CN109102117B - 一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法 - Google Patents

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CN109102117B CN201810882336.3A CN201810882336A CN109102117B CN 109102117 B CN109102117 B CN 109102117B CN 201810882336 A CN201810882336 A CN 201810882336A CN 109102117 B CN109102117 B CN 109102117B
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Abstract

本发明涉及一种高效求解炼钢‑连铸炉次批量计划的优化方法，步骤为：在炉次批量计划多耦合约束条件解耦机制下获取以订单为单元的批量计划子模型；构造订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，N个订单两两聚类因属性不同生成订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，该矩阵是为N阶；判断矩阵QN×N类型为γ型矩阵、β型矩阵还是α型矩阵，当矩阵QN×N为γ型矩阵时，采用γ型矩阵启发式乘子寻优方法；当矩阵QN×N为β型矩阵时，采用β型矩阵启发式乘子寻优方法；当矩阵QN×N为α型矩阵时，采用α型矩阵启发式乘子寻优方法。本发明所提优化方法用来解决现有炉次批量计划优化问题中求解速度慢、求解质量低的问题，随着钢铁生产批量计划订单数量大幅增长时，该方法优势更加明显，为企业的生产效益提供了保障。

Description

一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法
技术领域
本发明涉及一种工业生产管理优化技术领域，具体为一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法。
背景技术
炉次批量计划优化是钢铁生产管理的重要环节之一，其作用是考虑炼钢-连铸的日生产能力以及后续工序对加工板坯的需求，选择一定量的板坯并根据其属性组成炉次，提供给后续的中间包批量计划和浇次批量计划。组合为同一炉次的合同需要考虑其及交货日期是否相近、钢级序列是否相同、轧制宽度是否不超出该炉次应满足的宽度范围以及该炉次中无委材生成量是否最少等诸多因素，炉次批量计划优化问题因此而变得复杂。高效、快捷的编制炉次批量计划能够减少企业的物资能源消耗，同时提供最优的炉次批量计划以便于后续中间包批量计划以及浇次批量计划的编制，进而影响企业生产效益，提高企业市场竞争力。
针对炼钢-连铸生产批量计划问题很多学者已经做出了研究。其中：
1.(Tang L,Wang G.Decision support system for the batching problems ofsteelmaking and continuous-casting production☆[J].Omega,2008,36(6):976-99)在求解炉次模型时，针对同一出钢记号的板坯运用动态规划方法将板坯组成炉次。考虑实际的约束条件和要求，然后针对相应的组合问题开发两种启发式算法。
2.(黄可为,卢克斌,汪定伟.炼钢组炉问题优化模型及其动态规划算法[J].东北大学学报(自然科学版),2006,27(2):138-141)针对炉次批量计划编制中的集约优化问题，建立了以余材最小化或以出钢记号替代成本最小化为目标的数学模型，并采用动态规划方法对模型进行求解，此方法可以显著降低组炉余材量，提高经济效益。
3.(汪恭书.基于列生成的铁钢区批量计划与物流调度[D].东北大学,2008)基于动态规划启发式方法研究了具有宽度柔性的炉次批量计划问题，提出基于拉格朗日松弛算法和列生成算法的混合求解策略，结合二者优势，以获得原始问题的最优解。但是在实际生产过程中，动态规划算法耗时较大，编制炉次批量计划问题效率较低。
基于现代智能方法的炉次批量计划优化问题的研究包括遗传算法，模拟退火算法，蚁群算法和粒子群算法：
4.(唐立新,杨自厚,王梦光.炼钢-连铸最优炉次计划模型与算法[J].东北大学学报:自然科学版,1996(4):440-445.)建立了炉次数量已知情况下的炉批量次计划混合整数规划模型，并用遗传算法进行了求解。在此基础上——
5.(Tang L,Jiang S.The Charge Batching Planning Problem in SteelmakingProcess Using Lagrangian Relaxation Algorithm[J].Industrial&EngineeringChemistry Research,2009,48(16):7780-7787.)构造了两种不同的拉格朗日松弛方法对炉次批量计划进行求解。在实际生产中预编炉次数目未知，但是上述文献是基于炉次批量计划数目已知的情况下进行建模，难以满足实际生产需求。
6.(薛云灿,郑东亮,杨启文.基于改进离散粒子群算法的炼钢连铸最优炉次计划[J].计算机集成制造系统,2011,17(7):1509-1517.)提出了炉次数未知的炼钢连铸一体化生产的组炉模型，提出将该模型转化为旅行商问题的方法，并采用改进的离散粒子群优化算法求解该问题，结果表明，炉次数量未知的模型可以提高生产效率节约成本，但是在解的过程中没有确定的板坯作为炉次中心，难以获取炉次的钢级、宽度、交货期等指标。
7.(Hongyu Dong,Min Huang,W.H.Ip,et al.On the integrated chargeplanning with flexible jobs in primary steelmaking processes[J].InternationalJournal of Production Research,2010,48(21):6499-6535.)针对炼钢-连铸中的炉次批量计划，以最小炉次数、最小成本、最大生产能力为目标建立多目标规划模型，并设计了两个元启发式算法：导向变邻域算法和与模拟退火结合的变邻域算法。并通过实验结果表明，基于所提出的模型和算法，决策者可以获得更可行和更综合的解决方案。
8.(张涛,魏星,张玥杰,等.基于改进蚁群算法的钢铁企业合同计划方法[J].系统管理学报,2008,17(4):433-438.)将钢铁合同计划问题抽象成一种改进的旅行商问题，建立了以产能平衡和最小化拖期提前总惩罚为目标的多目标数学规划模型，根据模型和问题的特点设计了带交货期启发信息的蚁群算法，并以钢厂实际合同数据为例说明模型和算法是有效的。但是该方案在优化过程中只考虑单个板坯生产流程，难以满足企业尽量批量生产的条件，进而难以保证能耗最小。
9.(Tang L,Zhang X,Guo Q.Two Hybrid Metaheuristic Algorithms for HotRolling Scheduling[J].Isij International,2009,49(4):529-538)考虑了热轧调度问题中一些新的特点，例如连续轧制时宽度相同板坯轧制长度限制、温度跳跃、烫辊材，并且烫辊材与主体材同样需要考虑板坯间的顺序，为此提出了两个混合求解策略，第一个是将蚁群算法与CyclicTransfer结合，第二个是将Cyclic Transfer与Scater Search结合。
10.(Liu S,Tang J,Song J.Order-planning model and algorithm formanufacturing steel sheets[J].International Journal of Production Economics,2006,100(1):30-43)以钢铁企业合同计划为背景，以最小化合同拖期成本、最小化库存成本、平衡机组能力为目标建立了多目标合同计划，通过设置权重将多目标转换为单目标，设计了粒子群算法对模型进行求解。并通过计算结果表明，该模型和算法优于人机协调方法。但是基于粒子群算法的优化问题极易陷入局部最优，难以保证炉次批量计划的编制质量。
