CN109268159A - 稀薄燃烧汽油机燃空比系统控制方法 - Google Patents
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Abstract
一种稀薄燃烧汽油机燃空比系统控制方法，属于控制技术领域。本发明主要针对稀薄燃烧发动机燃空比控制系统的时变大时滞特性，设计前馈MPC与反馈MPC相结合的控制器，使发动机的燃空比输出不受时滞的影响，从而能够满足燃空比精确控制要求的稀薄燃烧汽油机燃空比系统控制方法。本发明给出了具有边界的最优控制问题，其代价函数包含了气缸中FAR动态系统的预测输出，同时，它受到控制和输出约束，通过解决上述最优问题，获得前馈输入和输出；设计系统状态观测器；在反馈控制回路中解决二级最优控制问题；导出修改的控制约束。本发明采用基于简化模型的前馈模型预测控制方法对发动机燃空比系统进行控制，在补偿系统时滞影响的同时，也提高了响应的快速性。
Description
技术领域
本发明属于控制技术领域。
背景技术
稀薄燃烧是一种使燃油在空燃比远远大于理论空燃比的环境下充分燃烧的技术，相比传统发动机而言，稀薄燃烧发动机在减少尾气排放和提高燃油经济性方面具有明显的优势，被公认为是提高车用汽油机效率和降低排放的最有前途的一种方法。由于稀薄燃烧发动机燃空比系统具有时变时滞特性，导致稀薄燃烧发动机燃空比的精确控制存在以下问题：
1.稀薄燃烧发动机尾气处理系统加入的稀燃NOx捕集装置，导致稀薄燃烧发动机燃空比控制系统存在较大的时滞，这极大的限制了控制系统的稳定性。
2.稀薄燃烧发动机燃空比控制系统由于发动机本身的机械结构特性，导致输出的燃空比对喷油量的响应存在随着发动机转速改变而改变的时变延迟，这使得发动机的输出燃空比存在延迟现象，不能满足燃空比精确控制的需求。
发明内容
本发明主要针对稀薄燃烧发动机燃空比控制系统的时变大时滞特性，设计前馈MPC与反馈MPC相结合的控制器，使发动机的燃空比输出不受时滞的影响，从而能够满足燃空比精确控制要求的稀薄燃烧汽油机燃空比系统控制方法。
本发明步骤是：
①给出了具有边界的最优控制问题，其代价函数包含了气缸中FAR动态系统的预测输出，同时，它受到控制和输出约束，通过解决上述最优问题，获得前馈输入uff和输出yff；
②设计系统状态观测器；
③基于前馈信号uff和yff，在反馈控制回路中解决二级最优控制问题；
④基于所获得的前馈控制序列uff，导出修改的控制约束；整个控制器由前馈和反馈组成；
1)发动机燃空比系统模型：
(1)空气质量流量动态模型：
根据充气效率的定义，结合理想气体状态方程，我们可以计算进入气缸的空气质量流量：
其中R是理想气体常数，Vc是气缸容积，N是发动机转速，Pm是进气歧管压力，η是充气效率和Tm是进气歧管温度；
(2)油路动态模型：
根据Wang的发动机识别实验，湿壁效应模型描述为：
其中表示油膜质量变化率的导数，表示油膜质量变化率，表示喷油器喷射的燃油流量，表示进气管内的燃油蒸汽质量变化率，表示喷油器喷射的燃油中进入气缸的部分，Tw表示油膜中燃油蒸发时间常数，εw表示喷油器喷射燃油中以油膜形式存在部分的百分比；
(3)汽缸内的燃空比
定义当量燃空比φ为
根据四冲程内燃机进气量计算公式对公式(3)求导得到
将作为状态量，作为控制输入u，φ作为控制输出气缸内的FAR状态方程可以写为
其中，
(4)延迟环节和氧传感器
y为UEGO传感器测量的FAR，从缸内燃空比到实际测量的燃空比y的时滞主要由废气传输延迟和周期延迟两部分组成，废气传输延迟用公式来计算，其中是空气质量流，ν是一个校准常数，周期延迟由公式τc＝120/N近似计算，发动机燃空比系统的总延迟由τ＝τc+τg计算，UEGO传感器动态可以建模为一阶滞后环节G(s)＝1/(τss+1)，包括UEGO传感器动态和总延迟的开环系统动态可以描述为
