CN109447437A - 一种包含土石方调配的公（铁）路纵断面自动构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑土石方调配的公(铁)路纵断面自动生成方法。在线路平面位置已定的条件下，建立了考虑土石方调配的纵断面自动构建的切割线模型。该模型在纵断面自动构建的过程中，将土石方调配的费用纳入纵断面计算模型，能合理区分桥隧位置和土石方调配段位置，解决了传统纵断面优化模型中土石方费用只能包括填挖方费用而不能考虑土石方运输费用的问题。此外，建立的纵断面自动构建的切割线模型，能自动根据地形起伏自适应地确定变坡点位置，最终获得优化后的纵断面设计方案。

Description

一种包含土石方调配的公(铁)路纵断面自动构建方法

技术领域

本发明涉及公路或铁路的纵断面设计领域，特别是一种考虑土石方调配的纵断面自动生成模型的构建方法。

背景技术

既有的公(铁)路设计纵断面的自动生成方法是计算各桩的填挖量，将此填挖量总和作为优化的目标。这种方法使得生成的纵断面在一定程度上考虑了土石方量的减少，然而，这里涉及的土方量没有顾及填方还是挖方，更没有考虑填挖的调配及运输费用，如文献[Hare,Warren；Lucet,Yves；Rahman,Faisal.A mixed-integer linear programmingmodel to optimize the vertical alignment considering blocks and side-slopesin road construction.EUROPEAN JOURNAL OF OPERATIONAL RESEARCH(241)2015，631-641]。而实际上，即使是相同的填挖方量，其取弃土位置不同，运输费用则不同。这导致自动生成的纵断面的结果并没有使得费用真正地实现最小化这一目的，因为只有顾及了土石方运输距离的整体调配的设计纵断面才真正全面地使得土石方费用最小。此外，既有的纵断面自动生成方法通常是采用地面拟合等方法进行前处理，以事先给出初步的变坡点位置，如文献[Hare,W；Hossain.S.Models and strategies for efficiently determining anoptimal vertical alignment of roads.COMPUTERS&OPERATIONS RESEARCH.(44)2014，161-173],而本发明提供的模型构建方法能一次性地同时确定坡段分段及坡度。

发明内容

本发明构建了一种考虑土石方调配的自动生成公(铁)路纵断面的混合整数非线性规划模型，在纵断面自动设计时考虑了土石方调配，目的在于考虑更加全面且符合实际的费用目标，以实现费用的真正最小化，同时能自动确定纵断面的分坡位置。

一种考虑土石方调配的公(铁)路纵断面自动生成模型，首先确定切割线初始位置得到纵断面方案，然后建立目标函数，并将土石方调配模型引入该目标函数，再依据设置的约束条件，利用优化算法对建立的纵断面切割线混合整数规划模型进行求解，获得以考虑调配费用最小为目标的最优纵断面。

所述的考虑土石方调配的自动生成公(铁)路纵断面的切割线模型，主要通过以下步骤建立：

步骤一：确定各切割线的初始位置。

纵断面切割线模型以平面导向线增大方向为x轴，高程增大方向为z轴建立直角坐标系。线路起点为S(x_s,z_s),线路终点为E(x_E,z_E),起终点间的总里程为LC_p。纵断面的初始变坡点数为n_z(n_z包含起终点)，G₁,G₂,…,G_nz分别为n_z根垂直于x轴的切割线，将平面里程等分为n_z-1段。为坐标系中起终点连线，Z₁,Z₂,…,Z_nz为各切割线与的相交点，变坡点BPD₁,BPD₂,…,BPD_nz分别位于切割线G₁,G₂,…,G_nz上，相邻两切割线之间的初始距离为：

将平面里程等分为n_z-1段，找出不大于第一段长度且为50m的最大倍数的数，该数作为第一段切割线初始间距，余数加在第二段上重复以上操作，把不足50m部分积累到最后一个坡段上。以保证除最后一段的切割线间距均为50m的整倍数。

