CN109101697A - 液罐汽车流-固耦合系统的整车动力学模型的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了液罐汽车流‑固耦合系统的整车动力学模型的建模方法，涉及汽车建模技术领域；整车动力学模型由非满载罐体内的液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程、液罐汽车的侧向力平衡方程、液罐汽车的横摆力矩平衡方程和液罐汽车的侧倾力矩平衡方程组成，所述整车动力学模型为四自由度动力学模型；其通过构建非满载罐体内的液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程、液罐汽车的侧向力平衡方程、横摆力矩平衡方程和侧倾力矩平衡方程等，实现了构建结构简单、准确性高、能够应用于液罐汽车动力学特性分析和主动安全控制的液罐汽车整车动力学模型。

Description

液罐汽车流-固耦合系统的整车动力学模型的建模方法

技术领域

本发明涉及汽车建模技术领域，尤其涉及一种液罐汽车流-固耦合系统的整车动力学模型的建模方法。

背景技术

液罐汽车的运载货物为液体，它具有易于流动的特性。当液体货物未充满罐体时，车辆运行状态的改变使得液体发生晃动，由此产生幅度较大的冲击和动态负载变化，给液罐汽车的行驶稳定性带来了负面影响；并且，当前液罐汽车多为大吨位车辆，货物质量占整车总质量的比重较大，液体晃动对车辆行驶稳定性的影响不容忽视。加之高速行驶的车辆常有紧急避障、超车或换道行为，车辆运行状态的剧烈变动使得罐体上作用有较大的侧向力，引发货物大幅晃动，极大地降低了罐车行驶稳定性。为保障液罐汽车道路运输安全，对其行驶稳定性进行分析和主动控制研究具有十分重要的意义。

然而，液罐汽车是一个复杂的流-固耦合系统、是具有无限多自由度的分布式参数系统。直接应用分布式参数模型进行液罐汽车动力学特性分析及系统主动安全控制存在严重困难，甚至是不可能的。

对罐内侧向液体晃动动力学特性的处理直接关系到所构建的液罐汽车整车动力学模型的准确性和应用难易程度。目前，主要应用等效机械模型描述非满载罐体内的侧向液体晃动。该种模型利用刚体运动描述非满载罐体内的液体晃动，其与液体晃动具有动力相似、运动相似和几何相似特征，能够产生与液体晃动相同的冲击力、冲击力矩和质心位移。基于液体晃动等效机械模型所建立的液罐汽车整车动力学模型能够准确地反映液罐汽车动力学特性，且在形式上与普通载荷汽车的动力学模型类似，模型自由度有限，求解容易，能够应用于液罐汽车行驶稳定性分析和主动安全控制，是目前业界认可度和应用度都比较高的液罐汽车模型。

现有的基于液体晃动等效机械模型的液罐汽车动力学模型存在如下不足：

第一，建模时没有将车辆本体和罐内液体货物作为一个整体考虑，而是首先构建车辆刚体部分的动力学模型，然后把液体晃动所产生的冲击力和冲击力矩作为附加力和附加力矩添加到刚体的车辆本体的动力学模型中。这种建模方法割裂了液体晃动与车辆运动的耦合关系，不利于在模型中直观地体现液体货物作为液罐汽车的一部分是如何受车辆运动影响产生晃动、而液体晃动又反之影响车辆的运动姿态和运行稳定性的。

第二，利用惯性坐标系下等效机械模型的动力学方程推导液体晃动所产生的附加力和力矩。这种方法将液体晃动的罐体参照系假设为一个惯性参照系，而这种假设与实际情况有较大出入。罐体作为液罐汽车的一部分，在车辆的转向运动中，既有沿车辆侧向的加速平动、又有绕车辆侧倾轴的加速转动，是一个既有加速平动又有绕轴转动的非惯性坐标系。液体晃动所产生的冲击力和力矩应该利用非惯性坐标系中等效机械模型的动力学方程推导而来。如果将液体晃动的罐体参照系作为惯性坐标系处理，冲击力与冲击力矩的求解结果将与实际情况有较大偏差。

第三，用以描述非满载罐体内液体晃动的等效机械模型并未考虑液体晃动的阻尼特性，忽略了液体晃动随时间的衰减特性。这种处理与实际的液体晃动有较大出入。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种液罐汽车流-固耦合系统的整车动力学模型的建模方法，其通过构建非满载罐体内的液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程、液罐汽车的侧向力平衡方程、横摆力矩平衡方程和侧倾力矩平衡方程等，实现构建了结构简单、准确性高、能够应用于液罐汽车动力学特性分析和主动安全控制的液罐汽车整车动力学模型。

为解决上述技术问题，本发明所采取的技术方案是：整车动力学模型由液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程、液罐汽车的侧向力平衡方程、液罐汽车的横摆力矩平衡方程和液罐汽车的侧倾力矩平衡方程组成，所述整车动力学模型为四自由度动力学模型，所述四自由度为车辆的横摆角速度r、质心侧偏角β和车身侧倾角φ，以及液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的摆角θ，上述各方程的构建方法如下，

S1构建非满载罐体内的液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程

S101构建非满载罐体内液体侧向晃动的等效椭圆规钟摆模型

利用动力学等价原则，借助FLUENT仿真获得了椭圆规钟摆的短半轴尺寸的多项式拟合函数为，

b_p/b＝1.087+0.6999△-0.1407ζ-0.9291△²-1.178ζ△+

0.05495ζ²-0.03353△³+0.5404ζ△²+0.1518ζ²△ (1.1)

式(1.1)，b_p为椭圆规钟摆的短半轴尺寸，单位m；b为罐体的短轴半径，单位m；Δ为罐内液体货物的充液比，即液面高度与罐体高度的比值；ζ为罐体横截面的长短轴之比；

椭圆规钟摆的长半轴尺寸为，

a_p＝b_p×ζ (1.2)

式(1.2)中，a_p为椭圆规钟摆的长半轴尺寸，单位m；

椭圆规钟摆的摆球质量的多项式拟合函数为，

m_p/m＝0.7844-1.729△+0.3351ζ+1.156△²+0.7256ζ△-

0.1254ζ²-0.3219△³-0.9152ζ△²+0.08043ζ²△ (1.3)

