CN109508478A - 基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，包括：以圆形盾构隧道的衬砌中曲线建立曲线坐标系，以衬砌中曲线的底部为坐标原点；圆形盾构隧道的受到的荷载包括主动荷载和被动荷载，A、当不考虑与衬砌位移相关的土体反力时，依次计算得到整个衬砌各个位置处的状态向量。B、当考虑与衬砌位移相关的土体反力p₆(隧道两侧的土体反力)时，经过调整计算得到整个衬砌各个位置的状态向量，状态向量包括内力和位移，通过位移计算得到相对变形。本发明计算方法，能够提高盾构隧道结构计算效率，能够应对实际应用中灵活多变的盾构管片接头分布和荷载分布，为盾构隧道设计提供重要依据。

Description

基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法

技术领域

本发明涉及盾构隧道设计技术领域，具体涉及一种基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法。

背景技术

状态空间法通过将能量对偶的物理量如内力与位移作为状态变量，使得描述结构力学行为的复杂控制方程变为简洁的矩阵形式，具有便于计算机编程，计算效率高，精度好等特点。状态空间法被广泛应用于工程领域，但在盾构隧道结构分析中的运用尚未见之报道。

盾构隧道在横向上由若干连续盾构管片辅以接头组成，接头的存在对盾构管片整体刚度造成一定的削弱。盾构管片接头性质的模拟是决定盾构隧道结构分析成败的重要影响因素。准确获得盾构隧道结构的内力和位移，是盾构隧道结构设计的首要任务。而目前的盾构隧道设计方法或基于力法，或基于位移法，这给处理盾构管片接头和与盾构管片位移相关荷载时带来了麻烦。有限元方法能够适应对盾构隧道精细化模拟的需要，但其存在耗费的计算资源多，建模时间长等缺点。为了提高盾构隧道结构计算效率，应对实际应用中灵活多变的盾构管片接头分布和荷载分布，满足盾构隧道初始设计阶段的需求，为盾构隧道结构设计提供更多的选择，有必要引入新的盾构隧道设计方法。

发明内容

本发明提供了一种基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，为盾构隧道设计提供重要依据。

一种基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，包括以下步骤：

(1)、以圆形盾构隧道的衬砌中曲线建立曲线坐标系，所述的衬砌中曲线为圆形盾构隧道的内圆周和外圆周中间位置的圆周曲线，所述的圆形盾构隧道由多个带有弧度的盾构管片组成；

所述的曲线坐标系以衬砌中曲线的底部为坐标原点。

w为衬砌中曲线上各位置点的径向位移，u为衬砌中曲线上任意点的环向位移，为盾构管片的转角，Q为盾构管片的剪力，N为盾构管片的轴力，M为盾构管片的弯矩。在下文表述过程中，由粗字体表示矩阵或向量，正常字体表示标量。其他物理量的意义如下：R为衬砌中曲线半径，h为盾构管片的截面高度，E为盾构管片材料的杨氏模量，A为盾构管片的截面积(即盾构管片的环向截面积)，I为盾构管片的环向截面极惯性矩，θ为衬砌中曲线上任意点的角度坐标，q_z为盾构管片受到的z方向的分布荷载，z方向为曲线坐标系的径向，q_s为盾构管片受到的s方向的分布荷载，s方向为曲线坐标系的环向，P_z为盾构管片受到的z方向的集中荷载，P_s为管片受到的s方向的集中荷载，k_w、k_u、分别为盾构管片接头的径向刚度、环向刚度和弯曲刚度。

(2)、圆形盾构隧道的受到的荷载包括主动荷载和被动荷载，其中，主动荷载为隧道顶部的竖向土体压力和隧道两侧的水平土体压力，被动荷载即为土体反力，圆形盾构隧道的土体反力包括与衬砌位移无关的土体反力(隧道底部的土体反力)和与衬砌位移相关的土体反力(隧道两侧的土体反力)，

A、当不考虑与衬砌位移相关的土体反力时(荷载大小和荷载分布形式已知时)，采用公式(20)计算第一个盾构管片起始端的内力量(3乘以1的向量)；

其中，

n为衬砌上的接头总数(与盾构管片数量一致)，为矩阵，为矩阵的右上分块矩阵，它的维度为3×3；为衬砌上的第n个接头的刚度矩阵；为衬砌的荷载积分向量；为第n个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；为第n个盾构管片荷载积分向量；为衬砌上的第n-1个接头的刚度矩阵，为第n-1个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；为第n-1个盾构管片荷载积分向量；为衬砌上的第1个接头的刚度矩阵，为第1个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；为第1个盾构管片荷载积分向量； 和为第n、n-1和1个盾构管片的末端角度坐标；和为第n、n-1和1个盾构管片的起始端角度坐标；为第1个盾构管片的起始端三个位移量(径向位移、环向位移和转角位移)，

由公式(20)求得第一个盾构管片起始端的内力量根据刚体位移的定义，直接令并与公式(20)求得第一个盾构管片起始端的内力量一起组成第一个盾构管片的起始端状态向量T表示向量转置，j为盾构管片编号，第一个盾构管片j＝1，采用公式(6)计算第一个盾构管片任意一点的状态向量直至第一个盾构管片的末端状态向量

第j个盾构管片任意一点的状态向量，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第j个盾构管片的起始端的状态向量，为到θ^(j)范围内的荷载积分向量；