步骤二：确定纵断面变坡点的位置。

切割线G_i以Z_i为基点，水平方向上在的范围内进行前后调整位置，其中的范围为当切割线的位置确定后，Z_i的坐标为：

优化过程中变坡点以点Z_i为基点，在切割线上进行上下移动。切割线在z轴方向上设定变坡点移动范围为(z_min,z_max)。当的坐标及移动距离确定后，各变坡点的坐标即可确定：

依次连接各变坡点，得到的二维折线即为纵断面导向线，根据技术标准适配竖曲线，即得纵断面方案。

步骤三：建立优化目标函数。

F＝f_L+f_B+f_T (4)

式中：

f_L——线路的路基土方工程费用；

f_B——桥梁工程费用；

f_T——隧道工程费用。

(1)路基土方费用

式中：

g——土石方调配费用函数；

n_z——变坡点个数；

——第i个变坡点的里程(m)；

——第i个变坡点的高程(m)。

计算此项费用的土石方调配模型如下。

设计人员在对路线进行设计时每20米设置一个桩号，本发明以两个桩号之间的小段为一个土方段，这些土方段包含于集合S，对于任意土方段i∈S，都计算出该段的土方体积V_i。如果V_i大于零，该土方段为挖方段，如果V_i小于零，那么该段为填方段。当土方段既有填方也有挖方时，该段的土方体积V_i为填方体积和挖方体积之和。引入变量x_ij表示从第i个土方段运到第j个土方段的土石方量，本发明把x_ij称为从i段到j段的土方流。对于任意一对土方段i，j∈S(i≠j)，引入变量c_ij表示从第i个土方段运送单位体积的土石方到第j个土方段的运费。集合B为借土区集合，集合为弃土区集合。

对于任意j∈S∪B∪W，引入集合M_→表示运出段，M_→由所有土方流x_ij能运出的段的索引j组成。

类似地，对于任意i∈S∪B∪W，引入集合M_←表示运入段，M_←由所有土方流x_ij能运入的段j的索引组成。

最后，引入M²表示符合约束的土方流元素空间的(i，j)索引对。

M²＝{(i,j):j∈M_→} (8)

基于以上的准备工作，建立线性规划土石方调配如下：

x_ij≥0 all(i,j)∈M² (14)

式(9)为模型的目标函数，线性规划模型的目标函数在于该段内土石方调配的费用最小，由于是线性规划模型，对于固定的纵断面设计线，最后得出的土石方调配最小费用是唯一的。式(10)表示开挖段开挖的土石方量等于调运到各填筑段与弃土场土方数量之和；式(11)表示从所有开挖段和借土场调运的土石方数量总和等于该填筑段的填筑方量；式(12)表示从借土场调运到各填筑段的土方量总和不超过该借土场的储量；式(13)表示从所有开挖段调运到弃土场的土方量不超过该弃土场的容量；式(14)表示土方流总是大于零。

(2)桥梁工程费用

式中：

q——第q座新建桥梁；

Q——新建桥梁的总数；

L_q——第q座新建桥梁的长度(m)，q＝1,…,Q；

c_Q——新建桥梁每延米的单价(元/m)。

(3)隧道工程费用

式中：

t——第t个新建隧道；

T——新建隧道的总数；

L_t——第t个新建隧道的长度(m)，t＝1,…,T；

c_T——新建隧道每延米的单价(元/m)。

步骤四：设定约束条件。

(1)交互设置约束

a)变坡点个数约束

算法初始化决策变量时需对变坡点个数进行范围设定，优化过程中，变坡点的个数将会被控制在此范围内进行优化选择：

式中：

n_z——变坡点个数；

——变坡点个数最小值及最大值。

b)变坡点高程搜索范围约束

各变坡点的高程要素可以根据选区地形状况人为设置高程范围，确定优化搜索的高程空间，避免无效搜索，提高搜索效率：

z_min≤z≤z_max (18)

