CN108920766B - 一种基于基函数表示和稀疏正则化的桥梁影响线识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于基函数表示和稀疏正则化的桥梁影响线识别方法，方法包括：(1)构造影响线识别的数学模型；(2)建立影响线的基函数表示形式；(3)基于曲率的影响线节点自适应优化；(4)基于稀疏正则化的影响线识别。本发明方法利用移动车辆与其引起桥梁响应的实测信息，结合基函数表示与稀疏正则化，可有效改善影响线识别对于测量噪声等误差过于敏感的不足，识别精度较高，具备后续工程应用的良好潜力；相比传统方法，该方法可直接基于实测的桥梁动响应数据识别影响线，简单且快捷，可用于桥梁关键指标的实时监测；并可有效抑制影响线解中不符合物理意义的波动，提高了影响线识别的精度。

Description

一种基于基函数表示和稀疏正则化的桥梁影响线识别方法

技术领域

本发明涉及结构安全性检测领域，具体涉及一种基于基函数表示和稀疏正则化的桥梁影响线识别方法。

背景技术

交通运输行业最新统计数据显示，我国有80.53万座公路桥，其中特大桥梁4257座，大桥8.62万座，中小桥梁71.94万座。桥梁影响线是桥梁结构的固有特性，表示单位力作用在桥梁不同位置引起的结构内力变化或响应。桥梁影响线已成功应用于动态称重、模型修正、损伤识别与状态评估等领域，但实现这些应用的前提是桥梁影响线能够被快速准确地获取。目前，获取桥梁影响线可以通过静态测试或动态测试。静态测试方法，例如通过逐点静态加载的递归试验法，可提供每个加载点的精确响应，但加载点个数决定了影响线精度，且试验费时费力，限制了该方法的实际工程应用，研究也较少。基于实测的移动车辆和同步的桥梁响应信息，通过矩阵求解识别桥梁影响线，是一种动态测试的方法。该类方法对正常交通影响小，可适用于运营桥梁安全性的实时监测，故得到了广泛关注。

近些年来，国内外已经有多个课题组陆续开展基于动态测试识别桥梁影响线的研究。由于直接识别影响线的连续曲线难度较大，通常在识别算法中引入假定加以简化。其中一种简化，是将其转为识别影响线上对应不同离散点位置的影响线因子，通常这些因子被假定成不相关或弱相关，故由识别的影响线因子所组成的影响线常表现出较大的波动性；另外一类简化方法是先假定待识别影响线的函数形式，通过识别函数系数，进而识别影响线。该方法可识别纵向均匀刚度、边界条件较简单的桥梁影响线，求得的影响线较光滑，更符合影响线的物理意义。但是，鉴于实际桥梁普遍存在纵向刚度不均匀、边界条件复杂的情况，导致不同类型或输出位置的桥梁影响线形状各异，同一条影响线不同区间的曲线特性(如斜率、曲率)也可能差异显著。另外，结构受损可引起局部刚度改变，新状态下的影响线形状也很可能显著不同于其初始状态。考虑到影响线形状多样且识别前未知其确切形状，故通常难以用某一种确定的曲线函数形式表示影响线。因此，构造一种能反映影响线多样化形状的曲线函数表示形式，是需要妥善解决的关键问题。

通过已有的影响线识别研究，发现采用动态测试方法获取的实测响应不可避免受到行驶车辆的动力效应以及其他动荷载的干扰，无形中增加了影响线精确识别的难度。避免影响线识别对于测量噪声等干扰因素过于敏感，妥善处理反问题求解的不适定性是另外一个关键问题。在数学上，可以用变换拓扑度量、增加信息等方法改善参数识别反问题的不适定性。稀疏正则化(或稀疏约束正则化)是近年来提出的处理不适定问题的新方法。该方法采用l₁-范数作为罚项，要求解满足稀疏性，即空间域内解的序列大部分为零(近似为零)，或者解在空间域内的正交基或框架下具有稀疏的表示。得益于Candes和Donoho提出的压缩感知理论，科学地解释了基于稀疏正则化可妥善处理不适定问题的原因。该理论证明了若某个变换域中的信号具有稀疏性，只需对信号进行少量采样，通过对l₁-范数极小化的优化求解，便可高概率地重建原信号。l₁-范数的极小化可通过内点法、迭代收缩阀值算法、分离近似法优化求解。目前，已有学者应用稀疏正则化方法解决土木工程及工程力学领域的难点问题，如损伤识别、荷载识别、数据修复等。

理想的影响线识别方法应具备适用面广、精度高、稳定性好且简单易行等特点，以此为目标，亟需开展更加深入细致的研究。提出一套基于稀疏正则化的影响线精确识别方法，至少需要考虑并解决以下问题。1)影响线解通常不满足稀疏条件，为此需要建立影响线的稀疏表达形式及基于稀疏正则化的求解方法。2)影响线节点的设置很大程度决定了影响线识别的准确性。布置太稀疏可能导致真实存在的曲线峰值被低估，太密集又可能导致矩阵严重病态以至于无法求解。3)不同类型/位置的影响线形状各异，同一条影响线内不同区域的曲线特性(如斜率、曲率)也可能差异明显，不加区分地简单采用均匀节点布置方案，将导致影响线无法精确识别。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于基函数表示和稀疏正则化的桥梁影响线识别方法，通过移动车辆与其引起桥梁响应的同步实测信号，准确、简便、高效且高精度地识别桥梁影响线。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

