CN109543282B - 基于模态分析的叠压铁心各向异性参数的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及电机叠压铁心参数的测量方法，具体为基于模态分析的叠压铁心各向异性参数的测量方法。解决现有测量方法只考虑叠压铁心结构外表面的模态振型所带来的缺陷和问题。本发明以精确的试验模态参数为基准，利用分组优化的基准比较方法，对叠压铁心结构进行全面精确的模态测量，对模态参数进行测量与识别，得到叠压铁心结构各阶次模态参数，与基于真实模型的特点，将叠压铁心结构等效为带有内齿形表面实体的横向各向异性均质材料的有限元模型的模态计算结果进行等效性分析，修正优化有限元模型的灵敏参数组，获取识别后的叠压铁心结构的等效结构及材料性能参数。本发明为叠压铁心的设计和制造提供一定的技术支持。

Description

基于模态分析的叠压铁心各向异性参数的测量方法

技术领域

本发明涉及电机叠压铁心参数的测量方法，具体为基于模态分析的叠压铁心各向异性参数的测量方法。

背景技术

由厚度在1mm以下的薄板沿轴向叠压而成的叠压铁心，能够减小“涡流损耗”，具有优良的电磁性能，是电力、电讯和机械工程中不可缺少的重要磁性材料。叠压铁心的层叠结构导致其整体材料参数并不等于实际的叠片材料参数，在不同方向的力学性能表现不同，使得材料在宏观力学性能上表现出明显的各向异性。同时，叠压铁心各向异性材料参数受到几何细部结构参数、加工工艺、边界效应、非均匀应变状态等随机因素的影响，使得从叠压结构中切出的试样参数往往同整体结构的参数相差较大，因此无法通过静力实验测试获取叠压铁心各个方向的材料参数。

现有技术试验测量过程中，只考虑叠压铁心结构外表面的模态振型，具体测试线框模型如图1所示：实验测试前，使被测件悬挂，模拟自由模态振动；将加速度传感器粘结在被测件表面，用力锤敲击被测点。测试采用多点激励、多点拾振方法。只考虑了铁心外表面的径向模态特性，使得铁心模态振型不够全面，参数识别结果存在一定的误差，同时也无法获得轴向的弹性模量。

发明内容

本发明解决现有测量方法只考虑叠压铁心结构外表面的模态振型所带来的缺陷和问题，提供一种基于模态分析的叠压铁心各向异性参数的测量方法，该方法同时考虑内外表面及轴向的模态振型。

本发明是采用如下技术方案实现的：基于模态分析的叠压铁心各向异性参数的测量方法，包括如下步骤：

步骤1，所述铁心叠压结构是由薄片结构沿铁心轴向叠压而成，包括外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面，精细化建立叠压铁心结构的有限元模型，基于真实模型的特点，将叠压铁心结构等效为带有内齿形表面实体的横向各向异性均质材料的有限元模型；

步骤2，利用基于相对灵敏度分析的参数选择方法，对步骤1建立的叠压铁心结构有限元模型的待修正参数进行相对灵敏度分析，并进行参数分组，得到灵敏参数组；

2.1对于径向对称的铁心轴向层叠结构，表现为横向各向异性，基于笛卡尔直角坐标系，将灵敏参数分为径向的各向同性平面XOY组和轴向Z组，其中各向同性的XOY平面即是叠片所在的平面，而垂直于叠片平面的叠片叠压方向为轴向Z方向；同时，由于整个叠压铁芯结构关于轴向Z方向对称，因此各向同性平面XOY组中的沿径向X和Y方向不做区分，即与X和Y方向相关的材料参数完全相同；将灵敏参数分为径向的各向同性平面XOY组和轴向Z组；

(1)XOY组中，叠压铁心的杨氏模量E、切变模量G和泊松比υ的关系表达式为：

E_X＝E_Y

其中：E_X和E_Y分别是各向同性面沿径向的X和Y方向杨氏模量，υ_XY是各向同性面沿径向的X与Y方向的相关泊松比，G_XY是各向同性面沿径向的X与Y方向的相关剪切模量；

(2)Z组中，叠压铁心的杨氏模量E、切变模量G和泊松比υ的关系表达式为：

G_XZ＝G_YZ

υ_XZ＝υ_YZ (2)

