CN109360141B - 基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法。该方法包括：步骤1、根据明文图像P的像素平均值I计算三维猫映射混沌系统的初始状态值和系统参数，并对P的稀疏系数矩阵进行zigzag置乱；步骤2、将所述初始状态值和系统参数带入三维猫映射混沌系统，构建测量矩阵，并利用所述测量矩阵对置乱后的稀疏系数矩阵进行压缩测量，得到密文图像F；步骤3、将F按照LSB最低有效位嵌入算法嵌入到载体图像R中，得到视觉安全图像E。本发明可使密文图像在视觉上安全，如此，当密文图像和其他图像一起进行传输或者存储时，攻击者不能从众多有意义的图像中发现密文图像，保证密文图像或相关明文图像的安全。

Description

基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法

技术领域

本发明涉及图像加密技术领域，尤其涉及基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法。

背景技术

随着数字技术和互联网的发展，越来越多的数字图像被产生并通过网络传输，并且被存储在不同的“云”平台上。由于这些多媒体数据可能包含保密的信息，因此防止这些重要信息泄漏成为人们关注的主要问题。图像加密是保护图像数据安全的一个有效方法。

目前提出的许多图像加密算法，可以分为频域图像加密算法和空域图像加密算法。通常，频域图像加密算法被设计用于改变频域中的图像数据或改变变换函数，例如离散分数傅里叶变换，离散余弦变换和离散小波变换等。空域图像加密算法基于著名的替换-置乱网络，常采用DNA计算，布朗运动，元胞自动机，拉丁方矩阵和混沌系统等方法。空域和频域图像加密算法都能够在很大程度上高安全性地保护图像。

但是，采用上述加密方案产生的类似噪声或者类似纹理的密文图像在传输或者存储过程中很容易引起攻击者的注意，然后被攻击。

发明内容

为解决现有技术中存在的问题，本发明提供一种基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法，可使密文图像在视觉上安全，即赋予密文图像有意义的外观。如此，当密文图像和其他图像一起进行传输或者存储时，攻击者不能从众多有意义的图像中发现密文图像，保证密文图像或相关明文图像的安全。

本发明提供一种基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法，该方法包括：

步骤1、根据明文图像P的像素平均值I计算三维猫映射混沌系统的初始状态值和系统参数，并对P的稀疏系数矩阵进行zigzag置乱；

步骤2、将所述初始状态值和系统参数带入三维猫映射混沌系统，构建测量矩阵，并利用所述测量矩阵对置乱后的稀疏系数矩阵进行压缩测量，得到密文图像F；

步骤3、将F按照LSB最低有效位嵌入算法嵌入到载体图像R中，得到视觉安全图像E。

进一步地，所述步骤1具体包括：

步骤1.1、计算明文图像P(m×n)的像素平均值I和稀疏系数矩阵P₁，并利用I计算zigzag置乱的起始位置x₀和y₀，利用x₀和y₀对P₁进行zigzag置乱，得到置乱矩阵P₂；

步骤1.2、根据像素平均值I和Logistic映射的预设参数μ和r₀，计算三维猫映射混沌系统的初始状态值X₀、Y₀和Z₀，以及系统参数a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z；

对应地，所述步骤2具体包括：

步骤2.1、利用三维猫映射混沌系统对X₀、Y₀和Z₀进行迭代，生成随机序列X、Y、Z和W，根据X、Y、Z和W构建测量矩阵φ，以及索引向量π₁、π₂、π₃和π₄，并利用φ对P₂进行压缩测量，得到测量值矩阵P₃；

步骤2.2、对P₃中的元素进行量化，得到量化矩阵P₄，将P₄作为P的密文图像F；

对应地，所述步骤3具体包括：

步骤3.1、将密文图像F排列成一维行向量F’＝(f’₁,f’₂,…,f’_u)，u＝(m×n)/4；

步骤3.2、选定载体图像R，并将R的图像强度等级调整至预设区间范围，生成新的载体图像R’；

步骤3.3、将R’均分成四个大小为(m/2)×(n/2)的矩阵C_A、C_H、C_V和C_D，并分别将C_A、C_H、C_V和C_D排列成四个长度为u＝(m×n)/4的一维行向量C₁、C₂、C₃和C₄；

步骤3.4、利用π₁、π₂、π₃和π₄分别对C₁、C₂、C₃和C₄进行升序排序，得到四个新的一维行向量A＝(a₁,a₂,…,a_u)、H＝(h₁,h₂,…,h_u)、V＝(v₁,v₂,…,v_u)和D＝(d₁,d₂,…,d_u)，其中，u＝(m×n)/4；

步骤3.5、将F’中的元素按照LSB最低有效位嵌入算法嵌入到A、H、V和D的元素中，得到嵌入后的行向量A’、H’、V’和D’；

步骤3.6、利用π₁、π₂、π₃和π₄分别对A’、H’、V’和D’进行降序排序，得到四个新的向量A”、H”、V”和D”，并分别将A”、H”、V”和D”转化成大小为(m/2)×(n/2)的矩阵C’_A、C’_H、C’_V和C’_D，将C’_A、C’_H、C’_V和C’_D组合后形成的矩阵作为P的视觉安全图像E(m×n)。

进一步地，所述步骤1.1具体为：

步骤1.1.1、根据式(1)和式(2)

计算P的像素平均值I；其中，P(i,j)表示P的第i行、第j列的像素值，i＝1,2,…,m,j＝1,2,…,n；

步骤1.1.2、利用离散小波变换对P进行稀疏化，得到稀疏系数矩阵P₁；

步骤1.1.3、根据预设参数t₁、t₂和I，按照式(3)和式(4)