式中：

z——变坡点高程(m)；

z_min,z_max——高程搜索范围的最小值及最大值(m)。

(2)线形参数约束

a)坡长约束

考虑到运行的要求，两相邻变坡点BPD_i、BPD_i+1间的水平距离Lp_{BDPi，BDPi+1}必须满足设计规范规定的最小长度约束：

Lp_min≤Lp_{BDPi，BDPi+1}≤LC_BPDi+1-LC_BPDi，(i＝1，2，…，n_z-1) (19)

式中：

Lp_min——最小坡长值(m)；

LC_BPDi,LC_BPDi+1——变坡点BPD_i和BPD_i+1处的里程值(m)。

b)坡度约束

通常纵断面的各坡长对应的设计坡度i_BDPj必须控制在一定的范围内：

式中：

i_min,i_max——规定的最小、最大坡度值；

z_BDPj,z_BDPj-1——变坡点BPD_i和BPD_i+1处的高程值(m)。

c)相邻坡段坡度差约束

纵断面的相邻坡段坡度差一般是以保证行车安全、视距要求等来制定的。规定坡度差的绝对值Δi_BPDj必须小于最大坡度差：

Δi_BPDj＝|i_j-i_j-1|≤Δi_max(j＝1,2,…,n_z) (21)

式中：

Δi_max——规定的最大坡度差；

i_j,i_j-1——变坡点BPD_i后一坡段和前一坡段各自的坡度值。

步骤五：求解。

用优化算法对纵断面变坡点参数等进行优化，获得自动优化后的纵断面方案。

有益效果

本发明构建了一种考虑土石方调配的自动生成公(铁)路纵断面的混合整数非线性规划模型，经过实际工程的试验对比(见“具体实施方式”)，本发明给出的最优方案地面线走势符合地形起伏变化，能合理区分桥隧位置与调配段位置，可作为设计人员在纵断面设计时的辅助方案，降低设计人员劳动强度。

①已有的纵断面构建方法与模型中，关于土石方费用，仅能计算出简单的土石方填挖费用，不能包含土石方运输的费用。本发明将土石方调配过程纳入纵断面优化模型，使得纵断面结果符合实际，并能自动将线路划分为多个调配段，实现土石方费用的真正最小化。

②本发明建立的切割线模型能实现线路纵断面的优化，将变坡点个数作为优化变量直接引入优化模型，自动确定纵断面的坡段的分坡位置，而无需进行前处理的过程，使优化过程更加智能化。

附图说明

图1为程序算法实现框架

图2为工程实例地形及平面线位

图3为切割线模型示意图

图4为土石方调配模型技术路线图

图5为纵断面切割线模型优化流程图

图6为人工设计方案

图7为计算机设计方案

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明：

本发明构建了一种考虑土石方调配的自动生成公(铁)路纵断面的混合整数非线性规划模型，在纵断面自动设计时考虑了土石方调配，使得优化目标更全面，实现费用的真正最小化，同时能能自动确定纵断面的变坡点个数。整个模型框架如图1所示。

本发明截取宁波到舟山的长11.28公里的平面路线进行纵断面设计，该路线为铁路线路，平面线位已经定好，人工设计的纵断面方案已经给出。线路纵断面的设计起点(里程，高程)的坐标为(0，4.10)，设计终点(里程，高程)的坐标为(11280，18.55)，地形及平面线位如图2所示。

步骤一：确定各切割线的初始位置。

纵断面切割线模型以平面导向线增大方向为x轴，高程增大方向为z轴建立直角坐标系。线路起点为S(x_s,z_s),线路终点为E(x_E,z_E),起终点间的总里程为LC_p。纵断面的初始变坡点数为n_z(n_z包含起终点)，G₁,G₂,…,G_nz分别为n_z根垂直于x轴的切割线，将平面里程等分为n_z-1段。为坐标系中起终点连线，Z₁,Z₂,…,Z_nz为各切割线与的相交点，变坡点BPD₁,BPD₂,…,BPD_nz分别位于切割线G₁,G₂,…,G_nz上，相邻两切割线之间的初始距离为：