其中：G_XZ和G_YZ是各向同性面沿径向的X和Y方向分别与轴向Z方向的相关剪切模量，υ_XZ和υ_YZ是各向同性面沿径向的X和Y方向与轴向Z方向的相关泊松比；

2.2同样地，依据叠压铁心结构的径向对称性，将叠压铁心的模态振型分为四种类型：

(1)铁心轴线两端同相变化的对称振型，标记为P_si，其中i是铁心沿周向做大幅度变化的振型节点数，i≥2；

(2)铁心轴向两端反相变化的反对称振型，标记为P_ai，其中i是铁心沿周向做大幅度变化的振型节点数，i≥2；

(3)铁心轴向两端同相变化的内外表面收缩扩张振型，标记为P₀；

(4)其他复杂不规则振型；

2.3结合2.1和2.2中的模态参数和灵敏参数的分组，以不同类型模态振型的频率变化为目标，参数化分析XOY组的E_X、E_Y对对称模态P_si和同相收缩扩张模态P₀的灵敏度，同时参数化分析Z组的G_XZ、G_YZ对反对称模态P_ai的灵敏度，以及E_Z的灵敏度；

步骤3，在自由边界条件下，对叠压铁心结构进行全面精确的模态测量，对模态参数进行测量与识别，得到叠压铁心结构各阶次模态参数——模态频率和模态振型；

模态试验中采用的试验系统包括脉冲力锤或激振器、加速度传感器、数据采集和分析仪、以及计算机，所述脉冲力锤或激振器，以及加速度传感器接入数据采集和分析仪，再与计算机相连接，还包括如下步骤：

3.1对叠压铁心结构的外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面分别布置节点，按照物理模型的实际结构尺寸建立叠压铁心结构的点-线-面实验模型；在铁心的外圆柱表面，沿周向每圈至少均匀分布16个节点，同时沿轴向至少布置2圈，且要求2个轴端的周向必须各有至少1圈的节点；在铁心的内齿形表面，节点的布置与外圆柱表面的节点要求相同；在铁心的2个轴端压紧表面，每个表面相对应至少布置1圈节点，每圈的节点数和外圆柱表面周向节点数相同；同时，称重得叠压铁心结构的质量m；

3.2利用足够强度的弹性绳索(或弹性件)将叠压铁心结构悬挂(或支撑)，使其处于接近无约束条件状态；固定布置加速度传感器，需要满足同时测量各向同性面XOY的X、Y方向，以及轴向的Z方向的响应；

3.3连接数据采集和分析仪，并设置数据采集和分析参数；

3.4对叠压铁心结构沿垂直于外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面方向进行激励，利用多次平均的方式，采集每一节点在受到脉冲激励时的力信号与响应信号，得到节点的频响函数FRF；

3.5用数据分析仪对节点的FRF曲线进行模态参数识别，通过曲线拟合得到叠压铁心结构的模态频率和模态振型；

步骤4，以精确的试验模态参数为基准，利用分组优化的基准比较方法，基于步骤3得到的叠压铁心结构的模态参数，与步骤1建立的叠压铁心有限元模型的模态计算结果进行等效性分析，修正优化有限元模型的灵敏参数组，获取识别后的叠压铁心结构的等效结构及材料性能参数；

4.1根据步骤2中模态参数的分组要求，对叠压铁心结构相对应的模态振型进行分组分析，确定振型的变化结构；同时，计算得出叠压铁心等效体积V_eq，基于叠压铁心的现场称重质量m，最终确定叠压铁心的等效密度ρ_eq；

4.2采用叠片的同性材料参数，设置叠压铁心有限元模型的υ_XZ和υ_YZ值；以对称振型P_si和同相收缩扩张振型P₀的模态频率作为优化修正的基准，等效性对比分析叠压铁心有限元模型XOY组的E_X和E_Y；同样地，以反对称振型P_ai作为优化修正的基准，等效性对比分析叠压铁心有限元模型Z组的G_XZ和G_YZ；最后，基于有限元模型Z组的E_Z对所有模态振型和频率的影响，根据相对偏差计算公式(4)，以引起某阶模态频率f_i和f_i-1的相对偏差δ小于1％的E_Z值，和有限元模型XOY组的E_X或E_Y值，作为叠压铁心有限元模型Z组中E_Z的临界值；