计算x₀和y₀；

步骤1.1.4、根据x₀和y₀对P₁进行zigzag置乱，得到矩阵P₁′，并将P₁′中小于预设阈值TS的元素值置0，得到置乱矩阵P₂。

进一步地，所述步骤1.2具体为：

步骤1.2.1、设定参数μ和r₀，并将μ和r₀带入一维Logistic混沌系统方程(5)

r_n+1＝μ×r_n(1-r_n),n＝0,1,2,3..... (5)

迭代L次后生成随机混沌序列(r₁,r₂,...,r_L)；

步骤1.2.2、利用(r₁,r₂,...,r_L)和I按照式(6)和式(7)

计算X₀、Y₀和Z₀，以及a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z。

进一步地，所述步骤2.1中的利用三维猫映射混沌系统对X₀、Y₀和Z₀进行迭代，生成随机序列X、Y、Z和W具体为：

步骤2.1.1、将X₀、Y₀和Z₀带入三维猫映射混沌系统进行迭代L’＝num+MNd次，并舍弃前num个值，得到三个大小为MNd的随机序列X、Y和Z：

其中，d为采样间距，M＝CR×m，N＝m，CR为压缩率；

步骤2.1.2、根据X、Y和Z按照式(11)

得到W＝(w₁,w₂,...,w_MNd)；其中，x_i、y_i、z_i和w_i分别代表X、Y、Z和W的第i个元素，i＝1,2,…,MNd。

进一步地，所述步骤2.1中的根据X、Y、Z和W构建测量矩阵φ具体为：

步骤2.1.3、对新序列W按照式(12)

w'_k＝w_1+kd,k＝0,1,2,...,MN-1 (12)

进行等距采样，得到新序列W'，w'_k是W'的第k个元素；

步骤2.1.4、对W'序列按照式(13)

w”_k＝1-2w'_k，k＝0,1,2......,MN-1 (13)

变换，得到新序列W″，w”_k是W″的第k个元素；

步骤2.1.5、将

按照式(14)

重新排列，得到测量矩阵φ_M×N；其中，

为归一化系数。

进一步地，所述步骤2.1中的根据X、Y、Z和W构建索引向量π₁、π₂、π₃和π₄具体为：

步骤2.1.6、分别从X、Y、Z和W中取前u个值，得到四个新序列X₁、Y₁、Z₁和W₁：

X₁＝(x₁,x₂,…,x_u)，

Y₁＝(y₁,y₂,…,y_u)，

Z₁＝(z₁,z₂,…,z_u)，

W₁＝(w₁,w₂,…,w_u)，

其中，u＝(m×n)/4；

步骤2.1.7、对X₁、Y₁、Z₁和W₁进行升序排列，得到π₁、π₂、π₃和π₄。

进一步地，所述步骤2.2具体为：

根据式(15)

对P₃中的元素进行量化，将元素值转化到0到255之间，得到P₄；其中，min是P₃的最小值，max是P₃的最大值，P_3(i)和P_4(i)分别是P₃和P₄的第i个元素，i＝1,2,…,Mn，M＝CR×m，CR为压缩率。

进一步地，所述步骤3.2具体为：

根据式(16)

将R像素值的范围调整到[G₁，G₂]，生成R’，其中，G₁∈(0,10]，G₂∈[245,255)，且G₁和G₂均为整数。

进一步地，所述步骤3.5具体为：

步骤3.5.1、将F’的第j个元素f’_j用二进制表示为b₈b₇b₆b₅b₄b₃b₂b₁，并分别将A、H、V和D的第j个元素a_j、h_j、v_j和d_j用二进制表示，其中b₈代表最高比特位，b₁代表最低比特位；

步骤3.5.2、将b₁b₂嵌入到a_j的最低两个比特位，将b₃b₄嵌入到h_j的最低两个比特位，将b₅b₆嵌入到v_j的最低两个比特位，以及将b₇b₈嵌入到d_j的最低两个比特位；

步骤3.5.3、保持a_j、h_j、v_j和d_j的其余比特位不变，得到含有密文信息的a’_j、h’_j、v’_j和d’_j；

步骤3.5.4、将a’_j、h’_j、v’_j和d’_j由二进制转换成十进制，得到四个行向量A’＝(a’₁,a’₂,…,a’_u)、H’＝(h’₁,h’₂,…,h’_u)、V’＝(v’₁,v’₂,…,v’_u)和D’＝(d’₁,d’₂,…,d’_u)。

本发明的有益效果：

(1)保证图像外观的安全性。通过本发明提供的基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法所获得的密文图像，与当前的类似噪声或类似纹理的密文图像相比，本发明获得的外观有意义的密文图像在通过互联网传输和存储时，不容易被攻击者发现，获得了图像外观的安全性。

(2)对明文图像高度敏感，安全性高，可有效抵抗已知明文和选择明文的攻击。本发明利用明文图像的像素平均值I计算参数x₀、y₀、a_x、a_y、a_z、b_x、b_y、b_z、X₀、Y₀和Z₀。其中，x₀和y₀用于zigzag置乱的起始位置；a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z用于生成三维猫映射混沌系统的参数矩阵；X₀、Y₀和Z₀用于三维猫映射混沌系统的初始状态值和生成索引向量π₁、π₂、π₃和π₄。上述参数都与明文图像有关，增强了算法与明文的相关性，可以有效地抵御已知明文和选择明文攻击。利用索引向量π₁、π₂、π₃和π₄对载体图像进行重新排序，增加了嵌入结果的随机性，提高了算法的安全性。

