CN109191001A - 基于主成分分析的教育质量评价方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于主成分分析的教育质量评价方法，其步骤包括：对问题建模提出合理假设及符号说明；制定相关的量化指标和计算依据；经过聚类分析算出各指标之间的相关系数；基于主成分分析模型，对9个指标提取得到累计贡献率95％的主成分，通过计算每个主成分的指标系数和成分贡献率，最终得到主成分综合评价模型。对评价模型的显著性进行检验，进行R形聚类，再采用Q型聚类分析对每个变量的数据进行标准化处理。确定评价体系的最关键指标，通过改善该指标可以各个地方本科教育发展差异。本发明有效利用主成分分析法在处理多种因素时的综合评价分析能力，将其应用于本科教育质量评价分析问题，并基于因子分析对评价指标影响力进行判定。
Description
技术领域
本发明属于对本科教育质量进行评价的模型，具体的说是一种基于主成分分 析的本科质量评价模型。
背景技术
优质的教育教学质量是高等学校得以持续发展的命脉，教育教学质量保障体 系则是促使学校教学活动不断向预期发展的一种管理工具，而搞好教学质量评价 的关键在于确定科学合理的评价指标体系。因此，结合中国高等教育自身的特点， 落实《高等教育法》所赋予高校的办学自主权，建立既适合中国国情又能与国际 接轨的大学教学质量评价指标与保障体系，成为高等教育研究的热点。
众多学者对高等教育质量评估问题进行了研究。董海燕阐述了本科院校的质 量观以及教学质量评价指标与保障体系构建应具备的原则和程序。在对国内外大 学教学质量评价指标与保障体系的实施现状、实施重点和整个机制特点加以概括 总结的基础上，进行深入地比较分析。马豫婷从学生学习性投入的视角，通过对 学生学习行为的测量，以及学生的自我评价，探讨高校的本科教育质量问题，着 重对比分析了学生的学习性投入情况和素质能力的变化情况，从而研究学校教育 教学工作的现状,并发现工程人才培养的过程中值得借鉴的举措，以为教育教学 改革和提高本科教育质量提供参考。蔡小梦等人综述了教学评价的功能和作用， 概述了我国高等教育质量评价体系,探析建立机械类应用型本科教学评价标准的 基本思路和实施办法。陈云等人通过构建基于学生满意度的高校本科教学质量评 价指标体系，对内蒙古3所普通本科院校的教学质量现状进行分析评价，并提出了加强高校本科教学质量建设的具体建议，旨在更好地改善高校本科教学环节、 提高教学质量，为高校培养高质量人才服务。王海艳等人通过分析民办应用型本 科教学质量评价体系的现状和存在的主要问题，结合教学实际，以提高教学质量 为目标，提出构建新型、合理的应用型本科教学质量评价体系。李长熙系统考虑 影响教学质量的各个工作环节,并以现代教育评价理论为指导，合理设计评价方 案，以系统性、科学性、全面性为基本原则，构建全员参与、全过程监控、科学 评价的本科教育质量评价体系。吴雅颖基于突变级数法，建立本科教学质量评价 的数学模型及评判方法.突变级数法对目标进行递阶分解，实现定性分析与定量 计算的结合，评价结果具有较高可信度。
发明内容
本发明为了克服现有技术存在的不足之处，充分利用主成分分析的数据综合 分析能力，提出一种基于主成分分析的本科教育质量评价模型，目的在于有效利 用本科教育质量评价指标的各种数据，基于数据间的相关关系建立评价模型，同 时确定各个指标对公共因子的贡献，该发明计算过程简便结果明确，便于对某省 各个地级市本科教育质量水平进行准确科学的判定，并对如何有效提升地方本科 教育质量水平提供了改进方法和建议。
为了实现上述发明目的，本发明采用如下技术方案：
本发明基于主成分分析的城市宜居性评价模型，特点按如下步骤进行：
步骤1：建模基本假设及模型符号说明
步骤1.1评价模型基本假设
为了能够有效准确的对本科教育质量进行评价，作出一些合理化基本假设。
1)假设评价本科教育的指标和相应的数据都是合理并具有代表性的。
2)假设问题一所查找获得的数据在其他四个问题中均适用。