本发明一种基于基函数表示和稀疏正则化的桥梁影响线识别方法，首先建立影响线的基函数表示形式，并与冗余的B样条基函数字典相结合，以确保影响线解的稀疏性；然后提出基于影响线曲率的影响线节点自适应优化方法，可根据影响线形状自动调整节点的疏密程度；通过稀疏表示、基函数构造、节点自适应和优化求解，提出基于稀疏正则化的影响线识别方法及其实现步骤，具体方法包括：

步骤S1，构造影响线识别的数学模型

假设车辆沿固定车道朝某一方向在桥上行驶，各车轴对桥的影响相互独立，则移动车辆所引起的响应可近似为各轴引起响应的叠加：

其中，R_s(x)表示车辆作用在顺桥向位置x时，引起的所关心位置的桥梁响应，x为首个车轴所在位置；Φ(x)表示单位力在对应位置的影响线函数；N表示车辆的轴数，A(i)表示车辆第i个轴的轴重，D(i)表示车辆第i个轴与首轴的间距。为了方便求解，将连续影响线的识别转换成识别影响线上离散节点的影响线因子，则可将连续函数R_s(x)和Φ(x)分别离散成向量R_s和Φ，上式可写成矩阵形式：

R_s＝LΦ

即

其中，R_s表示桥梁某测点的准静态响应向量，R_s(1),R_s(2),…,R_s(p)表示车辆位于桥梁不同位置的准静态响应，p是响应测量的采样数；L是根据车辆轴重A(i)、轴间距D(i)信息和车辆实时位置信息建立的荷载矩阵；Φ表示由连续影响线离散出影响线因子组成的向量，φ(1),φ(2),…,φ(q)是对应不同单位力作用位置的影响线因子，q是影响线离散后的影响线因子个数；

车辆快速通过桥梁的振动响应中，除了可通过影响线重构的移动荷载准静态响应，还包括桥梁自振以及动荷载引起的其他响应。因此，实测响应R_m可以表示成两部分的叠加：

R_m＝LΦ+η

其中，η表示实测响应误差项，特指实测响应去除移动荷载准静态响应(可通过影响线构造)的剩余部分。若基于测量信息构造上式的R_m和L，那么影响线向量Φ的识别可视为一类反问题，相比于实测响应峰值，误差项η的幅值较小，却足以导致矩阵求解的病态化，使影响线识别解严重偏离真实解；

荷载输入和响应输出都可通过的实测信息构造并建立。通过R_m＝LΦ+η，若已知荷载输入L(控制模式下的车辆移动)与响应输出R_m(相应时段的桥梁响应)，那么影响线向量Φ的识别可视为一类反问题。根据车辆的瞬时位置与运行车速，对实测动力响应时程进行时空坐标转化，获得与空间位置对应的桥梁响应向量。基于移动车辆的实测信息(含轴重、轴间距、运行轨迹等)，确定车轴荷载的大小与实时位置，构造荷载矩阵。基于荷载矩阵和响应向量，可建立影响线识别的数学模型，并由下式计算影响线向量Φ的最小二乘解：

Φ＝L⁺R_m＝(L^TL)^-1L^TR_m

其中，荷载矩阵L通常不是方阵，L⁺＝(L^TL)^-1L^T表示荷载矩阵的虚拟逆；

从桥梁影响线的物理意义上看，实际桥梁的挠度或应力影响线应相对光滑。即便桥梁受到了轻微或中等程度的损伤，内力重分布作用也会将损伤效应弥散到周围构件，使得影响线曲线仍然会表现得较为光滑。但是，通过Φ＝L⁺R_m＝(L^TL)^-1L^TR_m识别的影响线解常包含许多不同幅值的周期性波动。归其原因，主要是该模型假定的待识别影响线因子间彼此不相关或弱相关。事实上，相邻或距离较近的两个影响线因子具有显著相关性。因此，后续通过基函数表示法建立影响线曲线的基函数表示形式以解决上述问题；

步骤S2，建立影响线的基函数表示形式

引入基函数扩展法用于表示影响线，将影响线视为一系列三次B样条基函数的线性组合：

Φ＝Bw

其中，B＝[B_0,3 … B_i,3 … B_m,3]表示三次B样条基函数矩阵，B_i,3是第i个基函数；w＝[w₀ … w_i … w_m]^T表示基函数权重系数向量，w_i是第i个基函数权重系数；

通过上式可以看出，影响线可视为m+1条三次B样条基函数的线性组合；采用Cox-deBoor递推公式构造三次B样条基函数，主要过程包括：设置节点向量、定义0次基函数、推导1次基函数、推导2次基函数及推导3次基函数；