(3)将压缩感知和最低有效位嵌入算法引入到图像加密的优势。一方面，压缩感知理论在信号处理领域具有广泛的前景，将它引入到图像加密系统中可以保持压缩感知技术的优点，提高图像加密的性能与安全性；另一方面，最低有效位(LSB)即最不重要位，相当于在数字图像灰度值比特的最低位增加了一个微弱的信号，但是这个改变对于人眼的视觉影响很小，几乎无法察觉。本发明只对载体图像的最后两个有效位进行嵌入，即保证了载体图像失真度较小，又能把所有的秘密信息完全嵌入，从视觉效果上看，带有秘密信息的载体图像和原始的载体图像，并没有太大的区别，几乎很难从肉眼上区分出来，该类算法的失真度保持情况较好，保证了载体图像在视觉上的安全。

(4)本发明采用三维猫映射混沌系统生成的随机序列来生成测量矩阵，由于混沌系统产生的序列具有优异的伪随机性，易于产生和重现；并且测量矩阵的产生可由密钥控制，在保证足够大的密钥空间的同时，能大大节约密钥消耗量；再者密文图像和明文图像的大小相等，仅需要存储和传输少量的参数，可以大大减少存储空间和传输宽带的压力。

附图说明

图1为本发明实施例提供的基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法的流程示意图；

图2为本发明又一实施例提供的基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法的流程示意图；

图3中：(a)为本发明实施例提供的明文图像Woman，(b)为密文图像F，(c)为载体图像Cameraman，(d)为视觉安全图像E，(e)为解密图像；

图4中：(a)为本发明实施例提供的正确密钥的解密图像，(b)、(c)、(d)和(e)分别为不同错误密钥时的解密图像；

图5中：(a)为图4中(a)的直方图，(b)为图4中(b)的直方图，(c)为图4中(c)的直方图，(d)为图4中(d)的直方图，(e)为图4中(e)的直方图；

图6中：(a)为本发明实施例提供的经过剪切数据大小为32×32后的密文图像，(b)为经过剪切数据大小为64×64后的密文图像，(c)为经过剪切数据大小为100×100后的密文图像，(d)为经过剪切数据大小为130×130后的密文图像，(e)为图6中(a)的解密图像，(f)为图6中(b)的解密图像，(g)为图6中(c)的解密图像，(h)为图6中(d)的解密图像；

图7中：(a)为本发明实施例提供的不加噪声的密文图像，(b)为噪声强度0.0001下的密文图像，(c)为噪声强度0.01下的密文图像，(d)为图7中(a)的解密图像，(e)为图7中(b)的解密图像，(f)为图7中(c)的解密图像。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

压缩感知(Compressive Sensing；CS)理论是由D.Donoho、E.Candes及T.Tao等人提出的一种新型的采样理论，针对稀疏信号或可压缩信号，以远低于奈奎斯特采样理论限制下的采样率同时对数据进行采样、压缩和加密，突破了香农采样定理的瓶颈，使得采样时间和采样数据大大减少。假设x为N×1的一维信号，经过一个大小为M×N的测量矩阵线性投影，得到长度为M的测量值y，表示为：y＝φx＝φψs＝A^css，其中，φ是大小为M×N的测量矩阵，y是M×N的压缩测量向量，且M远远小于N，A^cs＝φψ，大小为M×N，ψ是稀疏基或者稀疏字典。CS理论主要包括3个问题：信号的稀疏表示、压缩测量和信号重构。

混沌是非线性系统特有的一种运动形式，它是确定性动力系统对初始条件敏感而产生的不可预测的类随机运动。混沌现象是发生在确定性的系统中的随机且不规则的运动，它对初始条件和控制参数极其敏感，初始值的任何微小变化，经过系统多次迭代后，都会产生很大的差异。混沌系统具有随机性、确定性、遍历性和对初始参数高度敏感性等特点，我们利用混沌系统可以设计出密钥空间大、加密流随机性强的加密算法，使它特别适合于图像加密。目前，采用混沌系统对图像进行加密已经成为了信息安全领域研究的一个热点，具有巨大的应用潜力。本发明采用三维猫映射混沌系统生成测量矩阵，并且由明文图像的像素平均值I来求出三维猫映射混沌系统的初始状态值和系统参数，对明文图像高度敏感，可以抵抗已知明文和选择明文的攻击。

图1为本发明实施例提供的基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法的流程示意图。如图1所示，该方法包括以下步骤：

S101、根据明文图像P的像素平均值I计算三维猫映射混沌系统的初始状态值和系统参数，并对P的稀疏系数矩阵进行zigzag置乱；

S102、将所述初始状态值和系统参数带入三维猫映射混沌系统，构建测量矩阵，并利用所述测量矩阵对置乱后的稀疏系数矩阵进行压缩测量，得到密文图像F；

S103、将F按照LSB最低有效位嵌入算法嵌入到载体图像R中，得到视觉安全图像E。

本发明实施例提供的基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法，通过利用明文图像P的像素平均值I求出三维猫映射混沌系统的初始状态值和系统参数，进而求出测量矩阵；并将明文图像P的稀疏系数矩阵进行zigzag置乱，接着利用测量矩阵对置乱后的图像进行压缩测量，得到密文图像F；接着将密文图像F按照LSB最低有效位嵌入算法嵌入到载体图像R中，最后获得视觉安全图像E。与当前的类似噪声或类似纹理的密文图像相比：

(1)本发明具有将压缩感知和最低有效位嵌入算法引入到图像加密的优势。一方面，将CS理论引入到图像加密系统中可以保持压缩感知技术的优点，提高图像加密的性能与安全性；另一方面，本发明只对载体图像的最后两个有效位进行嵌入，即保证了载体图像失真度较小，又能把所有的秘密信息完全嵌入，从视觉效果上看，带有秘密信息的载体图像和原始的载体图像，并没有太大的区别，失真度保持情况较好，保证了载体图像在视觉上的安全。如此，本发明获得的密文图像E在通过互联网传输和存储时，不容易被攻击者发现，获得了图像外观的安全性，同时实现图像数据安全和图像外观安全。

