CN109514564A - 一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法，包括如下步骤：(1)针对非线性多关节机械臂控制系统，设计线性误差函数及控制律，使用RBF网络自适应逼近控制器中存在的不确定项，构成全局稳定的闭环反馈系统，实现线性函数对非线性机械臂系统的控制目的；(2)设计带约束条件的复合二次规划模型，将待求控制能量u与控制误差复合成一个未知矢量x，设计饱和函数及类神经网络训练得其状态方程及输出方程，快速收敛于有限时间并得其解。以二关节机械臂为例，通过数值仿真验证本方法能有效提高非线性系统的控制精度、稳定性、鲁棒性及自适应性。实现用不大的控制量来保持较小的控制误差，从而实现多关节机械臂最优控制目的。

Description

一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法

技术领域

本发明涉及多关节机械臂最优控制系统领域，具体涉及一种基于RBF网络自适应逼近的复合二次型多关节机械臂最优控制方法。

背景技术

机械臂不仅是关节机器人的重要组成部分，而且在工业中、制造业及国防军事等领域都发挥着重要作用。可在各种替代人力成本大及危险、复杂环境中进行生产作业，经过多年的研究与发展，已经逐步走向了实用化，例如：(1)民用领域：如礼仪机器人对公众提供迎宾服务、导航信息服务、才艺表演等；(2)工业领域：如汽车生产线上焊接及加固螺丝的机械臂，工地上快速搬砖砌筑机器人、仓库里搬运打包的搬运、装配机器人等；(3)特种领域：如为国防军事、武警部队等提供排爆、危险性工作等；(4)航天航空领域：如在外太空工作站替代人类从事物件夹取、安装物体等。随着多关节机械臂在机器人的广泛应用，为实现多关节机械臂(被控系统)性能指标实现综合最优，因此多关节机械臂最优控制方法逐渐成为关节机器人设计的重点。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：针对非线性多关节机械臂系统中难以权衡控制动作律与控制误差比重，实现用不大的控制能量来保持较小的控制误差的最优控制目的，本发明设计了一种二阶段叠加的复合二次型多关节机械臂最优控制方法。

一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法，具体步骤为：首先，针对非线性多关节机械臂控制系统，设计线性误差函数，作用在非线性多关节机械臂控制方程，并设计基于RBF网络自适应逼近控制器，自适应逼近非线性方程中存在的不确定项，构成全局稳定的闭环反馈系统，实现线性函数对非线性多关节机械臂系统的控制目的；其次，设计带约束条件的复合二次规划模型求解方法，将前一步骤中多关节机械臂控制输出作为该二次规划模型中待定输入系数，将待求控制动作律u与控制误差复合成一个未知矢量x，并设计饱和函数及使用一层类神经网络(称为类递归神经网络)训练可得状态方程及输出方程，从而求得控制动作律u与控制误差达到用不大的控制能量来保持较小的控制误差的最优控制目的。

优选地，一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法，具体步骤如下：

步骤(1)设计基于RBF网络自适应逼近的多关节机械臂控制器

1)设计控制律

定义θ的跟踪误差为：

e(t)＝θ_d(t)-θ(t)

其中：θ_d(t)为理想状态下的广义节点位置坐标矢量

设计线性误差函数为：

其中：的增益矩阵，则：

其中：

为系统输入量。

设计控制律为：

其中：为RBF网络自适应逼近的估计值，则可得：

2)设计RBF网络自适应逼近的控制律

RBF神经网络算法为：

RBF网络自适应逼近f(q)，则输出为：

RBF网络逼近的自适应控制律为：

其中：s为克服RBF网络自适应逼近误差的鲁棒项。

3)设计RBF网络自适应逼近f(q)中各不确定项

对f(q)中各项进行逼近：

则被控对象f(q)的RBF网络自适应整体逼近为：

则RBF网络自适应逼近的控制律为：

步骤(2)建立及求解复合二次型多关节机械臂最优控制方程

1)建立带约束条件的复合二次型泛函方程

设计多关节机械臂系统控制方程为τ_j＝Pu，其中τ_j为步骤(1)输出u为最优控制律，P为将控制律u映射到广义空间的线性变换。则机械系统参考控制动作值为：

其中：F为由动力学机械系统约束引起的雅可比约束，λ₁为待定比例因子，则：

得：

设计正向运动学方程：

可得:

复合二次型泛函方程的积分形式为：

式中：为跟踪误差，u(t)为最优控制律。

泛函方程的等式约束条件为：

泛函方程的不等式约束条件为：

注：其物理意义为机械系统非零控制动作矢量与电机正常反应和摩擦力所引起的动作矢量应小于控制律。

将泛函方程抽象为如下复合二次型模型：

min

s.t.Ax＝b

l≤Ex≤h

其中：为将跟踪误差最优控制律u(t)、雅可比矩阵系数λ复合而成和二次规划模型，M为正定矩阵，Ax＝b为等式约束条件，l≤Ex≤h为不等式约束条件。结合多关节机械臂控制系统则：

E＝[Ο,P,κ₂F^T],l＝[Ο],

其中，κ₁、κ₂为调节比例因子。

2)求解带约束条件的复合二次型泛函方程

求得复合二次规划问题的拉格朗日函数为：

令拉格朗日函数L关于x、λ的矢量偏导为零，得：

设计饱和函数g(ρEx+μ)，使得有：

成立。

令W为正定矩阵且矩阵A满秩，求解拉格朗日方程可得：

由上式成立得AM^-1A^T为可逆的，则rank(AM^-1A^T)＝rank(A)且满秩。令：

求得：

x＝-S₁E^Tμ+S₂

并代入饱和函数g(x)得：

g(ρEx+μ)＝g[(I-ρES₁E^T)μ+ρES₂]＝ρES₁E^Tμ+ρES₂

使用一层类神经网络训练上式得关于μ的状态方程为：

其中：ε为比例缩放因子，sig^r定义为：

对求解所提复合二次型多关节机械臂最优控制方程可概述为：

状态方程：

输出方程：x＝-S₁E^Tμ+S₂

其中： 为所求控制误差，u为所求最优控制律。

有益效果

一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法，其产生的有益效果如下：

(1)针对多关节机械臂最优控制，设计基于二阶段的叠加优化的复合二次型最优泛函模型，将最优控制律和控制误差复合为一个待求矢量，实现在多关节机械臂控制系统中用不大的控制能量来保证较小的控制误差的综合最优控制目的，同时达到降低求解复杂度，提高控制精度的目的。

(2)针对多关节机械臂动力学控制，设计线性控制误差，采用基于RBF网络自适应逼近非线性方程中存在的未知项，实现线性函数对非线性系统的控制，达到降低控制的复杂性，提高控制的稳定性及自适应性的控制目的。

(3)针对复合二次型泛函方程的求解，设计饱和函数及使用一层类神经网络(称为类递归神经网络)训练可得状态方程及输出方程，快速收敛于有限时间并求得其解，从而求得最优控制律u与控制误差实现用不大的控制能量来保持较小的控制误差的最优控制目的。

(4)最后，通过分析及数值仿真验证了本方法能有效提高多关节机械臂控制系统的控制的精度、稳定性、鲁棒性及自适应性，同时实现多关节机械臂最优控制。

(5)本发明有效提高非线性系统的控制精度、稳定性、鲁棒性及自适应性，同时求得控制律与控制误差具体数值达到用不大的控制能量来保持较小的控制误差的最优控制目的，实现多关节机械臂控制系统性能指标的综合最优。

附图说明

图1为本发明流程图。

图2为RBF网络自适应逼近非线性多关节机械臂控制系统示意图。

图3为以二关节机械臂为例的机械臂逆运动学示意图。

图4为以二关节机械臂为例，关节1和关节2的角度跟踪及角速度跟踪。

图5为以二关节机械臂为例，f(q)跟踪及RBF自适应逼近

图6为以二关节机械臂为例，关节控制输出τ的MATLAB数值模拟仿真曲线

图7为以二关节机械臂为例，使用本方法解复合二次规划模型状态方程μ(t)的MATLAB数值模拟仿真曲线。

图8为以二关节机械臂为例，求解复合二次规划模型状输出方程结果的MATLAB数值模拟仿真曲线。

图9为激励函数分别采用为Sigmoid函数、Tan-Sigmoid函数、高斯基函数作用在原始数据一次函数y＝x后示意图。

图10为以二关节机械臂为例，分别采用Sigmoid函数、Tan-Sigmoid函数、高斯基函数自适应逼近机械臂控制器MATLAB数值模拟仿真曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的说明。