使用一阶pade转化为
(5)根据状态方程(5)，考虑延迟和UEGO传感器环节，将扩展状态定义为
FAR系统的状态方程表示为
其中，
2)前馈MPC控制器
(1)在每个采样周期中更新参数N和Pm，并相应地更新η，以Ts为采样周期对连续模型进行离散化，得到
其中，是前馈输入， 已知；假设u(-1)，u(-2)，…已给；
(2)将前馈控制输入写成增量形式则模型(5)的增量形式给出为：
(3)根据预测控制原理，在时刻k，基于模型(10)预测未来的系统输出；定义为控制时域，定义为预测时域；气缸中FAR的预测函数如下：
其中，
(4)选择前馈代价函数为：
其中，和是加权矩阵；前馈控制的FAR的参考序列定义为
(5)在和的约束下求解(12)，用解序列第一个元素来确定将整个解序列传递到反馈设计阶段；
3)反馈MPC控制器
(1)根据系统模型(8)可知，测量模型(8)的系统输出y(t)，以Ts为采样周期对连续模型(8)进行离散化，我们得到
其中，
(2)因此，系统状态观测器定义为
其中J是观测器的增益矩阵，必须保证Ad-JCd的稳定性；
(3)将被控对象的总输入定义为
u(k)＝uff(k)+ufb(k)
(4)确定反馈控制律ufb(k)。基于模型(13)，反馈预测模型给出为
(5)将时刻k作为预测未来的起始点，模型(15)由观测器(14)提供的状态进行初始化；使用前馈设计中的信息Δuff(k)，...，Δuff(k+lff-1)，只将uff(k)用到前馈控制过程中，为了简化反馈设计过程，在反馈设计过程中，假设
Δuff(k+i)＝0，i≥1.
这里，lfb定义为反馈控制时域，pfb定义为预测时域；
(6)将序列ΔUfb(k)加到反馈控制输入中，则预测输出定义如下：
反馈预测输出为
其中矩阵Sxb与Sxf具有相同的形式，其维度由模型状态和预测时域决定；矩阵Sub与Ib具有相似的属性；
(7)经过推导得到
选择反馈代价函数为
Jfb＝||Γyb(Yfb(k+1|k)-Reb(k+1))||2+||ΓubΔUfb(k)||2， (17)
其中Γyb和Γub是加权矩阵。反馈控制的FAR的参考序列定义为
Reb(k+1)＝[r(k+1) r(k+2) … r(k+pfb)]T.
根据系统约束ufb(k)+uff(k)∈[umin，umax]来优化(17)，求取解序列。
本发明的有益效果是：
1.本发明采用基于简化模型的前馈模型预测控制方法对发动机燃空比系统进行控制，在补偿系统时滞影响的同时，也提高了响应的快速性。此外，对于特定模型参数的变化也具有较好的控制性能。
2.本发明采用的反馈模型预测控制的输入除了参考值之外，还有前馈模型预测控制的输出量，这样的控制结构在提高响应的快速性的同时，也保证了跟踪的精确性和较强的抗干扰性。
附图说明
下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步的说明，本发明的这些和/或其他方面将更清晰明白。其中：
图1是实施本发明所述的稀薄燃烧发动机燃空比系统结构图；
图2是实施本发明所述的基于前馈模型预测控制稀薄燃烧发动机燃空比控制系统控制框图；
图3是本发明所述的仿真工况1中期望的燃空比参考轨迹，横坐标为时间，单位s；
图4是实施本发明所述的仿真工况1中，FFMPC、F-MPC和MPC三种控制器对期望的燃空比的跟踪曲线，其中虚线表示MPC控制器的跟踪曲线，点画线表示F-PID控制器的跟踪曲线，红色实线表示FFMPC控制器的跟踪曲线，黑色实线表示期望的燃空比曲线，横坐标为时间，单位s；
图5是本发明所述的图4中4-5s的放大部分；