(2)本发明利用I计算三维猫映射混沌系统的初始状态值和系统参数，增强了算法与明文的相关性，可以有效地抵御已知明文和选择明文攻击。

(3)本发明采用三维猫映射混沌系统生成的随机序列来生成测量矩阵，由于混沌系统产生的序列具有优异的伪随机性，易于产生和重现；并且测量矩阵的产生可由密钥控制，在保证足够大的密钥空间的同时，能大大节约密钥消耗量；再者密文图像E和明文图像P的大小相等，仅需要存储和传输少量的参数，可以大大减少存储空间和传输宽带的压力。

图2为本发明又一实施例提供的基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法的流程示意图。如图2所示，该方法包括以下步骤：

S201、计算明文图像P(m×n)的像素平均值I和稀疏系数矩阵P₁，并利用I计算zigzag置乱的起始位置x₀和y₀，利用x₀和y₀对P₁进行zigzag置乱，得到置乱矩阵P₂；

S202、根据像素平均值I和Logistic映射的预设参数μ和r₀，计算三维猫映射混沌系统的初始状态值X₀、Y₀和Z₀，以及系统参数a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z；

S203、利用三维猫映射混沌系统对X₀、Y₀和Z₀进行迭代，生成随机序列X、Y、Z和W，根据X、Y、Z和W构建测量矩阵φ，以及索引向量π₁、π₂、π₃和π₄，并利用φ对P₂进行压缩测量，得到测量值矩阵P₃；

S204、对P₃中的元素进行量化，得到量化矩阵P₄，将P₄作为P的密文图像F；

S205、将密文图像F排列成一维行向量F’＝(f’₁,f’₂,…,f’_u)，u＝(m×n)/4；

S206、选定载体图像R，并将R的图像强度等级调整至预设区间范围，生成新的载体图像R’；

S207、将R’均分成四个大小为(m/2)×(n/2)的矩阵C_A、C_H、C_V和C_D，并分别将C_A、C_H、C_V和C_D排列成四个长度为u＝(m×n)/4的一维行向量C₁、C₂、C₃和C₄；

S208、利用π₁、π₂、π₃和π₄分别对C₁、C₂、C₃和C₄进行升序排序，得到四个新的一维行向量A＝(a₁,a₂,…,a_u)、H＝(h₁,h₂,…,h_u)、V＝(v₁,v₂,…,v_u)和D＝(d₁,d₂,…,d_u)，其中，u＝(m×n)/4；

S209、将F’中的元素按照LSB最低有效位嵌入算法嵌入到A、H、V和D的元素中，得到嵌入后的行向量A’、H’、V’和D’；

S210、利用π₁、π₂、π₃和π₄分别对A’、H’、V’和D’进行降序排序，得到四个新的向量A”、H”、V”和D”，并分别将A”、H”、V”和D”转化成大小为(m/2)×(n/2)的矩阵C’_A、C’_H、C’_V和C’_D，将C’_A、C’_H、C’_V和C’_D组合后形成的矩阵作为P的视觉安全图像E(m×n)。

本发明实施例提供的基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法，具有如下有益效果：

(1)保证图像外观的安全性。通过本发明提供的基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法所获得的密文图像，与当前的类似噪声或类似纹理的密文图像相比，本发明获得的外观有意义的密文图像在通过互联网传输和存储时，不容易被攻击者发现，获得了图像外观的安全性。

(2)对明文图像高度敏感，安全性高，可有效抵抗已知明文和选择明文的攻击。本发明利用明文图像的像素平均值I计算参数x₀、y₀、a_x、a_y、a_z、b_x、b_y、b_z、X₀、Y₀和Z₀。其中，x₀和y₀用于zigzag置乱的起始位置；a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z用于生成三维猫映射混沌系统的参数矩阵；X₀、Y₀和Z₀用于三维猫映射混沌系统的初始状态值和生成索引向量π₁、π₂、π₃和π₄。上述参数都与明文图像有关，增强了算法与明文的相关性，可以有效地抵御已知明文和选择明文攻击。利用索引向量π₁、π₂、π₃和π₄对载体图像进行重新排序，增加了嵌入结果的随机性，提高了算法的安全性。

(3)将压缩感知和最低有效位嵌入算法引入到图像加密的优势。一方面，压缩感知理论在信号处理领域具有广泛的前景，将它引入到图像加密系统中可以保持压缩感知技术的优点，提高图像加密的性能与安全性；另一方面，最低有效位(LSB)即最不重要位，相当于在数字图像灰度值比特的最低位增加了一个微弱的信号，但是这个改变对于人眼的视觉影响很小，几乎无法观察。本发明只对载体图像的最后两个有效位进行嵌入，即保证了载体图像失真度较小，又能把所有的秘密信息完全嵌入，从视觉效果上看，带有秘密信息的载体图像和原始的载体图像，并没有太大的区别，几乎很难从肉眼上区分出来，该类算法的失真度保持情况较好，保证了载体图像在视觉上的安全。

(4)本发明采用三维猫映射混沌系统生成的随机序列来生成测量矩阵，由于混沌系统产生的序列具有优异的伪随机性，易于产生和重现；并且测量矩阵的产生可由密钥控制，在保证足够大的密钥空间的同时，能大大节约密钥消耗量；再者密文图像和明文图像的大小相等，仅需要存储和传输少量的参数，可以大大减少存储空间和传输宽带的压力。