综上所述，在优化过程中，由于炼钢-连铸炉次批量计划问题的复杂性，在求解效率上仍有很多问题需要考虑和改进。
发明内容
针对现有技术中由于炼钢-连铸炉次批量计划问题的复杂性，现有炉次批量计划优化问题中求解速度慢、求解质量低的问题，本发明提供一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法。
现有炉次批量计划优化问题中求解速度慢、求解质量低的问题。
为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：
发明一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法，包括以下步骤：
1)在炉次批量计划多耦合约束条件解耦机制下获取以订单为单元的批量计划子模型；
2)构造订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，N个订单两两聚类因属性不同生成订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，该矩阵是为N阶；
3)通过订单聚类惩罚值分布矩阵生成QN×N矩阵，判断矩阵QN×N类型为γ型矩阵、β型矩阵还是α型矩阵，分别根据不同矩阵类型采用不同的矩阵启发式乘子寻优方法。
步骤3)具体为：
301)当矩阵QN×N为γ型矩阵时，采用γ型矩阵启发式乘子寻优方法；
302)当矩阵QN×N为β型矩阵时，采用β型矩阵启发式乘子寻优方法；
303)当矩阵QN×N为α型矩阵时，采用α型矩阵启发式乘子寻优方法。
步骤301)具体为：
301A)初始化γ矩阵使该矩阵第一列包含
Figure BDA0001754733250000031
Figure BDA0001754733250000032
j＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第j列的最小值；
Figure BDA0001754733250000033
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000034
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
301B)若j≤N,则跳转到301C)，否则跳转到步骤301E)；
301C)若
Figure BDA0001754733250000035
i＝i+1，跳转到步骤301D)，否则j＝j+1，跳转到步骤301B)；
Figure BDA0001754733250000041
是该矩阵中第j列的最小值，通过程序获取，是已知量，该式子是判断同一列，也就是j列的i*行的值是否不等于该列最小值；
301D)若i≤N，则跳转到步骤301C)，否则
Figure BDA0001754733250000042
j＝j+1，跳转到步骤301B)；
301E)结束；
步骤302)具体为：
302A)初始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
302B)若i≤N,则转向步骤302C)，否则转向步骤302F)；
302C)若
Figure BDA0001754733250000043
则转向步骤302D)，否则j＝j+1，转向步骤302E)；
Figure BDA0001754733250000044
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行的最小值；
Figure BDA00017547332500000415
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000045
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
302D)矩阵第i行末尾添加1×N阶向量
Figure BDA0001754733250000046
j＝j+1，转向步骤302E)；
Figure BDA0001754733250000047
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，在QN×N中该位置的值为Qi(a)；
Figure BDA0001754733250000048
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，其他值为
Figure BDA0001754733250000049
302E)若j≤N，转向步骤302C)，否则i＝i+1，转向步骤302B)；
302F)输出矩阵λ。
步骤303)具体为：
303A)初始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
303B)若i≤N,则转向步骤303C)，否则转向步骤303F)；
303C)若
Figure BDA00017547332500000410
或
Figure BDA00017547332500000411
则转向步骤303D)，否则j＝j+1，转向步骤303E)；
Figure BDA00017547332500000412
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行的最小值；
Figure BDA00017547332500000413
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行除去
Figure BDA00017547332500000414
后的最小值，即第i行中的次最小值；
Figure BDA0001754733250000051
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000052
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
303D)在λ矩阵第i行末尾添加元素
Figure BDA0001754733250000053
或
Figure BDA0001754733250000054
j＝j+1，转向步骤303E)；
303E)若j≤N，转向步骤303C)，否则i＝i+1，转向步骤303B)；
303F)输出矩阵λ。
步骤3)中，γ型矩阵为在板坯与炉次中心聚类过程中，所有板坯与某些炉次中心只产生唯一最小惩罚值，同时与某些板坯所产生的最小惩罚值的个数不唯一且各个炉次中心最小惩罚值的大小不唯一的矩阵，
Figure BDA0001754733250000055
F∈QN×N，某列中有且仅有唯一
Figure BDA0001754733250000056
某列
Figure BDA0001754733250000057
个数不唯一。
步骤3)中，β型矩阵为在板坯与炉次中心聚类过程中，与炉次中心产生最小惩罚值板坯数大于1，且各个炉次中心中最小值都相同的矩阵，
Figure BDA0001754733250000058
F∈QN×N，j＝1，2，...，N.存在
Figure BDA0001754733250000059
且
Figure BDA00017547332500000510
的个数不唯一。
步骤3)中，α型矩阵为在板坯与炉次中心聚类过程中，有且只有一个板坯会与炉次中心产生最小惩罚值的矩阵，
Figure BDA00017547332500000511
F∈QN×N，j＝1，2，...，N.有且仅有唯一
Figure BDA00017547332500000512
步骤3)中，通过订单聚类惩罚值分布矩阵生成QN×N矩阵，过程如下：
311)通过引入拉格朗日乘子松弛约束条件，同时将原问题转化为对偶问题求解上界：
Figure BDA00017547332500000513
i＝1，2，...，N.j＝1，2，...，N.