式(1.3)中，m_p为椭圆规钟摆的摆球质量，单位kg；m为罐内液体货物的质量，单位kg；

由于摆球的质量并不等于液体货物的质量，因而部分液体货物未参与侧向冲击，将其定义为静止液体质量部分；静止液体质量的计算公式为，

m_f＝m-m_p (1.4)

式(1.4)中，m_f为静止液体的质量，单位kg；

静止液体质心到罐体最低点的高度为，

b_f＝(m×b_cg-m_p(b-b_p))/m_f (1.5)

式(1.5)中，b_f为静止液体质心到罐体最低点的高度，单位m；b_cg为液体货物的质心到罐体最低点的高度，单位m；

S102构建惯性坐标系下椭圆规钟摆模型的动力学方程

惯性坐标系下，当椭圆规钟摆的摆角任意时，作用在摆球上的力只有重力和摆线的拉力；利用牛二定律有，

式(1.6)中，为钟摆小球沿y轴侧向的加速度，单位m/s²；F_l为椭圆规钟摆的绳子拉力，单位N；θ为钟摆摆线与罐体坐标系的x_t轴的负半轴之间的夹角，单位rad；为钟摆小球沿z轴垂向的加速度，单位m/s²；g为重力加速度，单位m/s²；

摆角为θ时，钟摆小球在罐体坐标系中的位置为，

式(1.7)中，y为钟摆小球沿y轴的坐标，单位m；z为钟摆小球沿z轴的坐标，单位m；H_f为车辆静止时罐体中心到侧倾轴的高度，单位m；

此时，小球沿侧向和垂向的加速度分别为，

式(1.8)中，为钟摆小球的角速度，单位rad/s；为钟摆小球的角加速度，单位rad/s²；

将钟摆小球的加速度表达式(1.8)代入式(1.6)中并消除变量F_l之后，即可获得椭圆规钟摆模型在惯性坐标系下的动力学方程，

利用线性阻尼模型描述侧向液体晃动的阻尼特性，并利用拉格朗日方程将线性耗散元件添加到椭圆规钟摆模型的动力学方程(1.9)中，得到有阻尼耗散特性的椭圆规钟摆模型在惯性坐标下的动力学方程为，

式(1.10)中，η为液体侧向晃动的无量纲阻尼系数；

S103构建非惯性坐标系下椭圆规钟摆模型的动力学方程

椭圆规钟摆在非惯性坐标系下运动时，摆球的绝对加速度由相对加速度、牵连加速度和科氏加速度三部分组成，可表示为，

式(1.11)中，a_a为钟摆小球的绝对加速度，单位m/s²；a_r为钟摆小球在非惯性坐标系中的相对加速度，单位m/s²；a_e为钟摆小球的牵连加速度，单位m/s²；a_c为钟摆小球的科氏加速度，单位m/s²；

动参照系既有平动又有转动时，钟摆小球的牵连加速度可表示为，

式(1.12)中，a_y是动系相对于静系的侧向沿y轴平动加速度，单位m/s²；α是动系的转动角加速度，单位rad/s²；R是钟摆小球在罐体坐标系中的位置矢量，单位m；ω是动系的转动角速度，单位rad/s；

动参照系的转动所引起的质点的科氏加速度可表示为，

式(1.13)中，v_r是钟摆小球在罐体坐标系中的相对速度，单位m/s；

利用式(1.11)～式(1.13)，可以获得钟摆小球在既有加速平动又有转动的非惯性坐标系中的绝对加速度为，

式(1.14)中，V是罐车前进速度，单位m/s；β为液罐车质心侧偏角，单位rad；r为液罐车横摆角速度，单位rad/s；e₂是液体货物质心沿整车坐标系X轴的坐标，单位m；φ为液罐车车身侧倾角，单位rad；

将钟摆小球的绝对加速度代入式(1.6)并消除变量F_l之后，结合式(1.10)，即可获得椭圆规钟摆模型在非惯性坐标系下的动力学方程为，

式(1.15)为椭圆规钟摆模型在罐体非惯性坐标系中的动力学方程；

S2构建液罐汽车的侧向力平衡方程

列出液罐汽车的侧向惯性力和侧向外力的平衡方程为，

m_ta_s+m_ua_u+m_fa_f+m_pa_pend＝2(F_f+F_r) (1.16)

式(1.16)中，m_t为液罐车空载时的簧上质量，单位kg；a_s为簧上质量沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；m_u为液罐汽车簧下质量，单位kg；a_u为簧下质量沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；a_f为静止液体质量沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；a_pend为钟摆小球沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；F_f为前轴轮胎侧偏力，单位N；F_r为后轴轮胎侧偏力，单位N；

式(1.16)中，液罐车空载时的簧上质量、簧下质量、静止液体质量以及椭圆规钟摆模型的摆球的侧向加速度分别为，

式(1.17)中，h_s为液罐汽车空载时簧上质心到侧倾轴的高度，单位m；c为液罐汽车装载货物后，簧上质心沿整车坐标系X轴的坐标，单位m；e为液罐汽车装载货物后，簧下质心沿整车坐标系X轴的坐标，单位m；H₁为静止液体质心到侧倾轴的高度，单位m；

将式(1.17)代入式(1.16)并整理后可得到，

式(1.18)中，H为钟摆小球到侧倾轴的高度，单位m；

式(1.18)为液罐汽车的侧向力平衡方程；

S3构建液罐汽车的横摆力矩平衡方程

建立在液罐汽车簧上质心即不含货物处的坐标系为x_s-y_s-z_s，假设液罐汽车簧上质量关于x_s轴左右对称，因而有I_xys＝I_yzs＝0；求解簧上质量关于x_s-y_s-z_s坐标系的角动量，并对该角动量求导，得到液罐汽车簧上质量关于其质心坐标系的惯性力矩为，

式(1.19)中，H_s为簧上质量关于其质心坐标系的角动量，单位kg.m²/s；I_xs为簧上质量绕x_s轴的转动惯量，单位kg.m²；I_xzs为簧上质量绕x_s轴和z_s轴的转动惯性积，单位kg.m²；I_zs为簧上质量绕z_s轴的转动惯量，单位kg.m²； 分别为x_s、y_s、z_s轴的方向向量；