其中，f_i为第i阶模态频率，f_i-1为为第i-1阶模态频率；

最终，以模态试验振型频率f_e和仿真计算振型频率f_s的相似度ζ≥99.99％，以及基于模态试验振型频率的相对偏差δ≤3％，作为模态特性参数的评定标准；

4.3以叠压铁心的其他复杂不规则振型为基准，对4.1和4.2中得到的横向各向异性叠压铁心有限元模型及其参数进行验证，使相对应振型频率的相似度ζ≥99.84％，相对偏差δ≤8％，并最终确定叠压铁心等效结构模型的各向异性等效参数。

本发明以精确的试验模态参数为基准，利用分组优化的基准比较方法，基于自由边界条件下，对叠压铁心结构进行全面精确的模态测量，对模态参数进行测量与识别，得到叠压铁心结构各阶次模态参数(模态频率和模态振型)，与基于真实模型的特点，将叠压铁心结构等效为带有内齿形表面实体的横向各向异性均质材料的有限元模型的模态计算结果进行等效性分析，修正优化有限元模型的灵敏参数组，获取识别后的叠压铁心结构的等效结构及材料性能参数。本发明为叠压铁心的设计和制造提供一定的技术支持，为精确分析叠压铁心及其应用结构的模态特性打下良好的基础。

本发明与现有技术相比具有以下特点：

(1)试验测量的全面性。

经过试验研究表明，试验测量过程中，只考虑叠压铁心结构外表面的模态振型，和同时考虑内外表面及轴向的模态振型对比，振型结构发生较大的变化，甚至于由反相的非对称振型转变为同相的对称振型，模态特性结果相差较大。虽然模态测量采用常用的模态测量与识别方法进行获取，但是同时在叠压铁心外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面布置节点，建立点-线-面试验模型，可以更加精确地获得叠压铁心的实验模态特性。

(2)分组优化的精确性。

基于叠压铁心的精细有限元模型，对铁心的横向各向异性参数分组，并做灵敏度分析，实现各向异性参数与不同模态特性的分组对比关系，以试验模态特性为基准，分组优化叠压铁心的各向异性参数，将仿真计算模态特性和试验分析模态特性的对应振型频率相似度进行修正和验证，全面而精确地获取叠压铁心的各向异性参数，具有十分重要的工程意义。

附图说明

图1为现有铁心模态测试线框模型；

图2为本发明实施例基于ANSYS建立的叠压铁心结构有限元模型；

图3为本发明实施例叠压铁心模态振型P_s2；

图4为本发明实施例叠压铁心模态振型P_s3；

图5为本发明实施例叠压铁心模态振型P_s4；

图6为本发明实施例叠压铁心模态振型P_s5；

图7为本发明实施例叠压铁心模态振型P_a2；

图8为本发明实施例叠压铁心模态振型P_a3；

图9为本发明实施例叠压铁心模态振型P_a4；

图10为本发明实施例叠压铁心模态振型P₀；

图11为本发明实施例叠压铁心XOY组的E_X(E_Y)对四种不同模态的灵敏度；

图12为叠压铁心Z组的G_XZ(G_YZ)对四种不同模态的灵敏度；

图13为叠压铁心Z组的E_Z对四种不同模态的灵敏度；

图14为本发明实施例提供的叠压铁心全面模态特性测量方法流程图；

图15为本发明实施例叠压铁心的试验模态测量模型；

图16为本发明实施例叠压铁心结构试验测量系统的结构示意图；

图17为本发明实施例提供的叠压铁心分组优化的基准比较方法流程图；

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图说明和实例数据，以某轨道牵引电机的叠压铁心为例，铁心轴向尺寸为208mm，所承受轴向叠压力为200kN，基于ANSYS有限元分析软件，对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。

图16中，力锤法测量叠压铁心结构模态特性的系统中，力锤连接在适调仪上，对叠压铁心进行锤击激励。激励信号和加速度传感器采集的响应信号，通过适调仪传输给多通道数据采集、处理和模态分析系统，并最终在计算机上得到处理和分析。其中，适调仪不仅能对力锤和加速度传感器的信号进行调谐等处理，而且还具有供电功能。