当j＝1， 为第1个盾构管片坐标为θ⁽¹⁾一点的状态向量，为第1个盾构管片坐标为θ⁽¹⁾一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第1个盾构管片起始端的状态向量，为到θ⁽¹⁾范围内的荷载积分向量；

再利用公式(15)求得第二个盾构管片的起始端状态向量

为第j+1个盾构管片的起始端状态向量，为第j个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第j个接头的刚度矩阵；

当j＝1，其中，为第2个盾构管片的起始端状态向量，为第1个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第1个接头的刚度矩阵；

j依次取2、3、4...n，即可得到整个衬砌各个位置处的状态向量。

状态向量的后三项依次为剪力、轴力和弯矩，状态向量的前三项依次为径向位移、环向位移和转角位移。在实际设计中，我们关心的相对位移包括转角和衬砌的收敛位移(即衬砌中曲线一条直径上两点间的相对位移)。转角作为求解变量已获得，而收敛位移可以通过角度坐标相差180度的衬砌中曲面的径向位移相加得到。

B、当考虑与衬砌位移相关的土体反力p₆(隧道两侧的土体反力)时，与衬砌位移相关的土体反力p₆的范围为曲线坐标系内45°至135°和225°至315°，然后分别在90°与270°分段，第一段为45°至90°(包括90°)，第二段为90°(不包括90°)至135°，第三段为225°至270°(包括270°)，第四段为270°(不包括270°)至315°。

a、对于p₆作用范围外的盾构管片，，j为盾构管片编号，采用公式(6)计算第j个盾构管片任意一点的状态向量直至第j个盾构管片的末端状态向量

为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点的状态向量，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第j个盾构管片起始端的状态向量，为到θ^(j)范围内的荷载积分向量；

b、对于p₆作用范围内的管片，假定第j个盾构管片位于位于第一或第三个分段，而第j+1个盾构管片位于第二或第四个分段。

对于第j个盾构管片，采用公式(11)计算

其中，为第一或第三分段的盾构管片坐标为θ^(j)一点的状态向量，为第一或第三分段盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第一或第三个分段的至θ^(j)范围内与p₆相关的荷载积分向量，则是至θ^(j)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量；

对于第j+1个盾构管片，采用公式(32)计算。

其中，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)任意一点的状态向量，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第二或第四分段的盾构管片内至θ^(j+1)范围内与p₆相关的荷载积分向量，则是第二或第四分段的盾构管片内至θ^(j+1)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量。

c、利用公式(27)和(28)，求得矩阵和衬砌的荷载积分向量

n为衬砌上的接头总数，与盾构管片数量一致，假定第j个管片位于第一个或第三个分段，第j+1个管片位于第二个或第四个分段；为矩阵，I为单位矩阵，即连接第一和第二分段的接头刚度矩阵或者第三和第四分段间的接头刚度矩阵；为衬砌上的第n、n-1、j+1、j-1和1个接头的刚度矩阵， 和为第n、n-1、2、1个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵，分别为第n、n-1、2、1个盾构管片的末端角度坐标，分别为第n、n-1、2、1个盾构管片的起始端角度坐标； 和为第n、n-1、j+1、j-1、1个盾构管片的荷载积分向量，分别为第n、n-1、j+1、j-1、1个盾构管片的末端角度坐标， 分别为第n、n-1、j+1、j-1、1个盾构管片的起始端角度坐标；为考虑了p₆影响修正后的第一或第三分段的管片起始端和末端状态向量之间的传递矩阵，分别为第一或第三个盾构管片的末端角度坐标，分别为第一或第三个分段盾构管片的起始端角度坐标；为考虑了p₆影响修正后的第一个或第三分段盾构管片的荷载积分向量，为第一或第三个盾构管片末端处的角度坐标，为第一或第三个盾构管片末端处的角度坐标；为考虑了p₆影响修正后的第二或第四分段的管片起始端和末端状态向量之间的传递矩阵，分别为第二或第四分段盾构管片的末端角度坐标，分别为第二或第四分段盾构管片的起始端角度坐标；

d、利用公式(21)，求得第一个盾构管片的起始端内力量和转角

G为矩阵，I为6×6单位矩阵。 为第1个盾构管片的起始端三个位移量(径向位移、环向位移和转角位移)，为第一个盾构管片起始端的内力量(剪力、轴力和弯矩)，为衬砌的荷载积分向量，[1,2,3,6]为矩阵或向量的行号，[3,4,5,6]为矩阵列号或向量的行号；

e、由公式(21)求得第一个盾构管片起始端的内力量和转角其他两个位移包括径向位移和环向位移为刚体位移。根据刚体位移的定义，直接令并与公式(21)求得第一个盾构管片起始端的内力量和转角一起组成状态向量T表示向量转置，j为盾构管片编号，第一个盾构管片j＝1，采用公式(6)计算第一个盾构管片任意一点的状态向量直至第一个盾构管片的末端状态向量

为第j个盾构管片坐标为θ^(j)任意一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第j个盾构管片起始端的状态向量，为到θ^(j)范围内的荷载积分向量；

当j＝1， 为第1个盾构管片坐标为θ⁽¹⁾一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第1个盾构管片起始端的状态向量，为到θ⁽¹⁾范围内的荷载积分向量；

再利用公式(15)求得第二个盾构管片的起始端状态向量

为第j+1个盾构管片的起始端状态向量，为第j个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第j个接头的刚度矩阵；