建立在液罐汽车簧下质心处坐标系为x_u-y_u-z_u，假设簧下质量关于x_u轴对称，不考虑簧下质量的高度，有I_xyu＝I_yzu＝I_xzu＝0；求解簧下质量关于x_u-y_u-z_u的角动量，并对该角动量求导，可获得簧下质量关于其质心坐标系的惯性力矩为，

式(1.20)中，H_u为簧下质量关于其质心坐标系的角动量，单位kg.m²/s；I_zu为簧下质量绕z_u轴的转动惯量，单位kg.m²；分别为y_u、z_u轴的方向向量；

建立在全部液体货物的质心处的坐标系为x_c-y_c-z_c；自由液面水平时，假设货物分布关于x_c和y_c轴对称，有I_xyx＝I_yzc＝I_xzc＝0；求解液体货物关于其质心坐标系的角动量，并对其角动量求导，得到液体货物关于其质心的惯性力矩为，

式(1.21)中，H_c为液体货物关于其质心坐标系的角动量，单位kg.m²/s；I_xc为货物质量绕x_c轴的转动惯量，单位kg.m²；I_zc为货物质量绕z_c轴的转动惯量，单位kg.m²；分别为x_c、y_c、z_c轴的方向向量；

液罐汽车整车绕Z轴的惯性横摆力矩可利用式(1.19)、式(1.20)及式(1.21)中向分力矩获得；由此，即可获得液罐车惯性横摆力矩和外力矩的平衡方程为，

式(1.22)中，l_f为液罐汽车装载货物后整车质心到前轴的距离，单位m；l_r为液罐汽车装载货物后整车质心到后轴的距离，单位m；

整理后，获得，

式(1.23)为液罐汽车的横摆力矩平衡方程；

S4构建液罐汽车的侧倾力矩平衡方程

利用式(1.19)、式(1.20)及式(1.21)中向分力矩获得液罐汽车整车绕X轴的侧倾力矩；由此，可获得罐车惯性侧倾力矩和外力矩的平衡方程为，

式(1.24)中，k_φ为悬架角刚度，单位N.m/rad；c_φ为悬架角阻尼，单位N.m.s/rad；

整理后，获得，

式(1.25)为液罐汽车的侧倾力矩平衡方程。

采用上述技术方案所产生的有益效果在于：

第一，本发明使用椭圆规钟摆模型描述圆柱或者椭圆柱非满载罐体内的侧向液体晃动。对于圆柱和椭圆柱罐体，在罐体横截面积相同的前提下，罐体货物质量只与充液比有关，与罐体形状无关。当罐体形状发生变化时，椭圆规钟摆模型的参数值即发生变化。因此，利用本发明所构建的液罐汽车动力学模型，可以方便地表征罐体形状的变化对液罐汽车行驶稳定性的影响，能够应用于液罐汽车动力学特性分析和主动安全控制，其准确性高、结构简单。

第二，当罐体形状一定时，罐内货物充液比的变化使得椭圆规钟摆的参数值发生变化。利用本发明所提供的液罐汽车动力学模型，可以方便地考察装载水平的变化对液罐汽车行驶稳定性的影响。

第三，利用本发明所提供的液罐汽车动力学模型除了可以方便地考察液罐汽车行驶稳定性之外，还可以在该模型的基础上，针对液罐汽车易于发生侧倾事故的特征，设计罐车侧倾稳定性控制器，提高罐车侧倾稳定性能。

第四，由于在构建椭圆规钟摆的动力学模型时，引入了液体晃动的无量纲阻尼系数，因此本发明所构建的液罐汽车动力学模型可以方便地表征液体晃动的无量纲阻尼系数对车辆行驶稳定性的影响，应用于液罐汽车动力学特性分析和主动安全控制，其准确性更高。

附图说明

图1是本发明中实施例1的流程图；

图2是本发明实施例1中等效椭圆规钟摆模型的示意图；

图3是本发明实施例1中液罐车的侧向受力分析示意图；

图4是本发明实施例1中液罐车的横摆力矩分析示意图；

图5是本发明实施例1中液罐车的侧倾力矩分析示意图；

图6是本发明中角阶跃试验条件下、液罐汽车与普通载货汽车的质心侧偏角响应图；

图7是本发明中角阶跃试验条件下、液罐汽车与普通载货汽车的横摆角速度响应图；

图8是本发明中角阶跃试验条件下、液罐汽车与普通载货汽车的车身侧倾角响应图；

图9是本发明中液体晃动的无量纲阻尼系数对液罐汽车质心侧偏角响应的影响图；

图10是本发明中液体晃动的无量纲阻尼系数对液罐汽车横摆角速度响应的影响图；

图11是本发明中液体晃动的无量纲阻尼系数对液罐汽车车身侧倾角响应的影响图；

图12是本发明中罐体形状对液罐汽车质心侧偏角响应的影响图；

图13是本发明中罐体形状对液罐汽车横摆角速度响应的影响图；

图14是本发明中罐体形状对液罐汽车车身侧倾角响应的影响图；

图15是本发明中罐内液体的充液比对液罐汽车质心侧偏角响应的影响图；

图16是本发明中罐内液体的充液比对液罐汽车横摆角速度响应的影响图；

图17是本发明中罐内液体的充液比对液罐汽车车身侧倾角响应的影响图。

具体实施方式

下面结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是本发明还可以采用其他不同于在此描述的其它方式来实施，本领域技术人员可以在不违背本发明内涵的情况下做类似推广，因此本发明不受下面公开的具体实施例的限制。

如图1-图5所示，本发明公开了一种液罐汽车流-固耦合系统的整车动力学模型的建模方法，所述整车动力学模型由非满载罐体内的液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程、液罐汽车的侧向力平衡方程、液罐汽车的横摆力矩平衡方程和液罐汽车的侧倾力矩平衡方程组成，所述整车动力学模型为四自由度动力学模型，所述四自由度为车辆的横摆角速度r、质心侧偏角β和车身侧倾角φ，以及液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的摆角θ，上述各方程的构建方法如下，

S1构建非满载罐体内的液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程

S101构建非满载罐体内液体侧向晃动的等效椭圆规钟摆模型

对于圆柱或椭圆柱罐体内的侧向液体晃动，其质心运动轨迹与罐体外周平行，为同心的圆形或者椭圆形。椭圆规钟摆的自由端可以产生椭圆形的运动轨迹，因此使用椭圆规钟摆模型描述非满载罐体内液体侧向晃动的动力学特性。椭圆规钟摆模型中，摆线不计及质量且是刚性的，其刚性足够大；摆线一端和中间一点处有滑动点，滑动点的运动轨迹被限制在罐体坐标系的x_t轴和z_t轴上；摆线的自由端固结一个有一定质量的摆球。椭圆规钟摆模型运动时，钟摆小球所产生的侧向冲击力和冲击力矩与实际的侧向液体晃动的冲击力和冲击力矩相同。

