CN109547029B - 一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法 - Google Patents

一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法 Download PDF

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Abstract

一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，步骤如下：(1)通过引入“spike and slab”先验概率分布，构造一种具有组稀疏结构的贝叶斯回归模型；(2)利用最大后验概率准则将上述模型的参数求解问题转化为关于模型参数γ,x的非凸优化问题；(3)初始化γ,x；(4)计算将γ的一个非零元素变为零元素后目标函数减少的上界
Figure DDA0001854296890000011
(5)计算将γ的一个零元素变非零元素后目标函数减少的上界
Figure DDA0001854296890000012
(6)当
Figure DDA0001854296890000013
与
Figure DDA0001854296890000014
至少有一个小于零时，若
Figure DDA0001854296890000015
大于
Figure DDA0001854296890000016
则将
Figure DDA0001854296890000017
对应的γ元素变为非零值，若
Figure DDA0001854296890000018
大于
Figure DDA0001854296890000019
则将
Figure DDA00018542968900000110
对应的γ元素变为零；(7)求解当前γ确定时所对应的x；(8)当
Figure DDA00018542968900000111
与
Figure DDA00018542968900000112
至少有一个小于零时，重复步骤(4)—(7)，当
Figure DDA00018542968900000113
与
Figure DDA00018542968900000114
均大于零时，停止重复，γ收敛至最优值；(9)最优γ所对应x即重构出的信号。

Description

一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法
技术领域
本发明属于信号处理压缩感知领域，具体涉及一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法。
背景技术
在过去的十几年，稀疏性是信号处理应用领域最热门的研究主题之一。信号的稀疏表示使得我们可以使用少量观测来表示高维数据。在稀疏重构理论中，信号可表示为观测矩阵中有限个原子的线性组合。信号中稀疏性的存在使得我们可以用有效的方法从数据的潜在信息中提取相关信号，这类技术现已被广泛应用于图像复原、信号重构、字典学习以及图像去噪等领域。
稀疏重构方法的目的是从一系列少量的线性观测中恢复出原信号。针对这一问题研究学者们提出了很多方法，它们包括正则化稀疏优化方法、贪婪方法、基于贝叶斯的方法以及一些稀疏估计方法。这些稀疏重构方法表明在生成模型中通过挖掘和利用其结构约束和先验概率分布信息，可以有效地提升方法重构性能。
为了进一步提高信号的可重构性，信号中潜在的结构信息被广泛关注，组稀疏结构就是其中之一，组稀疏结构意味着恢复出的信号成分自然分组，并且同一组中的成分很大程度上全部为零或全部非零。一般来说，信号的分组信息可以是任意的，并且通常会根据特定问题的先验概率分布信息对信号的组结构预定义。基于这些组稀疏结构人们提出了各种各样的正则化项，这些正则化项使得重构性能得到了极大提升，利用信号的组稀疏结构可以对信号解空间降维，得益于这些优点，组稀疏优化模型已被应用于出生体重预测，动态MRI，基因发现等领域。
“spike and slab”先验概率分布是一种在贝叶斯推断中引入信号稀疏性的方法，近年来成为信号处理领域的一个研究热点。“spike and slab”先验概率分布是两个概率分布的混合，其中一个分布非常尖锐(低方差)而另一个非常平坦(高方差)，基于这一特性，“spike and slab”先验概率分布完美地表达了选择或拒绝变量的变量选择标准。然而，引入“spike and slab”先验概率分布来求解稀疏系数向量是‘NP’问题，没有封闭形式的正则化函数可以简单地加到原始目标函数上且使目标函数最小化。“spike and slab”先验概率分布的想法最初在80年代提出并在90年代进行了改进，比Lasso更早。“spike and slab”先验概率分布因有效的引入了信号的稀疏特性而被人们广泛使用。
由于“spike and slab”先验概率分布的引入会将问题转化为一严格非凸问题，现存的重构方法都存在着计算量太大或简化了先验概率分布假设的问题。
发明内容