其中，ZD表示对偶问题最优值，λ是为松弛约束条件而引入的拉格朗日乘子，J1＝min ∑i∈N∑j∈NCijXij，表示同一炉次内订单属性差异最小，
Figure BDA00017547332500000514
表示炉次剩余容量最小，
Figure BDA00017547332500000515
表示优先级高的板坯先生产同，Xij是0-1决策变量，当订单i聚类到炉次中心j时Xij＝1，否则Xij＝0；
312)将上式化简，得到：
Figure BDA0001754733250000061
i＝1，２，...，N.j＝1，2，...，N.
其中，Cij表示订单i与订单j聚类因属性不同所带来的惩罚值之和，pj表示当第j个炉次未利用完全时炉次剩余部分所产生的惩罚值，gi表示第i个订单的重量，hi表示第i个订单的优先级，T表示炉容，Xjj是0-1决策变量，当订单j被选为聚类中心时Xjj＝1，否则Xjj＝0；
313)参数量化，设：
Figure BDA0001754733250000066
314)计算原始问题最优值之，将每个板坯都作为炉次中心处理，即Xjj＝1，j＝1，2...，N.，同时与变量Xij无关的已知参数我们不予考虑，得到如下结果：
Figure BDA0001754733250000062
i＝1，2，...，N.j＝1，2，...，N.
还包括以下步骤：
315)根据步骤314)推出：
Figure BDA0001754733250000063
316)将每个板坯都作为炉次中心处理，将步骤314中的模型转化为只与拉格朗日乘子相关的子模型函数，并通过求解子模型最优值进而求解原始问题最优值：
Figure BDA0001754733250000064
j＝1，2，...，N.。
317)设
Figure BDA0001754733250000065
最终子模型形式如下：
Figure BDA0001754733250000071
j＝1，2，...，N.。
本发明具有以下有益效果及优点：
1.本发明在现有的炉次批量计划优化问题研究的基础上，提出一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法来解决现有炉次批量计划优化问题中求解速度慢、求解质量低的问题。随着钢铁生产批量计划订单数量大幅增长时，所提优化方法优势更加明显，为企业的生产效益提供了保障。
本文针对基于增广拉格朗日松弛算法的炉次批量计划优化问题，提出的一种解决方案。根据炉次批量计划问题的优化目标和约束条件建立了整数规划数学模型。最后由实验表明，该算法能够以更高的效率解决炉次批量计划优化问题，为炉次批量计划问题提供了一种很好的算法。
附图说明
图1为本发明一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法流程图；
图2为本发明方法中拉氏框架下炼钢-连铸基于订单分解策略的启发式乘子寻优方法流程图。
具体实施方式
下面结合说明书附图对本发明作进一步阐述。
如图1所示，本发明提出一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法，包括以下步骤：
1)在炉次批量计划多耦合约束条件解耦机制下获取以订单为单元的批量计划子模型；
2)构造订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，N个订单两两聚类因属性不同生成订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，该矩阵是为N阶；
3)通过订单聚类惩罚值分布矩阵生成QN×N矩阵，判断矩阵QN×N类型为γ型矩阵、β型矩阵还是α型矩阵，分别按不同矩阵类型采用不同的矩阵启发式乘子寻优方法。
步骤3)具体为：
301)当矩阵QN×N为γ型矩阵时，采用γ型矩阵启发式乘子寻优方法；
302)当矩阵QN×N为β型矩阵时，采用β型矩阵启发式乘子寻优方法；
303)当矩阵QN×N为α型矩阵时，采用α型矩阵启发式乘子寻优方法。
步骤3)的处理过程如图2所示，其中步骤301)的具体步骤为：
301A)初始化γ矩阵使该矩阵第一列包含
Figure BDA0001754733250000081
Figure BDA0001754733250000082
j＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第j列的最小值；
Figure BDA0001754733250000083
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000084
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数。
301B)若j≤N,则跳转到301C)，否则跳转到步骤301E)；
301C)若
Figure BDA0001754733250000085
i＝i+1，跳转到步骤301D)，否则j＝j+1，跳转到步骤301B)；
Figure BDA0001754733250000086
是该矩阵中第j列的最小值，通过程序获取，是已知量，该式子是判断同一列，也就是j列的i*行的值是否不等于该列最小值。
301D)若i≤N，则跳转到步骤301C)，否则
Figure BDA0001754733250000087
j＝j+1，跳转到步骤301B)；
301E)结束；
步骤302)具体为：
302A)初始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
302B)若i≤N,则转向步骤302C)，否则转向步骤302F)；
302C)若
Figure BDA0001754733250000088
则转向步骤302D)，否则j＝j+1，转向步骤302E)；
Figure BDA0001754733250000089
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行的最小值；
Figure BDA00017547332500000810
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA00017547332500000811
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
302D)矩阵第i行末尾添加1×N阶向量
Figure BDA00017547332500000812
j＝j+1，转向步骤302E)；
Figure BDA0001754733250000091
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，在QN×N中该位置的值为Qi(a)；
Figure BDA0001754733250000092
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，其他值为
Figure BDA0001754733250000093
302E)j≤N，转向步骤302C)，否则i＝i+1，转向步骤302B)；
302F)输出矩阵λ。
步骤303)具体为：
303A)始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
303B)i≤N,则转向步骤303C)，否则转向步骤303F)；
303C)若
Figure BDA0001754733250000094
或
Figure BDA00017547332500000915
则转向步骤303D)，否则j＝j+1，转向步骤303E)；
Figure BDA0001754733250000095
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行的最小值；
Figure BDA0001754733250000096
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行除去
Figure BDA0001754733250000097
后的最小值，即第i行中的次最小值；
Figure BDA0001754733250000098
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000099
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
303D)在λ矩阵第i行末尾添加元素
Figure BDA00017547332500000910
或
Figure BDA00017547332500000911
j＝j+1，转向步骤303E)；
303E)若j≤N，转向步骤303C)，否则i＝i+1，转向步骤303B)；
303F)输出矩阵λ。
步骤3)中，通过订单聚类惩罚值分布矩阵生成QN×N矩阵，过程如下：
311)通过引入拉格朗日乘子松弛约束条件，同时将原问题转化为对偶问题求解上界：
Figure BDA00017547332500000912
i＝1，2，...，N.j＝1，2，...，N.