如图2所示，椭圆规钟摆的待确定参数包括摆线长度参数和质量参数两类。其中，摆线长度参数与液体侧向晃动的频率有关，而质量参数与液体侧向晃动的冲击力有关。利用动力学等价原则，借助FLUENT仿真获得了椭圆规钟摆的短半轴尺寸的多项式拟合函数为，

b_p/b＝1.087+0.6999△-0.1407ζ-0.9291△²-1.178ζ△+

0.05495ζ²-0.03353△³+0.5404ζ△²+0.1518ζ²△ (1.1)

式(1.1)，b_p为椭圆规钟摆的短半轴尺寸，单位m；b为罐体的短轴半径，单位m；Δ为罐内液体货物的充液比，即液面高度与罐体高度的比值；ζ为罐体横截面的长短轴之比。

椭圆规钟摆的长半轴尺寸为，

a_p＝b_p×ζ (1.2)

式(1.2)中，a_p为椭圆规钟摆的长半轴尺寸，单位m。

椭圆规钟摆的摆球质量的多项式拟合函数为，

m_p/m＝0.7844-1.729△+0.3351ζ+1.156△²+0.7256ζ△-

0.1254ζ²-0.3219△³-0.9152ζ△²+0.08043ζ²△ (1.3)

式(1.3)中，m_p为椭圆规钟摆的摆球质量，单位kg；m为罐内液体货物的质量，单位kg。

由于摆球的质量并不等于液体货物的质量，因而部分液体货物未参与侧向冲击，将其定义为静止液体质量部分；静止液体质量的计算公式为，

m_f＝m-m_p (1.4)

式(1.4)中，m_f为静止液体的质量，单位kg。

静止液体质心到罐体最低点的高度为，

b_f＝(m×b_cg-m_p(b-b_p))/m_f (1.5)

式(1.5)中，b_f为静止液体质心到罐体最低点的高度，单位m；b_cg为液体货物的质心到罐体最低点的高度，单位m。

当液罐汽车的罐体形状给定为圆形或者椭圆形、罐体尺寸给定、罐内液体货物的充液比确定时，利用式(1.1)、(1.2)、(1.3)、(1.4)、(1.5)即可确定等效椭圆规钟摆模型的所需参数。

S102构建惯性坐标系下椭圆规钟摆模型的动力学方程

惯性坐标系下，当椭圆规钟摆的摆角任意时，作用在摆球上的力只有重力和摆线的拉力；利用牛二定律有，

式(1.6)中，为钟摆小球沿y轴侧向的加速度，单位m/s²；F_l为椭圆规钟摆的绳子拉力，单位N；θ为钟摆摆线与罐体坐标系的x_t轴的负半轴之间的夹角，单位rad；为钟摆小球沿z轴垂向的加速度，单位m/s²；g为重力加速度，单位m/s²。

摆角为θ时，钟摆小球在罐体坐标系中的位置为，

式(1.7)中，y为钟摆小球沿y轴的坐标，单位m；z为钟摆小球沿z轴的坐标，单位m；H_f为车辆静止时罐体中心到侧倾轴的高度，单位m。

此时，小球沿侧向和垂向的加速度分别为，

式(1.8)中，为钟摆小球的角速度，单位rad/s；为钟摆小球的角加速度，单位rad/s²。

将钟摆小球的加速度表达式(1.8)代入式(1.6)中并消除变量F_l之后，即可获得椭圆规钟摆模型在惯性坐标系下的动力学方程，

利用线性阻尼模型描述侧向液体晃动的阻尼特性，并利用拉格朗日方程将线性耗散元件添加到椭圆规钟摆模型的动力学方程(1.9)中，得到有阻尼耗散特性的椭圆规钟摆模型在惯性坐标下的动力学方程为，

式(1.10)中，η为液体侧向晃动的无量纲阻尼系数。

S103构建非惯性坐标系下椭圆规钟摆模型的动力学方程

液罐汽车弯道行驶时，罐体既有沿车辆坐标系y轴的侧向运动，又有绕车辆坐标系x轴的侧倾转向运动。侧向液体晃动的罐体参照系是既有加速平动又有转动的非惯性坐标系。需要在惯性坐标系下椭圆规钟摆模型动力学方程的基础上推导非惯性坐标系下椭圆规钟摆模型的动力学方程，以准确表达发生在非满载罐体内的侧向液体晃动的动力学特性。椭圆规钟摆在非惯性坐标系下运动时，摆球的绝对加速度由相对加速度、牵连加速度和科氏加速度三部分组成，可表示为，

式(1.11)中，a_a为钟摆小球的绝对加速度，单位m/s²；a_r为钟摆小球在非惯性坐标系中的相对加速度，单位m/s²；a_e为钟摆小球的牵连加速度，单位m/s²；a_c为钟摆小球的科氏加速度，单位m/s²。

动参照系既有平动又有转动时，钟摆小球的牵连加速度可表示为，

式(1.12)中，a_y是动系相对于静系的侧向沿y轴平动加速度，单位m/s²；α是动系的转动角加速度，单位rad/s²；R是钟摆小球在罐体坐标系中的位置矢量，单位m；ω是动系的转动角速度，单位rad/s。

动参照系的转动所引起的质点的科氏加速度可表示为，

式(1.13)中，v_r是钟摆小球在罐体坐标系中的相对速度，单位m/s。

利用式(1.11)～式(1.13)，可以获得钟摆小球在既有加速平动又有转动的非惯性坐标系中的绝对加速度为，

式(1.14)中，V是罐车前进速度，单位m/s；β为液罐车质心侧偏角，单位rad；r为液罐车横摆角速度，单位rad/s；e₂是液体货物质心沿整车坐标系X轴的坐标，单位m；φ为液罐车车身侧倾角，单位rad。