根据本发明又一实施例提供的基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法具体包括以下步骤：

S301、根据式(1)和式(2)

计算P的像素平均值I；其中，P(i,j)表示P的第i行、第j列的像素值，i＝1,2,…,m,j＝1,2,…,n；

S302、利用离散小波变换对P进行稀疏化，得到稀疏系数矩阵P₁；

S303、根据预设参数t₁、t₂和I，按照式(3)和式(4)

计算x₀和y₀；其中，abs(x)表示求x的绝对值，mod是取模运算，

表示对x的值向下取整。

S304、根据x₀和y₀对P₁进行zigzag置乱，得到矩阵P₁′，并将P₁′中小于预设阈值TS的元素值置0，得到置乱矩阵P₂。

S305、设定参数μ和r₀，并将μ和r₀带入一维Logistic混沌系统方程(5)

r_n+1＝μ×r_n(1-r_n),n＝0,1,2,3..... (5)

迭代L次后生成随机混沌序列(r₁,r₂,...,r_L)。在实际应用中，L可大于等于1550。

具体地，一维Logistic系统是目前应用最为广泛的一类非线性动力学混沌系统，其数学表达式如式(5)所示。其中，参数μ∈(0,4]，r_n∈(0,1)，当3.5699....<μ≤4时，系统进入混沌状态。我们希望普通图像的任何像素值的微小变化都会影响所有密文图像的像素值，而不需要更改密钥。因此，本发明利用明文图像P的像素平均值I，根据公式(6)得到参数Q，再利用Q产生三维猫映射的初始状态值X₀、Y₀和Z₀和系统参数a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z。

S306、利用(r₁,r₂,...,r_L)和I按照式(6)和式(7)

计算X₀、Y₀和Z₀，以及a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z。式(6)中，I是明文图像P的像素平均值，

代表将I的值向下取整，floor(x)表示计算不大于x的最大整数，且Q∈[1,256]。式(7)中，m为明文图像P的行数，

表示对x的值向上取整。由于Q∈[1,256]，考虑到算法的执行效率，优选地，步骤S305中，选择L＝2000。

三维猫映射混沌系统的数学形式如式(8)所示：

为了方便表示，三维猫映射混沌系统可以简化为如下公式(9)形式：

其中，

H为参数矩阵。利用步骤306计算得到的a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z可得到H。

S307、将X₀、Y₀和Z₀带入三维猫映射混沌系统进行迭代L’＝num+MNd次，并舍弃前num个值，得到三个大小为MNd的随机序列X、Y和Z：

其中，d为采样间距，M＝CR×m，N＝m，CR为压缩率；在实际应用中，num可大于等于500。优选地，num可设置为1000。为了将密文图像F完美地嵌入到载体图像R’中，可将明文图像P的压缩率CR设置为CR＝0.25，则F的大小是(m/4)×n。

S308、根据X、Y和Z按照式(11)

得到W＝(w₁,w₂,...,w_MNd)；其中，x_i、y_i、z_i和w_i分别代表X、Y、Z和W的第i个元素，i＝1,2,…,MNd。

S309、对新序列W按照式(12)

w'_k＝w_1+kd,k＝0,1,2,...,MN-1 (12)

进行等距采样，得到新序列W'，w'_k是W'的第k个元素。相关文献证明，当采样距离d足够大时，产生的混沌序列是近似独立的，采样得到的混沌序列构建的矩阵在很大概率上满足RIP条件。

S310、对W'序列按照式(13)

w”_k＝1-2w'_k，k＝0,1,2......,MN-1 (13)

变换，得到新序列W″，w”_k是W″的第k个元素；

S311、将

按照式(14)

重新排列，得到测量矩阵φ_M×N；其中，

为归一化系数。然后利用φ对P₂进行压缩测量，获得测量值矩阵P₃。

S312、分别从X、Y、Z和W中取前u个值，得到四个新序列X₁、Y₁、Z₁和W₁：

X₁＝(x₁,x₂,…,x_u)，

Y₁＝(y₁,y₂,…,y_u)，

Z₁＝(z₁,z₂,…,z_u)，

W₁＝(w₁,w₂,…,w_u)，

其中，u＝(m×n)/4；

S313、对X₁、Y₁、Z₁和W₁进行升序排列，得到π₁、π₂、π₃和π₄。

S314、根据式(15)

对P₃中的元素进行量化，将元素值转化到0到255之间，得到P₄，将P₄作为P的密文图像F。其中，min是P₃的最小值，max是P₃的最大值，P_3(i)和P_4(i)分别是P₃和P₄的第i个元素，i＝1,2,…,Mn，M＝CR×m，CR为压缩率。

S315、将密文图像F排列成一维行向量F’＝(f’₁,f’₂,…,f’_u)，u＝(m×n)/4；

S316、选定载体图像R，并根据式(16)

将R像素值的范围调整到[G₁，G₂]，生成R’，其中，G₁∈(0,10]，G₂∈[245,255)，

且G₁和G₂均为整数。

表示对x的值向上取整，例如：

优选地，G₁＝10，G₂＝245。

S317、将R’均分成四个大小为(m/2)×(n/2)的矩阵C_A、C_H、C_V和C_D，并分别将C_A、C_H、C_V和C_D排列成四个长度为u＝(m×n)/4的一维行向量C₁、C₂、C₃和C₄；

S318、利用π₁、π₂、π₃和π₄分别对C₁、C₂、C₃和C₄进行升序排序，得到四个新的一维行向量A＝(a₁,a₂,…,a_u)、H＝(h₁,h₂,…,h_u)、V＝(v₁,v₂,…,v_u)和D＝(d₁,d₂,…,d_u)，其中，u＝(m×n)/4；