一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法，流程图如图1所示，包括2个步骤，一次执行这两个步骤。1为步骤1，设计线性误差函数，作用于非线性多关节机械臂控制方程，并设计基于RBF网络自适应逼近控制器中存在的不确定项，构成全局稳定的闭环反馈系统，实现线性系统对非线性多关节机械臂系统自适应控制；2为步骤2，设计复合二次规划模型，将待求控制能量与控制误差复合成一个未知矢量，设计饱和函数及类神经网络训练得其状态方程及输出方程，快速收敛于有限时间并得其解，实现多关节机械臂系统最优控制。具体实施步骤如下：

S0预备阶段

1)连续时间非线性复合二次型目标泛函：

其中：D为半正定对称时变加权矩阵，R为正定对称时变加权矩阵，为控制跟踪误差，u(t)为控制动作律。

最优控制器的核心为设计一个最优控制律u(t)，使得系统从初始状态到终端状态时，使得性能泛函指标处于极值。此刻，u(t)称为最优控制律。线性控制系统的复合二次型泛函的最优控制问题的实质在于用不大的控制能量来保持较小的控制误差，以达到所耗费的能量和控制误差的综合最优。

2)多关节机械臂动力学方程：

其中：为广义节点位置坐标矢量，分别为广义速度矢量、加速度矢量；为关节空间动力学模型的惯性矩阵，表示离心力、法向力和哥氏力之和，表示为重力项，为其它未知外加扰动，为动力学控制输入。

以二关节机械臂控制系统为例，如图3为二关节机械臂逆运动学示意图，以工作空间的关节末端节点直角坐标系(x,y)转为二关节位置矢量(θ₁,θ₂)，换算公式如下：

其中：

本发明以二关节机械臂控制系统为例，实例步骤如下：

S1对二关节机械臂动力学方程中存在的物理量进行赋值

二关节机械臂系统动力学方程为：

其中：

其中，A＝[a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆]为与二关节机械臂臂长及臂重有关的物理量，取A＝[3.6,0.5,1.3,0.7,6.0,0.7]，g＝9.8为重力加速度。

S2输入二关节角度跟踪、角速度跟踪及角加速度跟踪函数

图4为以二关节机械臂为例的角度跟踪及角速度跟踪。其中图4(a)关节1的角度跟踪；图4(b)关节2的角度跟踪；图4(c)关节1的角速度跟踪；图4(d)关节2的角速度跟踪。取θ_d＝[0.2cos(t),0.2sin(t)]^T，则：

S3对自适应RBF网络隐含节点的中心向量c及标准化常数σ赋值

如附图2所示为本方法设计RBF网络自适应逼近非线性机械臂控制系统。取自适应RBF网络隐含节点的中心向量c及标准化常数σ分别为:

S4输入二关节机械臂系统的初始角度

随机输入初值角度θ及初始角速度为：

θ＝[0.2,0]^T,

S5对本方法步骤(1)中待定参数进行取值

本方法步骤(1)中的待定控制参数取：K_d＝diag{2,2},K_p＝diag{3,3},K_v＝diag{5,5},误差项s中取ε_N＝0.2,ε_d＝0.1，取雅可比约束矩阵为：

其中：B＝[b₁,b₂]为与二杆机械臂臂长有关的物理量，取B＝[1.0,1.2]，取κ₁＝1,κ₂＝1.6,W＝diag{w₁I_2×2,w₂I_2×2,w₃I_2×2}，取w₁＝w₂＝w₃＝1。