3)假设除了问题中考虑的九个因素之外，其他的因素对城市的本科教育排 名没有影响或者影响可以忽略。
4)假设主成分分析法得到的主成分只要累计贡献率达到90％，就能代表原 始数据的几乎所有的信息。
步骤1.2模型数学符号说明
给出评估模型建立所需的一些符号说明。
步骤2：对九个评价指标进行量化处理
对与本科教育质量评价相关所给出的九个相关指标进行数据量化。
指标的原始数据均以《江苏教育年鉴附录1——2015年江苏教育统计资料》 为准(双一流学科建设的数据以2017年发布的数据为准)，经过量化后的数据见 表3，其中x1为每百万人口本科学校数，x2为所有本科学校的平均招生人数，x3为不同级别的在职教师的权重之和，x4为生师比，x5为教学区域与学校占地面 积的比例，x6为本科院校的课程设置，x7为年末就业率，x8为R&D活动规模和 强度(万元/人年)，x9为双一流学科占一本本科学校总学科数目的比例。
步骤3数据相关性分析
步骤3.1R型聚类法
在系统分析或评估过程中，为避免遗漏某些重要因素，往往在一开始选取指 标时，尽可能多地考虑所有的相关因素。这样做的结果就是是变量过多，变量的 相关度高，给系统分析与建模带来很大的不便。因此研究变量间的相似关系，按 照变量的相似关系把它们聚合成若干类，进而找出影响系统的主要因素可以简化 问题的讨论。
在对变量进行聚类分析时，首先要确定变量的相似性度量——相关系数。记 变量xj的取值(x1j,x2j,…,xnj)T。则可以用两变量xj与xk的样本相关系数作为它 们的相似性度量，即
各种定义的相似度量均应具有以下两个性质：
①|rjk|≥1，|rkj|≤1，对于一切j，k；
②rjk＝rkj，对于一切j，k。
步骤3.2相关系数矩阵
定性考察反映本科教育水平发展状况的9个评价指标，可以看出，某些指标 之间可能会存在较强的相关性。为了验证这个想法，运用MATLAB计算9个指 标之间的相关系数。相关系数矩阵中，若数值的绝对值越接近1，则对应的两个 指标越相关或者是相似，若数值的绝对值越接近0，那么对应的两个指标的相似 性就越弱。因此可以很明显地看出某些指标之间确实存在很强的相关性，例如本 科院校数量、师资队伍与结构、专业建设与教学、双一流学科建设这4个指标之 间就有有较强的相关性
步骤4主成分分析某省各地本科教育质量评价模型
步骤4.1对原始数据进行标准化处理
假设进行主成分分析的变量有m个，分别为x1,x2,…,xm，共有n个评价对象， 第i个评价对象的第j个指标的取值为aij。将各指标值aij转换成标准化指标值有
式(2)中：即uj，sj为第 j个指标的样本均值和样本标准差。
对应地，称
为标准化指标变量。
步骤4.2计算相关系数矩阵R。相关系数矩阵R＝(rij)m×m，有
式(4)中：rii＝1，rij＝rji，rij为第i个指标与第j个指标的相关系数。
步骤4.3计算特征值和特征向量。计算相关系数矩阵R的特征值 λ1≥λ2≥…≥λm≥0，及对应的特征向量u1,u2,…,um,其中uj＝[u1j,u2j,…,umj]T， 由特征向量组成m个新的指标向量:
式(5)中：y1为第1个主成分；y2为第2主成分，……；ym为第m主成分。
步骤4.4选择p(p≤m)个主成分，计算综合评价值。
①计算特征值λj(j＝1,2,…,m)的信息贡献率和累计贡献率。称
为主成分yj的信息贡献率，同时，有
为主成分y1，y2，…yp的累计贡献率。当ap接近于1(一般取ap＝0.85，0.90， 0.95)时，则选择前p个指标向量y1，y2，…yp作为p个主成分，代替原来m 个指标变量，从而可对p个主成分进行综合分析。
②计算综合得分：
式(8)中：bj为第j个主成分的信息贡献率，根据综合得分值就可进行评价。
步骤5模型指标显著性分析
由于有些指标之间的相关性较大，在分析问题的时候可以将这种相关性较强 的指标中选出某一个代表，在这些指标中选取几个有代表性的指标进行聚类分析。 因此，把9个指标根据其相关性进行R形聚类，再从每个类中选取代表性的指 标。然后根据筛选后的指标对各个地级市进行聚类分析，采用Q型聚类分析对 每个变量的数据进行标准化处理，这样就可以得到各个地级市的排名，从而得到 模型指标显著性分析。