当j＝1，其中，为第2个盾构管片的起始端状态向量，为第1个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第1个接头的刚度矩阵；

j依次取2、3、4...n计算。当第j个盾构管片位于第一或第三分段时时，采用公式(11)代替公式(6)计算该盾构管片任意一点的状态向量

其中，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点的状态向量，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为至θ^(j)范围内与p₆相关的荷载积分向量，则是至θ^(j)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量。第j+1个盾构管片位于第二分段或第四分段，采用公式(32)代替公式(6)计算。

其中，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)任意一点的状态向量，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为至θ^(j+1)范围内与p₆相关的荷载积分向量，则是至θ^(j+1)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量。

至此，得到整个衬砌各个位置的状态向量，所述的状态向量包括内力和位移，通过位移计算得到相对变形。

状态向量的后三项依次为剪力、轴力和弯矩，状态向量的前三项依次为径向位移、环向位移和转角位移。在实际设计中，我们关心的相对位移包括转角和衬砌的收敛位移(即衬砌中曲线一条直径上两点间的相对位移)。转角作为求解变量已获得，而收敛位移可以通过角度坐标相差180度的衬砌中曲面的径向位移相加得到。

与现有技术相比，本发明具有如下优点：

本发明基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，能够提高盾构隧道结构计算效率，能够应对实际应用中灵活多变的盾构管片接头分布和荷载分布，满足盾构隧道初始设计阶段的需求，为盾构隧道结构设计提供更多的选择，为盾构隧道设计提供重要依据。

附图说明

图1为本发明管片坐标体系及相关物理量的示意图；

图2为本发明中管片荷载分布的示意图；

图3为本发明实施例1管片荷载分布及其结构参数的示意图；

图4为本发明实施例1收敛位移结果的示意图；

图5为本发明实施例1剪力计算结果的示意图；

图6为本发明实施例1轴力计算结果的示意图；

图7为本发明实施例1弯矩计算结果的示意图；

图8为本发明实施例1接头张开量计算结果的示意图；

图9为本发明实施例2管片结构及其参数的示意图；

图10为本发明实施例2收敛位移结果的示意图；

图11为本发明实施例2剪力计算结果的示意图；

图12为本发明实施例2轴力计算结果的示意图；

图13为本发明实施例2弯矩计算结果的示意图；

图14为本发明实施例2接头张开量计算结果的示意图。

具体实施方式

为描述方便，模型基于曲面坐标系，各物理量及其正方向如图1所示。其中，1为衬砌中曲线，w为管片(即盾构管片)的径向位移，u为管片的环向位移，为管片的转角，Q为管片的剪力，Q₀和Q₁为某个盾构管片起始端和末端的剪力，N为管片的轴力，N₀和N₁为某个盾构管片起始端和末端的轴力，M为管片的弯矩，M₀和M₁为某个盾构管片起始端和末端的弯矩。在下文表述过程中，由粗字体表示矩阵或向量，正常字体表示标量。其他物理量的意义如下：R为管片半径(即衬砌中曲线)，h为管片截面高度，E为管片材料的杨氏模量，A为管片的截面积，I为管片的极惯性矩，θ为角度坐标，θ₀和θ₁为角度坐标，q_z为管片受到的z方向的分布荷载，q_s为管片受到的s方向的分布荷载，P_z为管片受到的z方向的集中荷载，P_s为管片受到的s方向的集中荷载，k_w、k_u、分别为管片接头的径向刚度、环向刚度和弯曲刚度。

该方法的步骤为：

(1)、不失一般性，假定有n个盾构管片。对于第j个盾构管片，基于曲梁理论和最小势能原理，推导盾构管片的变形方程和运动控制方程(公式(1)、(22))。

其中，上标(j)表示第j个管片的物理量。

(2)、基于状态空间法，如公式(3)第一式所示，将第j个盾构管片的环向位移w^(j)、径向位移u^(j)和转角及其能量对偶的截面轴力N^(j)、剪力Q^(j)和弯矩M^(j)作为状态向量x^(j)，将公式(1)、(22)中运动方程和变形方程改写成矩阵形式的控制方程，即状态方程(公式(2))。

其中,

和

出于数值稳定性考虑，按下式引入无量纲位移、内力和坐标，物理量上加一横表示归一化后的物理量：

归一化后公式(2)变为

其中,归一化后的系数矩阵的表达式如下：

归一化后的状态向量为和荷载向量如下式所示：

(3)、根据矩阵理论，求解状态方程(公式(2))，得到第j个盾构片坐标为θ^(j)一点的状态变量和它的坐标为的起始端的状态变量之间的传递关系式。

下标0表示位于管片起始端处的物理量，其中，

为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，矩阵的非零项显式表达如下式：

为到θ^(j)范围内的荷载积分向量。它需要根据外荷载和的具体形式计算。

特别地，当管片至θ^(j)范围内受到m个作用在作用的集中荷载 作用时(k≤m)，中元素的显式表达如下：

其中和为矩阵的第i行第4列和第i行第5列元素，为向量的第i个元素。

将第j个盾构管片的末端角度坐标带入公式(6)即可得到第j个盾构管片起始端状态向量和末端状态变量间的传递关系，得到公式(23)。

图2中土体反力p₆与盾构隧道结构水平位移相关，这代表了一类常用的土体反力模型。p₆可由Winkler弹簧来模拟，其中一种表达式如公式(10)。

p₆＝p_h(1-2cos²θ)，p_h＝K_sΔ_h (10)