S6对本方法步骤(2)中待定参数进行取值

对本方法步骤(2)中复合二次规划模型求解法待定饱和函数比例因子ρ、一层类神经网络sig中r值、状态方程缩放因子ε分别取值为：

ρ＝0.03,ε＝10^-9,r＝0.8

S7数值MATLAB模拟仿真

以二关节机械臂系统为例，编写并运行MATLAB仿真程序，仿真结果如附图5-8所示，其中图5为RBF自适应逼近数值仿真模拟效果，自适应逼近f(q)；图6位二关节控制输出τ，图7为复合二次型求解法，步骤(2)中状态方程μ(t)的瞬时状态，μ₁(t)、μ₂(t)最终收敛于某数值；图8为复合二次型求解法，步骤(2)中输出方程输出结果数值解为：

x＝[0.3342,-0.6164,63.810,6.735,-2.992,0.6496]^T

得跟踪误差为最优控制动作律为u(t)＝[063.810,6.735]^T。

稳定性分析

针对步骤(1)的分析：

1)令控制律的Lyapunov函数为：

则：

则控制系统的稳定性主要取决于即：对f的逼近误差及其它干扰项τ_d的大小。

2)令自适应控制律的Lyapunov函数为：

则

设计神经网络自适应律为：

则：

求得：

根据LaSalle不变集原理，得Lyapunov函数收敛，可知系统稳定。

针对步骤(2)的分析：

1)假设ε₁,ε_q分别为ES₁E^T的最大及最小特征值，令A₁＝D(I-ρES₁E^T)+ρES₁E^T，其中I为适当维度的单位阵，且0≤ρ≤2/ε_q,则：

有并且当时S₁E^Tx＝0成立，由此，当ε＞0,0＜r＜1，0≤ρ≤2/ε_q时，得Lyapunov函数收敛，可知系统稳定。

2)如果μ₀为：

g[(I-ρES₁E^T)μ+ρES₂]+ρES₁E^Tμ-ρES₂＝0

的解的话，该神经网络将收敛。根据μ'，在由系统动力学原理构造的最大不变集及约束条件：

S₁E^Tsig^r{g[(I-ρES₁E^T)μ+ρES₂]+ρES₁E^Tμ-ρES₂}＝0

对比效果

一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法中公开了一种针对多关节机械臂最优控制的二阶段叠加优化方法，从步骤(1)和步骤(2)两个角度分别进行对比如下：

针对步骤(1)：如图9所示为将一次函数y＝x在激励函数分别为Sigmoid函数、Tan-Sigmoid函数、Sigmoid函数作用后示意图。其中图9(a)为原始图像；图9(b)为激励函数为Sigmoid函数作用后示意图，如图9(b)所示，可以知Sigmoid函数的特点是将(-∞,+∞)范围内的数据映射到有限区间(0,1)，Sigmoid函数将偏离原点区域的数据压缩，而靠近原点区域的数据则被放大，经Sigmoid函数处理之后，绝对值大的数据变为更加接近，而绝对值较小的数据则由于区间被放大显着更为稀疏；图9(c)为激励函数为Tan-Sigmoid函数作用后示意图，如图9(c)所示，函数经Tan-Sigmoid函数处理后将输出限定在有限区间(-1,1)之内；图9(d)为激励函数为高斯基函数作用后示意图，如图9(d)所示，函数经高斯基作用后，其结果在无限大范围内趋近于零。综上，通过Sigmoid函数或Tan-Sigmoid函数作用后，其两者函数值在输入空间中无限大范围内为非零值，其作用范围为全局的；高斯基函数在无限大范围内趋近于零，其作用范围是局部的。

如图10所示为以二关节机械臂系统实例为例，分别为Sigmoid函数、Tan-Sigmoid函数、Sigmoid函数作用MATLAB数值仿真曲线。通过如图10所示对比可以采用高斯基函数作为RBF网络自适应逼近控制器具备较好的逼近性能，且无局部极小值。

针对步骤(2)：本发明设计类神经网络求解复合二次规划模型，和常见的基于梯度的神经网络、拉格朗日神经网络及对偶神经网络等神经网络模型求解法的性能对比如下：

Claims (4)

1.一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法，其特征在于，包括如下：

步骤(1)，针对非线性多关节机械臂控制系统，设计线性误差函数，作用在非线性多关节机械臂控制方程，并设计基于RBF网络自适应逼近控制器，自适应逼近非线性方程中存在的不确定项，构成全局稳定的闭环反馈系统，实现线性函数对非线性多关节机械臂系统的自适应控制目的；