本发明采用准均匀节点向量构造B样条基函数。不同于均匀节点，准均匀节点向量内的节点值在两端具有重复度k+1，更有效地利用了参数空间，其定义如下：

Ξ＝{ξ₀ ξ₁ … ξ_m+k+1}

ξ_i＝0 0≤i≤k

ξ_i＝i-k k+1≤i≤m

ξ_i＝m-k+1 m+1≤i≤m+k+1

其中，ξ_i是节点，Ξ＝{ξ₀ ξ₁ … ξ_m+k+1}是由非递减参数构成的节点向量，即ξ_i≤ξ_i+1；在影响线识别中，节点位置对应于影响线因子位置，利用如下公式可定义0次基函数B_i，0(ξ)：

用如下公式，可逐次推导1次基函数B_i,1(ξ)、2次基函数B_i,2(ξ)和3次基函数B_i,3(ξ)：

通过上式可生成大量的三次B样条基函数向量[B_i,3](i＝0,1,…,m,m+1表示基函数向量个数)，进而构造出基函数字典B＝[B_0,3 … B_i,3 … B_m,3]。从Φ＝Bw中影响线的基函数表示形式可知，通过设置不同的基函数权重系数，可构造出形状各异的影响线曲线；

步骤S3，基于曲率的影响线节点自适应优化

在数学上，曲率可定义为曲线在某一点弯曲程度的数值，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。影响线曲线Φ的准均匀节点向量Ξ＝{ξ₀ ξ₁ … ξ_m+k+1}，其中ξ_i(i＝0,1,…,m+k+1)是影响线曲线的各个控制节点的位置坐标，通过下式可计算影响线在控制节点ξ_i处的曲率：

其中，φ(i)为控制节点ξ_i处的影响线因子；

通过对曲率的归一化处理，定义曲线曲率的概率密度函数如下：

由上式可知曲率概率密度f_ξ(i)与曲率κ(i)成正比，且

经过归一化的曲率概率密度反映了曲线的弯曲程度，数值越大表明曲线复杂程度越高，准确拟合该曲线需要布置较密集的控制节点，宜相应减少相邻控制节点的间距值。换而言之，相邻节点的最优间距与其曲率概率密度的倒数成正比。为了能够根据影响线不同区域的曲率变化自适应调节节点间距，定义在控制节点ξ_i的曲率概率密度倒数的累积函数F_ξ(i)如下：

假定初始控制节点在影响线上均匀分布，由

可计算每个控制节点的F_ξ(i)。为了避免计算F_ξ(i)出现无穷大值，当f_ξ(i)<0.001时，取f_ξ(i)＝0.001。进一步，根据影响线初始控制节点的覆盖长度进行比例缩放，可得新的控制节点坐标ξ′_i：

其中，ξ₀和ξ_m+k+1表示影响线起点和终点的位置坐标，F_ξ(0)和F_ξ(m+k+1)是影响线起点和终点的曲率概率密度倒数累积值；

步骤S4，基于稀疏正则化的影响线识别

采用稀疏正则化(l₁-型正则化)方法，可建立影响线识别的优化目标函数如下：

其中，{argmin}表示使目标函数取得最小值的自变量集合，Φ∈R^q表示待求的影响线向量Φ属于q维向量空间，

表示实测响应与估计响应的误差平方和，||Φ||₁表示罚函数，λ是罚函数的正则化系数。

将Φ＝Bw代入影响线识别的数学模型

影响线识别的目标函数可改写成：

计算上式的最优解可得权重系数向量w，进而通过Φ＝Bw构造影响线向量Φ。

正则化系数λ是正则化公式的关键参数。一方面从数值逼近的角度考虑，应使正则化系数越小越好；另一方面从数值稳定的角度考虑，应使正则化系数越大越好。对于

需要先确定正则化系数λ才能基于变量w进行正则化求解。本发明中正则化系数λ的确定采用后验准则，即在获得正则化解的过程中，根据一定的条件来选择和调整正则化系数。具体操作为先选取一系列正则化参数λ：λ₁>λ₂>…>λ_j，再求解对应的正则化解：w＝w_i(i＝1,2,…,j)。通过建立后验准则，如贝叶斯信息准则(BIC)来确定最优正则化系数：

其中，μ表示向量R_m的元素个数，ν表示向量w_i的非零元素个数，选择最小的BIC值对应的正则化参数λ_i作为最优的正则化参数λ_opt，以及w_opt＝w_i作为最优的权重系数向量。得到正则化解后，将w_opt代入Φ＝Bw，可得到影响线识别结果Φ。

本发明提供的技术方案带来的有益效果是：

1、本发明的桥梁影响线识别方法利用移动车辆与其引起桥梁响应的实测信息，可直接识别桥梁影响线，简便快捷，可应用于桥梁关键指标的实时监测；

2、本发明的桥梁影响线识别方法结合基函数表示和稀疏正则化，能够构造出反映影响线多样化形状的曲线函数表示形式；从而效抑制影响线解中不符合物理意义的波动，提高了影响线识别的精度；