将钟摆小球的绝对加速度代入式(1.6)并消除变量F_l之后，结合式(1.10)，即可获得椭圆规钟摆模型在非惯性坐标系下的动力学方程为，

式(1.15)为椭圆规钟摆模型在罐体非惯性坐标系中的动力学方程，发生在液罐汽车非满载罐体内的液体侧向晃动可以通过式(1.15)予以描述，式(1.15)适用于描述圆柱或者椭圆柱罐体内的液体侧向晃动。

S2构建液罐汽车的侧向力平衡方程

如图3所示，车辆左转时，作用于液罐汽车上的侧向惯性力对应于图3中虚线，侧向外力对应于图3中实线。

根据图3，列出液罐汽车的侧向惯性力和侧向外力的平衡方程为，

m_ta_s+m_ua_u+m_fa_f+m_pa_pend＝2(F_f+F_r) (1.16)

式(1.16)中，m_t为液罐车空载时的簧上质量，单位kg；a_s为簧上质量沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；m_u为液罐汽车簧下质量，单位kg；a_u为簧下质量沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；a_f为静止液体质量沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；a_pend为钟摆小球沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；F_f为前轴轮胎侧偏力，单位N；F_r为后轴轮胎侧偏力，单位N。

式(1.16)中，液罐车空载时的簧上质量、簧下质量、静止液体质量以及椭圆规钟摆模型的摆球的侧向加速度分别为，

式(1.17)中，h_s为液罐汽车空载时簧上质心到侧倾轴的高度，单位m；c为液罐汽车装载货物后，簧上质心沿整车坐标系X轴的坐标，单位m；e为液罐汽车装载货物后，簧下质心沿整车坐标系X轴的坐标，单位m；H₁为静止液体质心到侧倾轴的高度，单位m。

将式(1.17)代入式(1.16)并整理后可得到，

式(1.18)中，H为钟摆小球到侧倾轴的高度，单位m。

式(1.18)为液罐汽车的侧向力平衡方程。

S3构建液罐汽车的横摆力矩平衡方程

建立在液罐汽车簧上质心即不含货物处的坐标系为x_s-y_s-z_s，假设液罐汽车簧上质量关于x_s轴左右对称，因而有I_xys＝I_yzs＝0；求解簧上质量关于x_s-y_s-z_s坐标系的角动量，并对该角动量求导，得到液罐汽车簧上质量关于其质心坐标系的惯性力矩为，

式(1.19)中，H_s为簧上质量关于其质心坐标系的角动量，单位kg.m²/s；I_xs为簧上质量绕x_s轴的转动惯量，单位kg.m²；I_xzs为簧上质量绕x_s轴和z_s轴的转动惯性积，单位kg.m²；I_zs为簧上质量绕z_s轴的转动惯量，单位kg.m²； 分别为x_s、y_s、z_s轴的方向向量。

建立在液罐汽车簧下质心处坐标系为x_u-yu-z_u，假设簧下质量关于x_u轴对称，不考虑簧下质量的高度，有I_xyu＝I_yzu＝I_xzu＝0；求解簧下质量关于x_u-y_u-z_u的角动量，并对该角动量求导，可获得簧下质量关于其质心坐标系的惯性力矩为，

式(1.20)中，H_u为簧下质量关于其质心坐标系的角动量，单位kg.m²/s；I_zu为簧下质量绕z_u轴的转动惯量，单位kg.m²；分别为y_u、z_u轴的方向向量。

建立在全部液体货物的质心处的坐标系为x_c-y_c-z_c；车辆运动状态发生变化时，液体发生晃动，液体自由液面的形状和货物质心随之发生变化；货物部分关于其质心坐标系的惯性张量并非固定值，而是车辆运行状态的函数；推导了液体货物关于其质心坐标系的惯性张量表达式，并研究了时变的货物惯性张量对罐车行驶稳定性的影响；研究结果表明液体货物惯性张量的改变对液罐车行驶稳定性的影响很小，因而使用自由液面水平时的液体货物惯性张量来表示所有状态下的货物惯性张量。

自由液面水平时，假设货物分布关于x_c和y_c轴对称，有I_xyc＝I_yzc＝I_xzc＝0；求解液体货物关于其质心坐标系的角动量，并对其角动量求导，得到液体货物关于其质心的惯性力矩为，

式(1.21)中，H_c为液体货物关于其质心坐标系的角动量，单位kg.m²/s；I_xc为货物质量绕x_c轴的转动惯量，单位kg.m²；I_zc为货物质量绕z_c轴的转动惯量，单位kg.m²；分别为x_c、y_c、z_c轴的方向向量。

如图4所示，作用于液罐汽车上的侧向惯性力对应于图4中间的虚直线箭头，横摆惯性力矩对应于图4中间的虚弧线箭头，侧向外力对应于图4右部的实直线箭头。

液罐汽车整车绕Z轴的惯性横摆力矩可利用式(1.19)、式(1.20)及式(1.21)中向分力矩获得；由此，根据图4，即可获得液罐车惯性横摆力矩和外力矩的平衡方程为，

式(1.22)中，l_f为液罐汽车装载货物后整车质心到前轴的距离，单位m；l_r为液罐汽车装载货物后整车质心到后轴的距离，单位m。

整理后，获得，

式(1.23)为液罐汽车的横摆力矩平衡方程。

S4构建液罐汽车的侧倾力矩平衡方程

如图5所示，作用于液罐汽车上的侧倾惯性力对应于图5中间的虚直线箭头，侧倾惯性力矩对应于图5中间的虚弧线箭头，侧倾外力对应于图5下部的实直线箭头。

利用式(1.19)、式(1.20)及式(1.21)中向分力矩获得液罐汽车整车绕X轴的侧倾力矩；由此，可获得罐车惯性侧倾力矩和外力矩的平衡方程为，

式(1.24)中，k_φ为悬架角刚度，单位N.m/rad；c_φ为悬架角阻尼，单位N.m.s/rad。

整理后，获得，

式(1.25)为液罐汽车的侧倾力矩平衡方程。

关于发明构思的说明：

研究发现，圆形和椭圆形是常见的液罐汽车罐体横截面形状。因此，本发明中所涉及的罐体是圆柱或者椭圆柱罐体，所构建的液罐汽车的整车动力学模型适用于安装圆柱或者椭圆柱罐体的液罐汽车。