步骤5.1R型聚类筛选代表性指标
由于9个指标中有些指标之间存在很强的相关性为此，采用R型聚类筛选 出其中有代表性的指标。
首先对每个指标的数据进行标准化处理。变量间相近性度量采用相关系数， 类间相似性度量的计算选用类平均法。
从聚类图中可以看出，本科院校数量、师资队伍与结构、专业建设与教学、 双一流学科建设这4个指标之间有较强的相关性，最先被聚类到一起。
第1类的有x8；第2类的有x1，x3，x6，x9；第3类的有x2；第4类的 有x4；第5类的有x5，x7。
这样就从9个指标中选定了5个分析指标。
x2为招生人数；x3为师资队伍与结构；x4为生师比；x7为学生就业；x8为 科研投入与产出。
可以根据这5个指标对各个地级市进行Q型聚类分析。
根据这6个指标对13个地级市的本科教育水平进行聚类分析。首先对每个 变量的数据进行标准化处理，样本间相似性采用欧拉距离度量，类间距离的计算 选用类平均法。
步骤5.2Q型聚类分析各地本科教育水平
Q型聚类分析可以综合利用多个变量的信息对样本进行分类，分析的结果一 方面可以清晰地表现案例的分类结果，另一方面比传统的分类方法更加细致、全 面、合理。
采用欧拉距离表示类间区分度，一般公式为
类平均法
步骤6因子分析关键性指标
因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术，可检验变量间的相 互关系，因此利用因子分析确定模型关键的指标，使得该指标值的普遍改善能够 尽可能缩小各个地级市本科教育发展的差异，即确定对评价结果影响因素最大的 指标。
步骤6.1因子分析
设p个变量Xi(i＝1,2,…,p)可以表示为
Xi＝ui+ai1F1+…+aimFm+εi,m≤p (13)
或
或
式中
称F1,F2,…Fp为公共因子，是不可观测的变量，它们的系数称为载荷因子。εi是 特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足
E(F)＝0,E(ε)＝0,Cov(F)＝Im， (17)
D(ε)＝Cov(ε)＝diag(σ1 2,σ2 2,…,σm 2)，Cov(F,ε)＝0， (18)
步骤6.2因子分析模型的性质
原始变量X的协方差矩阵的分解。由X-μ＝ΛF+ε,得
Cov(X-μ)＝ΛCov(F)ΛT+Cov(ε)，即Cov(X)＝ΛΛT+diag(σ1 2,σ2 2,…,σm 2)。
σ1 2,σ2 2,…,σm 2的值越小，则公共因子共享的成分越多。
载荷矩阵不是唯一的。设T为一个p×p的正交矩阵，令则 模型可以表示为
因子载荷αij是第i个变量与第j个公共因子的相关系数，反映了第i个变量 与第j个公共因子的相关重要性。绝对值越大，相关的密切程度越高。
变量Xi的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和，记为
两边求方差，得
即
式(21)中：特殊因子的方差称为特殊方差。
可以看出所有的公共因子和特殊因子对变量的贡献为1。如果非常靠近1，非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化效果好。 因子载荷矩阵中各列元素的平方和
称为Fj(j＝1,2,…,m)对所有的xi的方差贡献和，用于衡量Fj的相对重要性。
步骤6.3基于因子分析的关键性指标筛选模型求解
进行因子分析的变量有9个，分别是x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9，共有n个评 价对象，根据相关系数矩阵，将数据进行标准化。利用MATLAB计算获得因子 分析主成分解，计算因子得分，并进行综合评价，最后计算得到各因子的得分函 数。
与已有技术相比，本发明的有益效果体现在：
