CN109001802B - 基于Hankel张量分解的地震信号重构方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，其包括构造Hankel化的目标函数，将Hankel化的目标函数转换为矩阵补全目标函数，采用交替最小化方法轮换求解。本发明通过引入低秩张量分解，将Hankel构造和低秩张量有效的结合起来，解决了仅仅依靠张量低秩分解进行正则化，对数据的低秩性要求过高的问题；同时，通过低秩张量分解的方式，避免了求张量奇异值分解过程，求解速度得到了很大提升。
Description
技术领域
本发明地震数据处理技术领域，具体涉及一种基于Hankel张量分解的地震信号重构方法。
背景技术
随着步入21世纪，全球经济进入一个新的发展期，各行各业对能源的需求日益强烈，然而新能源并没有能够替代现在石油、天然气在能源体系的核心地位。伴随着全球经济高速发展，所有国家都对石油、天然气严重依赖，其需求日益增加，国内对石油天然气这种关系民生的资源的消耗更是达到上亿吨的数量。
虽然我国的国土面积大，但是相对于中东而言，我国并不是处于石油带上，只有西藏的部分地区在全球的石泊带的尾巴上，这就造成我国可供开采的石油天然气、页岩气不足:随着不断的开采，我们引以为傲的大庆油田的石泊储量也只能使用几十年。在对能源的强烈需求催使下，我们必须加大对石油、天然气的勘探力度，对潜在的薄层中的油气资源需要倾注更多的力量。尤其随着我国石油勘探在国家的中西部地区进行，而这些地方往往拥有复杂的地表环境，石泊在地下岩层中埋藏较深，因为地壳活动的影响其分布并不可能是一大块区域，而是一片一片，造成勘测难度极大。经济成本也会相应的增加，同时勘探中存在的风险也是难以想象的:相对较深的石油存储位置使得勘探数据的采集出现一定的变化，不同的岩层结构让地震数据分析人员和地震资料解释人员花费更多的时间，需要运用不同的技术方法来进行合理的解释处理。
在野外地震采集过程中，高山的阻挡、河流的阻碍或是湖泊的分布使得检波器的放置变得十分困难:在城市和村庄附近，建筑物的存在也让我们很难在相应的位置放置接收装置；同时由于发射接收设备的损耗使一些地方采集不到地下的信息，造成数据的不规则分布。
另外资金支持力度并不一定十分充足，考虑到采集和收益之间的平衡，在采集地震数据的过程中，不可能均采用高密度的采集方式，只能是有的地方布置高密度的采集装置，有的地方仅仅布置少量的检波器。使得地震数据沿空间方向通常是不规则或是稀疏分布的。在地震数据预处理阶段，由于剔除废道等因素也会引起地震数据的不规则分布。不规则地震数据(即缺失地震数据)不仅会导致后续处理产生噪声而且会对多道处理技术产生不良影响，如波动方程偏移，自由表面多次波消除和时移地震可重复性处理等。
解决上述问题的主要方法是地震数据重构，即通过一定的策略从缺失地震数据中得到完整的地震数据，通过地震数据重构，恢复缺失的地震数据。
缺失地震数据重构是地震数据预处理的重要方面，为后续的反演问题提供了完整的数据支持，可以获取更加完善的地下地质结构信息，为复杂地区勘探开发提供合理有效的指导和强有力的技术支持。因此，对不规则地震数据进行重构就显得尤为重要。
由于经济条件的限制，地形的影响和坏道等因素，采集的数据在空间上往往不满足采样定理，而这样的数据会严重影响后续的处理质量，这给地震解释人员带来较大的难度，影响地下隐蔽油气的勘探开发。因此国内外学者提出了大量的算法用于重构缺失的地震数据。而根据重构算法处理地震数据的基本维度差异，地震数据重建问题可以划分为两大类:二维数据重构算法和高维数据重构算法。这些技术中，我们的观测数据为带缺失数据的矩阵或高维张量，然后在对完整数据的低秩性假设情况下，对这些缺失值进行重构。
在早期的地震数据重构算法研究中，绝大多数算法都是基于二维矩阵的方式进行的处理。二维数据重构算法一定程度上可以不错的重构出缺失的地震道信息，但地震数据是一个天然的高维体，二维的方法从本质上不能很好的利用地震数据更高维的先验信息，所以基于高维张量的数据重构算法在近年来得到了较大的发展。下面将简要地综述国内外学者关于地震数据重构方面所做出的努力与贡献，在阐述地震数据重构的发展历程的同时，归纳分类了目前己有的解决策略。