为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，该方法可以显著降低信号重构误差，且具有更强的抗噪声能力。
为了实现上述目的，本发明的技术方案如下：一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，所述方法包括如下步骤：
(1)引入“spike and slab”先验概率分布，构造一种具有组稀疏结构的贝叶斯回归模型；
(2)通过最大后验概率准则将该贝叶斯回归模型的参数求解问题转化为关于模型参数γ、x的非凸优化问题；
(3)对模型参数进行初始化；
(4)计算将γ的一个零元素变为非零元素后目标函数减少的上界
(5)计算将γ的一个非零元素变为零元素后目标函数减少的上界
(6)当与至少有一个小于零时，若大于则将对应的γ元素变为非零值，若大于则将对应的γ元素变为零；
(7)求解与当前γ对应的x；
(8)当与至少有一个小于零时，重复步骤(4)—(7)，当与均大于零时，停止重复，γ收敛至最优值；
(9)最优γ所对应的x即为重构出的信号。
优选的，步骤(1)中所述构造具有组稀疏结构的贝叶斯回归模型的步骤包括：
引入“spike and slab”先验概率分布，基于组稀疏结构的回归模型如下：
其中，
A为q×p维观测矩阵，x为p维向量，为便于表示x的组结构，将向量x均匀分割成K组，每组元素个数为L，因此p＝K×L，如公式(2)所示，其中xi表示x向量中的第i组，且xil为xi向量中第l个元素。y表示q维观测向量，且q＜＜p，Iq表示q×q维的单位矩阵，N(·)为高斯分布。I(·)为指示函数，当指示函数括号内条件成立时函数值为1，括号内条件不成立时为0；γi是服从Bernoulli分布的二元变量，且第i组元素共享γi；当γi为零时，xi组内所有元素均为零，当γi不为零时，xi组内所有元素均不为零且服从高斯分布；参数κ为Bernoulli分布参数，用来控制γ以影响x的稀疏程度，σ2为观测数据的噪声方差，σ2λ-1为稀疏向量x的方差。
优选的，步骤(2)中所述通过最大后验概率准则将该贝叶斯回归模型的参数求解问题转化为关于模型参数γ、x的非凸优化问题的步骤如下：
(2.1)关于x与γ的条件概率分布满足如下关系
f(x,γ|A,y,λ,κ)∝f(y|A,x,γ,σ2)f(x|γ,σ2,λ)f(γ|κ)(3)；
其中f(a|b)表示b已知时a的条件概率分布，符号∝表示左右两端为正比关系。
基于最大后验概率估计方法，x*,γ*可以通过下式计算获得，
其中返回当括号中关于a的函数取最小值时的a，ln(g)表示以自然数为底的对数。
(2.2)通过最大后验概率估计分别转化式(5)中的每一项：
其中||·||2表示欧几里得范数，xil表示x第i组第l个元素。
(2.3)基于式(5)-(8)，式(4)优化问题可转化为如下形式
引入目标函数L(x,γ)为
进一步，可将目标函数转化为
其中，
为便于组结构的表示，可将矩阵D表示为
其中Φi为第i组向量元素对应的观测矩阵列向量构成的子矩阵，表示子矩阵Φi中第l列向量。
优选的，步骤(3)中所述对模型参数进行初始化的方法是向量x直接初始化为零向量，将ρ中小于零的元素所对应位置的γ初始化为1，其余部分初始化为0。
优选的，步骤(4)中所述计算将γ的一个零元素变非零元素后目标函数减少的上界的方法是计算将某一组未激活的x激活后目标函数减少的上界，即将γ的某一零元素变为非零元素后目标函数减少的上界：
其中，S＝{j:γj≠0,i≠j}。
优选的，步骤(5)中所述计算将γ的一个非零元素变为零元素后目标函数减少的上界的方法是计算将γ的一个非零元素变为零元素后目标函数减少的上界
优选的，步骤(6)中所述当与至少有一个小于零时，若大于则将对应的γ元素变为非零值，若大于则将对应的γ元素变为零的方法是当与两者至少有一个小于零时，进一步比较与的大小，若小于则将对应的γ元素变为非零值，若大于则将对应的γ元素变为零。
优选的，步骤(7)中所述求解与当前γ对应的x的方法是利用当前γ将式(9)转化为
优选的，步骤(8)中所述当与至少有一个小于零时，重复步骤(4)——(7)，当与均大于零时，停止重复，γ收敛至最优值的方法是当与至少有一个小于零时，重复步骤(4-7)，当与均大于零时，停止重复。
优选的，步骤(9)中所述最优γ所对应的x即为重构出的信号。
相对于现有技术，本发明公开的一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法具有以下优点：1)本方法通过引入“spike and slab”先验分布，构造了一种基于组结构的贝叶斯回归模型，充分挖掘了信号潜在的结构信息。与传统方法如基于组稀疏结构的正交匹配追踪算法等相比，本方法引入的“spike and slab”先验分布假设使得重构信号更加接近原信号的真实分布，从而获得更好的重构性能；2)本方法基于贪婪算法，不同于传统方法，本算法使用迭代的方法，在每一步仅选择当前子问题的最优解，而不考虑全局解，大大减少了计算量，加快了运行速度。得益于这些优点，本方法可以有效改善信号的稀疏重构均方误差，减少重构原信号所需的观测数与运行速度，且具有更强的抗噪声能力。