1.基于给定的评价指标，制定相关的量化指标和计算依据，然后计算每个 主成分的指标系数和成分贡献率得到主成分综合评价模型和某省各个地级市本 科教育的排名，从而对各个地方本科教育质量水平有一个准确科学的评价。
2.利用R型聚类和Q型聚类分析并得到各个地级市本科教育的指标显著性 分析，并利用因子分析检验变量间关系，确定了评价体系的最关键指标，指出通 过改善该指标可以普遍缩小各个地方的本科教育发展差异。
附图说明
图1是九个指标的量化标准图；
图2是指标的聚类树型图；
图3是各地级市聚类树状图；
具体实施方式
为了验证所提出的基于综合评价分析法的本科教育质量评价分析模型的有 效性，将其应用于江苏省十三个城市的本科教育质量综合评价，即评价对象数n 为13。
江苏省处于我国东部沿海的长江三角经济带，一直以经济发达，文化繁荣， 教学资源众多，各种层次的高校林立。对江苏各种层次的高等教育发展的现状及 问题进行研究，对于如何发展全国高等教育具有代表、借鉴和指导意义。
具体实例分析步骤为：
步骤1：基本假设与符号说明
步骤1.1评价模型基本假设
为了能够有效准确的对本科教育质量进行评价，作出一些合理化基本假设。
1)假设评价江苏省本科教育的指标和相应的数据都是合理并具有代表性的。
2)假设问题一所查找获得的数据在其他四个问题中均适用。
3)假设除了问题中考虑的九个因素之外，其他的因素对城市的本科教育排 名没有影响或者影响可以忽略。
4)假设主成分分析法得到的主成分只要累计贡献率达到90％，就能代表原 始数据的几乎所有的信息。
步骤1.2模型数学符号说明
给出评估模型建立所需的一些符号说明，如表1所示
表1本科质量评价模型相关数学符号说明
步骤3对九个评价指标进行量化处理
对与本科教育质量评价相关所给出的九个相关指标进行数据量化，量化标准 具体见图1。
进行量化处理的量化处理方式以及计算依据见表2。
表2指标数据的量化处理方式及计算依据
指标的原始数据均以《江苏教育年鉴附录1——2015年江苏教育统计资料》 为准(双一流学科建设的数据以2017年发布的数据为准)，经过量化后的数据见 表3，其中x1为每百万人口本科学校数，x2为所有本科学校的平均招生人数，x3为不同级别的在职教师的权重之和，x4为生师比，x5为教学区域与学校占地面 积的比例，x6为本科院校的课程设置，x7为年末就业率，x8为R&D活动规模和 强度(万元/人年)，x9为双一流学科占一本本科学校总学科数目的比例。
表3江苏省各地级市本科教育发展状况数据
步骤3数据相关性分析
步骤3.1R型聚类法
在系统分析或评估过程中，为避免遗漏某些重要因素，往往在一开始选取指 标时，尽可能多地考虑所有的相关因素。这样做的结果就是是变量过多，变量的 相关度高，给系统分析与建模带来很大的不便。因此研究变量间的相似关系，按 照变量的相似关系把它们聚合成若干类，进而找出影响系统的主要因素可以简化 问题的讨论。
在对变量进行聚类分析时，首先要确定变量的相似性度量——相关系数。记 变量xj的取值(x1j,x2j,…,xnj)T。则可以用两变量xj与xk的样本相关系数作为它 们的相似性度量，即
各种定义的相似度量均应具有以下两个性质：
①|rjk|≥1，|rkj|≤1，对于一切j，k；
②rjk＝rkj，对于一切j，k。
步骤3.2相关系数矩阵
定性考察反映本科教育水平发展状况的9个评价指标，可以看出，某些指标 之间可能会存在较强的相关性。为了验证这个想法，运用MATLAB计算9个指 标之间的相关系数(见附录)，相关系数见表4。
表4相关系数矩阵
相关系数矩阵中，若数值的绝对值越接近1，则对应的两个指标越相关或者 是相似，若数值的绝对值越接近0，那么对应的两个指标的相似性就越弱。因此 可以很明显地看出某些指标之间确实存在很强的相关性，例如本科院校数量、师 资队伍与结构、专业建设与教学、双一流学科建设这4个指标之间就有有较强的 相关性
步骤4主成分分析某省各地本科教育质量评价模型
步骤4.1对原始数据进行标准化处理
假设进行主成分分析的变量有m个，分别为x1,x2,…,xm，共有n个评价对象， 第i个评价对象的第j个指标的取值为aij。将各指标值aij转换成标准化指标值有