二维数据重构算法，通常是将高维地震数据拆分为多个二维矩阵或者重组嵌入到一个大的工维矩阵中，在这个矩阵中，真正的无噪、完整信号被认为是低秩的。通过迭代门限法和矩阵奇异值的稀疏增强约束矩阵低秩性，但是这种算法需要大量的高代价矩阵奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)运算。该算法的其他变体通过矩阵分解的方式来约束矩阵的低秩性。或将SVD应用到原始矩阵的一个随机子集上，从而避免了计算SVD的代价。
近年来，地震信号重构的方法利用了张量秩最小化的多线性代数方法。与矩阵秩定义唯一不同的是，对于三维或更高阶张量，秩很大程度上取决于张量因子分解模型和秩的惩罚项的选择，不同的分解模型，构建的重构算法也有所不同。常见的张量分解模型有如下几种：CP分解、HOSVD分解和t-SVD分解:基于这些模型的数据重构算法也有着广泛的研究。
由于地下岩层结构变化的连续性，叠后地震数据体的相邻道之间则具有明显的相关性，同时地震体的上下层位也具有较强的相似性。所以对于三维叠后地震数据体，在时间和空间上都具有明显的冗余性，从而使得对于缺失地震数据，可以通过特定的重构算法进行数据恢复。而且数据体的冗余性越强，即低秩性越好，那么整个数据的可恢复性也越好。当数据体的冗余性足够好的情况下，数据缺失率即便超过90％也能通过特定算法高精度的重构出来。对于地震数据重构这一问题，现有的算法太多都是通过低秩性正则化约束进行解决。比如平行矩阵因子分解(Parallel Matrix Factorization，PMF)通过将高维的地震数据体进行拆分重组成矩阵形式，然后再利用低秩矩阵分解的方式进行低秩性约束实现数据重构g TNN则通过引入一种新的张量分解模型，t-SVD来直接对高维地震数据进行分解，并利用核范数实现数据的低秩约束。对于PMF算法，由于其张量拆分重组的方式，一定程度上忽略了高维数据的空间相关性和时间连续性，会影响到数据重构的精度。而TNN直接在高维数据体上进行重构，合理的运用了数据的高维特性。但是由于高维数据维度的增加，一般低秩性都会差于二维数据。如果数据本身低秩性不是非常好的情况下，那么TNN的恢复精度也会受到很大的影响，而且由于TNN的核心基于张量奇异值分解算法，这导致其算法的计算代价非常高。
发明内容
本发明的发明目的是：为了解决现有技术中存在的以上问题，本发明提出了一种基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，提升求解速度，并对缺失数据高精度重构。
本发明的技术方案是：一种基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，包括以下步骤：
A、对缺失叠后地震数据进行Hankel重构，构造Hankel化的目标函数；
B、将Hankel化的目标函数分解为k个沿时间维度的独立子问题，再将每一个子问题降解为矩阵补全目标函数；
C、采用交替最小化方法对步骤B中目标函数进行轮换求解，得到最优拟合张量。
进一步地，所述步骤A中，对缺失叠后地震数据进行Hankel重构，具体为：
通过低秩张量因子分解将缺失叠后地震数据分解为两个低秩张量的张量乘积，再将时域的张量乘积转换为频域的前切片矩阵乘积，并进行Hankel重构。
进一步地，所述步骤A中，Hankel化的目标函数表示为
其中，u和v为缺失叠后地震数据进行低秩分解后的低秩张量，和分别为u和v的傅里叶域形式，y为观测数据，为y的傅里叶域形式，和表示实数域，PΩ为在观测集Ω上的投影操作符，⊙为以元素为单位的乘积，为前切片乘积，||·||F为Frobenius范数，H(·)为张量Hankel化操作符。
进一步地，所述步骤B中，矩阵补全目标函数表示为
其中，U和V为低秩因子矩阵，Y为观测数据矩阵。
