帧和WTS帧所需要的时间，T_wait表示认知用户等待新的授权信道出现所需要的时间，若PTS-WTS握手成功结束之后，立即有可用的授权信道用于数据传输，则认知用户直接发起RTS-CTS模式进行授权信道预约，此时，时隙长度T_S3为：

T_S3＝T_PTS+SIFS+T_WTS+SIFS+T_RTS+SIFS+T_CTS+DIFS+δ. (25)

数据传输阶段的时长为T_L，假设可用的授权信道数量为N，节点在公共控制信道的平均竞争时间为E(T_BO)，其中

则在一个数据传输阶段期间，公共控制信道可以完成的信道预约次数为：

其中min()表示取最小值函数，若N≥Boundary+1，在数据传输阶段，所有完成信道预约的节点都可以立马获得一个可用的授权信道，此时时隙长度为T_S1，若N＜Boundary，在数据传输阶段，最后一个发起信道预约的节点需要等待数据传输阶段结束才可以获得授权信道的使用权，此时时隙长度为：

T_S＝max(T_S2，T_S3)， (28)

其中max()表示取最大值函数；

(3)当前有不止一个认知用户在公共控制信道发起预约过程，换言之，认知用户在公共控制信道产生了冲突，定义公共控制信道处于这种状态的概率为P_F，则P_F可以表示为：

当认知用户退避计数器退避为0检测到存在有授权信道处于OFF状态时，认知用户会直接发起RTS-CTS模式进行授权信道预约，此时时隙长度为T_F1，则T_F1可以表示为：

T_F1＝T_RTS+DIFS+δ. (30)

当认知用户退避计数器退避为0时检测到所有授权信道均处于ON状态，认知用户会先发起PTS-WTS模式进行保留预约过程，等待存在有授权信道空闲后，再发起RTS-CTS模式进行授权信道预约，此时时隙长度为T_F2，则T_F2可以表示为：

T_F2＝T_PTS+DIFS+δ. (31)

RTS帧和PTS帧大小相同，T_F1＝T_F2，因此，时隙长度T_F可以表示为：

T_F＝T_RTS+DIFS+δ. (32)

综上所述，认知用户在公共控制信道下的平均时隙长度E[T]可以表示为：

E[T]＝P_BT_B+P_ST_S+P_FT_F， (33)

由此可确定认知节点在公共控制信道平均时隙长度。

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