3、本发明的桥梁影响线识别系统具有严格的理论基础，基于桥梁荷载和桥梁响应的同步采集信息，并结合先进优化识别算法，可保证通过该系统识别的影响线具有较高精度。

以下结合附图及实施例对本发明作进一步详细说明。

附图说明

图1为本发明方法实施例1的测试大桥的正视图；

图2为本发明方法实施例1的测试大桥的有限元模型；

图3为本发明方法实施例1的桥梁主跨1/4跨附近的箱梁节段模型；

图4为本发明方法实施例1的标准火车的构造；

图5为本发明方法实施例1的桥梁主跨1/4跨截面处横梁的基准影响线和响应时程；

图6为本发明方法实施例1的节点自适应优化前的影响线识别结果；

图7为本发明方法实施例1的节点自适应优化后的影响线识别结果；

图8为本发明方法实施例1的不同噪声水平的响应时程及影响线识别结果对比；

图9为本发明方法实施例1的不同车型引起的响应时程；

图10为本发明方法实施例1的影响线识别结果对比；

图11为本发明方法实施例2的火车过桥期间斜杆和下弦杆动应力响应时程；

图12为本发明方法实施例2的节点自适应优化前的影响线识别结果；

图13为本发明方法实施例2的节点自适应优化后的影响线识别结果；

图14为本发明方法实施例2的火车在不同时段过桥的斜杆动应力响应时程；

图15为本发明方法实施例2的基于不同响应时程的斜杆应力影响线识别结果；

图16为本发明方法实施例2的火车在不同时段过桥的下弦杆动应力响应时程；

图17为本发明方法实施例2的基于不同响应时程的下弦杆应力影响线识别结果。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步的详细说明。

一种基于基函数表示和稀疏正则化的桥梁影响识别方法，主要包括以下几个步骤：

步骤S1，构造影响线识别的数学模型

假设车辆沿固定车道朝某一方向在桥上行驶，各车轴对桥的影响相互独立，则移动车辆所引起的响应可近似为各轴引起响应的叠加：

其中，R_s(x)表示车辆作用在顺桥向位置x时，引起的所关心位置的桥梁响应，x为首个车轴所在位置；Φ(x)表示单位力在对应位置的影响线函数；N表示车辆的轴数，A(i)表示车辆第i个轴的轴重，D(i)表示车辆第i个轴与首轴的间距。为了方便求解，将连续影响线的识别转换成识别影响线上离散节点的影响线因子，则可将连续函数R_s(x)和Φ(x)分别离散成向量R_s和Φ，上式可写成矩阵形式：

R_s＝LΦ

即

其中，R_s表示桥梁某测点的准静态响应向量，R_s(1),R_s(2),…,R_s(p)表示车辆位于桥梁不同位置的准静态响应，p是响应测量的采样数；L是根据车辆轴重A(i)、轴间距D(i)信息和车辆实时位置信息建立的荷载矩阵；Φ表示由连续影响线离散出影响线因子组成的向量，φ(1),φ(2),…,φ(q)是对应不同单位力作用位置的影响线因子，q是影响线离散后的影响线因子个数；

车辆快速通过桥梁的振动响应中，除了可通过影响线重构的移动荷载准静态响应，还包括桥梁自振以及动荷载引起的其他响应。因此，实测响应R_m可以表示成两部分的叠加：

R_m＝LΦ+η

其中，η表示实测响应误差项，特指实测响应去除移动荷载准静态响应(可通过影响线构造)的剩余部分。若基于测量信息构造上式的R_m和L，那么影响线向量Φ的识别可视为一类反问题，相比于实测响应峰值，误差项η的幅值较小，却足以导致矩阵求解的病态化，使影响线识别解严重偏离真实解；

荷载输入和响应输出都可通过的实测信息构造并建立。通过R_m＝LΦ+η，若已知荷载输入L(控制模式下的车辆移动)与响应输出R_m(相应时段的桥梁响应)，那么影响线向量Φ的识别可视为一类反问题。根据车辆的瞬时位置与运行车速，对实测动力响应时程进行时空坐标转化，获得与空间位置对应的桥梁响应向量。基于移动车辆的实测信息(含轴重、轴间距、运行轨迹等)，确定车轴荷载的大小与实时位置，构造荷载矩阵。基于荷载矩阵和响应向量，可建立影响线识别的数学模型，并由下式计算影响线向量Φ的最小二乘解：

Φ＝L⁺R_m＝(L^TL)^-1L^TR_m

其中，荷载矩阵L通常不是方阵，L⁺＝(L^TL)^-1L^T表示荷载矩阵的虚拟逆；

从桥梁影响线的物理意义上看，实际桥梁的挠度或应力影响线应相对光滑。即便桥梁受到了轻微或中等程度的损伤，内力重分布作用也会将损伤效应弥散到周围构件，使得影响线曲线仍然会表现得较为光滑。但是，通过Φ＝L⁺R_m＝(L^TL)^-1L^TR_m识别的影响线解常包含许多不同幅值的周期性波动。归其原因，主要是该模型假定的待识别影响线因子间彼此不相关或弱相关。事实上，相邻或距离较近的两个影响线因子具有显著相关性。因此，后续通过基函数表示法建立影响线曲线的基函数表示形式以解决上述问题；