本发明的基于模态分析的叠压铁心各向异性参数的测量方法为：

步骤1，所述铁心叠压结构是由薄片结构沿铁心轴向叠压而成，包括外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面，如图2所示，精细化建立叠压铁心结构的有限元模型，基于真实模型的特点，将叠压铁心结构等效为带有内齿形表面实体的横向各向异性均质材料的有限元模型；

步骤2，利用基于相对灵敏度分析的参数选择方法，对步骤1建立的叠压铁心结构有限元模型的待修正参数进行相对灵敏度分析，并进行参数分组，得到灵敏参数组；

2.1对于径向对称的铁心轴向层叠结构，表现为横向各向异性，基于笛卡尔直角坐标系，将灵敏参数分为径向的各向同性平面XOY组和轴向Z组，其中各向同性的XOY平面即是叠片所在的平面，而垂直于叠片平面的叠片叠压方向为轴向Z方向。同时，由于整个叠压铁芯结构关于轴向Z方向对称，因此各向同性平面XOY组中的沿径向X和Y方向不做区分，即与X和Y方向相关的材料参数完全相同。将灵敏参数分为径向的各向同性平面XOY组和轴向Z组；

(1)XOY组中，叠压铁心的杨氏模量E、切变模量G和泊松比υ的关系表达式为：

E_X＝E_Y

其中：E_X和E_Y分别是各向同性面沿径向的X和Y方向杨氏模量，υ_XY是各向同性面沿径向的X与Y方向的相关泊松比，G_XY是各向同性面沿径向的X与Y方向的相关剪切模量；

(2)Z组中，叠压铁心的杨氏模量E、切变模量G和泊松比υ的关系表达式为：

G_XZ＝G_YZ

υ_XZ＝υ_YZ (2)

其中：G_XZ和G_YZ是各向同性面沿径向的X和Y方向分别与轴向Z方向的相关剪切模量，υ_XZ和υ_YZ是各向同性面沿径向的X和Y方向与轴向Z方向的相关泊松比；

2.2同样地，依据叠压铁心结构的径向对称性，将叠压铁心的模态振型分为四种类型：

(1)铁心轴线两端同相变化的对称振型，标记为P_si，其中i是铁心沿周向做大幅度变化的振型节点数，i＝2、3、4、5，如图3－6所示；

(2)铁心轴向两端反相变化的反对称振型，标记为P_ai，其中i是铁心沿周向做大幅度变化的振型节点数，i＝2、3、4，如图7－9所示；

(3)铁心轴向两端同相变化的内外表面收缩扩张振型，标记为P₀，如图10所示；

(4)其他复杂不规则振型；

2.3结合2.1和2.2中的模态参数和灵敏参数的分组，以不同类型模态振型的频率变化为目标，参数化分析XOY组的E_X、E_Y对对称模态P_si和同相收缩扩张模态P₀的灵敏度，同时参数化分析Z组的G_XZ、G_YZ对反对称模态P_ai的灵敏度，以及E_Z对多种类型模态P_si、P_ai和P₀的灵敏度，如图11－13所示。

步骤3，在自由边界条件下，对叠压铁心结构进行全面精确的模态测量，对模态参数进行测量与识别，得到叠压铁心结构各阶次模态参数－模态频率和模态振型，其技术流程图如图14所示；

3.1对叠压铁心结构的外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面分别布置节点，按照物理模型的实际结构尺寸建立叠压铁心结构的点-线-面实验模型。在铁心的外圆柱表面，沿周向每圈均匀分布16个节点，同时沿轴向布置3圈，其中2个轴端的周向各有1圈的节点。在铁心的内齿形表面，布置2圈与外圆柱表面要求相同的节点。在低于铁心外圆柱表面15mm的2个轴端压紧表面，相对应各布置1圈的16个节点。叠压铁心试验模型总共有84个节点，如图15所示；同时，称重得叠压铁心结构的质量m＝159.5kg。

