CN109491248A - 基于rbf-arx模型和拉盖尔函数的磁悬浮球位置预测控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于RBF‑ARX模型和拉盖尔函数的磁悬浮球位置预测控制方法，利用磁悬浮球系统的历史输入输出数据，依据系统辨识原理建立系统的RBF‑ARX模型来描述电磁绕组输入电压与钢球位置间的非线性动态特性。为了满足系统快速响应特性以及较高的控制性能要求，局部线性、全局非线性的RBF‑ARX模型被转化为带有积分环节的非最小状态空间模型，在此基础上，设计了一个基于拉盖尔函数输入参数化的预测控制器，使得预测控制系统能够在较短的采样间隔内在线求解带约束的二次规划问题，并能精确跟踪给定参考信号。本发明为快速响应非线性系统的预测控制提供了一种解决方案，具有较高的推广和实用价值。

Description

基于RBF-ARX模型和拉盖尔函数的磁悬浮球位置预测控制 方法

技术领域

本发明涉及自动控制技术领域，特别是一种基于RBF-ARX模型和拉盖尔函数的磁悬浮球位置预测控制方法。

背景技术

近年来，磁悬浮技术因其速度高、能耗低、无污染、噪声低以及安全可靠等特点吸引了大批的学者和工程技术人员对其展开研究，相关成果也广泛应用于高速磁悬浮列车、防震台、磁悬浮轴承等领域。磁悬浮球系统是一个开环不稳定性、本质非线性的系统，它通过电磁铁产生的磁场对铁球产生作用力，从而平衡铁球自身的重力，使得铁球能够悬浮。由于电磁铁产生的磁场强度与电流关系的非线性、磁饱和现象以及磁场中铁球涡流效应的存在，使得对该系统的建模与控制器设计变得较为复杂。此外，磁悬浮球系统的采样时间较短，是一类快速的系统，导致一些计算量较大的先进控制算法难以实施。

针对磁悬浮球系统的上述特点，研究人员提出了各种各样的控制方案。当电磁铁下表面与铁球间的气隙保持常值或变化范围较小时，系统的非线性不强，传统的PID控制方法以及其它一些依赖于线性化模型的控制策略可以用来有效的控制小球位置。然而当铁球的位置设定点在大范围内变化时，线性控制策略的跟踪控制性能变差。目前，针对磁悬浮球的位置控制主要有预测控制、滑模控制、自适应控制和模糊控制等方法。以上控制方法除了模糊控制外，均需要系统的数学模型。然而模糊控制规则表较难获取且很难在线调整，因此获取系统的模型至关重要。目前，对磁悬浮球系统的建模多采用物理模型，但其物理模型或某些参数较难获取，不是一种通用性的建模方法。在这些基于模型的控制算法中，预测控制因其显式的处理复杂约束的能力而得到广泛应用，此外预测控制算法不需要深入了解被控对象的内部机理而且对模型结构要求不唯一，特别适合工业过程的特点和控制要求。但是磁悬浮球系统是一个快速系统，当预测时域和控制时域较大时，预测控制算法在线优化计算时间可能超过系统的采样时间。如何保证该控制算法在较短的采样时间间隔内实现是一个重要问题。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，针对现有技术不足，提供一种基于RBF-ARX模型和拉盖尔函数的磁悬浮球位置预测控制方法，有效提高磁悬浮球系统的控制性能，同时解决了预测控制在预测时域和控制时域较大的情况下在线优化计算时间长的问题。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：基于RBF-ARX模型和拉盖尔函数的磁悬浮球位置预测控制方法，包括以下步骤：

1)建立磁悬浮球系统的RBF-ARX模型：

其中，y(t)为磁悬浮小球在t时刻的位置，u(t)为t时刻点电磁绕组输入电压，ξ(t)为高斯白噪声信号，w(t-1)＝[y(t-1)，y(t-2)，…，y(t-n_w)]^T，n_y，n_u，m，n_w为RBF-ARX模型阶次，φ₀(w(t-1))、和是依赖于工作点状态的函数型系数，和分别是RBF神经网络的中心向量和缩放因子，和为RBF神经网络的权值系数。

依据AIC信息准则确定RBF-ARX模型的阶次n_y，n_u，m，n_w，采用SNPOM(结构化非线性参数优化方法)优化该模型的参数和

2)基于上述RBF-ARX模型的结构特点，将其转化为如下的非最小状态空间模型：

定义系统的状态向量为：

通过上述定义的状态向量，可得系统的状态空间模型为：

定义期望的位置输出r(t+j₁)＝r(t)(j₁＝1，2，…，N_p)，位置输出误差e(t)＝y(t)-r(t)，令假设在t时刻，前一个工作点状态w(t-1)与当前工作点状态w(t-1)相同，可得含有跟踪误差和积分环节的非最小状态空间模型：