S319、将F’的第j个元素f’_j用二进制表示为b₈b₇b₆b₅b₄b₃b₂b₁，并分别将A、H、V和D的第j个元素a_j、h_j、v_j和d_j用二进制表示，其中b₈代表最高比特位，b₁代表最低比特位；

S320、将b₁b₂嵌入到a_j的最低两个比特位，将b₃b₄嵌入到h_j的最低两个比特位，将b₅b₆嵌入到v_j的最低两个比特位，以及将b₇b₈嵌入到d_j的最低两个比特位；

S321、保持a_j、h_j、v_j和d_j的其余比特位不变，得到含有密文信息的a’_j、h’_j、v’_j和d’_j；

S322、将a’_j、h’_j、v’_j和d’_j由二进制转换成十进制，得到四个行向量A’＝(a’₁,a’₂,…,a’_u)、H’＝(h’₁,h’₂,…,h’_u)、V’＝(v’₁,v’₂,…,v’_u)和D’＝(d’₁,d’₂,…,d’_u)。

S323、利用π₁、π₂、π₃和π₄分别对A’、H’、V’和D’进行降序排序，得到四个新的向量A”、H”、V”和D”，并分别将A”、H”、V”和D”转化成大小为(m/2)×(n/2)的矩阵C’_A、C’_H、C’_V和C’_D，将C’_A、C’_H、C’_V和C’_D组合后形成的矩阵作为P的视觉安全图像E(m×n)，加密过程结束。

下面将通过实验仿真验证本发明所提出的图像加密算法的安全有效性。

一、Woman(512×512)图像的加密和解密结果

本实验使用Matlab R2016a来验证本发明所提供的算法在2.5GHz CPU和4GB内存的个人电脑上的加密和解密效果，操作系统为Microsoft Windows 10。本实验使用的参数如下：μ＝3.81，r₀＝0.32，t₁＝1.3842、t₂＝0.0325。采样间距d为25，压缩率CR＝0.25，阈值TS＝30。明文图像P采用大小为512×512的Woman图像，载体图像R为大小相同的Cameraman图像，在明文图像P的离散小波变换(DWT)分解中，使用“Haar”小波函数。在CS的重建过程中，采用OMP方法。

从图3中可以看出：(1)(b)是(a)压缩后的密文图像，它是类似噪声或纹理的图像，当它在网络上传输和储存时，很容易被攻击者发现并重点攻击，不能有效保护图像的安全；(2)(d)是利用本发明算法得到的视觉安全的密文图像，它是有意义的且从外观上不会被视为密文图像，有效的隐藏了明文信息，保护了图像的数据安全，并具有相对较高的外观安全级别；(3)(e)所示的解密图像与(a)所示的明文图像在视觉上几乎相同，肉眼很难看出两者的差异。因此，本发明提出的加密方法具有良好的加密和解密效果，可以获得图像数据安全和外观安全，并且加密方法生成的视觉安全密码图像与原始图像尺寸相同，不需要额外的传输带宽和存储空间。

二、密钥空间分析

混沌加密算法的安全性与密钥空间有着很大关系。一般来说，密钥空间越大，其抵抗穷举攻击的能力也就越强。对于本发明来说，密钥具体包括：(1)给定的参数t₁、t₂、μ和r₀；(2)阈值TS和至少37种不同类型的DWT的现有小波滤波器都可以作为密钥。如果计算机的计算精度为10^-14，则密钥空间约为37²×10⁵⁶>2¹⁰⁰，可见，密钥空间足够大，能有效的抵抗一定的穷举攻击。此外，在本发明中，载体图像被用作明文图像的视觉保护，也可以作为一种密钥，不同的载体图像可以产生不同的视觉安全密文图像。因此，本发明所提供的加密方法的密钥空间足够大，可以抵御各种暴力攻击。

三、密钥敏感性分析

良好的图像加密算法在加密和解密过程中应该对密钥具有较高的灵敏度。根据Kerckhoff原理，加密系统的安全性与密钥的敏感性有着密切的联系。在本实验中，选取Woman图像作为明文图像，Cameraman作为载体图像。对密钥敏感性的测试，将从解密密钥这个方面进行测试。

在仿真中，在给定的四个参数t₁、t₂、μ和r₀都加上10^-14，改变其大小，且每当一个参数被改变时其他参数是恒定的。使用上述修改后的密钥来解密密文图像，以测试解密过程中的密钥敏感性。解密过程中的密钥敏感性测试结果如图4所示。图4中：(a)是使用正确密钥得到的解密图像；(b)、(c)、(d)、和(e)分别是使用不同错误密钥时得到的解密图像；图5中的(a)、(b)、(c)、(d)和(e)分别是与图4中的(a)、(b)、(c)、(d)和(e)相对应的直方图。从图4中可以看出：(1)使用正确密钥可以恢复出明文图像，得到的解密图像包含图3中(a)所示的明文图像的大部分外观信息，解密图像与明文图像之间的PSNR为39.0461dB；(2)当密钥有极微小的变化时，得到的解密图像是杂乱无章的，在视觉上和明文图像完全不同，且从中得不到任何与明文图像有关的信息；(3)当改变密钥时，图4中：(b)、(c)、(d)和(e)与(a)有很大的差别，完全不同，(b)、(c)、(d)和(e)无法得到明文图像的任何信息，因此，本发明提供的加密方法在解密过程中对密钥高度敏感。