式(2)中：j＝1,2,…,m，即uj，sj为第 j个指标的样本均值和样本标准差。
对应地，称
为标准化指标变量。
步骤4.2计算相关系数矩阵R
相关系数矩阵R＝(rij)m×m，有
式(4)中：rii＝1，rij＝rji，rij为第i个指标与第j个指标的相关系数。
步骤4.3计算特征值和特征向量
计算相关系数矩阵R的特征值λ1≥λ2≥…≥λm≥0，及对应的特征向量 u1,u2,…,um,其中uj＝[u1j,u2j,…,umj]T，由特征向量组成m个新的指标向量:
式(5)中：y1为第1个主成分；y2为第2主成分，……；ym为第m主成分。
步骤4.4选择p(p≤m)个主成分，计算综合评价值
①计算特征值λj(j＝1,2,…,m)的信息贡献率和累计贡献率。称
为主成分yj的信息贡献率，同时，有
为主成分y1，y2，…yp的累计贡献率。当ap接近于1(一般取ap＝0.85，0.90， 0.95)时，则选择前p个指标向量y1，y2，…yp作为p个主成分，代替原来m 个指标变量，从而可对p个主成分进行综合分析。
②计算综合得分：
式(8)中：bj为第j个主成分的信息贡献率，根据综合得分值就可进行评价。
可以看出某些指标之间确实存在很强的相关性，如果直接用这些指标进行综 合评价，则必然会造成信息的重叠，影响评价结果的客观性。利用MATLAB软 件对9个指标进行主成分分析，相关系数矩阵的前几个特征根及其贡献率见表5。
表5主成分分析结果
可以看出，前4个特征根的累计贡献率就超过了85％，主成分分析效果很好。 下面选取前5个主成分(累计贡献率达到95％)进行综合评价。前5个特征根对 应的特征向量见表6。
表6标准化变量的前5个主成分对应的特征矩阵
由此可得5个主成分分别为
把各地级市的9个指标的标准化数据代入5个主成分的表达式，就可以得到各地区的5个主成分值。
分别以5个主成分的贡献率为权重，构建主成分综合评价模型，即
Z＝0.4042y1+0.1718y2+0.13533y3+0.09499y4+0.05511y5,(10)
把各地区的5个主成分值代入式(10)，可以得到各地级市本科教育的综合评价 值以及排序结果见表7。
表7排名和综合评价结果
步骤5模型指标显著性分析
由于有些指标之间的相关性较大，在分析问题的时候可以将这种相关性较强 的指标中选出某一个代表，在这些指标中选取几个有代表性的指标进行聚类分析。 因此，把9个指标根据其相关性进行R形聚类，再从每个类中选取代表性的指 标。然后根据筛选后的指标对13个地级市进行聚类分析，采用Q型聚类分析对 每个变量的数据进行标准化处理，这样就可以得到13个地级市的排名，从而得 到模型指标显著性分析。
步骤5.1R型聚类筛选代表性指标
由于9个指标中有些指标之间存在很强的相关性为此，采用R型聚类筛选 出其中有代表性的指标。
首先对每个指标的数据进行标准化处理。变量间相近性度量采用相关系数， 类间相似性度量的计算选用类平均法。聚类树型图如图2所示。
从聚类图中可以看出，本科院校数量、师资队伍与结构、专业建设与教学、 双一流学科建设这4个指标之间有较强的相关性，最先被聚类到一起。
第1类的有x8；第2类的有x1，x3，x6，x9；第3类的有x2；第4类的 有x4；第5类的有x5，x7。
这样就从9个指标中选定了5个分析指标。
x2为招生人数；x3为师资队伍与结构；x4为生师比；x7为学生就业；x8为 科研投入与产出。
可以根据这5个指标对13个地级市进行Q型聚类分析。
根据这6个指标对13个地级市的本科教育水平进行聚类分析。首先对每个 变量的数据进行标准化处理，样本间相似性采用欧拉距离度量，类间距离的计算 选用类平均法。
步骤5.2Q型聚类分析各地本科教育水平
Q型聚类分析可以综合利用多个变量的信息对样本进行分类，分析的结果一 方面可以清晰地表现案例的分类结果，另一方面比传统的分类方法更加细致、全 面、合理。
采用欧拉距离表示类间区分度，一般公式为
类平均法
利用MATLAB求解得到的聚类树型图如图3所示。