式中，K_s和Δ_h分别为土体反力系数及盾构隧道起拱线处(即90°和270°处)的水平位移。

处理这种情况下的土体反力，为了避免迭代，在盾构隧道左右起拱线处即90°和270°，和p₆作用范围的界限即45°、135°、225°和315°，分别人为分段，并将其称做人工接头。为了叙述方便，将45°至90°(包括90°)称为第一分段，90°(不包括90°)至135°称为第二分段，225°至270°(包括270°)称为第三分段，270°(不包括270°)至315°称为第四分段；

人工接头处转动弹簧刚度为无穷大，完美传递内力和位移，保持了内力和位移的连续性，即接头两侧的内力和位移相同。公式(16)中的接头刚度矩阵J^(j)将变成单位阵I。

对于p₆作用范围内的管片，由于人为设置了分段，考虑p₆的影响，式(6)将发生改变，分为两种情况：假定第j个盾构管片位于第一或者第三个分段，而第j+1个盾构管片位于第二或者第四个分段。

a、对于第j个盾构管片，公式(6)变为公式(11)，

其中，式中带括号上标(j)等表示对象为第j个盾构管片，下标1表示物理量位于盾构管片的末端。为第一或者第三个分段盾构管片坐标为θ^(j)任意一点的状态向量，为第一或者第三个分段个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，由公式(7)得到。则是第一或第三个分段的盾构管片内至θ^(j)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量，由公式(7)得到。为第一或者第三个分段的盾构管片内至θ^(j)范围内与p₆相关的荷载积分向量，它的表达式为。

表示第j个盾构管片的末端状态向量中的径向位移，亦即盾构隧道衬砌起拱线处的水平位移；表示第j个盾构管片传递矩阵的第4列。ξ表示在积分中角度坐标。

将第一或第三分段盾构管片的起始端和末端角度坐标带入公式(11)，求得第一或第三分段管片起始端状态向量和末端状态变量间的传递关系如公式(25)。

表示考虑了p₆影响后的第一和三分段盾构管片的起始端和末端状态向量间的传递矩阵，而则是第一和三分段盾构管片上考虑p₆影响修正后的其他与管片变形无关的外荷载的积分向量，他们的具体形式为

b、对于第j+1个盾构管片，公式(6)变为公式(32)

式中，

表示第j+1个盾构管片的起始端状态向量中的径向位移，亦即盾构隧道衬砌起拱线处的水平位移；表示第j+1个盾构管片传递矩阵的第4列。ξ表示在积分中角度坐标。

将第二和四分段的盾构管片的起始端和末端坐标带入公式(32)，第二或第四分段管片起始端状态向量和末端状态变量间的传递关系如公式(26)

式中表示考虑了p₆影响后的第二或第四分段盾构管片的起始端和末端状态向量间的传递矩阵

(4)、采用三向弹簧模拟结构接头力学行为，建立接头内力与位移关系式，将其改写为矩阵形式。对于第j个接头，

其中，为第j个接头的刚度矩阵，其具体形式如下式所示

式中，和分别为接头的归一化后的径向刚度、环向刚度和转动刚度。特别地，对于步骤(3)中的人为接头，这三个刚度可取为无穷大，因此，此时的接头刚度矩阵将变为单位阵I。

对管片力学行为的研究表明，管片接头弯曲的力学性质在正弯(接头处管片内侧受拉)和负弯(接头处管片外侧受拉)时，存在刚度差异。对于其他两个刚度，受拉与受压两种状态下也有类似行为。为更精细的模拟接头力学行为，根据接头的受力状态，接头刚度的取值有四种组合： 和其中+表示正弯或受拉，-表示负弯或受压，与其对应，接头刚度矩阵也有四种选择，即和在具体计算时，可以采取试算的方式，最终确定与受力状态匹配的刚度矩阵。

(5)、A、当衬砌受到的外荷载为任意已知荷载而与衬砌位移无关时，由公式(23)得到各个管片起始端和末端状态变量的传递关系式后，结合接头内力位移关系式(15)，得到关于第一个管片环的起始端3个位移量和3个内力量共六个变量的非齐次线性方程组如公式(17)。

式中

此时，盾构衬砌模型在空间中为拥有两个平动自由度和一个转动自由度的可动结构，因此，公式(17)的系数矩阵的秩为3。最终公式(17)可进一步退化成公式(20)

其中为第1个盾构管片的起始端三个位移量，即径向位移、环向位移和转角位移；为第一个盾构管片起始端的三个内力量，即剪力、轴力和弯矩。和为整环衬砌积分向量的前三项和后三项。

公式(20)的后三个方程为当衬砌的外荷载为自平衡荷载时候，该式自动满足。通过公式(20)的前三个方程，可求得第一个管片起始端的三个内力量观察公式(8)和(16)，我们可以看出矩阵和的左上角和右下角3×3分块矩阵均为单位阵，这意味着内力与位移的计算是独立的，这在物理上可以解释为刚体位移的影响。由此，根据式(6)和(15)独立确定整个衬砌的各个位置的内力。除了内力，管片的相对位移也是我们关心的内容，根据刚体位移的定义，我们可以直接令并与公式(20)求得第一个管片起始端的内力量一起组成第一个盾构管片的起始端状态向量结合公式(6)和(15)求得整个衬砌环的内力和位移，当然其中的位移包括了刚体位移，但由于是刚体位移，这不影响相对变形和内力计算的准确性。

B、当衬砌受到的外荷载中的土体反力如图2中所示时，需要考虑p₆的影响，将公式(18)和(19)中的处于p₆范围内的盾构管片的荷载传递矩阵(和)和荷载积分向量替换成考虑p₆影响修正后的矩阵(和)和向量即(27)和(28)。