四、抗剪切攻击效果分析

图像在网络传输的过程中或者是在复制、剪切和保存的过程中，会不可避免的发生信息的丢失，密码系统对剪切的鲁棒性也是实时图像通信中的一个重要要求。密文图像的数据丢失可以大大影响恢复的解密图像的质量。本实验通过对图3中(d)进行不同尺寸的剪切，如图6中(a)、(b)、(c)和(d)所示，相对应的解密图像分别为图6中(e)、(f)、(g)和(h)所示。

从图6可以看出，当剪切尺寸大小从32×32变化到130×130时，恢复图像的质量随之下降，相对应的PSNR值从38.19dB下降到29.15dB，但解密图像和原始图像在视觉上没有太大的差别，本发明在一定程度上可以抵抗数据丢失攻击。

结构相似性SSIM(Structural Similarity)，是一种衡量两幅图像相似度的指标，它可以通过考虑人类视觉系统(HVS)来改善传统的标准，如PSNR。通常用平均结构相似性MSSIM(Mean Structural Similarity)评估加密算法的性能，它的值在[0,1]之间且越大越好。MSSIM定义为公式(17)所示：

其中，μ_X、μ_Y分别表示明文图像X和解密图像Y的均值，σ_X、σ_Y分别表示X和Y的方差，σ_XY表示明文图像和解密图像的协方差，M表示图片的块数，在本仿真实验中设置M＝64，C₁，C₂，C₃为常数，且C₁＝6.50，C₂＝58.25，C₃＝29.26。

为了更好地验证该加密算法对剪切攻击具有抵抗力，下表1给出了数据丢失后的解密图像和原始图像之间的MSSIM的值。

表1 不同剪切攻击下的平均结构相似性

剪切程度	平均结构相似度MSSIM
		密文图像剪切32×32	0.9966
密文图像剪切64×64	0.9742
		密文图像剪切100×100	0.9355
密文图像剪切130×130	0.9194

由表1可以看出，密文图像被剪切一部分后，恢复的图像仍然保留了明文图像所包含的重要信息。当密文图像的剪切尺寸为130×130时，得到的MSSIM较低，为0.9194，但随着图像剪切尺寸的减小，相对应的恢复图像的MSSIM逐渐增大。总体来说，不同尺寸的剪切结果的MSSIM的值都在0.9以上，解密出来的图像失真度较小。所以，本发明提供的加密方法具有一定的抗剪切攻击能力。

五、抗噪声攻击效果分析

视觉安全的密文图像很容易受到各种噪声的影响，这些噪声使得从密文图像中恢复明文图像变得更加困难。因此具有抗噪声能力的图像加密算法更适合实际的应用。接下来，本实验将测试本发明提供的加密方法抵抗噪声攻击的能力。在下面的仿真中，使用Woman作为明文图像，选用Cameraman图像作为载体图像，设置其他参数如“一、Woman(512×512)图像的加密和解密结果”中所述。相应的视觉安全密文图像如图3中(d)所示，本实验对视觉安全密文图像分别添加强度为0.0001和0.01的椒盐噪声(SPN)，添加噪声后的密文图像和相应的解密图像显示在图7中。

由图7可知，随着添加的椒盐噪声强度的增加，当噪声强度从0增加到0.01和0.0001时，解密图像和明文图像之间的PSNR值从39.05dB变化到35.22dB到28.79dB，相应的解密图像的质量随之降低，但还是保留着明文图像的大部分外观信息，从视觉上与明文图像几乎没有太大差异，这表明该算法对椒盐噪声攻击具有较好的抵抗力。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (9)

1.基于压缩感知和三维猫映射的图像加密方法，其特征在于，包括：

步骤1、根据明文图像P的像素平均值I计算三维猫映射混沌系统的初始状态值和系统参数，并对P的稀疏系数矩阵进行zigzag置乱；

步骤2、将所述初始状态值和系统参数带入三维猫映射混沌系统，构建测量矩阵，并利用所述测量矩阵对置乱后的稀疏系数矩阵进行压缩测量，得到密文图像F；

步骤3、将F按照LSB最低有效位嵌入算法嵌入到载体图像R中，得到视觉安全图像E；

所述步骤1具体包括：

步骤1.1、计算明文图像P(m×n)的像素平均值I和稀疏系数矩阵P₁，并利用I计算zigzag置乱的起始位置x₀和y₀，利用x₀和y₀对P₁进行zigzag置乱，得到置乱矩阵P₂；

步骤1.2、根据像素平均值I和Logistic映射的预设参数μ和r₀，计算三维猫映射混沌系统的初始状态值X₀、Y₀和Z₀，以及系统参数a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z；

对应地，所述步骤2具体包括：

步骤2.1、利用三维猫映射混沌系统对X₀、Y₀和Z₀进行迭代，生成随机序列X、Y、Z和W，根据X、Y、Z和W构建测量矩阵φ，以及索引向量π₁、π₂、π₃和π₄，并利用φ对P₂进行压缩测量，得到测量值矩阵P₃；

步骤2.2、对P₃中的元素进行量化，得到量化矩阵P₄，将P₄作为P的密文图像F；

对应地，所述步骤3具体包括：

步骤3.1、将密文图像F排列成一维行向量F’＝(f’₁,f’₂,…,f’_u)，u＝(m×n)/4；

步骤3.2、选定载体图像R，并将R的图像强度等级调整至预设区间范围，生成新的载体图像R’；

步骤3.3、将R’均分成四个大小为(m/2)×(n/2)的矩阵C_A、C_H、C_V和C_D，并分别将C_A、C_H、C_V和C_D排列成四个长度为u＝(m×n)/4的一维行向量C₁、C₂、C₃和C₄；