图6是本发明所述的仿真工况2中给定的发动机转速变化的参考轨迹，单位rpm，横坐标为时间，单位s；
图7是实施本发明所述的仿真工况2中，FFMPC、F-MPC和MPC三种控制器在转速变化工况下对期望的燃空比的跟踪曲线，其中虚线表示MPC控制器的跟踪曲线，点画线表示F-PID控制器的跟踪曲线，红色实线表示FFMPC控制器的跟踪曲线，黑色实线表示期望的燃空比曲线，横坐标为时间，单位s；
图8是本发明所述的仿真工况3中给定的节气门位置变化的参考轨迹，单位deg，横坐标为时间，单位s；
图9是实施本发明所述的仿真工况3中，FFMPC、F-MPC和MPC三种控制器在节气门位置变化工况下对期望的燃空比的跟踪曲线，其中虚线表示MPC控制器的跟踪曲线，点画线表示F-PID控制器的跟踪曲线，红色实线表示FFMPC控制器的跟踪曲线，黑色实线表示期望的燃空比曲线，横坐标为时间，单位s；
图10是本发明所述的仿真工况4中输入干扰信号的参考轨迹，横坐标为时间，单位s；
图11是实施本发明所述的仿真工况4中，FFMPC、F-MPC和MPC三种控制器在输入干扰信号和白噪声干扰下对期望的燃空比的跟踪曲线，其中虚线表示MPC控制器的跟踪曲线，点画线表示F-PID控制器的跟踪曲线，红色实线表示FFMPC控制器的跟踪曲线，黑色实线表示期望的燃空比曲线，横坐标为时间，单位s。
具体实施方式
本发明涉及一种基于前馈模型预测控制的稀薄燃烧汽油机燃空比系统控制方法，更具体地说，本发明涉及一种针对稀薄燃烧发动机燃空比系统时变大延迟特性，进而设计了一种前馈模型预测控制和反馈模型预测控制相结合的控制方法，改善系统的延时影响。
本发明针对稀薄燃烧发动机燃空比控制系统存在的时变大时滞问题，利用前馈控制器补偿燃空比系统的时滞的影响，并提高跟踪快速性；用反馈控制器补偿模型不确定性和外界干扰导致的静态误差，提高跟踪的精确性。
本发明所述的研究方法是针对稀薄燃烧发动机燃空比系统存在的时变大时滞问题设计的控制系统，包括以下步骤：
首先推导正确的发动机燃空比系统数学模型；其次，搭建合适的发动机模型，模拟燃空比系统的时滞特性；然后验证模型的正确性，并推导前馈控制器的状态方程和反馈控制器的状态方程；最后，设计前馈MPC控制器和反馈MPC控制器，解决控制输出延迟问题，实现对燃空比的精确控制。
为解决上述技术问题，本发明是采用如下技术方案实现的：
本发明所述的稀薄燃烧发动机燃空比系统的控制是通过软件系统的联合仿真实现。软件系统由Matlab/Simulink和GT-Power编译器组成。其中GT-Power软件是一个商用的复杂系统建模仿真平台，它在本发明中的主要作用是提供高保真的稀薄燃烧发动机模型，在仿真实验中这一模型代替真实发动机作为控制方法的实施对象；MATLAB/Simulink软件则是用于控制器的仿真模型搭建，即通过Simulink编程来完成该控制方法中ECU的运算。
从功能上说本发明可以包括以下几部分：稀薄燃烧发动机模型、前馈控制器仿真模块和反馈控制器仿真模块。下面详细说明各部分的作用：
稀薄燃烧发动机模型模拟真实的被控对象，主要作用是能够精确的模拟实际发动机燃空比系统的功能及时滞特征；
前馈控制器仿真模块的主要作用是根据简化的燃空比系统控制模型及燃空比的期望值快速计算出前馈喷油量，补偿时滞的影响，提高跟踪的快速性；
反馈控制器仿真模块的主要作用是根据前馈喷油量及完整的燃空比系统控制模型和被控对象的输出补偿模型不确定性和外界干扰造成的误差，提高抗干扰性和跟踪的精确性。
为详细说明本发明的技术内容、构造特点、实现目的等下面结合附图对本发明进行全面解释。
注：为验证前馈MPC与反馈MPC联合控制器的控制性能(FFMPC)，本发明搭建了普通前馈与PID反馈联合控制器(F-MPC)和普通MPC控制器(MPC)。