其中，ZD表示对偶问题最优值，λ是为松弛约束条件而引入的拉格朗日乘子，J1＝min∑i∈N∑j∈NCijXij，表示同一炉次内订单属性差异最小(属性包括钢级规格，交货期，轧制宽度，合同流向等)，
Figure BDA00017547332500000913
表示炉次剩余容量最小，
Figure BDA00017547332500000914
表示优先级高的板坯先生产同，Xij是0-1决策变量，当订单i聚类到炉次中心j时Xij＝1，否则Xij＝0；
312)将上式化简，得到：
Figure BDA0001754733250000101
i＝1，2，...，N.j＝1，2，...，N
其中，Cij表示订单i与订单j聚类因属性不同所带来的惩罚值之和，pj表示当第j个炉次未利用完全时炉次剩余部分所产生的惩罚值，gi表示第i个订单的重量，hi表示第i个订单的优先级，T表示炉容，Xjj是0-1决策变量，当订单j被选为聚类中心时Xjj＝1，否则Xjj＝0；
313)参数量化，设：
Figure BDA0001754733250000105
314)计算原始问题最优值之，将每个板坯都作为炉次中心处理，即Xjj＝1，j＝1，2...，N.，同时与变量Xij无关的已知参数不予考虑，得到如下结果：
Figure BDA0001754733250000102
i＝1，2，...，N.j＝1，2，...，N.。
步骤3)还包括：
315)为获取原始问题最优值，根据步骤314)可以推出：
Figure BDA0001754733250000103
316)将每个板坯都作为炉次中心处理，将步骤314中的模型转化为只与拉格朗日乘子相关的子模型函数，并通过求解子模型最优值进而求解原始问题最优值：
Figure BDA0001754733250000104
i＝1，2，...，N.j＝1，2，...，N.。
本实施例中，γ型矩阵为在板坯与炉次中心聚类过程中，所有板坯与某些炉次中心只产生唯一最小惩罚值，同时与某些板坯所产生的最小惩罚值的个数不唯一且各个炉次中心最小惩罚值的大小不唯一的矩阵，
Figure BDA0001754733250000111
F∈QN×N，某列中有且仅有唯一
Figure BDA0001754733250000112
某列
Figure BDA0001754733250000113
个数不唯一。
β型矩阵为在板坯与炉次中心聚类过程中，与炉次中心产生最小惩罚值板坯数大于1，且各个炉次中心中最小值都相同的矩阵，
Figure BDA0001754733250000114
F∈QN×N，j＝1，2，...，N.存在
Figure BDA0001754733250000115
且
Figure BDA0001754733250000116
的个数不唯一。
α型矩阵为在板坯与炉次中心聚类过程中，有且只有一个板坯会与炉次中心产生最小惩罚值的矩阵，
Figure BDA0001754733250000117
F∈QN×N，j＝1，2，...，N.有且仅有唯一
Figure BDA0001754733250000118
(一)多耦合条件下获取炉次计划子模型
在生产实践中，组合为同一炉次的板坯会因其属性不同而产生惩罚费用，具体属性包括钢级，宽度范围，交货期，流向，是否同为烫辊材和组成成分。组合为炉次的过程中，会选择K个板坯作为炉次中心(炉次中心数等于预编炉次数)，组合的过程也就是将其他板坯聚类到炉次中心的过程(属性越相近的板坯聚类所产生的惩罚费用越小，某些属性不同的板坯甚至不能聚类为同一炉次)。板坯i与炉次中心j组合产生的惩罚费用为Cij，Cij＝C1+C2+C3，C1，C2，C3分别为板坯i与炉次中心j因钢级，宽度范围，交货期差异所产生的惩罚费用。除此之外，在炉次批量计划编制过程中，炉次中应该尽量使其利用率最大化以减少成本，同时为了提高客户的满意度，应该使交货期近或者级别高的客户的订单先进行生产。所以优化目标除了考虑板坯因为属性不同而产生的惩罚费用之和应该最小外，还应考虑每个炉次剩余容量和板坯优先级所带来的惩罚值之和最小。
1.参数
常量：在炉次批量计划编制过程中，共有N个合同需要编制炉次批量计划,第i个板坯的重量为gi，优先级为hi。每个转炉的容量为T。当第j个炉次未利用完全时炉次未利用部分单位空间会产生惩罚值pj。决策变量：
Figure BDA0001754733250000119
2.数学模型
(1)尽量使炉次内板坯的属性差异最小
订单之间在板坯的钢级、交货期、轧制宽度、合同流向属性间存在差异，在组合过程中，以差异最小为优化目标建立数学模型，表达式如下：
Figure BDA0001754733250000121
(2)尽量使炉次剩余容量最少
在炉次批量计划编制过程中，为了节约成本，减少耗能，应使转炉的剩余容量最小化。此优化目标可以表示为：
Figure BDA0001754733250000122
(3)尽量使优先级高的板坯先生产
在炉次批量计划编制过程中，炉次的优先级可能是客户的级别高，也可能是交货日期近，因此这样的板坯尽可能先生产。此优化目标可以表示为：
Figure BDA0001754733250000123
MinimizeZ
with Z＝min(J1+J2+J3) (4)
Subject to
a)被选为炉次中心的板坯数即预编炉次数为固定值K：
Figure BDA0001754733250000124
b)每个板坯只能组入一个炉次：
Figure BDA0001754733250000125
c)每个板坯只能组入被选为炉次中心的板坯上：
Figure BDA0001754733250000126
d)Xjj为0-1变量，Xjj＝1若板坯j被选为炉次中心，否则Xjj＝1：
Figure BDA0001754733250000127
e)Xij为0-1变量，Xij＝1若板坯i与炉次中心j组合，否则Xij＝0：
Figure BDA0001754733250000128
新的表达式在目标函数(4)和约束条件(5)-(9)的基础上进行变换：
f)通过引入拉格朗日乘子松弛约束条件(6)，同时将原问题转化为对偶问题求解上界：
Figure BDA0001754733250000129
g)化简：
Figure BDA0001754733250000131
h)参数量化，设：
Figure BDA0001754733250000132
i)计算原始问题最优值之前将每个板坯都作为炉次中心处理，即Xjj＝1，j＝1，2...，N.，结果不影响原始问题最优值，同时与变量Xij无关的已知参数不予考虑，得到如下结果：
Figure BDA0001754733250000133
j)通过(7)和(13)可以推出：
Figure BDA0001754733250000139
k)原始问题转化为如下形式：
Figure BDA0001754733250000134
l)将每个板坯都作为炉次中心处理，原始函数转化为只与拉格朗日乘子相关的函数：
Figure BDA0001754733250000135
m)将原始问题分解为子问题进行求解：
Figure BDA0001754733250000136
Figure BDA0001754733250000137
n)设