步骤3.4、利用π₁、π₂、π₃和π₄分别对C₁、C₂、C₃和C₄进行升序排序，得到四个新的一维行向量A＝(a₁,a₂,…,a_u)、H＝(h₁,h₂,…,h_u)、V＝(v₁,v₂,…,v_u)和D＝(d₁,d₂,…,d_u)，其中，u＝(m×n)/4；

步骤3.5、将F’中的元素按照LSB最低有效位嵌入算法嵌入到A、H、V和D的元素中，得到嵌入后的行向量A’、H’、V’和D’；

步骤3.6、利用π₁、π₂、π₃和π₄分别对A’、H’、V’和D’进行降序排序，得到四个新的向量A”、H”、V”和D”，并分别将A”、H”、V”和D”转化成大小为(m/2)×(n/2)的矩阵C’_A、C’_H、C’_V和C’_D，将C’_A、C’_H、C’_V和C’_D组合后形成的矩阵作为P的视觉安全图像E(m×n)。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤1.1具体为：

步骤1.1.1、根据式(1)和式(2)

计算P的像素平均值I；其中，P(i,j)表示P的第i行、第j列的像素值，i＝1,2,…,m,j＝1,2,…,n；

步骤1.1.2、利用离散小波变换对P进行稀疏化，得到稀疏系数矩阵P₁；

步骤1.1.3、根据预设参数t₁、t₂和I，按照式(3)和式(4)

计算x₀和y₀；

步骤1.1.4、根据x₀和y₀对P₁进行zigzag置乱，得到矩阵P₁′，并将P₁′中小于预设阈值TS的元素值置0，得到置乱矩阵P₂。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤1.2具体为：

步骤1.2.1、设定参数μ和r₀，并将μ和r₀带入一维Logistic混沌系统方程(5)

r_n+1＝μ×r_n(1-r_n),n＝0,1,2,3..... (5)

迭代L次后生成随机混沌序列(r₁,r₂,...,r_L)；

步骤1.2.2、利用(r₁,r₂,...,r_L)和I按照式(6)和式(7)

计算X₀、Y₀和Z₀，以及a_x、a_y、a_z、b_x、b_y和b_z。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤2.1中的利用三维猫映射混沌系统对X₀、Y₀和Z₀进行迭代，生成随机序列X、Y、Z和W具体为：

步骤2.1.1、将X₀、Y₀和Z₀带入三维猫映射混沌系统进行迭代L’＝num+MNd次，并舍弃前num个值，得到三个大小为MNd的随机序列X、Y和Z：

其中，d为采样间距，M＝CR×m，N＝m，CR为压缩率；

步骤2.1.2、根据X、Y和Z按照式(11)

得到W＝(w₁,w₂,...,w_MNd)；其中，x_i、y_i、z_i和w_i分别代表X、Y、Z和W的第i个元素，i＝1,2,…,MNd。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述步骤2.1中的根据X、Y、Z和W构建测量矩阵φ具体为：

步骤2.1.3、对新序列W按照式(12)

w'_k＝w_1+kd,k＝0,1,2,...,MN-1 (12)

进行等距采样，得到新序列W'，w'_k是W'的第k个元素；

步骤2.1.4、对W'序列按照式(13)

w”_k＝1-2w'_k，k＝0,1,2......,MN-1 (13)

变换，得到新序列W″，w”_k是W″的第k个元素；

步骤2.1.5、将

按照式(14)

重新排列，得到测量矩阵φ_M×N；其中，

为归一化系数。

6.根据权利要求4或5所述的方法，其特征在于，所述步骤2.1中的根据X、Y、Z和W构建索引向量π₁、π₂、π₃和π₄具体为：

步骤2.1.6、分别从X、Y、Z和W中取前u个值，得到四个新序列X₁、Y₁、Z₁和W₁：

X₁＝(x₁,x₂,…,x_u)，

Y₁＝(y₁,y₂,…,y_u)，

Z₁＝(z₁,z₂,…,z_u)，

W₁＝(w₁,w₂,…,w_u)，

其中，u＝(m×n)/4；

步骤2.1.7、对X₁、Y₁、Z₁和W₁进行升序排列，得到π₁、π₂、π₃和π₄。

7.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述步骤2.2具体为：

根据式(15)

对P₃中的元素进行量化，将元素值转化到0到255之间，得到P₄；其中，min是P₃的最小值，max是P₃的最大值，P_3(i)和P_4(i)分别是P₃和P₄的第i个元素，i＝1,2,…,Mn，M＝CR×m，CR为压缩率。

8.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤3.2具体为：

根据式(16)

将R像素值的范围调整到[G₁，G₂]，生成R’，其中，G₁∈(0,10]，G₂∈[245,255)，且G₁和G₂均为整数。

9.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤3.5具体为：

步骤3.5.1、将F’的第j个元素f’_j用二进制表示为b₈b₇b₆b₅b₄b₃b₂b₁，并分别将A、H、V和D的第j个元素a_j、h_j、v_j和d_j用二进制表示，其中b₈代表最高比特位，b₁代表最低比特位；

步骤3.5.2、将b₁b₂嵌入到a_j的最低两个比特位，将b₃b₄嵌入到h_j的最低两个比特位，将b₅b₆嵌入到v_j的最低两个比特位，以及将b₇b₈嵌入到d_j的最低两个比特位；

步骤3.5.3、保持a_j、h_j、v_j和d_j的其余比特位不变，得到含有密文信息的a’_j、h’_j、v’_j和d’_j；

步骤3.5.4、将a’_j、h’_j、v’_j和d’_j由二进制转换成十进制，得到四个行向量A’＝(a’₁,a’₂,…,a’_u)、H’＝(h’₁,h’₂,…,h’_u)、V’＝(v’₁,v’₂,…,v’_u)和D’＝(d’₁,d’₂,…,d’_u)。

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