步骤S2，建立影响线的基函数表示形式

结合分析桥梁影响线的物理意义与结构内力，可知桥梁特定位置的实际挠度或应力影响线应有相对光滑的特性。即便桥梁结构受到了轻微或中等程度的损伤，内力重分布作用也会将损伤效应弥散到周围构件，使得影响线曲线仍然表现得较为光滑。但是，通过上述影响线识别模型所得到的影响线解常包含许多幅值各异的周期性波动成分，这并不符合桥梁影响线的物理意义。归其原因，该模型假定待识别影响线因子之间彼此互不相关，然而相邻或距离较近的两个影响线因子间实际存在显著却未知的相关性。因此，本发明结合三次B样条曲线和正则化方法解决影响线识别方法的上述问题；

数学上，样条曲线是由多项式函数分段定义的数值函数，B样条曲线是样条曲线的一种特殊表达形式，是B样条基函数的线性组合。结合结构力学和结构有限元的推导，具有二阶连续可导性的三次B样条曲线可适用于构造桥梁挠度曲线或应变曲线。根据位移互等定理，竖向荷载作用于点1时所引起的点2的竖向位移，等于竖向荷载作用于点2所引起的点1处的竖向位移。利用机动法(位移互等定理)，可将求解影响线转化成与待求内力影响线等值的竖向位移场。以上研究为利用三次B样条曲线识别桥梁影响线提供了理论基础。因此，本发明引入基函数扩展法用于表示影响线，将影响线视为一系列三次B样条基函数的线性组合：

Φ＝Bw

其中，B＝[B_0,3 … B_i,3 … B_m,3]表示三次B样条基函数矩阵，B_i,3是第i个基函数；w＝[w₀ … w_i … w_m]^T表示基函数权重系数向量，w_i是第i个基函数权重系数；

通过上式可以看出，影响线可视为m+1条三次B样条基函数的线性组合；采用Cox-de Boor递推公式构造三次B样条基函数，主要过程包括：设置节点向量、定义0次基函数、推导1次基函数、推导2次基函数及推导3次基函数；

节点向量是决定B样条基函数形状的重要参数，设置节点向量主要有三种方式：均匀节点向量、准均匀节点向量及非均匀节点向量。本发明采用准均匀节点向量构造B样条基函数。不同于均匀节点，准均匀节点向量内的节点值在两端具有重复度k+1，更有效地利用了参数空间，其定义如下：

Ξ＝{ξ₀ ξ₁ … ξ_m+k+1}

ξ_i＝0 0≤i≤k

ξ_i＝i-k k+1≤i≤m

ξ_i＝m-k+1 m+1≤i≤m+k+1

其中，ξ_i是节点，Ξ＝{ξ₀ ξ₁ … ξ_m+k+1}是由非递减参数构成的节点向量，即ξ_i≤ξ_i+1；在影响线识别中，节点位置对应于影响线因子位置，利用如下公式可定义0次基函数B_i,0(ξ)：

用如下公式，可逐次推导1次基函数B_i,1(ξ)、2次基函数B_i,2(ξ)和3次基函数B_i,3(ξ)：

通过上式可生成大量的三次B样条基函数向量[B_i,3](i＝0,1,…,m,m+1表示基函数向量个数)，进而构造出基函数字典B＝[B_0,3 … B_i,3 … B_m,3]。从Φ＝Bw中影响线的基函数表示形式可知，通过设置不同的基函数权重系数，可构造出形状各异的影响线曲线；

步骤S3，基于曲率的影响线节点自适应优化

不同类型/位置的影响线形状各异，同一条影响线内不同区域的曲线特性(如斜率、曲率)可能差异明显。例如，影响线通常在测点附近出现峰值且幅值变化较快，随着逐渐远离测点位置，变化趋于平缓。影响线节点是该识别方法的关键参数，影响线节点设置合理与否很大程度上决定了影响线拟合的准确性。在步骤S2，构造B样条曲线的基函数字典采用准均匀节点向量，并未考虑不同影响线和影响线内不同区域的曲线特性差异从而对布置控制节点的疏密程度有不同的需求。为了能适用于识别形状各异的影响线，本发明根据影响线曲线特性自适应调整B样条曲线的节点向量，以达到准确拟合不同影响线的目标；

在数学上，曲率可定义为曲线在某一点弯曲程度的数值，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。影响线曲线Φ的准均匀节点向量Ξ＝{ξ₀ ξ₁ … ξ_m+k+1}，其中ξ_i(i＝0,1,…,m+k+1)是影响线曲线的各个控制节点的位置坐标，通过下式可计算影响线在控制节点ξ_i处的曲率：