以液罐汽车的横摆角速度r、质心侧偏角β和车身侧倾角φ，以及液体晃动等效椭圆规钟摆模型的摆角θ为自由度，构建液罐汽车整车四自由度动力学模型。

S1构建非满载罐体内的液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程步骤，目的是构建椭圆规钟摆模型在罐体非惯性参照系下的动力学方程。建模方法为先构建惯性坐标系下的椭圆规钟摆模型，并在该基础上构建非惯性坐标系下的椭圆规钟摆模型。

关于解决技术问题的说明：

本发明是构建基于液体晃动等效机械模型的液罐汽车整车动力学模型。发明中使用椭圆规钟摆模型描述圆形或椭圆形横截面罐体内的液体侧向晃动。所构建的液罐汽车动力学模型适用于车辆所装配的罐体为圆形或椭圆形横截面的罐体。

针对目前存在的第一个技术问题，建模时将液体货物作为液罐汽车的一部分，同车辆刚体部分作为一个整体来构建液罐车整车的动力学模型；液体晃动和车辆运动通过“罐体”这个桥梁联系在一起，建模过程中考虑了液体晃动和车辆运动的耦合关系。最终所构建的液罐汽车动力学模型是即包括车辆运动的自由度、有包括液体晃动自由度的动力学模型。

针对目前存在的第二个技术问题，推导了液体晃动等效机械模型在罐体非惯性参照系即既有加速平动又有绕轴转动的非惯性坐标系中的动力学模型，用此动力学模型描述非满载罐体内的液体货物的受力和运动情况，以及液体晃动是如何受到车辆运动的影响的。

针对目前存在的第三个技术问题，使用椭圆规钟摆模型描述非满载罐体内的液体晃动，模型构建时考虑了液体晃动的阻尼特性，能够表达液体晃动随时间的衰减特性。

液罐汽车整车动力学模型中相关参数的含义、单位如表1所示：

表1：液罐汽车整车动力学模型参数表

关于发明效果的说明：

为了验证本发明所构建的液罐汽车动力学模型的有效性和准确性，以一款常用的液罐汽车为例进行模型求解，观察液罐汽车的横摆角速度、质心侧偏角以及车身侧倾角的时域响应，对比液罐汽车与普通载货汽车在行驶稳定性上的差异。

所选取的液罐汽车，其车长为8.6m，罐体横截面面积为2.5 m²，罐内所承载液体货物的密度为1000 kg/m³。其它基本参数如表2所示：

表2：液罐汽车基本参数表

参数	取值	参数	取值	参数	取值
						m<sub>t</sub>	5240	h<sub>s</sub>	0.665	k<sub>φ</sub>	973250
m<sub>u</sub>	1565	L	5.8	c<sub>φ</sub>	58395
						I<sub>zs</sub>	60147	I<sub>xzs</sub>	3740	I<sub>xs</sub>	4669
I<sub>zu</sub>	700

研究发现液罐汽车的罐体横截面形状多为圆形或者椭圆形，罐内液体的充液比即液面高度与罐体高度的比值多为0.6～0.9。当罐体横截面为圆形、且充液比分别为0.6、0.7、0.8时，液罐汽车动力学模型的仿真参数如表3所示。利用表2和表3中的数据，可以仿真圆形横截面罐体的液罐汽车的动力学特性，考察载货量水平对液罐汽车行驶稳定性的影响。

表3：圆形横截面罐体的液罐汽车仿真参数表

参数	取值(充液比＝0.6)	取值(充液比＝0.7)	取值(充液比＝0.8)
				a<sub>p</sub>	0.5873	0.5093	0.4231
b<sub>p</sub>	0.5873	0.5093	0.4231
				m<sub>f</sub>	4928.6	6986.8	9389.3
m<sub>p</sub>	4156	3855.6	3047.2
				H<sub>1</sub>	1.8629	1.8702	1.8793
H	1.8921-0.5873*sin(θ)	1.8921-0.5093*sin(θ)	1.8921-0.4231*sin(θ)
				H<sub>f</sub>	1.8921	1.8921	1.8921
c	1.1777	1.2566	1.3157
				e	0.6559	0.7348	0.7939
e<sub>2</sub>	-0.7923	-0.7134	-0.6543
				l<sub>f</sub>	3.0577	3.1366	3.1957
l<sub>r</sub>	1.9423	1.8634	1.8043
				I<sub>zc</sub>	2048.2	2549.1	2964.4
I<sub>xc</sub>	27390	32740.4	37526.3

当液罐车的罐体容积相同、罐体横截面形状不同时，即横截面分别为圆形和椭圆形，用长短轴半径之比表示罐体形状的变化，考察三种罐体横截面形状，其长短轴之比分别为1、1.5和2时，罐内货物充液比为0.7的液罐汽车仿真参数如表4所示。利用表2和表4中的数据，可以仿真不同横截面罐体的液罐汽车的动力学特性，考察罐体形状对液罐汽车行驶稳定性的影响。

表4：拥有相同容积、不同罐体横截面形状的液罐汽车仿真参数表

利用本发明所提供的液罐汽车动力学模型，可以方便地考察液罐汽车的行驶稳定性，定量地分析液罐汽车与普通载货汽车在行驶稳定性上的差异。

如图6-图8所示，利用Matlab数值求解罐体横截面为圆形、罐内货物充液比为0.7、液体晃动的无量纲阻尼系数为0时的液罐汽车动力学模型，即利用表2和表4中的参数。与此同时，数值求解与液罐汽车具有相同基本参数和载货量的普通载货汽车动力学模型。两种车辆在行驶速度15m/s，车轮转角0.02rad角阶跃试验下的动力学响应。

通过仿真结果的对比可以知道，与普通载货汽车相比，液罐车的瞬态响应时间显著延长、动力学响应的超调量及其稳态值均高于普通载货汽车，尤其是其车身侧倾角；液罐车的侧倾稳定性要低于普通载货汽车。

在构建椭圆规钟摆的动力学模型时，考虑了液体晃动的阻尼系数所造成的振幅衰减。因此，本发明所构建的液罐汽车动力学模型可以方便地表征液体晃动的无量纲阻尼系数对车辆行驶稳定性的影响。

如图9-图11所示，利用Matlab数值求解罐体横截面为圆形、罐内货物充液比为0.7、液体晃动的无量纲阻尼系数分别为0，0.4时的液罐汽车动力学模型，即利用表2和表4中的参数。液罐车在行驶速度15m/s，零输入转向回正试验下的动力学响应。