各地级市的本科教育发展存在较大的差异，教育资源的地区分布很不平衡。 如果根据本科教育发展状况把13个地级市分为三类，结果为：
第一类——泰州，第二类——南京，第三类——其他地级市；
如果根据本科教育发展状况把13个地级市分为四类，结果为：
第一类——泰州，第二类——南京，第三类——连云港，南通，宿迁，盐城， 第四类——其他地级市；
如果根据本科教育发展状况把13个地级市分为五类，结果为：
第一类——泰州，第二类——南京，第三类——连云港，南通，宿迁，盐城， 第四类——常州，淮安，徐州，苏州，第五类——无锡，扬州，镇江，；
根据以上结果结合聚类树型图，南京的本科教育状况与其他地级市相比有非 常大的不同，主要表现在本科院校数量，师资队伍与结构，专业建设与教学改革， 双一流学科建设这四个指标远高于其他城市。相比于其他城市，泰州尽管在科研 投入与产出远高于其他地级市，但是由于高校数量，生师比等方面过弱，也构成 了泰州的特殊情况：人口规模小，经费比较充足，本科院校规模小，师资力量薄 弱。
这样进行指标的筛选之后可以发现处理出来的分类与原九个指标模型所得 的评价结果基本一致。即说在本科院校数量，教学条件与利用，专业建设与教学 改革和双一流学科建设这四个指标减少后，评价结果基本一致。
步骤6因子分析关键性指标
因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术，可检验变量间 的相互关系，因此利用因子分析确定模型关键的指标，使得该指标值的普遍改善 能够尽可能缩小江苏省13个地级市本科教育发展的差异，即确定对评价结果影 响因素最大的指标。
步骤6.1因子分析
设p个变量Xi(i＝1,2,…,p)可以表示为
Xi＝ui+ai1F1+…+aimFm+εi,m≤p (13)
或
或
X-μ＝ΛF+ε (15)
式中
称F1,F2,…Fp为公共因子，是不可观测的变量，它们的系数称为载荷因子。εi是 特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足
E(F)＝0,E(ε)＝0,Cov(F)＝Im， (17)
D(ε)＝Cov(ε)＝diag(σ1 2,σ2 2,…,σm 2)，Cov(F,ε)＝0， (18)
步骤6.2因子分析模型的性质
原始变量X的协方差矩阵的分解。由X-μ＝ΛF+ε,得
Cov(X-μ)＝ΛCov(F)ΛT+Cov(ε)，即Cov(X)＝ΛΛT+diag(σ1 2,σ2 2,…,σm 2)。
σ1 2，σ2 2，…，σm 2的值越小，则公共因子共享的成分越多。
载荷矩阵不是唯一的。设T为一个p×p的正交矩阵，令则 模型可以表示为
因子载荷αij是第i个变量与第j个公共因子的相关系数，反映了第i个变量 与第j个公共因子的相关重要性。绝对值越大，相关的密切程度越高。
变量Xi的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和，记为
两边求方差，得
即
式(21)中：特殊因子的方差称为特殊方差。
可以看出所有的公共因子和特殊因子对变量的贡献为1。如果非常靠近1，非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化效果好。 因子载荷矩阵中各列元素的平方和
称为Fj(j＝1,2,…,m)对所有的xi的方差贡献和，用于衡量Fj的相对重要性。
步骤6.3基于因子分析的关键性指标筛选模型求解
进行因子分析的变量有9个，分别是x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9，共有13个 评价对象，根据表3的相关系数矩阵，将数据进行标准化，得到表8。
表8进行过标准化的相关系数
通过MATLAB计算获得表9因子分析主成分解。
表9因子分析主成分解
接下来计算因子得分，并进行综合评价，计算得到各因子的得分函数为
利用综合因子得分公式
计算出各个因子的得分如表10：
表10各个因子的得分