本发明的被控对象的结构简图如图1所示，被控对象由油路、气缸、三效催化转化器、稀燃NOx捕集装置和氧传感器组成。本发明的系统控制框图如图2所示，图中前馈MPC控制器的输入是期望燃空比，输出为前馈喷油量；反馈MPC控制器的输入是前馈喷油量、期望燃空比和被控对象输出测量值，输出是反馈喷油量；前馈MPC控制器和反馈MPC控制器均是在simulink中搭建的；被控对象是包含油路动态、延迟和氧传感器的稀薄燃烧发动机模型。
本发明的控制目标是，控制系统根据实时反馈信号，控制发动机的运行，使实际燃空比跟踪上期望燃空比且控制器的输出平顺。
本发明提供了一套基于以上运行原理和运行过程的装置。搭建以及运行过程如下：
1、软件选择
该控制系统的被控对象和控制器的仿真模型分别通过软件Matlab/Simulink和GT-Power进行搭建，软件版本分别为Matlab R2012a和GT-Power v7.5.0，求解器选择为quadprog(QP)。仿真步长为0.001s。
2、联合仿真设置
要实现两者的联合仿真，首先需要在Matlab的路径设置中添加GT-Power的路径；其次在GT-Power界面中添加输出接口模块；然后将GT-Power中的模型信息经过系统编译之后以S-function的形式保留在Simulink中，最后再进行Simulink中GT-Power模块的参数设置。在运行Simulink仿真模型时，GT-Power模型也在同时进行计算和求解。仿真过程中两者之间不断进行数据的交换。如果对GT-Power中的模型结构或者参数设置进行了修改，则需要重新编译。
3、稀薄燃烧发动机模型搭建
整个发动机仿真模型包括四个部分：油路部分，气路部分，气缸燃烧部分和尾气处理部分。
油路部分包括喷油嘴和油路管道。设置喷油嘴的输入为喷油脉宽指令，喷油速率为30g/s，设置油路管道的尺寸。气路部分包括空气供给装置、节气门、进气歧管、气路管道和进气阀。设置各个气路管道的尺寸及压力和进气阀开度。气缸燃烧部分包括四个气缸和动力传输装置。分别设置气缸的初始状态、点火顺序，点火提前角及燃烧模型；设置动力传输装置的运行模式及发动机转速。尾气处理装置包括排气管道、三效催化转化器、稀燃NOx捕集装置和氧传感器。设置管道相关尺寸，三效催化转化器和稀燃NOx捕集装置的初始状态及求解器类型。
4、控制系统设计
本发明的被控对象是带有时变时滞的稀薄燃烧汽油机燃空比系统，控制目标是改善变时滞现象对输出燃空比的影响。主要设计过程描述如下。首先，给出了具有边界的最优控制问题。其代价函数包含了气缸中FAR动态系统的预测输出。同时，它受到控制和输出约束。通过解决上述最优问题，获得前馈输入uff和输出yff。其次，设计系统状态观测器，这是反馈控制器的重要组成部分。最后，基于前馈信号uff和yff，在反馈控制回路中解决二级最优控制问题。该问题与一级优化问题不同，因为其预测输出包括反馈信息。此外，基于所获得的前馈控制序列uff，导出修改的控制约束。整个控制器由前馈和反馈组成。
1)发动机燃空比系统模型推导
空气质量流量动态模型：
根据充气效率的定义，结合理想气体状态方程，我们可以计算进入气缸的空气质量流量：
其中R是理想气体常数，Vc是气缸容积，N是发动机转速，Pm是进气歧管压力，η是充气效率(它是进气歧管压力和发动机转速的函数，可由2D查表获得)和Tm是进气歧管温度。
油路动态模型：
由喷射器供应的燃油可以分成两部分，一部分与空气混合直接进入汽缸，另一部分以油膜的形式沉积在进气系统部件的表面上，在以后的发动机循环周期中通过蒸发过程与空气流混合。这被称为湿壁效应。
根据Wang的发动机识别实验，湿壁效应模型可以描述为：