这样一来，公式(17)无法退化成公式(20)。实际上，图2的土体反力限制了管片环的水平位移，即约束了管片的一个平动自由度，公式(17)的秩变为2。此时，土体反力将对起始端三个初始位移中的转角起约束作用而对另外两个位移不起约束作用。因此，在计算时可以将式(17)中径向位移和环向位移对应的第1,2列，及由其能量对偶内力Q和N的微分方程演化而来的第4,5行公式去掉，即公式(17)退化为公式(21)：

其中I为6乘以6单位阵。这是个满秩非齐次方程组，由它可求得第一个管片起始端的三个内力和转角令另外两个位移和都为零，作为初始状态向量再反复利用公式(6)和(15)可求得整个衬砌各处的状态向量。当然，当求解位于p₆作用范围内的盾构管片时，需要用公式(11)或公式(32)代替(6)计算。另外，为了计算p₆，需要先计算盾构隧道起拱线处的水平位移，即90°和270°处的径向位移，采用公式(29)可求得这两处的状态向量。

其中

此时的位移包含了刚体位移，但由于是刚体位移，这不影响相对变形和内力计算的准确性。

实施例1

一种基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，包括以下步骤：

(1)、以圆形盾构隧道的衬砌中曲线建立曲线坐标系，衬砌中曲线为圆形盾构隧道的内圆周和外圆周中间位置的圆周曲线，圆形盾构隧道由多个带有弧度的盾构管片组成，曲线坐标系以衬砌中曲线的底部为坐标原点；

(2)、圆形盾构隧道的受到的荷载包括主动荷载和被动荷载，其中，主动荷载为隧道顶部的竖向土体压力和隧道两侧的水平土体压力，被动荷载即为土体反力，圆形盾构隧道的土体反力包括与衬砌位移无关的土体反力和与衬砌位移相关的土体反力；

A、当不考虑与衬砌位移相关的土体反力时，采用公式(20)计算第一个盾构管片起始端的内力量

其中，

n为衬砌上的接头总数，与盾构管片数量一致；为矩阵，为右上分块矩阵，它的维度为3×3；为衬砌的荷载积分向量；为衬砌上的第n个接头的刚度矩阵；为第n个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；为第n个盾构管片荷载积分向量；为衬砌上的第n-1个接头的刚度矩阵；为第n-1个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；为第n-1个盾构管片荷载积分向量；为衬砌上的第1个接头的刚度矩阵；为第1个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；为第1个盾构管片荷载积分向量；为第1个盾构管片的起始端三个位移量，即径向位移、环向位移和转角位移；

由公式(20)求得第一个盾构管片起始端的内力量根据刚体位移的定义，直接令并与公式(20)求得第一个盾构管片起始端的内力量一起组成第一个盾构管片的起始端状态向量T表示向量转置，j为盾构管片编号，第一个盾构管片j＝1，采用公式(6)计算第一个盾构管片任意一点的状态向量直至第一个盾构管片的末端状态向量

第j个盾构管片任意一点的状态向量，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第j个盾构管片起始端的状态向量，为到θ^(j)范围内的荷载积分向量；

当j＝1， 为第1个盾构管片坐标为θ⁽¹⁾一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第1个盾构管片起始端的状态向量，为到θ⁽¹⁾范围内的荷载积分向量；

再利用公式(15)求得第二个盾构管片的起始端状态向量

为第j+1个盾构管片的起始端状态向量，为第j个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第j个接头的刚度矩阵；

当j＝1，其中，为第2个盾构管片的起始端状态向量，为第1个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第1个接头的刚度矩阵；

j依次取2、3、4...n，即可得到整个衬砌各个位置处的状态向量，所述的状态向量包括内力和位移，通过位移计算得到相对变形。

实施例1来源于某一模型试验，受到三组不同推力作用，各项荷载大小均已知，与管片位移无关，其管片结构及荷载分布如图3所示。试验管片的半径为2.925m，管片宽度1.2m，截面高0.35m，弹性模量35GPa。本实施例假设接头轴向刚度和剪切刚度无穷大，接头弯曲刚度统一取为11811kN.m/rad等效后的集中荷载P₁＝388.3kN/m，P₂＝176.6kN/m，P₃＝242.9kN/m。具体计算步骤如下：

A、根据输入的参数进行参数归一化。

B、将归一化后的参数，及各个管片的起始端坐标和末端坐标带入公式(7)，得到各个管片起始端和末端传递状态向量的矩阵以及管片的荷载积分向量

C、开始试算，默认接头处于受拉和受正弯状态，采取相应归一化后的正弯下的接头弯曲刚度，生成各个接头刚度矩阵对于人工接头，接头刚度矩阵为单位阵I。

D、将带入公式(18)和(19)，求得矩阵和再将其带入公式(20)即可求得第一个管片起始端三个内力量令与合成第一个管片起始端状态向量结合公式(6)和(15)求得各个管片接头的内力。

E、根据算得的接头内力，判断接头的受力状态。如果与计算所设接头受力状态一致，则试算结束，结合公式(6)和(15)即可求得管片任意位置的状态向量，即位移和内力。如果不一致，则根据此时的受力状态，选择相应的接头弯曲刚度，带回C，重新计算，直至受力状态和所取接头弯曲刚度一致为止。