3)基于上述步骤2)和得到的非最小状态空间模型设计磁悬浮球位置预测控制器，得到的控制器结构如下：

其中分别为控制时域和预测时域，Δu(t)＝Δu(t)-Δu(t-1)且Δu(t+j₂)＝0(j₂≥N_c)，X(t)表示t时刻的预测状态变量序列，ΔU(t)表示t时刻预测控制增量序列，u_min和u_max分别为电磁绕组输入电压的下限幅序列和上限幅序列，Δu_min和Δu_max分别为电磁绕组输入电压增量的下限幅序列和上限幅序列，Q和为权值矩阵。

4)基于步骤3)，用拉盖尔基函数将输入信号增量参数化，可得如下的预测控制器结构：

将输入信号增量用拉盖尔基函数表示：

Δu(t+j₃)＝L(j₃)^Tη(j₃＝0，1，2，…，N_c-1)

其中L(j₃)＝[l₁(j₃)，l₂(j₃)，…，l_N(j₃)]^T，为离散形式的拉盖尔基函数，η^T＝[θ₁，θ₂，…，θ_N]为输入信号增量展开式中拉盖尔基函数前的系数，N为展开式中基函数的项数。

离散拉盖尔基函数满足如下地推关系式：

L(t+1)＝GL(t)

其中β＝1-a²，参数a与控制时域N_c满足κ一般在区间5-10内取值。

由上可得参数化后的预测控制器：

其中S＝[L(0)^T，L(1)^T，…，L(N_c-1)^T]^T，

与现有技术相比，本发明所具有的有益效果为：本发明采用系统辨识的方法建立磁悬浮球系统的局部线性、全局非线性RBF-ARX模型，可以有效描述系统的非线性动态特性。本发明所设计的预测控制器基于非最小状态空间模型，该模型将位置跟踪误差信息自然包含在内并含有一个积分环节，可有效消除系统的稳态误差，提高小球位置控制精度。本发明将控制信号增量用拉盖尔基函数表示，使得预测控制器在线优化的变量数目大幅减少，特别是当控制时域较大时，依然能够在采样周期内(5ms)计算出控制量，从而有效发挥出预测控制显式处理复杂约束的能力，最终实现对磁悬浮小球稳定、快速、精确的控制。本发明的设计方法适用于非线性强、控制性能要求高的快速复杂系统，能在计算设备配置不高的场合下实施，具有较高的实用价值和应用前景。

附图说明

图1为本发明磁悬浮球系统结构图。

具体实施方式

参见附图1，本发明所述磁悬浮球系统具体工作过程为：由光源3和光电板4构成的光电传感器检测钢球1的位置信息，相应的检测信号经处理电路5和A/D转换器7处理后传送到执行控制算法的PC机9。由PC机根据本发明所述的预测控制算法计算出控制量u(t)，然后通过D/A转换器8将控制量变为模拟量，并传到电磁绕组驱动电路6，进而控制电磁绕组2中的电流大小，最终实现对钢球位置的控制。该系统是一个单轴的控制系统，只能控制铁球进行上下移动。钢球在电磁铁通电产生的磁场中的受力与电磁绕组中电流以及铁球与电磁铁下端间的气隙有关，通过改变电流的大小即可实现铁球在给定位置的稳定悬浮或跟踪指定的轨迹。

为了使本发明所述的方法易于理解，下面详细阐述该控制器的设计过程：

1)建立磁悬浮球系统的RBF-ARX模型：

a)设计PID控制器，使小球尽可能的在大范围内移动并在输入信号中加入高斯白噪声信号。采集磁悬浮球系统的输入输出数据。

b)根据步骤a)中采集的历史输入输出数据，采用一种快速收敛的结构化非线性参数优化方法(详见：Peng H，Ozaki T，Haggan-Ozaki V，Toyoda Y.2003，A parameteroptimization method for the radial basis function type models)，离线辨识出磁悬浮球系统的RBF-ARX模型：

其中y(t)为磁悬浮小球在t时刻的位置，u(t)为t时刻电磁绕组输入电压，ξ(t)为高斯白噪声信号，w(t-1)＝[y(t-1)，y(t-2)，y(t-3)，y(t-4)]^T，分别为-0.18、0.05，分别为2.03、-0.78、-0.59、1、-0.82、0.42、0.39、0.64，分别为0.01、0.02、0.03、-0.02。