附图说明
图1为本发明方法的流程图；
图2为实施例1中用本发明方法重构出的稀疏信号与原信号的对比图；
图3为实施例1中本发明方法与现有方法在不同信噪比下重构误差的对比；
图4为实施例2中本发明方法与现有方法在不同观测数下的重构误差对比。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面结合附图对本发明的具体实施案例做说明。
实施例1：
如图1，一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，所述方法包括如下步骤：
步骤1、构造具有组稀疏结构的贝叶斯回归模型：
引入“spike and slab”先验概率分布，基于组稀疏结构的回归模型如下：
其中，
A为q×p维观测矩阵，x为p维向量，为便于表示x的组结构，将向量x均匀分割成K组，每组元素个数为L，因此p＝K×L，如公式(2)所示，其中xi表示x向量中的第i组，且xil为xi向量中第l个元素。y表示q维观测向量且q＜＜p，Iq表示q×q维的单位矩阵；N(·)为高斯分布，I(·)为指示函数，当指示函数括号内条件成立时函数值为1，括号内条件不成立时为0；γi是服从Bernoulli分布的二元变量，且第i组元素共享γi；当γi为零时，xi组内所有元素均为零，当γi不为零时，xi组内所有元素均不为零且服从高斯分布；参数κ为Bernoulli分布参数，用来控制γ以影响x的稀疏程度，σ2为观测数据的噪声方差，σ2λ-1为稀疏向量x的方差。
本实施例中，选用256×512维的观测矩阵，512×1维的稀疏向量，稀疏向量共分为128组，每组4个元素，其中25组为非零元素。参数设置选择为：σ为0.02，λ为0.00015，κ为每个元素均为0.48的128维向量。
步骤2、利用最大后验概率准则将该贝叶斯回归模型的参数求解问题转化为关于模型参数γ、x的非凸优化问题的步骤如下：
(2.1)关于x与γ的条件概率分布满足如下关系
f(x,γ|A,y,λ,κ)∝f(y|A,x,γ,σ2)f(x|γ,σ2,λ)f(γ|κ)(19)；
其中f(a|b)表示b已知的条件下a的条件概率分布，符号∝表示左右两端为正比关系。
基于最大后验概率估计方法，x*,γ*可以通过下式计算获得，
其中返回当括号中关于a的函数取最小值时的a，ln(g)表示以自然数为底的对数。
(2.2)联合式(3)和式(4)可以得到
其中||·||2表示欧几里得范数，xil表示x第i组第l个元素。
(2.3)基于式(5)-(8)，式(4)优化问题可转化为如下形式
引入目标函数L(x,γ)为
进一步，可将目标函数转化为
其中，
为便于组结构的表示，可将矩阵D表示为
其中Φi为第i组向量元素对应的观测矩阵列向量构成的子矩阵，表示子矩阵Φi中第l列向量。
步骤3、将向量x直接初始化为零向量，将ρ中小于零的元素所对应组位置的γ初始化为1，其余部分初始化为0。
步骤4、计算将某一组未激活的x激活后目标函数减少的上界，即将γ的某一零元素变为非零元素后目标函数减少的上界：
其中，S＝{j:γj≠0,i≠j}。
步骤5、计算将γ的一个非零元素变为零元素后目标函数减少的上界
步骤6、当与两者至少有一个小于零时，进一步比较与的大小，若小于则将对应的γ元素变为非零值，若大于则将对应的γ元素变为零。
步骤7、利用当前γ将式(9)转化为
步骤8、当与至少有一个小于零时，重复步骤(4-7)，当与均大于零时，停止重复。
步骤9、最优γ所对应的x即为重构出的信号。
图2给出了本实例中原信号与重构信号的对比图，其中实线表示原信号，虚线表示重构信号。从图中可以看到，实线与虚线高度重合，说明本发明公开的信号重构方法可以有效的对具有组稀疏结构的信号重构。
图3给出了本实施例中所示信号重构方法与现有其它组稀疏结构信号重构方法在不同信噪比下均方误差的对比，其中横轴表示信噪比，纵轴表示均方误差，从图中可以看到各条线所对应的方法。可以看到各方法在不同信噪比的情况下均方误差的变化趋势大致相同，但可以看出本发明所公开的方法性能显著优于其余方法，在不同信噪比下均方误差均明显小于现有其它方法。
实施例2：
本实施例主要对比了本发明公开的基于组稀疏结构的信号重构方法与现有其它组稀疏信号重构方法在不同观测数量下的均方误差，除信噪比恒为0dB且观测数量不断变化外，其余参数设置均与实施例1相同。如图4所示，横轴表示观测数量，纵轴表示均方误差，各条折线所对应的信号重构方法名称如图中所示。从图中可以看出，在观测数量小于180时现有的组稀疏信号重构方法与本发明公开的组稀疏信号重构方法均方误差都比较大，当观测数量大于180时，本发明公开的方法的均方误差显著低于其余方法，当对重构信号的均方误差有较高要求时，本方法能够以相比于其它方法最少的观测数量达到要求。

Claims (9)

1.一种基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：
(1)引入“spike and slab”先验概率分布，构造一种具有组稀疏结构的贝叶斯回归模型；