其中表示油膜质量变化率的导数，表示油膜质量变化率，表示喷油器喷射的燃油流量，表示进气管内的燃油蒸汽质量变化率，表示喷油器喷射的燃油中进入气缸的部分，Tw表示油膜中燃油蒸发时间常数，εw表示喷油器喷射燃油中以油膜形式存在部分的百分比。
汽缸内的燃空比
定义当量燃空比φ为
根据四冲程内燃机进气量计算公式对公式(3)求导得到
将作为状态量，作为控制输入u，φ作为控制输出气缸内的FAR状态方程可以写为
其中，
延迟环节和氧传感器
如图1所示，y为UEGO传感器测量的FAR，通常用于反馈控制回路。从缸内燃空比到实际测量的燃空比y的时滞主要由废气传输延迟和周期延迟两部分组成。废气传输延迟是指废气从气缸转移到LNT下游的UEGO传感器所需的时间。这个延迟可以用公式来计算，其中是空气质量流，ν是一个校准常数。此外，发动机的运行状况决定了周期延迟的大小。周期延迟可以由公式τc＝120/N近似计算。因此发动机燃空比系统的总延迟可以由τ＝τc+τg计算，该延迟大小随发动机工况的变化而变化。UEGO传感器动态可以建模为一阶滞后环节G(s)＝1/(τss+1)。因此，包括UEGO传感器动态和总延迟的开环系统动态可以描述为
使用一阶pade近似，系统(9)可以转化为
根据状态方程(5)，考虑延迟和UEGO传感器环节，将扩展状态定义为其中状态x3和x4没有明确的物理意义。因此，FAR系统的状态方程可以表示为
其中，
2)前馈MPC控制器设计
为了精确跟踪给定的参考信号，在反馈设计之前执行前馈设计。首先，我们使用状态空间模型(5)作为前馈控制中的预测模型。为了提高前馈预测模型的精度，在每个采样周期中更新参数N和Pm，并相应地更新η。然后，以Ts为采样周期对连续模型进行离散化，我们可以得到
其中，是前馈输入， 已知。假设u(-1)，u(-2)，…已给。
将前馈控制输入写成增量形式则模型(5)的增量形式给出为：
根据预测控制原理，在时刻k，基于模型(10)预测未来的系统输出。这里，定义为控制时域，定义为预测时域；因此，气缸中FAR的预测函数如下：
其中，
选择前馈代价函数为：
其中，和是加权矩阵。前馈控制的FAR的参考序列定义为
在和的约束下求解(12)，用解序列第一个元素来确定将整个解序列传递到反馈设计阶段。
3)反馈MPC控制器设计
如图1所示，UEGO传感器测量的FAR是反馈控制回路的反馈信号。根据系统模型(8)可知，我们只能测量模型(8)的系统输出y(t)。与前馈设计类似，以Ts为采样周期对连续模型(8)进行离散化，我们可以得到
其中，因此，系统状态观测器定义为
其中J是观测器的增益矩阵。它们必须保证Ad-JCd的稳定性。
前馈控制输入已在上面的部分中获得。然而，由于存在不可测量的干扰和模型不确定性，需要反馈部分进行调节。我们将被控对象的总输入定义为
在本节中，我们的目标是确定反馈控制律ufb(k)。基于模型(13)，反馈预测模型给出为
将时刻k作为预测未来的起始点，模型(15)由观测器(14)提供的状态进行初始化。同时，在本节中，我们可以使用前馈设计中的信息但是，我们只将用到前馈控制过程中。因此，为了简化反馈设计过程，在反馈设计过程中，假设
这里，lfb定义为反馈控制时域，pfb定义为预测时域；然后，将序列ΔUfb(k)加到反馈控制输入中，则预测输出可以定义如下：
与前馈设计类似，反馈预测输出为
其中矩阵Sxb与Sxf具有相同的形式，其维度由模型状态和预测时域决定。矩阵Sub与Ib具有相似的属性。经过推导，我们就可以得到
选择反馈代价函数为
Jfb＝||Γyb(Yfb(k+1|k)-Reb(k+1))||2+||ΓubΔUfb(k)||2， (17)
其中Γyb和Γub是加权矩阵。反馈控制的FAR的参考序列定义为
Reb(k+1)＝[r(k+1) r(k+2) … r(k+pfb)]T.