Figure BDA00017547332500001310
Figure BDA0001754733250000138
Figure BDA0001754733250000141
(二)订单聚类惩罚值分布矩阵的构造以及算法设计
在解决问题的过程中，构造的矩阵是以每一个板坯为炉次中心时，其他板坯与之组合所产生的订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，然后根据该矩阵的特点将其嵌入后续所描述的算法中，该方法可以使得到的可行解满足原始问题的最优解。λn×N是在QN×N矩阵的基础上构造的拉格朗日乘子可行域，
Figure BDA0001754733250000142
Figure BDA0001754733250000143
表示
Figure BDA0001754733250000148
位于该矩阵的i*行，j*列。
Figure BDA0001754733250000144
1.α型矩阵及算法设计
(1)矩阵定义
定义1：在订单与炉次中心聚类过程中，有且只有一个订单会与炉次中心产生最小惩罚值的矩阵，该矩阵称为α型矩阵。
Figure BDA0001754733250000145
F∈QN×N，j＝1，2，...，N.有且仅有唯一
Figure BDA0001754733250000146
命题1：若使等式(17)中ZDil(λi)的值最优，当且仅当λi的值为板坯i聚类到其他板坯时所产生的惩罚值的最小值和次最小值。当ZDiλ(λi)取最优值时，λi∈[Qi(a)，Qi(b)]。
命题1证明：
a)当λi∈[Qi(a)，Qi(b)]，有ZDil(λi)最大化。当λi＝Qi(a)时，
Figure BDA0001754733250000147
当
λi＝Qi(b)时，
Figure BDA0001754733250000151
b)若ZDil(λi)使最大化，λi∈[Qi(a)，Qi(b)]。当
Figure BDA0001754733250000152
λi＝h＞Qi(b)时，
Figure BDA0001754733250000153
Qi(b)-h＜0,所以ZDil(λi)＜Qi(a)，与已知相矛盾。
(2)算法设计
存在α型订单聚类惩罚值分布矩阵
Figure BDA0001754733250000154
和矩阵
Figure BDA0001754733250000155
为α型矩阵算法下的拉格朗日乘子寻优策略。
Figure BDA0001754733250000156
根据命题1和式(18-1)-(18-N)，列出拉格朗日乘子所有可能的情况：
a)当λi取Qi(a)时：
Figure BDA0001754733250000157
b)当λi取Qi(b)时：
Figure BDA0001754733250000158
Figure BDA0001754733250000159
表示矩阵中Qi(a)位置的值为x，根据上述λi的取值，将式(15)展开：
Figure BDA00017547332500001510
Figure BDA0001754733250000161
在式(19)中唯一的变量为Xjj，又因为式(5)，可以确定λi和目标函数ZDil(λ)的最优值。
(3)α型矩阵启发式乘子寻优方法
303A)始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
303B)i≤N,则转向步骤303C)，否则转向步骤303F)；
303C)若
Figure BDA0001754733250000162
或
Figure BDA0001754733250000163
则转向步骤303D)，否则j＝j+1，转向步骤303E)；
Figure BDA0001754733250000164
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行的最小值；
Figure BDA0001754733250000165
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行除去
Figure BDA0001754733250000166
后的最小值，即第i行中的次最小值；
Figure BDA00017547332500001616
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000167
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
303D)在λ矩阵第i行末尾添加元素
Figure BDA0001754733250000168
或
Figure BDA0001754733250000169
j＝j+1，转向步骤303E)；
303E)若j≤N，转向步骤303C)，否则i＝i+1，转向步骤303B)；
303F)输出矩阵λ。
2.β型矩阵及算法设计
(1)矩阵定义
定义2：在订单与炉次中心聚类过程中，与炉次中心产生最小惩罚值订单数大于1，且各个炉次中心中最小值都相同的矩阵，该矩阵称为β型矩阵。
Figure BDA00017547332500001610
F∈QN×N，j＝1，2，...，N.存在
Figure BDA00017547332500001611
且
Figure BDA00017547332500001612
的个数不唯一。
(2)算法设计
存在β型订单聚类惩罚值分布矩阵
Figure BDA00017547332500001613
因为该矩阵每列存在多个最小值，所以每一行存在的最小值可能不唯一，而且个数不一定相等，不能应用以上策略求解，提出
Figure BDA00017547332500001614
为β型矩阵算法下的拉格朗日乘子可行域，严格来说
Figure BDA00017547332500001615
不能算是矩阵，因为该矩阵每一行元素数量不一定相等。
Figure BDA0001754733250000171
Figure BDA0001754733250000172
表示第i行中第k个最小的值所在的位置的值是
Figure BDA0001754733250000173
并且设
Figure BDA0001754733250000174
为1×N的向量，本发明的主要思想是在每一行有多个最小值的情况下，将最小值与次最小值逐一作用。同样根据命题1和式(18-1)-(18-N)，列出拉格朗日乘子所有可能的情况：
a)当λi取Qi(a)时：
Figure BDA0001754733250000175
b)当λi取Qi(b)时：
Figure BDA0001754733250000176
矩阵第二列：
Figure BDA0001754733250000177
Figure BDA0001754733250000178
矩阵第三列：
Figure BDA0001754733250000179
Figure BDA00017547332500001710
矩阵第N列：
Figure BDA00017547332500001711
Figure BDA0001754733250000181
根据式(15)和约束式(5)可得出原始问题最优值。