3.2利用橡胶带悬挂叠压铁心结构，使其处于接近无约束条件状态。固定布置加速度传感器，需要满足同时测量各向同性面XOY的X、Y方向，以及轴向的Z方向的响应；

3.3连接数据采集和分析仪，并设置数据采集和分析参数，如图16所示；

3.4对叠压铁心结构沿垂直于外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面方向进行遍历性锤击激励，利用多次平均的方式，采集每一节点在受到脉冲激励时的力信号与响应信号，得到节点的频响函数FRF；

3.5用数据分析仪对节点的FRF曲线进行模态参数识别，通过曲线拟合得到叠压铁心结构的模态频率和模态振型。

步骤4，以精确的试验模态参数为基准，利用分组优化的基准比较方法，基于步骤3得到的叠压铁心结构的模态参数，与步骤1建立的叠压铁心有限元模型的模态计算结果进行等效性分析，修正优化有限元模型的灵敏参数组，获取识别后的叠压铁心结构的等效结构及材料性能参数，其技术流程图如图17所示；

4.1根据步骤2中模态参数的分组要求，对叠压铁心结构相对应的模态振型进行分组分析，确定振型的变化结构。同时，计算叠压铁心等效体积V_eq＝21.010736m³，最终由公式(3)确定叠压铁心的等效密度ρ_eq＝7591.36kg/m³。

4.2采用叠片的同性材料参数，设置叠压铁心有限元模型的υ_XZ＝υ_XZ＝0.3。以同相对称振型P_s3、P_s4和同相收缩扩张振型P₀的模态频率作为优化修正的基准，等效分析叠压铁心有限元模型XOY组的E_X和E_Y值。同样地，以反相反对称振型P_a2作为优化修正的基准，等效比分析叠压铁心有限元模型Z组的G_XZ和G_YZ值。最后，基于有限元模型Z组的E_Z对所有模态振型和频率的影响，根据相对偏差计算公式(4)，得出引起n＝5对称模态频率f_i和f_i-1的相对偏差δ小于1％的E_Z的最小值E_Zmin＝90Hz，叠压铁心有限元模型Z组中E_Z的最大值E_Zmax＝E_X。

最终，以模态试验振型频率f_e和仿真计算振型频率f_s的相似度ζ≥99.99％，以及基于模态试验振型频率的相对偏差δ≤3％，作为模态特性参数的评定标准。

通过有限元模态特性的修正，优化各向异性参数，得到的分组优化结果，如表1所示。

表1模态特性的分组优化结果

4.3以叠压铁心的其他复杂不规则振型为基准，对4.1和4.2中得到的横向各向异性叠压铁心有限元模型及其参数进行验证，得到相对应振型频率的相似度的最小值

且同时得到相对应振型频率的最大相对偏差/>

完全满足叠压铁心模态特性要求，最终确定叠压铁心等效结构模型的各向异性等效参数。

将上面所述分组优化得到的各向异性参数E_X和G_XY代入公式(1)中推算出泊松比

获得叠压铁心各向异性参数，如表2所示。

表2叠压铁心的各向异性参数

材料参数	硅钢叠片	等效模型
			ρ/(kg·m<sup>-3</sup>)	7850	7591.36
E<sub>X</sub>(E<sub>Y</sub>)/GPa	210	197
			G<sub>XZ</sub>(G<sub>YZ</sub>)/GPa	80.77	10.5
G<sub>XY</sub>/GPa	80.77	75.5
			E<sub>Z</sub>/GPa	210	[90,197]
υ<sub>XY</sub>	0.3	0.3046358
			υ<sub>XZ</sub>(υ<sub>YZ</sub>)	0.3	0.3

实例表明，本发明的基于模态分析可以全面而精确地测量出叠压铁心的各向异性参数，其各向异性等效模型与实物模型的模态特性相似度极高。考虑叠压铁心结构的材料常数难以直接通过静力试验获得，故通过对结构模态振型和材料参数的分组优化，以试验模态特性为基准，采用试验模态频率和仿真计算模态频率的相似度作为目标值，能够精确识别该类型结构的各向异性参数，可以将所得到的叠压铁心结构等效建模方法和等效材料性能等应用于其它机械结构上，作为同类型叠压结构的模态计算分析与结构优化设计方法。