(2)通过最大后验概率准则将该贝叶斯回归模型的参数求解问题转化为关于模型参数γ、x的非凸优化问题；
(3)对模型参数进行初始化；
(4)计算将γ的一个零元素变为非零元素后目标函数减少的上界
Figure FDA0004059708400000011
(5)计算将γ的一个非零元素变为零元素后目标函数减少的上界
Figure FDA0004059708400000012
(6)当
Figure FDA0004059708400000013
与
Figure FDA0004059708400000014
至少有一个小于零时，若
Figure FDA0004059708400000015
大于
Figure FDA0004059708400000016
则将
Figure FDA0004059708400000017
对应的γ元素变为非零值，若
Figure FDA0004059708400000018
大于
Figure FDA0004059708400000019
则将
Figure FDA00040597084000000110
对应的γ元素变为零；
(7)求解与当前γ对应的x；
(8)当
Figure FDA00040597084000000111
与
Figure FDA00040597084000000112
至少有一个小于零时，重复步骤(4)—(7)，当
Figure FDA00040597084000000113
与
Figure FDA00040597084000000114
均大于零时，停止重复，γ收敛至最优值；
(9)最优γ所对应的x即为重构出的信号。
2.根据权利要求1所述的基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，其特征在于，步骤(1)中所述构造具有组稀疏结构的贝叶斯回归模型的步骤包括：
引入“spike and slab”先验概率分布，基于组稀疏结构的回归模型如下：
Figure FDA00040597084000000115
其中，
Figure FDA00040597084000000116
A为q×p维观测矩阵，x为p维向量，为便于表示x的组结构，将x向量均匀分割成K组，每组元素个数为L，因此p＝K×L，如公式(2)所示，其中xi表示x向量中的第i组，且xil为xi向量中第l个元素；y表示q维观测向量，且q＜＜p，Iq表示q×q维的单位矩阵，N(·)为高斯分布；I(·)为指示函数，当指示函数括号内条件成立时函数值为1，括号内条件不成立时为0；γi是服从Bernoulli分布的二元变量，且第i组元素共享γi；当γi为零时，xi组内所有元素均为零，当γi不为零时，xi组内所有元素均不为零且服从高斯分布；参数κ为Bernoulli分布参数，用来控制γ以影响x的稀疏程度，σ2为观测数据的噪声方差，σ2λ-1为稀疏向量x的方差，λ为非负元素。
3.根据权利要求2所述的基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，其特征在于，步骤(2)中所述通过最大后验概率准则将该贝叶斯回归模型的参数求解问题转化为关于模型参数γ、x的非凸优化问题的步骤如下：
(2.1)关于x与γ的条件概率分布满足如下关系
f(x,γ|A,y,λ,κ)∝f(y|A,x,γ,σ2)f(x|γ,σ2,λ)f(γ|κ)    (3)；
其中f(a|b)表示b已知的条件下a的条件概率分布，符号∝表示左右两端为正比关系，κ＝[κ1,κ2,…,κK]T和γ＝[γ1,γ2,…,γK]T都是长度为K的列向量；
基于最大后验概率估计方法，x*,γ*可以通过下式计算获得，
Figure FDA0004059708400000021
其中x*和γ*表示最优输出结果，
Figure FDA0004059708400000022
返回当括号中关于a的函数取最小值时的a，ln(g)表示以自然数为底的对数；
(2.2)联合式(3)和式(4)得到
Figure FDA0004059708400000023
Figure FDA0004059708400000031
其中||·||2表示欧几里得范数，xil表示x第i组第l个元素，∑ai示为对元素ai求和，Πai表示对元素ai求积；
Figure FDA0004059708400000032
Figure FDA0004059708400000033
其中κi和γi分别为列向量κ和γ的第i个元素；
(2.3)基于式(5)-(8)，式(4)优化问题可转化为如下形式
Figure FDA0004059708400000034
引入目标函数L(x,γ)为
Figure FDA0004059708400000041
进一步，可将目标函数转化为
Figure FDA0004059708400000042
其中，
Figure FDA0004059708400000043
为便于组结构的表示，可将矩阵D表示为
Figure FDA0004059708400000044
其中Φi为第i组向量元素对应的观测矩阵列向量构成的子矩阵，