(3)β型矩阵启发式乘子寻优方法
302A)初始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
302B)若i≤N,则转向步骤302C)，否则转向步骤302F)；
302C)若
Figure BDA0001754733250000182
则转向步骤302D)，否则j＝j+1，转向步骤302E)；
Figure BDA0001754733250000183
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行的最小值；
Figure BDA0001754733250000184
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000185
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
302D)矩阵第i行末尾添加1×N阶向量
Figure BDA0001754733250000186
j＝j+1，转向步骤302E)；
Figure BDA0001754733250000187
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，在QN×N中该位置的值为Qi(a)；
Figure BDA0001754733250000188
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，其他值为
Figure BDA0001754733250000189
302E)j≤N，转向步骤302C)，否则i＝i+1，转向步骤302B)；
302F)输出矩阵λ。
3.r型矩阵及算法设计
(1)矩阵定义
定义3：在订单与炉次中心聚类过程中，所有订单与某些炉次中心只产生唯一最小惩罚值，同时与某些板坯所产生的最小惩罚值的个数不唯一且各个炉次中心最小惩罚值的大小不唯一的矩阵，该矩阵称为r型矩阵。
Figure BDA00017547332500001810
F∈QN×N，某列中有且仅有唯一
Figure BDA00017547332500001811
某列
Figure BDA00017547332500001812
个数不唯一。
(2)算法设计
存在r型订单聚类惩罚值分布矩阵
Figure BDA00017547332500001813
和矩阵
Figure BDA00017547332500001814
为α型矩阵算法下的拉格朗日乘子可行域。
Figure BDA0001754733250000191
该矩阵每个炉次中心的最小值不唯一，且最小值的大小不相同，以通过变换使每个炉次中心的最小值相同，即转换为β型矩阵进行运算。并利用原始惩罚值序列分布矩阵确定目标值，将该矩阵算法嵌入式(15),可以解决所有问题，并且不会影响原始问题最优值。具体转换方法如下：
(3)r型矩阵启发式乘子寻优方法
301A)初始化r矩阵使该矩阵第一列包含
Figure BDA0001754733250000192
Figure BDA0001754733250000193
j＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第j列的最小值；
Figure BDA0001754733250000194
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000195
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数。
301B)若j≤N,则跳转到301C)，否则跳转到步骤301E)；
301C)若
Figure BDA0001754733250000196
i＝i+1，跳转到步骤301D)，否则j＝j+1，跳转到步骤301B)；
Figure BDA0001754733250000197
是该矩阵中第j列的最小值，通过程序获取，是已知量，该式子是判断同一列，也就是j列的i*行的值是否不等于该列最小值。
301D)若i≤N，则跳转到步骤301C)，否则
Figure BDA0001754733250000198
j＝j+1，跳转到步骤301B)；
301E)结束；
转换完成后，根据β型矩阵算法进行求解。
(三)实例
存在订单聚类惩罚值分布矩阵
Figure BDA0001754733250000199
预编炉次数目为3，求解ZDil的最优值以及被选为炉次中心的板坯序号
1.首先构造拉格朗日乘子可行域，根据命题1：
Figure BDA0001754733250000201
2.列出拉格朗日乘子所有可能情况：
a)当λi取Qi(a)
Figure BDA0001754733250000202
Figure BDA0001754733250000203
Figure BDA0001754733250000204
Figure BDA0001754733250000205
Figure BDA0001754733250000206
b)当λi取Qi(b)
Figure BDA0001754733250000207
Figure BDA0001754733250000208
Figure BDA0001754733250000209
Figure BDA00017547332500002010
Figure BDA00017547332500002011
3.求ZDil的最优值以及被选为炉次中心的板坯序号？
Figure BDA00017547332500002012
由上式可知被选为炉次中心的板坯序号为1,3和4，ZDil最优值为44。下面结合附图和仿真过程对本发明做进一步说明。
(一)仿真环境
本实施例通过MATLAB语言编程进行仿真，在Intel Core i5 5200CPU4GB Windows10/64位操作系统PC上执行。
(二)参数设置
本发明主要运用该算法解决大规模合同组合问题，但是为了简化数据，假设该过程是在6个炉次，20个订单合同为背景下进行仿真。实例数据采用国内某钢厂10个周期真实生产数据，实际生产过程中数据量很大，因篇幅限制只列出部分数据进行试验，见表1。
表1部分实例数据
Figure BDA0001754733250000211
(三)仿真过程
步骤2)：生成订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，若
Figure BDA0001754733250000212
跳转到步骤301)；若
Figure BDA0001754733250000213
跳转到步骤302)；否则跳转到步骤303)。
步骤301)：γ型矩阵启发式乘子寻优策略；
步骤301A)：初始化γ矩阵使该矩阵第一列使其包含
Figure BDA0001754733250000214
Figure BDA0001754733250000215
j＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第j列的最小值；
Figure BDA0001754733250000216