仿真结果表明，增加液体晃动的无量纲阻尼系数，可以显著缩短液罐汽车的稳态时间。

本发明使用椭圆规钟摆描述非满载罐体内的液体晃动。在相同载质量的前提下，当罐体形状发生改变时，即仅限于罐体横截面是圆形或者椭圆形，椭圆规钟摆的参数值即发生变化。因此，利用本发明所构建的液罐汽车动力学模型，可以方便地表征罐体形状的变化对液罐汽车行驶稳定性的影响。

如图12-图14所示，当罐体横截面的长短轴之比分别为1、1.5和2时，即对应罐体形状为圆柱和椭圆柱，令罐体货物充液比为0.6，液体晃动的无量纲阻尼系数为0。利用Matlab数值求解三种不同罐体的液罐汽车动力学模型，即利用表2和表4中的参数。液罐车在行驶速度15m/s，车轮转角0.02rad角阶跃试验下的动力学响应。

三种不同形状罐体内的货物质量相等，且液罐车的行驶速度及车轮转角输入均相同。此时，液罐车的动力学响应却有着显著差异。在充液比为0.6的条件下，罐体长短轴之比为2的液罐汽车侧倾稳定性比圆柱罐体液罐汽车要差。

当罐体形状一定时，罐内货物充液比的变化会使得椭圆规钟摆的参数值发生变化。因此，利用本发明所提供的液罐汽车动力学模型，可以方便地考察装载水平的变化对液罐汽车行驶稳定性的影响。

如图15-图17所示，当罐体横截面形状为圆形，其充液比分别为0.6、0.7和0.8时，液罐车在行驶速度15m/s、车轮转角0.02rad的角阶跃试验下的动力学响应。

由仿真结果可知，在行驶速度15m/s、车轮转角0.02rad的角阶跃试验下，当罐内液体的充液比增加到0.8时，罐车则发生失稳，即车辆的动力学响应随时间快速增大并趋向于无穷。

用本发明所提供的液罐汽车动力学模型除了可以方便地考察液罐汽车行驶稳定性之外，还可以在该模型的基础上，针对液罐汽车易于发生侧倾事故的特征，设计罐车侧倾稳定性控制器，提高罐车侧倾稳定性能。

Claims (1)

1.一种液罐汽车流-固耦合系统的整车动力学模型的建模方法，其特征在于：所述整车动力学模型由非满载罐体内的液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程、液罐汽车的侧向力平衡方程、液罐汽车的横摆力矩平衡方程和液罐汽车的侧倾力矩平衡方程组成，所述整车动力学模型为四自由度动力学模型，所述四自由度为车辆的横摆角速度r、质心侧偏角β和车身侧倾角φ，以及液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的摆角θ，上述各方程的构建方法如下，

S1构建非满载罐体内的液体侧向晃动等效椭圆规钟摆模型的动力学方程

S101构建非满载罐体内液体侧向晃动的等效椭圆规钟摆模型

利用动力学等价原则，借助FLUENT仿真获得了椭圆规钟摆的短半轴尺寸的多项式拟合函数为，

b_p/b＝1.087+0.6999Δ-0.1407ζ-0.9291Δ²-1.178ζΔ+0.05495ζ²-0.03353Δ³+0.5404ζΔ²+0.1518ζ²Δ (1.1)

式(1.1)，b_p为椭圆规钟摆的短半轴尺寸，单位m；b为罐体的短轴半径，单位m；Δ为罐内液体货物的充液比，即液面高度与罐体高度的比值；ζ为罐体横截面的长短轴之比；

椭圆规钟摆的长半轴尺寸为，

a_p＝b_p×ζ (1.2)

式(1.2)中，a_p为椭圆规钟摆的长半轴尺寸，单位m；

椭圆规钟摆的摆球质量的多项式拟合函数为，

m_p/m＝0.7844-1.729Δ+0.3351ζ+1.156Δ²+0.7256ζΔ-0.1254ζ²-0.3219Δ³-0.9152ζΔ²+0.08043ζ²Δ (1.3)

式(1.3)中，m_p为椭圆规钟摆的摆球质量，单位kg；m为罐内液体货物的质量，单位kg；

由于摆球的质量并不等于液体货物的质量，因而部分液体货物未参与侧向冲击，将其定义为静止液体质量部分；静止液体质量的计算公式为，

m_f＝m-m_p (1.4)

式(1.4)中，m_f为静止液体的质量，单位kg；

静止液体质心到罐体最低点的高度为，

b_f＝(m×b_cg-m_p(b-b_p))/m_f (1.5)

式(1.5)中，b_f为静止液体质心到罐体最低点的高度，单位m；b_cg为液体货物的质心到罐体最低点的高度，单位m；

S102构建惯性坐标系下椭圆规钟摆模型的动力学方程

惯性坐标系下，当椭圆规钟摆的摆角任意时，作用在摆球上的力只有重力和摆线的拉力；利用牛二定律有，

式(1.6)中，为钟摆小球沿y轴侧向的加速度，单位m/s²；F_l为椭圆规钟摆的绳子拉力，单位N；θ为钟摆摆线与罐体坐标系的x_t轴的负半轴之间的夹角，单位rad；为钟摆小球沿z轴垂向的加速度，单位m/s²；g为重力加速度，单位m/s²；

摆角为θ时，钟摆小球在罐体坐标系中的位置为，

式(1.7)中，y为钟摆小球沿y轴的坐标，单位m；z为钟摆小球沿z轴的坐标，单位m；H_f为车辆静止时罐体中心到侧倾轴的高度，单位m；

此时，小球沿侧向和垂向的加速度分别为，

式(1.8)中，为钟摆小球的角速度，单位rad/s；为钟摆小球的角加速度，单位rad/s²；

将钟摆小球的加速度表达式(1.8)代入式(1.6)中并消除变量F_l之后，即可获得椭圆规钟摆模型在惯性坐标系下的动力学方程，

利用线性阻尼模型描述侧向液体晃动的阻尼特性，并利用拉格朗日方程将线性耗散元件添加到椭圆规钟摆模型的动力学方程(1.9)中，得到有阻尼耗散特性的椭圆规钟摆模型在惯性坐标下的动力学方程为，