本具体实施方式提供了应用于某型号轨道牵引电机的硅钢片叠压铁心结构的实施例，基于模态分析对不同轴向尺寸和叠压力的叠压铁心结构的各向异性参数进行全面地精确测量，通过与铁心精细化有限元模型的模特特性和材料特性的分组优化，以相对应振型的频率相似度为评定标准，分步修正并验证各个方向材料参数，最终获得叠压铁心横向各向异性参数。

经过试验研究表明，试验测量过程中，只考虑叠压铁心结构外表面的模态振型，和同时考虑内外表面及轴向的模态振型对比，振型结构发生较大的变化，甚至于由反相的非对称振型转变为同相的对称振型，模态特性结果相差较大。虽然模态测量采用常用的模态测量与识别方法进行获取，但是同时在叠压铁心外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面布置节点，建立点-线-面试验模型，可以更加精确地获得叠压铁心的实验模态特性，包括铁心径向振型变化和轴向振型变化。

基于叠压铁心的精细有限元模型，对铁心的横向各向异性参数分组，并做灵敏度分析，实现各向异性参数与不同模态特性的分组对比关系，以试验模态特性为基准，分组优化叠压铁心的各向异性参数，基于仿真计算和试验分析模态特性的对应振型频率的相似度和相对偏差，对包括轴向弹性模量在内的各向异性参数进行修正和验证，全面而精确地获取叠压铁心的各向异性参数，具有十分重要的工程意义。

叠压铁心的有限元计算可以借助于ANSYS计算工具，也可以借助于其他的软件工具。叠压铁心的模型坐标不限于本实例的XOY平面为径向平面，Z向为轴向，可以根据实际情况作出调整。叠压铁心的模态测试采用常用的测试方法，可以是力锤法，也可以是激振器激振方法等。

以上内容是结合具体的实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明由所提交的权利要求书确定专利保护范围。

Claims (1)

1.基于模态分析的叠压铁心各向异性参数的测量方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，所述叠压铁心结构是由薄片结构沿铁心轴向叠压而成，包括外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面，精细化建立叠压铁心结构的有限元模型，基于真实模型的特点，将叠压铁心结构等效为带有内齿形表面实体的横向各向异性均质材料的有限元模型；

步骤2，利用基于相对灵敏度分析的参数选择方法，对步骤1建立的叠压铁心结构有限元模型的待修正参数进行相对灵敏度分析，并进行参数分组，得到灵敏参数组；

2.1对于径向对称的铁心轴向层叠结构，表现为横向各向异性，基于笛卡尔直角坐标系，将灵敏参数分为径向的各向同性平面XOY组和轴向Z组，其中各向同性的XOY平面即是叠片所在的平面，而垂直于叠片平面的叠片叠压方向为轴向Z方向；同时，由于整个叠压铁芯结构关于轴向Z方向对称，因此各向同性平面XOY组中的沿径向X和Y方向不做区分，即与X和Y方向相关的材料参数完全相同；

(1)XOY组中，叠压铁心的杨氏模量E、切变模量G和泊松比υ的关系表达式为：

E_X＝E_Y

其中：E_X和E_Y分别是各向同性面沿径向的X和Y方向杨氏模量，υ_XY是各向同性面沿径向的X与Y方向的相关泊松比，G_XY是各向同性面沿径向的X与Y方向的相关剪切模量；

(2)Z组中，叠压铁心的杨氏模量E、切变模量G和泊松比υ的关系表达式为：

G_XZ＝G_YZ

υ_XZ＝υ_YZ (2)

其中：G_XZ和G_YZ是各向同性面沿径向的X和Y方向分别与轴向Z方向的相关剪切模量，υ_XZ和υ_YZ是各向同性面沿径向的X和Y方向与轴向Z方向的相关泊松比；

2.2同样地，依据叠压铁心结构的径向对称性，将叠压铁心的模态振型分为四种类型：

(1)铁心轴向两端同相变化的对称振型，标记为P_si，其中i是铁心沿周向做大幅度变化的振型节点数，i≥2；

(2)铁心轴向两端反相变化的反对称振型，标记为P_ai，其中i是铁心沿周向做大幅度变化的振型节点数，i≥2；

(3)铁心轴向两端同相变化的内外表面收缩扩张振型，标记为P₀；

(4)其他复杂不规则振型；

2.3结合2.1和2.2中的模态参数和灵敏参数的分组，以不同类型模态振型的频率变化为目标，参数化分析XOY组的E_X、E_Y对对称模态P_si和同相收缩扩张模态P₀的灵敏度，同时参数化分析Z组的G_XZ、G_YZ对反对称模态P_ai的灵敏度，以及E_Z的灵敏度，E_Z是轴向Z方向杨氏模量；