根据系统约束ufb(k)+uff(k)∈[umin，umax]来优化(17)，求取解序列。
5、实验对比验证
系统的前1s为发动机冷启动阶段，此阶段不可控，在实验中不予考虑。
1)实施例1：轨迹跟踪实验
将发动机转速设置为3000rpm；节气门开度设置为45°；期望燃空比如图3所示，在2s时，期望燃空比由0.8变到1.0；在4s时，期望燃空比由1.0变到1.25；在6s时，期望燃空比由1.25变到1.0。
由图4可知，对于不同的期望FAR，FFMPC控制器总是可以收敛。该结果表明FFMPC控制器可用于大范围调节FAR。而且，如图5所示，FFMPC，F-PID和MPC的调整时间分别为0.35s，0.6s和0.6s。FFMPC控制器的收敛速度明显高于MPC和F-PID控制器。此外，FFMPC的跟踪超调远小于F-PID和MPC。该结果表明，FFMPC控制器具有良好的跟踪能力和瞬态响应能力，适用于大范围的FAR变化跟踪。通过与MPC的控制性能进行比较，可以看出前馈MPC控制器在轨迹跟踪方面起着显著的作用。
2)实施例2：模型不确定性实验
将期望燃空比设置为1；节气门开度设置为45°；给定发动机转速如图6所示，在2-4s期间内，发动机转速由3000rpm变到4000rpm；在6-8s期间内，发动机转速由4000rpm变到3000rpm；在10-12s期间内，发动机转速由3000rpm变到2500rpm。
发动机转速作为模型参数，它的变化影响着模型。实验结果如图7所示，在发动机转速瞬变期间，FAR的跟踪存在轻微偏差，对于发动机转速变化过程中，此偏差是完全可以接受的。但是，一旦速度没有改变，输出FAR就会立即跟踪期望FAR。此外，在发动机速度变化过程中，FFMPC的跟踪偏差小于MPC和F-PID的跟踪偏差。这个结果的原因是前馈预测模型在FFMPC控制器中是参变的。一旦发动机速度改变，前馈控制器立即响应。这说明FFMPC控制器对特定参变模型有着较好的控制性能。
实施例3：加入干扰实验
(1)内部干扰：节气门开度变化实验
将发动机转速设置为3000rpm；期望燃空比设置为1；节气门开度如图8所示，在2s时，节气门开度由60变到45；在4s时，节气门开度由45变到30；在6s时，节气门开度由30变到45。
实验结果如图9所示，无论节气门位置如何突变，在FFMPC控制器的作用下，FAR都可以再次快速跟踪上期望FAR。但是，FFMPC控制器的超调并不小于MPC和F-PID的。该结果的原因是节气门的相关状态不包括在前馈预测模型中。因此，FFMPC的收敛速度类似于仅有反馈部分的MPC。
(2)外部干扰：加入输入干扰和测量噪声实验
将发动机转速设置为3000rpm；节气门开度设置为45°；期望燃空比设置为1；在氧传感器处加入白噪声作为测量噪声，在喷油嘴处加入输入干扰信号作为喷油嘴误差，输入干扰信号如图10所示。
实验结果如图11所示，由实验结果可知，加入外部干扰的控制结果与加入内部干扰相似。这说明本发明的控制系统不仅有良好的跟踪能力和瞬态响应能力，而且有较强的抗干扰能力。
Claims (1)
1.一种稀薄燃烧汽油机燃空比系统控制方法，其特征在于：其步骤是：
①给出了具有边界的最优控制问题，其代价函数包含了气缸中FAR动态系统的预测输出，同时，它受到控制和输出约束，通过解决上述最优问题，获得前馈输入uff和输出yff；
②设计系统状态观测器；
③基于前馈信号uff和yff，在反馈控制回路中解决二级最优控制问题；
④基于所获得的前馈控制序列uff，导出修改的控制约束；整个控制器由前馈和反馈组成；
1)发动机燃空比系统模型：
(1)空气质量流量动态模型：
根据充气效率的定义，结合理想气体状态方程，我们可以计算进入气缸的空气质量流量：