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000217
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
步骤301B)：若i≤N,则跳转到301C)，否则跳转到301E)；
步骤301C)：若
Figure BDA0001754733250000221
i＝i+1，跳转到301D)，否则j＝j+1，跳转到301B)；
Figure BDA0001754733250000222
是该矩阵中第j列的最小值，通过程序获取，是已知量，该式子是判断同一列，也就是j列的i*行的值是否不等于该列最小值；
步骤301D)：若i≤N，则跳转到1-3，否则
Figure BDA0001754733250000223
j＝j+1，跳转到301B)；
步骤301E)：结束。跳转到步骤302)。
步骤302)：β型矩阵启发式乘子寻优策略；
步骤302A)：初始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
步骤302B)：若i≤N,则转向302C)，否则跳转到302F)；
步骤302C)：若
Figure BDA0001754733250000224
则跳转到302D)，否则j＝j+1，跳转到302E)；
Figure BDA0001754733250000225
i＝1，2，...，N.表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行的最小值；
Figure BDA00017547332500002213
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure BDA0001754733250000226
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
步骤302D)：在λ矩阵第i行末尾添加1×N阶向量
Figure BDA0001754733250000227
j＝j+1，跳转到2-5；
Figure BDA0001754733250000228
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，在QN×N中该位置的值为Qi(a)；
Figure BDA0001754733250000229
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，其他值为
Figure BDA00017547332500002210
步骤302E)：若j≤N，跳转到2-3，否则i＝i+1，跳转到302B)；
步骤302F)：输出矩阵λ。
步骤303：α型矩阵启发式乘子寻优策略；
步骤303A)：初始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
步骤303B)：若i≤N,则跳转到303C)，否则跳转到303F)；
步骤303C)：若
Figure BDA00017547332500002211
或
Figure BDA00017547332500002212
Figure BDA0001754733250000231
则跳转到303D)，否则j＝j+1，跳转到303E；
步骤303D)：在λ矩阵第i行末尾添加元素
Figure BDA0001754733250000232
或
Figure BDA0001754733250000233
j＝j+1，跳转到3-5；
步骤303E：若j≤N，跳转到303C)，否则i＝i+1，跳转到303B)；
步骤303F)：输出矩阵λ。
(四)仿真结果
为了使算法具有更直观表达效果，将上述数据嵌入传统拉氏框架下松弛算法与启发式乘子寻优算法，并将其计算效率以及解的质量进行对比，计算结果详见表2。
表2计算结果
Figure BDA0001754733250000234
为了显示拉氏框架下启发式乘子寻优算法相对传统拉氏框架下松弛算法的良好性能，作者进行了大量仿真比较实验，表3使用三组数量递增的板坯数进行仿真，并将其运行时间进行对比。
表2两种算法求解速度比较
Figure BDA0001754733250000235
(运行时间单位：秒)
本发明针对基于增广拉格朗日松弛算法的炉次批量计划优化问题，提出的一种解决方案。根据炉次批量计划问题的优化目标和约束条件建立了整数规划数学模型。最后由实验表明，该算法能够以更高的效率解决炉次批量计划优化问题，为炉次批量计划问题提供了一种很好的算法。

Claims (6)

1.一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法，其特征在于包括以下步骤：
1)在多耦合条件下获取炉次计划子模型；
2)构造订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，N个订单两两聚类因属性不同生成订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N，该矩阵是为N阶；
3)生成订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N后，判断矩阵QN×N类型为γ型矩阵、β型矩阵还是α型矩阵，分别按不同类型实施矩阵启发式乘子寻优方法；
γ型矩阵为在板坯与炉次中心聚类过程中，所有板坯与某些炉次中心只产生唯一最小惩罚值，同时与某些板坯所产生的最小惩罚值的个数不唯一且各个炉次中心最小惩罚值的大小不唯一的矩阵，
Figure FDA0003321350610000011
某列中有且仅有唯一
Figure FDA0003321350610000012
某列
Figure FDA0003321350610000013
个数不唯一；
β型矩阵为在板坯与炉次中心聚类过程中，与炉次中心产生最小惩罚值板坯数大于1，且各个炉次中心中最小值都相同的矩阵，
Figure FDA0003321350610000014
存在
Figure FDA0003321350610000015
且
Figure FDA0003321350610000016
的个数不唯一；
α型矩阵为在板坯与炉次中心聚类过程中，有且只有一个板坯会与炉次中心产生最小惩罚值的矩阵，
Figure FDA0003321350610000017
有且仅有唯一
Figure FDA0003321350610000018
具体为：
301)当矩阵QN×N为γ型矩阵时，采用γ型矩阵启发式乘子寻优方法；
302)当矩阵QN×N为β型矩阵时，采用β型矩阵启发式乘子寻优方法；
303)当矩阵QN×N为α型矩阵时，采用α型矩阵启发式乘子寻优方法。
2.根据权利要求1所述的一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法，其特征在于步骤301)具体为：
301A)初始化γ矩阵使该矩阵第一列包含
Figure FDA0003321350610000019
Figure FDA0003321350610000021