根据表10可以确定指标1即本科院校数量对评价结果的影响最大，如果将 该指标得到普遍改善能够尽可能缩小江苏省13个地级市本科教育发展的差异。
江苏省本科教育质量评价分析建议：
江苏省各个城市本科教育质量悬殊过大，主要体现在南京市的各项指标都远 超其他地级市，而其他地级市的教育排名也与经济发展排名相似。学校作为传播 文化，经济与社会信息的主要载体，一座城市的教育水平可以看出一座城市未来 的发展。一些经济发展较差的地级市应该更多地与其他本科学校联系，学习优秀 学校的办学经验，加大对教育的资金、人力投入。同时也不能够盲目的扩展学校 数量，加大招生人数，通过各方面的改变吸收高素质教育人才，在提高师生比的 同时，优化师资队伍与结构。
另外，一些本身排名就很高的地级市，也需要居安思危，在好的基础上更好， 加大高校之间的本科合作交流，加快专业建设与教学改革的进程，使自己的学科 设置更加符合现阶段的社会，优胜劣汰，淘汰一些在社会现阶段并不能够取得很 好效益的学科。
通过具体实施例及其结果可知，模型在评价江苏省各个地级市本科教育质量 水平时，通过给定的评价指标，制定相关的量化指标和计算依据，然后计算每个 主成分的指标系数和成分贡献率得到主成分综合评价模型和13个地级市本科教 育的排名。接着利用R型聚类和Q型聚类分析并得到13个地级市本科教育的指 标显著性分析。最后利用因子分析检验变量间关系，确定了评价体系的最关键指 标，指出通过改善该指标可以普遍缩小江苏省十三市的本科教育发展差异。所提 出的主成分本科教育质量评价模型构造简洁直观、计算结果简单明确，不仅能够 给与各个地方本科教育质量合理的排名分析，还可以确定显著影响城本科教育质 量的因子指标。该模型可以帮助本科教育管理者对地方本科教育质量水平作科学 准确的判断，同时对提升地方本科教育质量水平做有效指导，从而为我国本科教 育质量的改进和管理提供科学依据和方法。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明。凡在本发明 的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保 护范围之内。
Claims (7)
1.基于主成分分析的教育质量评价方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：对问题建模提出合理假设及符号说明；
步骤2：通过给定的评价指标，制定相关的量化指标和计算依据；
步骤3：经过聚类分析算出各指标之间的相关系数，讨论各指标数据之间的相关性，发现部分指标之间存在较高的相关性；
步骤4：基于主成分分析模型，对指标提取得到累计贡献率95％的主成分，通过计算每个主成分的指标系数和成分贡献率，最终得到主成分综合评价模型，得到排名；
步骤5：对评价模型的显著性进行检验，把指标根据其相关性进行R形聚类，再从每个类中选取代表性的指标；然后根据筛选后的指标对多个地级市进行聚类分析，采用Q型聚类分析对每个变量的数据进行标准化处理并得到显著性分析；
步骤6：利用因子分析检验变量间关系，确定评价体系的最关键指标。
2.根据权利要求1所述的基于综合评价分析法的教育质量评价分析方法，其特征在于，所述步骤1中的模型数学符号包括：评价本科教育发展水平的第i个指标xi(i＝1,2,…,9)、第i个特征矩阵第i个主成分yi(i＝1,2,…,9)、本科教育发展的综合评价值Z、因子载荷αij、特征值λj、欧拉距离dij、相关系数rjk。
3.根据权利要求1所述的基于综合评价分析法的教育质量评价分析方法，其特征在于，所述步骤3包括：
1)R型聚类法
在对变量进行聚类分析时，首先确定变量的相似性度量——相关系数；记变量xj的取值(x1j,x2j,…,xnj)T，则可以用两变量xj与xk的样本相关系数作为它们的相似性度量，即
2)相关系数矩阵
运用MATLAB计算各个指标之间的相关系数。
4.根据权利要求1所述的基于综合评价分析法的教育质量评价分析方法，其特征在于，所述步骤4包括：
步骤4-1：对原始数据进行标准化处理