将平面里程等分为n_z-1段，找出不大于第一段长度且为50m的最大倍数的数，该数作为第一段切割线初始间距，余数加在第二段上重复以上操作，把不足50m部分积累到最后一个坡段上。以保证除最后一段的切割线间距均为50m的整倍数。

切割线模型如图3所示。

步骤二：确定纵断面变坡点的位置。

切割线G_i以Z_i为基点，水平方向上在的范围内进行前后调整位置，其中的范围为当切割线的位置确定后，Z_i的坐标为：

优化过程中变坡点以点Z_i为基点，在切割线上进行上下移动。切割线在z轴方向上设定变坡点移动范围为(z_min,z_max)。当的坐标及移动距离确定后，各变坡点的坐标即可确定：

依次连接各变坡点，得到的二维折线即为纵断面导向线，根据技术标准适配竖曲线，即得纵断面方案。

步骤三：建立优化目标函数。

F＝f_L+f_B+f_T (4)

式中：

f_L——线路的路基土方工程费用；

f_B——桥梁工程费用；

f_T——隧道工程费用。

(1)路基土方费用

式中：

g——土石方调配费用函数；

n_z——变坡点个数；

——第i个变坡点的里程；

——第i个变坡点的高程。

计算此项费用的土石方调配模型建立如下。

设计人员在对路线进行设计时每20米设置一个桩号，本发明以两个桩号之间的小段为一个土方段，这些土方段包含于集合S，对于任意土方段i∈S，都计算出该段的土方体积V_i。如果V_i大于零，该土方段为挖方段，如果V_i小于零，那么该段为填方段。当土方段既有填方也有挖方时，该段的土方体积V_i为填方体积和挖方体积之和。引入变量x_ij表示从第i个土方段运到第j个土方段的土石方量，本发明把x_ij称为从i段到j段的土方流。对于任意一对土方段i，j∈S(i≠j)，引入变量c_ij表示从第i个土方段运送单位体积的土石方到第j个土方段的运费。集合B为借土区集合，集合为弃土区集合。

对于任意j∈S∪B∪W，引入集合M_→表示运出段，M_→由所有土方流x_ij能运出的段的索引j组成。

类似地，对于任意i∈S∪B∪W，引入集合M_←表示运入段，M_←由所有土方流x_ij能运入的段j的索引组成。

最后，引入M²表示符合约束的土方流元素空间的(i，j)索引对。

M²＝{(i,j):j∈M_→} (8)

基于以上的准备工作，建立线性规划土石方调配如下：

x_ij≥0 all(i,j)∈M² (14)

式(9)为模型的目标函数，线性规划模型的目标函数在于该段内土石方调配的费用最小，由于是线性规划模型，对于固定的纵断面设计线，最后得出的土石方调配最小费用是唯一的。式(10)表示开挖段开挖的土石方量等于调运到各填筑段与弃土场土方数量之和；式(11)表示从所有开挖段和借土场调运的土石方数量总和等于该填筑段的填筑方量；式(12)表示从借土场调运到各填筑段的土方量总和不超过该借土场的储量；式(13)表示从所有开挖段调运到弃土场的土方量不超过该弃土场的容量；式(14)表示土方流总是大于零。