进一步地，所述步骤B中，在数据无噪声的情况下，对每个矩阵补全的子问题，通过引入矩阵Z将采样操作从目标函数中剥离，然后进行最小二乘求解，得到两个低秩因子矩阵U、V的解，再根据低秩因子矩阵U、V更新矩阵Z。
进一步地，引入矩阵Z将矩阵补全目标函数转换为
其中，Zij为更新矩阵。
进一步地，对矩阵Z的矩阵补全目标函数进行最小二乘求解，得到两个低秩因子矩阵U、V的解，再根据低秩因子矩阵U、V更新矩阵Z，表示为
Ul+1←ZlVl +≡ZlVl Τ(VlVl Τ)+
Zl+1←Ul+1Vl+1+PΩ(Y-Ul+1Vl+1)
其中，Vl +表示第l次迭代时对矩阵V求Moore-Penrose伪逆，表示第l+1次迭代时对矩阵U求Moore-Penrose伪逆，(·)Τ表示矩阵转置。
进一步地，所述步骤B中，在数据有噪声的情况下，在傅里叶域，对每一个矩阵补全的子问题，通过将矩阵元素重排，重新构造成向量形式的最小二乘求解，直接求解出每一个元素的值。
进一步地，所述步骤B中，将子问题V和子问题U分别转化为
本发明的有益效果是：本发明通过引入低秩张量分解，将Hankel构造和低秩张量有效的结合起来，解决了仅仅依靠张量低秩分解进行正则化，对数据的低秩性要求过高的问题；与通常的张量核范数正则化算法相比，通过低秩张量分解的方式，避免了求张量奇异值分解过程，求解速度得到了很大提升；同时，本发明在数据满足较好低秩性的情况下，重构均方误差也提高了4～5个数量级。
附图说明
图1是本发明的基于Hankel张量分解的地震信号重构方法的流程示意图；
图2是本发明实施例中重构误差随采样率变化示意图；
图3是本发明实施例中重构误差随迭代次数变化示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
如图1所示，为本发明的基于Hankel张量分解的地震信号重构方法的流程示意图；一种基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，包括以下步骤：
A、对缺失叠后地震数据进行Hankel重构，构造Hankel化的目标函数；
B、将Hankel化的目标函数分解为k个沿时间维度的独立子问题，再将每一个子问题降解为矩阵补全目标函数；
C、采用交替最小化方法对步骤B中目标函数进行轮换求解，得到最优拟合张量。
欠采样地震数据重构即基于不完整的、不规则的地震数据通过求解优化方法来填充缺失部分的地震数据。在三维张量情况下，完整无噪数据为x，则观测数据y可表示为
y＝PΩ(x)+N
其中，为实数域，m,n,k为三维张量的张量维度，为高斯噪声，令[n]表示集合{1,2,...n}，PΩ(·)表示在观测集上的投影操作符，即
当(i,j,k)∈Ω时，PΩ(x)的第(i,j,k)个元素等于xijk，否则为0。这里针对地震数据缺失特征，观测集Ω为tubal-采样集合，即如果则则PΩ可认为是一个tubal-采样张量。
由于完整无噪数据x具有低秩性，在已知观测数据y的情况下，可以通过低秩约束，建立目标函数来重构出完整数据，表示为
其中，Rank(·)表示张量的秩，||PΩ(x)-y||F为数据拟合项，用范数距离的方式来衡量完整数据x与观测数据y之间的拟合程度；ε是一个估计噪声强度的常理，通过调整ε的大小，可以不同程度上压制重构数据的噪声；||·||F为Frobenious范数。由于设定噪声项N符合高斯分布，因此采用最小二乘项去除噪声。
在本发明的一个可选实施例中，上述步骤A中，通过低秩张量因子分解将完整无噪数据分解为两个低秩张量的张量乘积(t-product)进行低秩性约束：x＝u*v，其中r＜＜min(m,n)为张量x的秩；基于低秩张量分解，将目标函数转化为
根据张量乘积的特性，将时域的张量乘积转换为频域的前切片矩阵乘积。因此将上式沿时间方向进行快速傅里叶变换，得到
其中，和分别为u和v的傅里叶域形式，即为y的傅里叶域形式，⊙为以元素为单位的乘积，为前切片乘积。