假设进行主成分分析的变量有m个，分别为x1,x2,…,xm，共有n个评价对象，第i个评价对象的第j个指标的取值为aij；将各指标值aij转换成标准化指标值有
式(2)中：即uj，sj为第j个指标的样本均值和样本标准差；
对应地，称
为标准化指标变量；
步骤4-2：计算相关系数矩阵R；相关系数矩阵R＝(rij)m×m，有
式(4)中：rii＝1，rij＝rji，rij为第i个指标与第j个指标的相关系数；
步骤4-3：计算特征值和特征向量；计算相关系数矩阵R的特征值λ1≥λ2≥…≥λm≥0，及对应的特征向量u1,u2,…,um,其中uj＝[u1j,u2j,…,umj]T，由特征向量组成m个新的指标向量：
式(5)中：y1为第1个主成分；y2为第2主成分，……；ym为第m主成分；
步骤4-4：选择p(p≤m)个主成分，计算综合评价值。
5.根据权利要求4所述的基于综合评价分析法的教育质量评价分析方法，其特征在于，所述步骤4-4包括：
1)计算特征值λj(j＝1,2,…,m)的信息贡献率和累计贡献率；称
为主成分yj的信息贡献率，同时，有
为主成分y1，y2，…yp的累计贡献率；当ap接近于1(一般取ap＝0.85，0.90，0.95)时，则选择前p个指标向量y1，y2，…yp作为p个主成分，代替原来m个指标变量，从而可对p个主成分进行综合分析；
2)计算综合得分：
式(8)中：bj为第j个主成分的信息贡献率，根据综合得分值就可进行评价。
6.根据权利要求1所述的基于综合评价分析法的教育质量评价分析方法，其特征在于，所述步骤5包括：
步骤5-1：R型聚类筛选代表性指标
首先对每个指标的数据进行标准化处理；变量间相近性度量采用相关系数，类间相似性度量的计算选用类平均法；从所有指标中选定若干个分析指标进行聚类分析；对每个变量的数据进行标准化处理，样本间相似性采用欧拉距离度量，类间距离的计算选用类平均法；
步骤5-2：Q型聚类分析教育水平
采用欧拉距离表示类间区分度，一般公式为
类平均法
7.根据权利要求1所述的基于综合评价分析法的教育质量评价分析方法，其特征在于，所述步骤6包括：
步骤6-1：因子分析
设p个变量Xi(i＝1,2,…,p)可以表示为
Xi＝ui+ai1F1+…+aimFm+εi,m≤p (13)
或
或
X-μ＝ΛF+ε(15)
式中
称F1,F2,…Fp为公共因子，是不可观测的变量，它们的系数称为载荷因子；εi是特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分；并且满足
E(F)＝0,E(ε)＝0,Cov(F)＝Im， (17)
D(ε)＝Cov(ε)＝diag(σ1 2,σ2 2,…,σm 2)，Cov(F,ε)＝0， (18)
步骤6-2：因子分析模型的性质
原始变量X的协方差矩阵的分解；由X-μ＝ΛF+ε,得
Cov(X-μ)＝ΛCov(F)ΛT+Cov(ε)，即Cov(X)＝ΛΛT+diag(σ1 2,σ2 2,…,σm 2)。
σ1 2,σ2 2,…,σm 2的值越小，则公共因子共享的成分越多；
载荷矩阵不是唯一的；设T为一个p×p的正交矩阵，令则模型可以表示为
因子载荷αij是第i个变量与第j个公共因子的相关系数，反映了第i个变量与第j个公共因子的相关重要性；绝对值越大，相关的密切程度越高；
变量Xi的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和，记为
两边求方差，得
即
式(21)中：特殊因子的方差称为特殊方差；
因子载荷矩阵中各列元素的平方和
称为Fj(j＝1,2,…,m)对所有的xi的方差贡献和，用于衡量Fj的相对重要性；
步骤6-3：基于因子分析的关键性指标筛选模型求解
根据相关系数矩阵，将数据进行标准化；利用MATLAB计算获得因子分析主成分解，计算因子得分，并进行综合评价，最后计算得到各因子的得分函数。
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