土石方调配模型技术路线图如图4所示。

(2)桥梁工程费用

式中：

q——第q座新建桥梁；

Q——新建桥梁的总数；

L_q——第q座新建桥梁的长度(m)，q＝1,…,Q；

c_Q——新建桥梁每延米的单价(元/m)。

(3)隧道工程费用

式中：

t——第t个新建隧道；

T——新建隧道的总数；

L_t——第t个新建隧道的长度(m)，t＝1,…,T；

c_T——新建隧道每延米的单价(元/m)。

步骤四：设定约束条件。

(1)交互设置约束

a)变坡点个数约束

算法初始化决策变量时需对变坡点个数进行范围设定，优化过程中，变坡点的个数将会被控制在此范围内进行优化选择：

式中：

n_z——变坡点个数；

——变坡点个数最小值及最大值。

b)变坡点高程搜索范围约束

各变坡点的高程要素可以根据选区地形状况人为设置高程范围，确定优化搜索的高程空间，避免无效搜索，提高搜索效率：

z_min≤z≤z_max (18)

式中：

z——变坡点高程(m)；

z_min,z_max——高程搜索范围的最小值及最大值。

(2)线形参数规范约束

a)坡长约束

考虑到列车运行阻力及平稳度要求，两相邻变坡点BPD_i、BPD_i+1间的水平距离Lp_{BDPi，BDPi+1}必须满足规范规定的最小长度约束：

Lp_min≤Lp_{BDPi，BDPi+1}≤LC_BPDi+1-LC_BPDi(i＝1,2,…,n_z-1) (19)

式中：

Lp_min——最小坡长值(m)；

LC_BPDi,LC_BPDi+1——变坡点BPD_i和BPD_i+1处的里程值(m)。

b)坡度约束

规范规定，纵断面的各坡长对应的设计坡度i_BDPj必须控制在一定的范围内：

式中：

i_min,i_max——规定的最小、最大坡度值；

z_BDPj,z_BDPj-1——变坡点BPD_i和BPD_i+1处的高程值(m)。

c)相邻坡段坡度差约束

纵断面的相邻坡段坡度差一般是以保证行车安全、视距要求等来制定的。规定坡度差的绝对值Δi_BPDj必须小于最大坡度差：

Δi_BPDj＝|i_j-i_j-1|≤Δi_max(j＝1,2,…,n_z) (21)

式中：

Δi_max——规定的最大坡度差；

i_j,i_j-1——变坡点BPD_i后一坡段和前一坡段各自的坡度值。

步骤五：求解。

用优化算法对纵断面变坡点参数等进行优化，获得自动优化后的纵断面方案。

纵断面优化流程如图5所示。

设计人员已经给出了人工设计的纵断面方案。在人工方案确定以后，平面线位，纵断面设计技术标准是固定的，本文把机选方案和人工方案置于同样的平面线位，同样的纵断面设计技术标准，同时采用相同的调配模型和费用标准，得出工程费用，以作对比。

方案一为手动拉坡方案，是根据实际地形，人工确定变坡点位置得到的结果，变坡点位置如表1所示。

表1人工设计方案变坡点位置

人工设计方案的桥隧位置和调配分段如表2所示。

表2人工设计方案桥隧位置、调配分段与总工程费用

从表中数据可知，手动拉坡方案中共有5个变坡点，线路中有桥梁一座，隧道两座，把整条线路隔成4个调配段，每个调配段均按前述的模型进行土石方调配。结合平面线位来看，在线路起始段由于穿过了3座丘陵，所以地面起伏较大，由于这个原因，第一个调配段的调配费用最高，线路中段即第二个调配段地形较为平坦，虽然调配段的长度较大，但是调配费用不高，线路尾段跨越了两座高山，纵断面上桥隧占比较大。人工设计方案的纵断面图如图6所示。

为了公平对比，机选方案的设计起点和设计终点的位置与高程保持与人工方案相同。

机选最优方案的变坡点位置如表3所示。

表3机选最优方案变坡点位置

机选最优方案桥隧位置、调配分段与总工程费用如表4所示。

表4机选最优方案桥隧位置、调配分段与总工程费用

从表中数据可知，机选最优方案中共有8个变坡点，线路中有桥梁1座，隧道3座，把整条线路隔成5个调配段，与人工方案不同的是，在线路起始段的跨丘陵路段上的机选方案中并未出现桥梁，而是通过土石方调配来平衡高差。可以看出，如果填挖方段相邻，即使地面线与设计线的高差相对较大，通过土石方调配的费用成本也可能比修桥费用低。而人工设计时，在高差相对较大的地段，由于设计经验和习惯所致，往往会通过架桥修隧平衡高差，造成建设成本增加。