F、根据实际需要绘图。

实施例1计算所得的收敛位移、剪力、轴力、弯矩以及各个接头的内外侧张开量如图4-8所示。

实施例2

一种基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，包括以下步骤：

(1)、以圆形盾构隧道的衬砌中曲线建立曲线坐标系，衬砌中曲线为圆形盾构隧道的内圆周和外圆周中间位置的圆周曲线，圆形盾构隧道由多个带有弧度的盾构管片组成，曲线坐标系以衬砌中曲线的底部为坐标原点；

(2)、圆形盾构隧道的受到的荷载包括主动荷载和被动荷载，其中，主动荷载为隧道顶部的竖向土体压力和隧道两侧的水平土体压力，被动荷载即为土体反力，圆形盾构隧道的土体反力包括与衬砌位移无关的土体反力和与衬砌位移相关的土体反力，图9为本发明实施例2管片结构及其参数的示意图；

B、当考虑与衬砌位移相关的土体反力p₆时，与衬砌位移相关的土体反力p₆的范围为曲线坐标系内45°至135°和225°至315°，然后分别在90°与270°分段，第一段为45°至90°(包括90°)，第二段为90°(不包括90°)至135°，第三段为225°至270°(包括270°)，第四段为270°(不包括270°)至315°；

a、对于p₆作用范围外的盾构管片，采用式(6)计算起始端和末端的状态向量传递关系，j为盾构管片编号，采用公式(6)计算第j个盾构管片任意一点的状态向量直至第j个盾构管片的末端状态向量

为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第j个盾构管片起始端的状态向量，为到θ^(j)范围内的荷载积分向量；

b、对于p₆作用范围内的管片，假定第j个盾构管片位于第一或第三个分段，则第j+1个盾构管片位于第二或第四个分段：

对于第j个盾构管片，采用公式(11)计算

其中，为第一或第三分段的盾构管片坐标为θ^(j)任意一点的状态向量，为第第一或第三个分段的盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，由公式(7)得到。则是第一或第三分段盾构管片内至θ^(j)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量，由公式(7)得到。为第一或者第三分段的盾构管片内至θ^(j)范围内与p₆相关的荷载积分向量。

当盾构管片位于第二或第四分段时，采用公式(32)计算。

其中，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)任意一点的状态向量，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为至θ^(j+1)范围内与p₆相关的荷载积分向量，则是至θ^(j+1)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量。

c、利用公式(27)和(28)，求得矩阵和衬砌的荷载积分向量

n为衬砌上的接头总数，与盾构管片数量一致；I为单位矩阵即第一和第二分段间或者第三和第四分段间的接头刚度矩阵；为矩阵， 为衬砌上的第n、n-1、j+1、j-1和1个接头的刚度矩阵，和为第n、n-1、2、1个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；分别为第n、n-1、2、1个盾构管片的末端角度坐标，分别为第n、n-1、2、1个盾构管片的起始端角度坐标； 和为第n、n-1、j-1、1个盾构管片的荷载积分向量，分别为第n、n-1、2、1个盾构管片的末端角度坐标，分别为第n、n-1、2、1个盾构管片的起始端角度坐标；为考虑了p₆影响修正后的第一或第三分段的盾构管片起始端和末端状态向量之间的传递矩阵；分别为第一或第三个盾构管片的末端角度坐标，分别为第一或第三个分段盾构管片的起始端角度坐标； 则为考虑了p₆影响修正后的该盾构管片上与p₆无关的外荷载作用的积分向量，为第一或第三分段盾构管片末端处的角度坐标；为第一或第三个盾构管片末端处的角度坐标；为考虑了p₆影响修正后的第二和第四分段的管片起始端和末端状态向量之间的传递矩阵，分别为第二和第四分段盾构管片的末端角度坐标，分别为第第二和第四分段盾构管片的起始端角度坐标；

d、利用公式(21)，求得第一个盾构管片的起始端内力量和转角

G为矩阵， 由公式(27)得到，I为6×6单位矩阵； 为第1个盾构管片的起始端三个位移量，即径向位移、环向位移和转角位移，为第一个盾构管片起始端的内力量，即剪力、轴力和弯矩；为衬砌的荷载积分向量，由公式(28)得到，[1,2,3,6]为矩阵行号，[3,4,5,6]为矩阵列号；

由公式(21)求得第一个盾构管片起始端的内力量和转角其他两个位移包括径向位移和环向位移为刚体位移。根据刚体位移的定义，直接令其＝0，并与公式(21)求得第一个盾构管片起始端的内力量一起组成状态向量T表示向量转置，j为盾构管片编号，第一个盾构管片j＝1，采用公式(6)计算第一个盾构管片任意一点的状态向量直至第一个盾构管片的末端状态向量

为第j个盾构管片坐标为θ^(j)任意一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第j个盾构管片起始端的状态向量，为到θ^(j)范围内的荷载积分向量；

当j＝1， 为第1个盾构管片坐标为θ⁽¹⁾一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第1个盾构管片起始端的状态向量，为到θ⁽¹⁾范围内的荷载积分向量；

再利用公式(15)求得第二个盾构管片的起始端状态向量

为第j+1个盾构管片的起始端状态向量，为第j个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第j个接头的刚度矩阵；

当j＝1，其中，为第2个盾构管片的起始端状态向量，为第1个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第1个接头的刚度矩阵；

j依次取2、3、4...n计算，当第j个盾构管片位于第一分段或第三分段时，采用公式(11)计算该盾构管片任意一点的状态向量

其中，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)任意一点的状态向量，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为至θ^(j)范围内与p₆相关的荷载积分向量，则是至θ^(j)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量；