式(1.10)中，η为液体侧向晃动的无量纲阻尼系数；

S103构建非惯性坐标系下椭圆规钟摆模型的动力学方程

椭圆规钟摆在非惯性坐标系下运动时，摆球的绝对加速度由相对加速度、牵连加速度和科氏加速度三部分组成，可表示为，

式(1.11)中，a_a为钟摆小球的绝对加速度，单位m/s²；a_r为钟摆小球在非惯性坐标系中的相对加速度，单位m/s²；a_e为钟摆小球的牵连加速度，单位m/s²；a_c为钟摆小球的科氏加速度，单位m/s²；

动参照系既有平动又有转动时，钟摆小球的牵连加速度可表示为，

式(1.12)中，a_y是动系相对于静系的侧向沿y轴平动加速度，单位m/s²；α是动系的转动角加速度，单位rad/s²；R是钟摆小球在罐体坐标系中的位置矢量，单位m；ω是动系的转动角速度，单位rad/s；

动参照系的转动所引起的质点的科氏加速度可表示为，

式(1.13)中，v_r是钟摆小球在罐体坐标系中的相对速度，单位m/s；

利用式(1.11)～式(1.13)，可以获得钟摆小球在既有加速平动又有转动的非惯性坐标系中的绝对加速度为，

式(1.14)中，V是罐车前进速度，单位m/s；β为液罐车质心侧偏角，单位rad；r为液罐车横摆角速度，单位rad/s；e₂是液体货物质心沿整车坐标系X轴的坐标，单位m；φ为液罐车车身侧倾角，单位rad；

将钟摆小球的绝对加速度代入式(1.6)并消除变量F_l之后，结合式(1.10)，即可获得椭圆规钟摆模型在非惯性坐标系下的动力学方程为，

式(1.15)为椭圆规钟摆模型在罐体非惯性坐标系中的动力学方程；

S2构建液罐汽车的侧向力平衡方程

列出液罐汽车的侧向惯性力和侧向外力的平衡方程为，

m_ta_s+m_ua_u+m_fa_f+m_pa_pend＝2(F_f+F_r) (1.16)

式(1.16)中，m_t为液罐车空载时的簧上质量，单位kg；a_s为簧上质量沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；m_u为液罐汽车簧下质量，单位kg；a_u为簧下质量沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；a_f为静止液体质量沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；a_pend为钟摆小球沿Y轴侧向的加速度，单位m/s²；F_r为前轴轮胎侧偏力，单位N；F_r为后轴轮胎侧偏力，单位N；

式(1.16)中，液罐车空载时的簧上质量、簧下质量、静止液体质量以及椭圆规钟摆模型的摆球的侧向加速度分别为，

式(1.17)中，h_s为液罐汽车空载时簧上质心到侧倾轴的高度，单位m；c为液罐汽车装载货物后，簧上质心沿整车坐标系X轴的坐标，单位m；e为液罐汽车装载货物后，簧下质心沿整车坐标系X轴的坐标，单位m；H₁为静止液体质心到侧倾轴的高度，单位m；

将式(1.17)代入式(1.16)并整理后可得到，

式(1.18)中，H为钟摆小球到侧倾轴的高度，单位m；

式(1.18)为液罐汽车的侧向力平衡方程；

S3构建液罐汽车的横摆力矩平衡方程

建立在液罐汽车簧上质心即不含货物处的坐标系为x_s-y_s-z_s，假设液罐汽车簧上质量关于x_s轴左右对称，因而有I_xys＝I_yzs＝0；求解簧上质量关于x_s-y_s-z_s坐标系的角动量，并对该角动量求导，得到液罐汽车簧上质量关于其质心坐标系的惯性力矩为，

式(1.19)中，H_s为簧上质量关于其质心坐标系的角动量，单位kg.m²/s；I_xs为簧上质量绕x_s轴的转动惯量，单位kg.m²；I_xzs为簧上质量绕x_s轴和z_s轴的转动惯性积，单位kg.m²；I_zs为簧上质量绕z_s轴的转动惯量，单位kg.m²； 分别为x_s、y_s、z_s轴的方向向量；

建立在液罐汽车簧下质心处坐标系为x_u-y_u-z_u，假设簧下质量关于x_u轴对称，不考虑簧下质量的高度，有I_xyu＝I_yzu＝I_xzu＝0；求解簧下质量关于x_u-y_u-z_u的角动量，并对该角动量求导，可获得簧下质量关于其质心坐标系的惯性力矩为，

式(1.20)中，H_u为簧下质量关于其质心坐标系的角动量，单位kg.m²/s；I_zu为簧下质量绕z_u轴的转动惯量，单位kg.m²；分别为y_u、z_u轴的方向向量；

建立在全部液体货物的质心处的坐标系为x_c-y_c-z_c；自由液面水平时，假设货物分布关于x_c和y_c轴对称，有I_xyc＝I_yzc＝I_xzc＝0；求解液体货物关于其质心坐标系的角动量，并对其角动量求导，得到液体货物关于其质心的惯性力矩为，

式(1.21)中，H_c为液体货物关于其质心坐标系的角动量，单位kg.m²/s；I_xc为货物质量绕x_c轴的转动惯量，单位kg.m²；I_zc为货物质量绕z_c轴的转动惯量，单位kg.m²；分别为x_c、y_c、z_c轴的方向向量；

液罐汽车整车绕Z轴的惯性横摆力矩可利用式(1.19)、式(1.20)及式(1.21)由向分力矩获得；由此，即可获得液罐车惯性横摆力矩和外力矩的平衡方程为，

式(1.22)中，l_f为液罐汽车装载货物后整车质心到前轴的距离，单位m；l_r为液罐汽车装载货物后整车质心到后轴的距离，单位m；

整理后，获得，

式(1.23)为液罐汽车的横摆力矩平衡方程；

S4构建液罐汽车的侧倾力矩平衡方程

利用式(1.19)、式(1.20)及式(1.21)中向分力矩获得液罐汽车整车绕X轴的侧倾力矩；由此，可获得罐车惯性侧倾力矩和外力矩的平衡方程为，

式(1.24)中，k_φ为悬架角刚度，单位N.m/rad；％为悬架角阻尼，单位N.m.s/rad；

整理后，获得，

式(1.25)为液罐汽车的侧倾力矩平衡方程。