由表中工程费用结果可知，机选最优方案工程总费用比人工选择方案节省874.63万元的工程造价，节省比例为6.27％，达到了明显的优化效果。

机选最优方案地面线走势符合地形特征，能合理区分桥隧位置与调配段位置，可作为设计人员在纵断面设计时的参考方案。机选最优方案的纵断面图如图7所示。

Claims (2)

1.一种考虑土石方调配的纵断面自动生成模型的构建方法，其特征之一在于，在纵断面自动设计时考虑了土石方调配，将土石方调配线性规划模型结合进纵断面优化切割线模型，解决了传统纵断面优化模型目标函数中土石方费用只包括填挖方费用而忽略了土石方运输费用的问题，使得优化目标更全面，实现了费用的真正最小化；

设计人员在对路线进行设计时每20米设置一个桩号，本发明以两个桩号之间的小段为一个土方段，这些土方段包含于集合S，对于任意土方段i∈S，都计算出该段的土方体积V_i；如果V_i大于零，该土方段为挖方段，如果V_i小于零，那么该段为填方段；当土方段既有填方也有挖方时，该段的土方体积Vi为填方体积和挖方体积之和；引入变量x_ij表示从第i个土方段运到第j个土方段的土石方量，本发明把x_ij称为从i段到j段的土方流；对于任意一对土方段i，j∈S(i≠j)，引入变量c_ij表示从第i个土方段运送单位体积的土石方到第j个土方段的运费；集合B为借土区集合，集合为弃土区集合；

对于任意j∈S∪B∪W，引入集合M_→表示运出段，M_→由所有土方流x_ij能运出的段的索引j组成；

类似地，对于任意i∈S∪B∪W，引入集合M_←表示运入段，M_←由所有土方流x_ij能运入的段j的索引组成；

最后，引入M²表示符合约束的土方流元素空间的(i，j)索引对；

M²＝{(i,j):j∈M_→} (3)

基于以上的准备工作，建立线性规划土石方调配如下：

x_ij≥0 all(i,j)∈M² (9)

式(4)为模型的目标函数，线性规划模型的目标函数在于该段内土石方调配的费用最小，由于是线性规划模型，对于固定的纵断面设计线，最后得出的土石方调配最小费用是唯一的；式(5)表示开挖段开挖的土石方量等于调运到各填筑段与弃土场土方数量之和；式(6)表示从所有开挖段和借土场调运的土石方数量总和等于该填筑段的填筑方量；式(7)表示从借土场调运到各填筑段的土方量总和不超过该借土场的储量；式(8)表示从所有开挖段调运到弃土场的土方量不超过该弃土场的容量；式(9)表示土方流总是大于零。

2.根据权利要求1所述的一种考虑土石方调配的基于切割线模型的纵断面自动构建方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：确定各切割线的初始位置；

纵断面切割线模型以平面导向线增大方向为x轴，高程增大方向为z轴建立直角坐标系；线路起点为S(x_s,z_s),线路终点为E(x_E,z_E),起终点间的总里程为LC_p；纵断面的初始变坡点数为n_z(n_z包含起终点)，G₁,G₂,…,G_nz分别为n_z根垂直于x轴的切割线，将平面里程等分为n_z-1段；为坐标系中起终点连线，Z₁,Z₂,…,Z_nz为各切割线与的相交点，变坡点BPD₁,BPD₂,…,BPD_nz分别位于切割线G₁,G₂,…,G_nz上，相邻两切割线之间的初始距离为：