Figure FDA0004059708400000045
表示子矩阵Φi中第l列向量。
4.根据权利要求3所述的基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，其特征在于，步骤(3)中所述对模型参数进行初始化的方法是将向量x直接初始化为零向量，将ρ中小于零的元素对应位置的γ初始化为1，其余部分初始化为0。
5.根据权利要求4所述的基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，其特征在于，步骤(4)中所述计算将γ的一个零元素变非零元素后目标函数减少的上界
Figure FDA0004059708400000046
的方法是计算将某一组未激活的x激活后目标函数减少的上界，即将γ的某一零元素变为非零元素后目标函数减少的上界：
Figure FDA0004059708400000047
其中，S＝{j:γj≠0,i≠j}表示为非零元素序号集合，rS表示从观测数据中去除非零元素的数据后的剩余量,
Figure FDA0004059708400000048
表示为向量rS的转置，
Figure FDA0004059708400000049
表示为矩阵。
6.根据权利要求5所述的基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，其特征在于，步骤(5)中所述计算将γ的一个非零元素变为零元素后目标函数减少的上界
Figure FDA0004059708400000051
的方法是计算将γ的一个非零元素变为零元素后目标函数减少的上界
Figure FDA0004059708400000052
Figure FDA0004059708400000053
7.根据权利要求6所述的基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，其特征在于，步骤(6)中所述当
Figure FDA0004059708400000054
与
Figure FDA0004059708400000055
至少有一个小于零时，若
Figure FDA0004059708400000056
大于
Figure FDA0004059708400000057
则将
Figure FDA0004059708400000058
对应的γ元素变为非零值，若
Figure FDA0004059708400000059
大于
Figure FDA00040597084000000510
则将
Figure FDA00040597084000000511
对应的γ元素变为零的方法是当
Figure FDA00040597084000000512
与
Figure FDA00040597084000000513
两者至少有一个小于零时，进一步比较
Figure FDA00040597084000000514
与
Figure FDA00040597084000000515
的大小，若
Figure FDA00040597084000000516
小于
Figure FDA00040597084000000517
则将
Figure FDA00040597084000000518
对应的γ元素变为非零值，若
Figure FDA00040597084000000519
大于
Figure FDA00040597084000000520
则将
Figure FDA00040597084000000521
对应的γ元素变为零。
8.根据权利要求7所述的基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，其特征在于，步骤(7)中所述求解与当前γ对应的x的方法是利用当前γ将式(9)转化为
Figure FDA00040597084000000522
其中ΦS表示非零元素序号集合所对应的观测矩阵列向量构成的子矩阵，xS表示非零元素序号集合所对应的列向量x的子向量，x*为最优输出结果。
9.根据权利要求8所述的基于组稀疏结构的自适应匹配追踪信号重构方法，其特征在于，步骤(8)中所述当
Figure FDA00040597084000000523
与
Figure FDA00040597084000000524
至少有一个小于零时，重复步骤(4)——(7)，当
Figure FDA00040597084000000525
与
Figure FDA00040597084000000526
均大于零时，停止重复，γ收敛至最优值的方法是当
Figure FDA00040597084000000527
与
Figure FDA00040597084000000528
至少有一个小于零时，重复步骤(4)——(7)，当
Figure FDA00040597084000000529
与
Figure FDA00040597084000000530
均大于零时，停止重复。
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