由于低秩张量分解算法本身对于所分解的张量低秩性有着严格的要求，需要原始数据张量具有很好的低秩性的情况下，才能够进行精确的恢复。而对于绝大多数叠后地震数据集，由于地下结构的复杂性或者噪声的影响，数据本身不一定能满足绝对低秩，从而影响到数据的恢复精度。为了解决这一问题，本发明采用Hankel构造方法，对原始数据张量进行Hankel构造，从而提高数据体低秩性，扩大目标函数的数据适用范围。
Hankel化的目标函数表示为
求得r′＜＜min(m′,n′)，使得其中H(·)为张量Hankel化操作符，其逆操作符表示为H-1(·)。
在本发明的一个可选实施例中，上述步骤B中，由于在叠后地震数据中，数据是以道为单位缺失的，即tubal-采样形式缺失的，因此本发明将Hankel化的目标函数分解为k个沿时间维度的独立子问题，表示为
其中x(k)表示张量x沿着时间维度的第k个切片，即x(k)＝x(:,:,k)；上述表示为矩阵形式，将每一个子问题降解为矩阵补全的问题，得到矩阵补全目标函数表示为
其中，U和V为低秩因子矩阵，Y为观测数据矩阵。本发明中相同的参数字符，大写表示矩阵数据，小写表示向量化后的数据。
在数据无噪声的情况下，对每个矩阵补全的子问题，通过引入的变量矩阵Z将采样操作从目标函数中剥离，引入矩阵Z将矩阵补全目标函数转换为
其中，Zij为更新矩阵。
然后对矩阵Z的矩阵补全目标函数进行最小二乘求解，得到两个低秩因子矩阵U、V的解，再根据低秩因子矩阵U、V更新矩阵Z，表示为
Ul+1←ZlVl +≡ZlVl Τ(VlVl Τ)+
Zl+1←Ul+1Vl+1+PΩ(Y-Ul+1Vl+1)
其中，Vl +表示第l次迭代时对矩阵V求Moore-Penrose伪逆，表示第l+1次迭代时对矩阵U求Moore-Penrose伪逆，(·)Τ表示矩阵转置。
在数据有噪声的情况下，在傅里叶域，对每一个矩阵补全的子问题，将子问题V和子问题U分别转化为
通过将矩阵元素重排，重新构造成向量形式的最小二乘求解，直接求解出每一个元素的值。以子问题V为例，首先对其目标函数中各个变量进行转化，对和V进行列向量化，表示为
yΤ＝[Y(:,1)Τ,Y(:,2)Τ...Y(:,n)Τ]
vΤ＝[V(:,1)Τ,V(:,2)Τ...V(:,n)Τ]
对低秩矩阵U进行块对角化
对投影矩阵PΩ的每一列进行对角化，然后组成一个大对角矩阵Pd，表示为
将子问题V的目标函数转为最小二乘形式，表示为
通过最小二乘法求解得到
v＝((PdUbd)Τ(PdUbd))-1(PdUbd)Τy
将向量v进行反向矩阵化求得V。
本发明针对有噪和无噪数据分别提出了不同的求解方法，使得无噪情况下，既能满足快速求解，又可以高精度重构出缺失数据；而在有噪情况下，损失了一定的求解效率来满足数据的降噪重构；从而可以根据不同的需求调整恢复策略，达到理想的重构效果。
在本发明的一个可选实施例中，上述步骤C中，本发明采用交替最小化算法，将低秩目标矩阵以x＝uv的双线性形式表示；通过对步骤B中目标函数进行轮换求解，在满足秩约束的情况下，得到最优拟合张量u和v；根据最优拟合张量u和v进行重构得到完整无噪数据，表示为
x＝H-1(u*v)。
本发明利用Hankel变换提升地震张量的低tubal-秩特性，再利用低秩张量分解来对Hankel化后的张量进行拟合。在整个数据缺失率区间，恢复精度都远高于同类算法；并且在采样率40％时，恢复误差的相对平方误差CRelative Squared Error，RSE)就可达到le-l0次方数量级，增大了可处理的数据缺失率范围，提高了处理叠后地震数据的鲁棒性和恢复精度；在数据有噪的情况下，可以有效填充数据的同时，还能去除一定程度的噪声，增强重构数据的信噪比。
如图2所示，为本发明实施例中重构误差随采样率变化示意图，由这些曲线可以看出，本发明(NHAM)的重构性能非常突出。在整个采样率范围内，本发明的重构误差曲线都在其他算法曲线之下。而且即使只有10％采样数据情况下，也可以得到相对不错的重构精度。随着采样率的增加，发明的重建误差迅速减小，并在40％采样率时，发明的恢复精度便可达到le-lQ数量级。由于本发明实现中，收敛门限设置为le-l0，所以整个曲线后半段都在此精度收敛。与TNN和AM相比，本发明的恢复精度在整个采样范围内部高出他们几个数量级。