其中，φ(i)为控制节点ξ_i处的影响线因子；

通过对曲率的归一化处理，定义曲线曲率的概率密度函数如下：

由上式可知曲率概率密度f_ξ(i)与曲率κ(i)成正比，且

经过归一化的曲率概率密度反映了曲线的弯曲程度，数值越大表明曲线复杂程度越高，准确拟合该曲线需要布置较密集的控制节点，宜相应减少相邻控制节点的间距值。换而言之，相邻节点的最优间距与其曲率概率密度的倒数成正比。为了能够根据影响线不同区域的曲率变化自适应调节节点间距，定义在控制节点ξ_i的曲率概率密度倒数的累积函数F_ξ(i)如下：

假定初始控制节点在影响线上均匀分布，由

可计算每个控制节点的F_ξ(i)。为了避免计算F_ξ(i)出现无穷大值，当f_ξ(i)<0.001时，取f_ξ(i)＝0.001。进一步，根据影响线初始控制节点的覆盖长度进行比例缩放，可得新的控制节点坐标ξ′_i：

其中，ξ₀和ξ_m+k+1表示影响线起点和终点的位置坐标，F_ξ(0)和F_ξ(m+k+1)是影响线起点和终点的曲率概率密度倒数累积值；

步骤S4，基于稀疏正则化的影响线识别

影响线识别属于一类反问题，通过基函数表示法，可将影响线识别转换成基函数系数识别的问题。该方法需要从基函数字典众多基函数中识别出与目标影响线特征相符的若干基函数，进而识别对应的基函数系数。不同桥梁(如梁桥、拱桥、拉索桥)不同位置(如跨中、支座)输出的不同响应/内力(如应变、挠度、剪力、弯矩)的影响线形状各异。由于事先无法准确预知影响线形状，基函数字典须包含大量反映了影响线不同形状特征的基函数，方能通过基函数的线性组合构造出形状多样的影响线。但对于确定的影响线，通过选择符合该条影响线特征的基函数，仅需少量基函数便可实现影响线的重构，基函数字典中其余基函数的系数均为零(或近似为零)，系数解表现出明显的稀疏性。稀疏正则化方法将l₁-范数作为其罚项，可产生稀疏权重系数矩阵，从而实现影响线关键特征的选择。采用稀疏正则化(l₁-型正则化)方法，可建立影响线识别的优化目标函数如下：

其中，{argmin}表示使目标函数取得最小值的自变量集合，Φ∈R^q表示待求的影响线向量Φ属于q维向量空间，

表示实测响应与估计响应的误差平方和，||Φ||₁表示罚函数，λ是罚函数的正则化系数。采用l₁-范数作为罚函数，有利于得到稀疏解，可使不适定问题的近似解在较小范围里变动，较好地满足影响线光滑的特性。

将Φ＝Bw代入影响线识别的数学模型

影响线识别的目标函数可改写成：

计算上式的最优解可得权重系数向量w，进而通过Φ＝Bw构造影响线向量Φ。

正则化系数λ是正则化公式的关键参数。一方面从数值逼近的角度考虑，应使正则化系数越小越好；另一方面从数值稳定的角度考虑，应使正则化系数越大越好。对于

需要先确定正则化系数λ才能基于变量w进行正则化求解。本发明中正则化系数λ的确定采用后验准则，即在获得正则化解的过程中，根据一定的条件来选择和调整正则化系数。具体操作为先选取一系列正则化参数λ：λ₁>λ₂>…>λ_j，再求解对应的正则化解：w＝w_i(i＝1,2,…,j)。通过建立后验准则，如贝叶斯信息准则(BIC)来确定最优正则化系数：

其中，μ表示向量R_m的元素个数，ν表示向量w_i的非零元素个数，选择最小的BIC值对应的正则化参数λ_i作为最优的正则化参数λ_opt，以及w_opt＝w_i作为最优的权重系数向量。得到正则化解后，将w_opt代入Φ＝Bw，可得到影响线识别结果Φ。

实施例1：数值算例验证

为了验证节点自适应优化对于改善影响线识别精度的有效性，选择一测试大桥主桁架上关键构件的应力影响线为研究对象。首先利用桥梁精细有限元模型求解构件的应力影响线作为基准值，然后利用移动火车荷载沿基准影响线逐步加载得到响应时程，再结合移动火车信息(含轴重、轴间距、实时位置等)进行影响线识别，从而验证考虑节点自适应优化的桥梁影响线识别方法的可行性和准确性。

参见图1所示，本发明实施例的测试大桥全长2160m，两主塔间主跨长1377m。塔高206m，两根主缆横向间距36m，穿过位于塔顶的4个鞍座，采用重力式锚碇固定于基岩上，两锚碇间的桥面板采用混合钢结构的形式。箱梁的上层是供汽车行驶的双向三车道，箱梁内部则有供火车双向行驶的轨道和汽车的双向应急车道。桥梁主跨和西边跨(马湾侧)的桥面悬挂在吊杆上，而在东边跨(青衣侧)的桥面则是由三个辅助墩支撑。