2)将式(1)结构的模型转化为非最小状态空间模型：

首先定义系统的状态向量为：

式(1)的状态空间模型为：

将状态空间模型(4)进一步转化为非最小状态空间模型：

定义期望的位置输出r(t+j₁)＝r(t)(j₁＝1，2，…，15)，位置输出误差e(t)＝y(t)-r(t)，令可得含有跟踪误差和积分环节的非最小状态空间模型：

根据模型(6)，定义相关的预测变量：

其中X(t)、Y(t)、ΔU(t)和R(t)分别为t时刻的多步向前预测状态向量、多步向前预测输出向量、多步向前预测控制向量和多步向前预测输出向量，Δu(t)＝Δu(t)-Δu(t-且Δu(t+j₂)＝0(j₂≥15)。因在公式(1)中假设ξ(t)为0均值白噪声，故在t时刻对ξ(t+j₃|t)期望值为0。式(8)中各向量满足如下关系式：

3)基于上述步骤2)和得到的非最小状态空间模型设计磁悬浮球位置预测控制器，得到的控制器结构如下：

其中Q和为权值矩阵，在这里(I为单位矩阵)，取使得二次型目标函数建立在跟踪误差最小的基础上。

4)基于步骤3)，用拉盖尔基函数将输入信号增量参数化，可得如下的预测控制器结构：

将输入信号增量用拉盖尔基函数表示：

Δu(t+j₃)＝L(j₃)^Tη(j₃＝0，1，2，…，N_c-1) (12)

其中L(j₃)＝[l₁(j₃)，l₂(j₃)，…，l_N(j₃)]^T，为离散形式的拉盖尔函数，η^T＝[θ₁，θ₂，…，θ_N]为输入信号增量展开式中拉盖尔基函数前的系数，在这里N取1。

离散拉盖尔基函数满足如下地推关系式：

L(t+1)＝GL(t) (13)

其中β＝1-a²，这里参数a取0.73。

由上可得参数化后的预测控制器：

其中S＝[L(0)^T，L(1)^T，…，L(14)^T]^T，

问题(14)是一个凸二次规划的优化问题，通过积极集算法在线优化求解即可得到最优的控制输入量。

可以看出，本方法将非线性磁悬浮球系统的预测控制问题简化为线性的预测控制问题，并且通过将输入信号增量参数化，大大减少了预测控制算法在线优化时间，具有很好的应用前景和推广价值。

Claims (2)

1.一种基于RBF-ARX模型和拉盖尔函数的磁悬浮球位置预测控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立磁悬浮球系统的RBF-ARX模型：

；

其中，y(t)为磁悬浮小球在t时刻的位置，u(t)为t时刻电磁绕组输入电压，ξ(t)为高斯白噪声信号，w(t-1)＝[y(t-1),y(t-2),…,y(t-n_w)]^T，n_y,n_u,m,n_w为RBF-ARX模型阶次，φ₀(w(t-1))、和是依赖于工作点状态的函数型系数，和分别是RBF神经网络的中心向量和缩放因子，和为RBF神经网络的权值系数；

k＝1,2,…,m；i₁＝1,2,…,n_u；i₀＝1,2,…,n_y；

2)将上述RBF-ARX模型转化为如下的含有跟踪误差和积分环节的非最小状态空间模型：

其中， r(t)为t时刻期望的位置输出且满足r(t+j₁)＝r(t)，j₁＝1,2,…,N_p，为状态向量；

3)基于所述非最小状态空间模型设计磁悬浮球位置预测控制器，得到的控制器结构如下：

其中N_c,N_p分别为控制时域和预测时域，N_c≤N_p；Δu(t)＝Δu(t)-Δu(t-1)且Δu(t+j₂)＝0，j₂≥N_c，X(t)表示t时刻的预测状态变量序列，ΔU(t)表示t时刻预测控制增量序列，u_min和u_max分别为电磁绕组输入电压的下限幅序列和上限幅序列，Δu_min和Δu_max分别为电磁绕组输入电压增量的下限幅序列和上限幅序列，Q和为权值矩阵；

4)参数化所述控制器，得到参数化后的预测控制器：

其中S＝[L(0)^T,L(1)^T,…,L(N_c-1)^T]^T，L(j₃)＝[l₁(j₃),l₂(j₃),…,l_N(j₃)]^T，l_i4(j₃)(i₄＝1,2,…,N)为离散形式的拉盖尔基函数，η^T＝[θ₁,θ₂,…,θ_N]为输入信号增量展开式中拉盖尔函数前的系数，N为展开式中基函数的项数。

2.根据权利要求1所述的基于RBF-ARX模型和拉盖尔函数的磁悬浮球位置预测控制方法，其特征在于，n_y,n_u,m,n_w分别为4、2、1、1；N_p＝15，N_c＝15，a＝0.73，N＝1； 为单位矩阵。