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第j列的最小值；
Figure FDA0003321350610000022
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure FDA0003321350610000023
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
301B)若j≤N，则跳转到301C)，否则跳转到步骤301E)；
301C)若
Figure FDA0003321350610000024
跳转到步骤301D)，否则j＝j+1，跳转到步骤301B)；
Figure FDA0003321350610000025
是该矩阵中第j列的最小值，通过程序获取，是已知量，该式子是判断同一列，也就是j列的i*行的值是否不等于该列最小值；
301D)若i≤N，则跳转到步骤301C)，否则
Figure FDA0003321350610000026
跳转到步骤301B)；
301E)结束。
3.根据权利要求1所述的一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法，其特征在于步骤302)具体为：
302A)初始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
302B)若i≤N，则转向步骤302C)，否则转向步骤302F)；
302C)若
Figure FDA0003321350610000027
则转向步骤302D)，否则j＝j+1，转向步骤302E)；
Figure FDA0003321350610000028
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行的最小值；
Figure FDA0003321350610000029
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure FDA00033213506100000210
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
302D)矩阵第i行末尾添加1×N阶向量
Figure FDA00033213506100000211
j＝j+1，转向步骤302E)；
Figure FDA00033213506100000212
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，在QN×N中该位置的值为Qi(a)；
Figure FDA00033213506100000213
表示该行向量第j*列的值为Qi(b)，其他值为
Figure FDA00033213506100000214
302E)若j≤N，转向步骤302C)，否则i＝i+1，转向步骤302B)；
302F)输出矩阵λ。
4.根据权利要求1所述的一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法，其特征在于步骤303)具体为：
303A)初始化矩阵λ，设i＝1，j＝1；
303B)若i≤N，则转向步骤303C)，否则转向步骤303F)；
303C)若
Figure FDA0003321350610000031
或
Figure FDA0003321350610000032
则转向步骤303D)，否则j＝j+1，转向步骤303E)；
Figure FDA0003321350610000033
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行的最小值；
Figure FDA0003321350610000034
i＝1，2，...，N，表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行除去
Figure FDA0003321350610000035
后的最小值，即第i行中的次最小值；
Figure FDA0003321350610000036
表示订单聚类惩罚值分布矩阵QN×N中第i行第j列的值；
Figure FDA0003321350610000037
的值以及在矩阵中的位置可以通过程序来获取，是已知量，i*，j*分别表示该值所在的行数和列数；
303D)在λ矩阵第i行末尾添加元素
Figure FDA0003321350610000038
或
Figure FDA0003321350610000039
转向步骤303E)；
303E)若j≤N，转向步骤303C)，否则i＝i+1，转向步骤303B)；
303F)输出矩阵λ。
5.根据权利要求1所述的一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法，其特征在于：步骤3)中，通过订单聚类惩罚值分布矩阵生成QN×N矩阵，过程如下：
311)通过引入拉格朗日乘子松弛约束条件，同时将原问题转化为对偶问题求解上界：
Figure FDA00033213506100000310
其中，ZD表示对偶问题最优值，λ是为松弛约束条件而引入的拉格朗日乘子，J1＝min∑i∈N∑j∈NCijXij，表示同一炉次内订单属性差异最小，
Figure FDA00033213506100000311
表示炉次剩余容量最小，
Figure FDA00033213506100000312
表示优先级高的板坯先生产同，Xij是0-1决策变量，当订单i聚类到炉次中心j时Xij＝1，否则Xij＝0；
312)将上式化简，得到：
Figure FDA0003321350610000041
其中，Cij表示订单i与订单j聚类因属性不同所带来的惩罚值之和，pj表示当第j个炉次未利用完全时炉次剩余部分所产生的惩罚值，gi表示第i个订单的重量，hi表示第i个订单的优先级，T表示炉容，Xij是0-1决策变量，当订单j被选为聚类中心时Xjj＝1，否则Xjj＝0；
313)参数量化，设：
Figure FDA0003321350610000045
314)计算原始问题最优值之，将每个板坯都作为炉次中心处理，即Xjj＝1，j＝1，2...，N.，同时与变量Xij无关的已知参数我们不予考虑，得到如下结果：
Figure FDA0003321350610000042
6.根据权利要求5所述的一种高效求解炼钢-连铸炉次批量计划的优化方法，其特征在于：还包括以下步骤：
315)根据步骤314)推出：
Figure FDA0003321350610000043
316)将每个板坯都作为炉次中心处理，将步骤314中的模型转化为只与拉格朗日乘子相关的子模型函数，并通过求解子模型最优值进而求解原始问题最优值：
Figure FDA0003321350610000044
317)设
Figure FDA0003321350610000051
最终子模型形式如下：
Figure FDA0003321350610000052
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