如图3所示，为本发明实施例中重构误差随迭代次数变化示意图。对于算法的收敛速度，本发明(NHAM)将采样率设置为70％，收敛误差RSE设置为5e-3。然后评估这四个算法的收敛速度与迭代次数的关系。本发明在第9次迭代便迅速收敛，PMF在第17次迭代趋于收敛，而TNN与AM算法则收敛速度相对缓慢。整体说来，本发明的收敛速度明显优于另外三种算法。
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。
Claims (8)
1.一种基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，其特征在于，包括以下步骤：
A、对缺失叠后地震数据进行Hankel重构，构造Hankel化的目标函数，表示为
其中，u和v为缺失叠后地震数据进行低秩分解后的低秩张量，和分别为u和v的傅里叶域形式，y为观测数据，为y的傅里叶域形式，和表示实数域，PΩ为在观测集Ω上的投影操作符，⊙为以元素为单位的乘积，为前切片乘积，||·||F为Frobenius范数，H(·)为张量Hankel化操作符；
B、将Hankel化的目标函数分解为k个沿时间维度的独立子问题，再将每一个子问题降解为矩阵补全目标函数；
C、采用交替最小化方法对步骤B中目标函数进行轮换求解，得到最优拟合张量。
2.如权利要求1所述的基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，其特征在于，所述步骤A中，对缺失叠后地震数据进行Hankel重构，具体为：
通过低秩张量因子分解将缺失叠后地震数据分解为两个低秩张量的张量乘积，再将时域的张量乘积转换为频域的前切片矩阵乘积，并进行Hankel重构。
3.如权利要求2所述的基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，其特征在于，所述步骤B中，矩阵补全目标函数表示为
其中，U和V为低秩因子矩阵，Y为观测数据矩阵。
4.如权利要求3所述的基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，其特征在于，所述步骤B中，在数据无噪声的情况下，对每个矩阵补全的子问题，通过引入矩阵Z将采样操作从目标函数中剥离，然后进行最小二乘求解，得到两个低秩因子矩阵U、V的解，再根据低秩因子矩阵U、V更新矩阵Z。
5.如权利要求4所述的基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，其特征在于，引入矩阵Z将矩阵补全目标函数转换为
其中，Zij为更新矩阵。
6.如权利要求5所述的基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，其特征在于，对矩阵Z的矩阵补全目标函数进行最小二乘求解，得到两个低秩因子矩阵U、V的解，再根据低秩因子矩阵U、V更新矩阵Z，表示为
其中，Vl +表示第l次迭代时对矩阵V求Moore-Penrose伪逆，表示第l+1次迭代时对矩阵U求Moore-Penrose伪逆，(·)Τ表示矩阵转置。
7.如权利要求6所述的基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，其特征在于，所述步骤B中，在数据有噪声的情况下，在傅里叶域，对每一个矩阵补全的子问题，通过将矩阵元素重排，重新构造成向量形式的最小二乘求解，直接求解出每一个元素的值。
8.如权利要求7所述的基于Hankel张量分解的地震信号重构方法，其特征在于，所述步骤B中，将子问题V和子问题U分别转化为
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