为了能更准确地分析桥梁局部构件的应力，面向结构健康监测建立的测试大桥的精细有限元模型参见图2所示。该有限元模型共有12898个节点，21946个单元，其中包含板单元2906个，梁单元19040个，模型考虑了主缆的几何非线性。图3是桥梁主跨1/4跨附近的位于两根吊杆之间箱梁内部的节段模型，桥梁主要构件包括纵向桁架、横梁、轨道梁和交叉支撑等。连接横梁的两个纵向桁架的功能如同桥梁的主梁，每个纵向桁架由上弦杆、下弦杆、竖杆及斜杆所组成。基于健康监测系统实测数据得到该桥前18阶的模态频率和振型，该桥梁模型进行了模型更新，更新后模型的结构动力特性更为真实可信。

通过分析发现，测试大桥分别由火车，汽车和风荷载产生的动应力响应后，发现除桥面板外的大多数桥梁构件，火车荷载占据主导地位。考虑到大跨径悬索桥由数以万计的构件所组成，所有构件都安装传感器是几乎不可能的。若选择一些关键构件安装传感器，应优先考虑火车引起的应力响应较大的位置。以桥梁主跨1/4跨截面处横梁的应力影响线为研究对象，采用本发明提出的识别方法进行应力影响线识别，并对识别结果加以比较分析。

识别桥梁应力影响线需要移动荷载的信息及相应的桥梁响应，通过对测试大桥关键构件的动应力响应进行分析可知，火车荷载占主导地位，因此在该数值算例中考虑以火车为移动荷载。由地铁有限公司提供的资料，2005年后，通过测试大桥的标准火车全长约182m，由8节车厢组成，火车构造如图4所示。每节车厢22.5m长，有2个相同的转向架，每个转向架支承在2个相同车轮上。由于8节车厢的转向架规则分布，故火车荷载可用16个竖向力表示，每个力分别代表一个转向架。相关的火车信息，如转向架重量、到达时刻、行驶速度和行驶方向等都通过健康监测系统记录。表1列出了于2005年11月7日5:46:37到达测试大桥的一列火车具体的信息记录。

表1所关注时段内的火车信息

由前文分析可知，不同构件对局部应力的敏感性不同导致应力影响线的影响范围宽度不同。为了证明影响线识别方法对于形状多样的影响线均有较好的识别效果，选择影响范围宽度最小的横梁应力影响线作为研究对象。通过有限元模型分析得到的桥梁主跨1/4跨截面处横梁的应力影响线(如图5(a))作为基准影响线，利用表1所列火车的前两节车厢(包含4个转向架，可用4个竖向力表示)沿基准影响线逐步加载，可得到横梁的响应时程如图5(b)所示。

利用桥梁响应时程构造响应向量R_m，利用车辆轴重、轴间距和车辆位置等信息构造荷载矩阵L。采用本发明提出的桥梁影响线识别方法进行影响线识别，可得节点自适应优化前的影响线识别结果，如图6所示。由图中横梁的基准影响线可知，该影响线曲线形状复杂，曲率在峰值附近区域变化快。分析影响线识别解与基准解的吻合情况，发现采用节点均匀分布的影响线识别方法，识别高曲率的影响线峰值会存在较大误差，并且识别解在曲率低且缓和过渡区域内出现了多余的波动。因此，有必要针对曲线曲率变化自适应优化布置节点，在高曲率区密集设置节点以准确捕捉曲线峰值，在低曲率缓和过渡区稀疏设置节点以避免不合理的波动。

如图7所示为节点优化后横梁的应力影响线识别结果。可以看出，通过节点自适应优化布置，影响线峰值附近的控制节点分布变得更加密集。相比于节点优化前的影响线识别结果，节点自适应优化后的影响线识别结果与基准影响线的吻合程度更好，峰值位置的信息被更好地保留，且缓和过渡区域的不合理波动得到抑制。另外，为了验证影响线识别方法的准确性，定义整体相对误差(ORE)和峰值相对误差(PRE)如下：

其中，Φ表示影响线识别结果，Φ_BL表示基准影响线；Cov表示协方差，Var表示方差；||·||₁表示向量中所有元素的绝对值之和，||·||_∞表示向量中所有元素的绝对值最大值。利用上式可计算得到图7中影响线识别与基准影响线的整体相对误差ORE＝0.08％，峰值相对误差PRE＝1.31％，影响线识别结果较为准确。由此说明，对于有复杂形状的影响线，本发明提出的影响线识别方法有助于得到更精确的识别结果，表明了在影响线识别时考虑节点自适应优化的必要性和有效性。

为了检验响应时程含有不同噪声水平对影响线识别的影响，采用表1所列火车的前两节车厢沿基准影响线逐步加载，得到响应时程数据后加入5％、10％的噪声(分别如图8(a)、图8(b)所示)，再分别进行影响线识别，识别结果对比如图8(c)所示，相对误差列于表2。可以看出，响应时程数据中的噪声越大，影响线识别结果与基准影响线的相对误差也越大，且容易造成影响线出现异常波动的情况。整体而言，在一定的噪声水平下，利用本发明所提出的桥梁影响线识别方法仍能得到较好的识别结果。

表2影响线识别结果的相对误差

为了检验不同的类型加载车对影响线识别结果的影响，故分别采用火车的前两节、前三节、前4节车厢(火车构造如图4所示)，同样沿基准影响线逐步加载得到响应时程数据(如图5(b)、图9(a)、图9(b)所示)，再分别进行影响线识别。