步骤(2)，设计带约束条件的复合二次规划模型求解方法，将前一步骤中多关节机械臂控制输出作为该二次规划模型中待定输入系数，将待求控制能量u与控制误差复合成一个未知矢量x，并设计饱和函数及一层类神经网络(称为类递归神经网络)训练得其状态方程及输出方程，快速收敛于有限时间并得其解，从而求得控制能量u与控制误差实现用不大的控制能量来保持较小的控制误差的最优控制目的。

2.根据权利要求1所述的一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法，其特征在于，所述步骤(1)中控制器中误差函数r(t)的设计、自适应RBF网络对控制器的自适应整体逼近即多关节机械臂控制系统中未知参数的自适应逼近拟合，达到全局稳定的状态，线性控制律对非线性系统的控制。

3.根据权利要求1所述的一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法，其特征在于，所述步骤(2)中将非线性多关节机械臂系统中控制律u与控制误差复合成一个未知矢量x，建立带约束条件的复合二次型泛函模型，设计饱和函数及类神经网络求解复合二次泛函模型，快速收敛于有限时间并得其解的特性。

4.根据权利要求1所述的一种复合二次型多关节机械臂最优控制方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤(1)：设计基于RBF网络自适应逼近的多关节机械臂控制器

1)设计控制律

定义θ的跟踪误差为：

e(t)＝θ_d(t)-θ(t)

其中：θ_d(t)为理想状态下的广义节点位置坐标矢量设计线性误差函数为：

其中：的增益矩阵，则：

其中：

为系统输入量。

设计控制律为：

其中：为RBF网络自适应逼近的估计值，则可得：

2)设计RBF网络自适应逼近的控制律

RBF神经网络算法为：

RBF网络自适应逼近f(q)，则输出为：

RBF网络逼近的自适应控制律为：

其中：s为克服RBF网络自适应逼近误差的鲁棒项。

3)设计RBF网络自适应逼近f(q)中各不确定项

对f(q)中各项进行逼近：

则被控对象f(q)的RBF网络自适应整体逼近为：

则RBF网络自适应逼近的控制律为：

步骤(2)：建立及求解复合二次型多关节机械臂最优控制方程

1)建立带约束条件的复合二次型泛函方程

设计多关节机械臂系统控制方程为τ_j＝Pu，其中τ_j为步骤(1)输出u为最优控制律，P为将控制律u映射到广义空间的线性变换。则机械系统参考控制动作值为：

其中：F为由动力学机械系统约束引起的雅可比约束，λ₁为待定比例因子，则：

得：

设计正向运动学方程：

可得:

复合二次型泛函方程的积分形式为：

式中：为跟踪误差，u(t)为最优控制律。

泛函方程的等式约束条件为：

泛函方程的不等式约束条件为：

注：其物理意义为机械系统非零控制动作矢量与电机正常反应和摩擦力所引起的动作矢量应小于控制律。

将泛函方程抽象为如下复合二次型模型：

s.t.Ax＝b

l≤Ex≤h

其中：为将跟踪误差最优控制律u(t)、雅可比矩阵系数λ复合而成和二次规划模型，M为正定矩阵，Ax＝b为等式约束条件，l≤Ex≤h为不等式约束条件。结合多关节机械臂控制系统则：

其中，κ₁、κ₂为调节比例因子。

2)求解带约束条件的复合二次型泛函方程

求得复合二次规划问题的拉格朗日函数为：

令拉格朗日函数L关于x、λ的矢量偏导为零，得：

设计饱和函数g(ρEx+μ)，使得有：

成立。

令W为正定矩阵且矩阵A满秩，求解拉格朗日方程可得：

由上式成立得AM^-1A^T为可逆的，则rank(AM^-1A^T)＝rank(A)且满秩。令：

求得：

x＝-S₁E^Tμ+S₂

并代入饱和函数g(x)得：

g(ρEx+μ)＝g[(I-ρES₁E^T)μ+ρES₂]＝ρES₁E^Tμ+ρES₂

使用一层类神经网络训练上式得关于μ的状态方程为：

其中：ε为比例缩放因子，sig^r定义为：

对求解所提复合二次型多关节机械臂最优控制方程可概述为：状态方程：

输出方程：x＝-S₁E^Tμ+S₂

其中： 为所求控制误差，u为所求最优控制律。