第j+1个盾构管片位于第二分段和第四分段时，采用公式(32)计算该盾构管片任意一点的状态向量

其中，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)任意一点的状态向量，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为至θ^(j+1)范围内与p₆相关的荷载积分向量，则是至θ^(j+1)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量。

至此，得到整个衬砌各个位置的状态向量，所述的状态向量包括内力和位移，通过位移计算得到相对变形。

实施例2参数来源某一实际工程，受到的荷载形式如图2所示，此时土体反力与管片结构位移相关，其结构分布及计算参数见图9所示，衬砌外径：R_out＝2.5m，管片截面高度：h＝0.3m，管片的弹性模量：E＝3.5×10⁷kPa，衬砌由6块管片组成，管片对称均匀分布，各个管片圆心角为60度。各项荷载参数如下：p₁＝165.8kPa，p₂＝187.9kPa，p₃＝116.1kPa，p₄＝60.2kPa，p₅＝7.5kPa，，土体反力系数K_s为5000kN/m³。具体计算步骤如下：

A、根据输入的参数进行参数归一化。

B、对于p₆作用范围外的管片，将归一化后的参数，及各个管片的起始端坐标和末端坐标带入公式(7)，得到各个管片起始端和末端传递状态向量的矩阵以及管片的荷载积分向量对于p₆作用范围内的管片，将归一化后的参数，及各个管片的起始端坐标或和末端坐标或带入公式(7)、(12)和(36)，得到各个管片起始端和末端传递状态向量的矩阵或以及管片的荷载积分向量或

C、开始试算，默认接头处于受拉和受正弯状态，采取相应归一化后的正弯下的接头弯曲刚度，生成各个接头刚度矩阵对于人工接头，接头刚度矩阵为单位阵I。

D、将或带入公式(27)和(28)，求得矩阵和在将其带入公式(21)即可求得第一个管片起始端三个内力量和转角令其他两个位移和为零，与合成第一个管片起始端状态向量结合公式(6)、(15)、(11)、(32)求得各个管片接头的内力。

E、根据算得的接头内力，判断接头的受力状态。如果与计算所设接头受力状态一致，则试算结束，结合公式(6)、(15)、(11)和(32)即可求得管片任意位置的状态向量，即位移和内力。如果不一致，则根据此时的受力状态，选择相应的接头弯曲刚度，带回C，重新计算，直至受力状态和所取接头弯曲刚度一致为止。

F、根据实际需要绘图。

算例二计算所得的收敛位移、剪力、轴力、弯矩以及各个接头的内外侧张开量如图10-14所示。

Claims (4)

1.一种基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、以圆形盾构隧道的衬砌中曲线建立曲线坐标系，所述的曲线坐标系以衬砌中曲线的底部为坐标原点；

(2)、圆形盾构隧道的受到的荷载包括主动荷载和被动荷载，其中，主动荷载为隧道顶部的竖向土体压力和隧道两侧的水平土体压力，被动荷载即为土体反力，圆形盾构隧道的土体反力包括与衬砌位移无关的土体反力和与衬砌位移相关的土体反力；

A、当不考虑与衬砌位移相关的土体反力，采用公式(20)计算第一个盾构管片起始端的内力量

其中，

n为衬砌上的接头总数，与盾构管片数量一致；为矩阵，为矩阵的右上分块矩阵，它的维度为3×3；为衬砌上的第n个接头的刚度矩阵；为衬砌的荷载积分向量；为第n个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；为第n个盾构管片荷载积分向量；为衬砌上的第n-1个接头的刚度矩阵；为第n-1个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；为第n-1个盾构管片荷载积分向量；为衬砌上的第1个接头的刚度矩阵；为第1个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵；为第1个盾构管片荷载积分向量； 和为第n、n-1和1个盾构管片的末端角度坐标；和为第n、n-1和1个盾构管片的起始端角度坐标；为第1个盾构管片的起始端三个位移量，即径向位移、环向位移和转角位移；

由公式(20)求得第一个盾构管片起始端的内力量后，根据刚体位移的定义，直接令第一个盾构管片起始端的内力量并与公式(20)求得第一个盾构管片起始端的内力量一起组成第一个盾构管片的起始端状态向量T表示向量转置，j为盾构管片编号，第一个盾构管片j＝1，采用公式(6)计算第一个盾构管片任意一点的状态向量直至第一个盾构管片的末端状态向量

为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点的状态向量，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第j个盾构管片的起始端状态向量，为到θ^(j)范围内的荷载积分向量；

当j＝1， 为第1个盾构管片坐标为θ⁽¹⁾一点的状态向量，为第1个盾构管片坐标为θ⁽¹⁾一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第1个盾构管片起始端的状态向量，为到θ⁽¹⁾范围内的荷载积分向量；

再利用公式(15)求得第二个盾构管片的起始端状态向量

为第j+1个盾构管片的起始端状态向量，为第j个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第j个接头的刚度矩阵；

当j＝1，其中，为第2个盾构管片的起始端状态向量，为第1个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第1个接头的刚度矩阵；

j依次取2、3、4...n，即可得到整个衬砌各个位置处的状态向量，所述的状态向量包括内力和位移，通过位移计算得到相对变形。

2.根据权利要求1所述的基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，其特征在于，所述的衬砌中曲线为圆形盾构隧道的内圆周和外圆周中间位置的圆周曲线，所述的圆形盾构隧道由多个带有弧度的盾构管片组成。