步骤3，在自由边界条件下，对叠压铁心结构进行全面精确的模态测量，对模态参数进行测量与识别，得到叠压铁心结构各阶次模态参数——模态频率和模态振型；

模态试验中采用的试验系统包括脉冲力锤或激振器、加速度传感器、数据采集和分析仪、以及计算机，所述脉冲力锤或激振器，以及加速度传感器接入数据采集和分析仪，再与计算机相连接，还包括如下步骤：

3.1对叠压铁心结构的外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面分别布置节点，按照物理模型的实际结构尺寸建立叠压铁心结构的点-线-面实验模型；在铁心的外圆柱表面，沿周向每圈至少均匀分布16个节点，同时沿轴向至少布置2圈，且要求2个轴端的周向必须各有至少1圈的节点；在铁心的内齿形表面，节点的布置与外圆柱表面的节点要求相同；在铁心的2个轴端压紧表面，每个表面相对应至少布置1圈节点，每圈的节点数和外圆柱表面周向节点数相同；同时，称重得叠压铁心结构的质量m；

3.2利用足够强度的弹性绳索将叠压铁心结构悬挂，使其处于接近无约束条件状态；固定布置加速度传感器，需要满足同时测量各向同性面XOY的X、Y方向，以及轴向的Z方向的响应；

3.3连接数据采集和分析仪，并设置数据采集和分析参数；

3.4对叠压铁心结构沿垂直于外圆柱表面、内齿形表面和轴端压紧表面方向进行激励，利用多次平均的方式，采集每一节点在受到脉冲激励时的力信号与响应信号，得到节点的频响函数FRF；

3.5用数据分析仪对节点的FRF曲线进行模态参数识别，通过曲线拟合得到叠压铁心结构的模态频率和模态振型；

步骤4，以精确的试验模态参数为基准，利用分组优化的基准比较方法，基于步骤3得到的叠压铁心结构的模态参数，与步骤1建立的叠压铁心有限元模型的模态计算结果进行等效性分析，修正优化有限元模型的灵敏参数组，获取识别后的叠压铁心结构的等效结构及材料性能参数；

4.1根据步骤2中模态参数的分组要求，对叠压铁心结构相对应的模态振型进行分组分析，确定振型的变化结构；同时，计算得出叠压铁心等效体积V_eq，基于叠压铁心的现场称重质量m，最终确定叠压铁心的等效密度ρ_eq；

4.2采用叠片的同性材料参数，设置叠压铁心有限元模型的υ_XZ和υ_YZ值；以对称振型P_si和同相收缩扩张振型P₀的模态频率作为优化修正的基准，等效性对比分析叠压铁心有限元模型XOY组的E_X和E_Y；同样地，以反对称振型P_ai作为优化修正的基准，等效性对比分析叠压铁心有限元模型Z组的G_XZ和G_YZ；最后，基于有限元模型Z组的E_Z对所有模态振型和频率的影响，根据相对偏差计算公式(4)，以引起某阶模态频率f_i和f_i-1的相对偏差δ小于1％的E_Z值，和有限元模型XOY组的E_X或E_Y值，作为叠压铁心有限元模型Z组中E_Z的临界值；

其中，f_i为第i阶模态频率，f_i-1为第i-1阶模态频率；

最终，以模态试验振型频率f_e和仿真计算振型频率f_s的相似度ζ≥99.99％，以及基于模态试验振型频率的相对偏差δ≤3％，作为模态特性参数的评定标准；

4.3以叠压铁心的其他复杂不规则振型为基准，对4.1和4.2中得到的横向各向异性叠压铁心有限元模型及其参数进行验证，使相对应振型频率的相似度ζ≥99.84％，相对偏差δ≤8％，并最终确定叠压铁心等效结构模型的各向异性等效参数。

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