其中R是理想气体常数，Vc是气缸容积，N是发动机转速，Pm是进气歧管压力，η是充气效率和Tm是进气歧管温度；
(2)油路动态模型：
根据Wang的发动机识别实验，湿壁效应模型描述为：
其中表示油膜质量变化率的导数，表示油膜质量变化率，表示喷油器喷射的燃油流量，表示进气管内的燃油蒸汽质量变化率，表示喷油器喷射的燃油中进入气缸的部分，Tw表示油膜中燃油蒸发时间常数，εw表示喷油器喷射燃油中以油膜形式存在部分的百分比；
(3)汽缸内的燃空比
定义当量燃空比φ为
根据四冲程内燃机进气量计算公式对公式(3)求导得到
将作为状态量，作为控制输入u，φ作为控制输出气缸内的FAR状态方程可以写为
其中，
(4)延迟环节和氧传感器
y为UEGO传感器测量的FAR，从缸内燃空比到实际测量的燃空比y的时滞主要由废气传输延迟和周期延迟两部分组成，废气传输延迟用公式来计算，其中是空气质量流，v是一个校准常数，周期延迟由公式τc＝120/N近似计算，发动机燃空比系统的总延迟由τ＝τc+τg计算，UEGO传感器动态可以建模为一阶滞后环节G(s)＝1/(τss+1)，包括UEGO传感器动态和总延迟的开环系统动态可以描述为
使用一阶pade转化为
(5)根据状态方程(5)，考虑延迟和UEGO传感器环节，将扩展状态定义为FAR系统的状态方程表示为
其中，
2)前馈MPC控制器
(1)在每个采样周期中更新参数N和Pm，并相应地更新η，以Ts为采样周期对连续模型进行离散化，得到
其中，ujf是前馈输入，已知；假设u(-1)，u(-2)，…已给；
(2)将前馈控制输入写成增量形式Δujf(k)＝ujf(k)-ujf(k-1)；则模型(5)的增量形式给出为：
(3)根据预测控制原理，在时刻k，基于模型(10)预测未来的系统输出；ljf定义为控制时域，pjf定义为预测时域；气缸中FAR的预测函数如下：
其中，
(4)选择前馈代价函数为：
其中，和是加权矩阵；前馈控制的FAR的参考序列定义为
(5)在ujf∈[umin，umax]和yjf∈[ymin，ymax]的约束下求解(12)，用解序列第一个元素来确定ujf(k)，将整个解序列传递到反馈设计阶段；
3)反馈MPC控制器
(1)根据系统模型(8)可知，测量模型(8)的系统输出y(t)，以Ts为采样周期对连续模型(8)进行离散化，我们得到
其中，
(2)因此，系统状态观测器定义为
其中J是观测器的增益矩阵，必须保证Ad-JCd的稳定性；
(3)将被控对象的总输入定义为
u(k)＝ujf(k)+ufb(k)
(4)确定反馈控制律ufb(k)。基于模型(13)，反馈预测模型给出为
(5)将时刻k作为预测未来的起始点，模型(15)由观测器(14)提供的状态进行初始化；使用前馈设计中的信息Δuff(k)，...，Δuff(k+lff-1)，只将uff(k)用到前馈控制过程中，为了简化反馈设计过程，在反馈设计过程中，假设
Δuff(k+i)＝0，i≥1.
这里，lfb定义为反馈控制时域，pfb定义为预测时域；
(6)将序列ΔUfb(k)加到反馈控制输入中，则预测输出定义如下：
反馈预测输出为
其中矩阵Sxb与Sxf具有相同的形式，其维度由模型状态和预测时域决定；矩阵Sub与Ib具有相似的属性；
(7)经过推导得到
选择反馈代价函数为
Jfb＝||Γyb(Yfb(k+1|k)-Reb(k+1))||2+||ΓubΔUfb(k)||2， (17)
其中Γyb和Γub是加权矩阵。反馈控制的FAR的参考序列定义为
Reb(k+1)＝[r(k+1) r(k+2) … r(k+pfb)]T.
根据系统约束ufb(k)+uff(k)∈[umin，umax]来优化(17)，求取解序列。
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