将平面里程等分为n_z-1段，找出不大于第一段长度且为50m的最大倍数的数，该数作为第一段切割线初始间距，余数加在第二段上重复以上操作，把不足50m部分积累到最后一个坡段上；以保证除最后一段的切割线间距均为50m的整倍数；

步骤二：确定纵断面变坡点的位置；

切割线G_i以Z_i为基点，水平方向上在的范围内进行前后调整位置，其中的范围为当切割线的位置确定后，Z_i的坐标为：

优化过程中变坡点以点Z_i为基点，在切割线上进行上下移动；切割线在z轴方向上设定变坡点移动范围为(z_min,z_max)；当的坐标及移动距离确定后，各变坡点的坐标即可确定：

依次连接各变坡点，得到的二维折线即为纵断面导向线，根据技术标准适配竖曲线，即得纵断面方案；

步骤三：建立优化目标函数；

F＝f_L+f_B+f_T (13)

式中：

f_L——线路的路基土方工程费用；

f_B——桥梁工程费用；

f_T——隧道工程费用；

(1)路基土方费用

式中：

g——土石方调配费用函数；

n_z——变坡点个数；

——第i个变坡点的里程(m)；

——第i个变坡点的高程(m)；

此项费用由权利要求1所述的模型求出；

(2)桥梁工程费用

式中：

q——第q座新建桥梁；

Q——新建桥梁的总数；

L_q——第q座新建桥梁的长度(m)，q＝1,…,Q；

c_Q——新建桥梁每延米的单价(元/m)；

(3)隧道工程费用

式中：

t——第t个新建隧道；

T——新建隧道的总数；

L_t——第t个新建隧道的长度(m)，t＝1,…,T；

c_T——新建隧道每延米的单价(元/m)；

步骤四：设定约束条件；

(1)交互设置约束

a)变坡点个数约束

算法初始化决策变量时需对变坡点个数进行范围设定，优化过程中，变坡点的个数将会被控制在此范围内进行优化选择：

式中：

n_z——变坡点个数；

——变坡点个数最小值及最大值；

b)变坡点高程搜索范围约束

各变坡点的高程要素可以根据选区地形状况人为设置高程范围，确定优化搜索的高程空间，避免无效搜索，提高搜索效率：

z_min≤z≤z_max (18)

式中：

z——变坡点高程(m)；

z_min,z_max——高程搜索范围的最小值及最大值(m)；

(2)线形参数规范约束

a)坡长约束

考虑到列车运行阻力及平稳度要求，两相邻变坡点BPD_i、BPD_i+1间的水平距离Lp_{BDPi，BDPi+1}必须满足规范规定的最小长度约束：

Lp_min≤Lp_{BDPi，BDPi+1}≤LC_BPDi+1-LC_BPDi(i＝1,2,…,n_z-1) (19)

式中：

Lp_min——最小坡长值(m)；

LC_BPDi,LC_BPDi+1——变坡点BPD_i和BPD_i+1处的里程值(m)；

b)坡度约束

规范规定，纵断面的各坡长对应的设计坡度i_BDPj必须控制在一定的范围内：

式中：

i_min,i_max——规定的最小、最大坡度值；

z_BDPj,Z_BDPj-1——变坡点BPD_i和BPD_i+1处的高程值(m)；

c)相邻坡段坡度差约束

纵断面的相邻坡段坡度差一般是以保证行车安全、视距要求等来制定的。规定坡度差的绝对值Δi_BPDj必须小于最大坡度差：

Δi_BPDj＝|i_j-i_j-1|≤Δi_max(j＝1,2,…,n_z) (21)

式中：

Δi_max——规定的最大坡度差；

i_j,i_j-1——变坡点BPD_i后一坡段和前一坡段各自的坡度值；

步骤五：求解；

用优化算法对纵断面变坡点参数等进行优化，获得自动优化后的纵断面方案。