3.一种基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、以圆形盾构隧道的衬砌中曲线建立曲线坐标系，所述的曲线坐标系以衬砌中曲线的底部为坐标原点；

(2)、圆形盾构隧道的受到的荷载包括主动荷载和被动荷载，其中，主动荷载为隧道顶部的竖向土体压力和隧道两侧的水平土体压力，被动荷载即为土体反力，圆形盾构隧道的土体反力包括与衬砌位移无关的土体反力和与衬砌位移相关的土体反力；

B、当考虑与衬砌位移相关的土体反力p₆时，与衬砌位移相关的土体反力p₆的范围为曲线坐标系内45°至135°和225°至315°，然后分别在90°与270°分段，第一段为45°至90°(包括90°)，第二段为90°(不包括90°)至135°，第三段为225°至270°(包括270°)，第四段为270°(不包括270°)至315°；利用公式(27)和(28)，求得矩阵和衬砌的荷载积分向量

n为衬砌上的接头总数，与盾构管片数量一致；假定第j个管片位于第一或第三分段，第j+1个管片位于第二或第四分段；为矩阵，I为单位矩阵，即连接第一和第二分段的接头刚度矩阵或者连接第三和第四分段的接头刚度矩阵；为衬砌上的第n、n-1、j+1、j-1和1个接头的刚度矩阵， 和为第n、n-1、2、1个盾构管片的起始端和末端的状态向量之间的传递矩阵，分别为第n、n-1、2、1个盾构管片的末端角度坐标，分别为第n、n-1、2、1个盾构管片的起始端角度坐标； 和为第n、n-1、j+1、j-1、1个盾构管片的荷载积分向量，分别为第n、n-1、j+1、j-1、1个盾构管片的末端角度坐标， 分别为第n、n-1、j+1、j-1、1个盾构管片的起始端角度坐标；为考虑了p₆影响修正后的第一或第三分段的管片起始端和末端状态向量之间的传递矩阵，分别为第一或第三个盾构管片的末端角度坐标，分别为第一或第三分段盾构管片的起始端角度坐标；为考虑了p₆影响修正后的第一或第三分段盾构管片的荷载积分向量，为第一或第三分段盾构管片末端处的角度坐标，为第一或第三分段盾构管片末端处的角度坐标；为考虑了p₆影响修正后的第二或第四分段的盾构管片起始端和末端状态向量之间的传递矩阵，分别为第二或第四分段盾构管片的末端角度坐标，分别为第二或第四分段盾构管片的起始端角度坐标；

利用公式(21)，求得第一个盾构管片的起始端内力量和转角

G为矩阵， 由公式(27)得到，I为6×6单位矩阵； 为第1个盾构管片的起始端三个位移量，即径向位移、环向位移和转角位移，为第一个盾构管片起始端的内力量，即剪力、轴力和弯矩；为衬砌的荷载积分向量，由公式(28)得到，[1,2,3,6]为矩阵或向量的行号，[3,4,5,6]为矩阵的列号或向量的行号；

由公式(21)求得第一个盾构管片起始端的内力量和转角其他两个位移包括径向位移和环向位移为刚体位移，根据刚体位移的定义，直接令其＝0，并与公式(21)求得第一个盾构管片起始端的内力量和转角一起组成状态向量T表示向量转置，j为盾构管片编号，第一个盾构管片j＝1，对于p₆作用范围外的盾构管片，采用式(6)计算起始端和末端的状态向量传递关系，采用公式(6)计算第一个盾构管片任意一点的状态向量直至第一个盾构管片的末端状态向量

为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点的状态向量，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第j个盾构管片起始端的状态向量，为到θ^(j)范围内的荷载积分向量；

当j＝1， 为第1个盾构管片坐标为θ⁽¹⁾一点的状态向量，为第1个盾构管片坐标为θ⁽¹⁾一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第1个盾构管片起始端的状态向量，为到θ⁽¹⁾范围内的荷载积分向量；

再利用公式(15)求得第二个盾构管片的起始端状态向量

为第j+1个盾构管片的起始端状态向量，为第j个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第j个接头的刚度矩阵；

当j＝1，其中，为第2个盾构管片的起始端状态向量，为第1个盾构管片的末端状态向量，为衬砌上的第1个接头的刚度矩阵；

j依次取2、3、4...n计算，对于p₆作用范围内的管片，当第j个盾构管片位于第一或三分段时，采用公式(11)计算该盾构管片任意一点的状态向量

其中，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点的状态向量，为第j个盾构管片坐标为θ^(j)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为至θ^(j)范围内与p₆相关的荷载积分向量，则是至θ^(j)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量；

对于p₆作用范围内的管片，第j+1个盾构管片位于第二分段或第四分段，采用公式(32)计算；

其中，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)任意一点的状态向量，为第二或者第四分段的盾构管片坐标为θ^(j+1)一点与该盾构管片坐标为的起始端的状态向量之间的传递矩阵，为第二或者第四分段的盾构管片内至θ^(j+1)范围内与p₆相关的荷载积分向量，则是第二或者第四分段的盾构管片内至θ^(j+1)范围内与p₆无关的外荷载作用的积分向量；

至此，得到整个衬砌各个位置的状态向量，所述的状态向量包括内力和位移，通过位移计算得到相对变形。

4.根据权利要求3所述的基于状态空间法的圆形盾构隧道内力和相对变形计算方法，其特征在于，所述的衬砌中曲线为圆形盾构隧道的内圆周和外圆周中间位置的圆周曲线，所述的圆形盾构隧道由多个带有弧度的盾构管片组成。