影响线识别结果如图10所示，相对误差详见表3。可以看出，随着加载车轴数的增加，影响线识别结果与基准影响线的相对误差也增加了，但误差保持在3％以内，表明本发明提出的桥梁影响线识别方法具有较好的稳定性。

表3影响线识别结果误差对比

实施例2：实桥案例验证

为了进一步验证考虑节点自适应优化的桥梁影响线识别方法应用于实桥的可行性与稳定性，本发明利用测试大桥的实测响应信息进行影响线识别。测试大桥上安装了风与结构健康监测系统，可提供火车荷载及关键构件的实测动应力响应信息。当火车通过桥梁，尤其是行驶至布有传感器的关键截面附近时，火车荷载起主导作用，汽车荷载、风荷载等对桥梁动应力响应的贡献相对较小。本节拟结合实测的桥梁动应变响应和相应时段内的火车荷载信息，检验本发明提出的桥梁影响线识别方法。

所述测试大桥上安装有风与结构健康监测系统，并一直使用至今。安装的传感器系统的主要目的是监测环境信息、交通信息、桥梁整体及局部状态。传感器系统的300个传感器中，有110个动应变片被安装在4个典型截面上(详见图1的截面D、E、J、L)，用于长期监测关键截面上主要构件的应力状态。利用安装在截面L的轨道梁上的一组应变片采集的应变数据经过处理后，可转换成火车的记录信息，包括火车各轴重、轴间距、行驶速度等。同时，桥梁附近的动态称重系统也记录了桥上行驶的汽车信息，桥面和桥塔的风速仪记录了桥上风速风向的数据。

就测试大桥的大多数构件而言，火车荷载相比汽车和风荷载，对局部应力有更大的影响。当火车移动并靠近所关心的构件位置时，将会由火车效应产生一个峰值应力。识别应力影响线需要两类基本信息：火车所产生的应力(或应变)时程以及相应的火车信息。鉴于本实施例是基于实测的响应数据及相应的火车荷载信息进行影响线识别，故应尽可能选择除火车荷载以外其他动力荷载干扰较小的数据加以应用。选择桥梁主跨1/4跨附近外侧纵向桁架的一根斜杆和上弦杆，具体位置详见图3。图11是该斜杆和下弦杆的动应变片实测的一辆火车经过测试大桥的一段应力时程，该段应力响应时程将被用于验证影响线识别方法的有效性。实测的应力响应除了可通过影响线重构的准静态响应，还包括多种“噪声”因素干扰，如测量误差和火车、汽车和风荷载的动力效应。当火车远离应力测量点，若无其他干扰因素，则实测应力应接近于零。仅通过图11加以估算，图11的“噪音”水平约为该段响应峰值应力的5.5％。

利用图11记录的应力响应时程构造应力响应向量R_m，根据表1和图4中的信息可建立荷载矩阵L，从而进行影响线的识别。图12(a)和12(b)分别为考虑节点自适应前，桥梁主跨1/4跨斜杆和下弦杆的应力影响线识别结果。可以看出，未考虑节点自适应优化的影响线识别结果与基准影响线在峰值位置难以吻合，而斜杆的应力影响线识别结果在远离峰值的位置会出现一定程度的波动。

图13(a)和13(b)分别为考虑节点自适应优化后，斜杆和下弦杆的应力影响线识别结果。可以发现，考虑节点自适应后的影响线识别结果在峰值位置更为贴近基准影响线，峰值位置附近的信息被较好地保留，且有效抑制了影响线解中的波动。表4为考虑节点自适应前后的影响线识别结果的误差对比。可以看出，影响线识别时考虑节点自适应优化在一定程度上减小了影响线识别结果与基准影响线的整体相对误差和峰值相对误差。该结果初步验证了考虑节点自适应优化的影响线识别方法的可行性，后续将进一步讨论该方法进行影响线识别的稳定性。

表4影响线识别结果误差对比

为了验证本发明所提影响线识别方法的稳定性，本发明将尝试对不同火车引起的更多的应力响应进行影响线识别。正如前文所述，每天测试大桥上都会有数百辆火车驶过，而在一些固定的时段，有且只有一辆火车经过，在此类固定时段中，再挑选出车辆较少，风速较小的时间段，这些时段的时程更适合应用于目前的影响线识别方法。基于上述要求，除了表1记录的那段时程，另外挑选了2个时段的应力时程(如图14(a)和14(b)所示)，相应的火车到达时间分别为2005年11月10日05:36:14、2005年11月15日05:51:56。基于上述时间段内应变片所记录的应力时程和相应的火车信息，影响线识别结果对比如图15所示，误差对比列于表5。从结果可知，虽然三列火车的行驶速度、轴重等具体信息各不相同，而且每个时段内汽车等其他荷载因素的影响也不尽相同，但是采用本发明提出的影响线识别方法所识别的影响线，它们的峰值、形状都十分相似，因此可在某种程度上表明该方法的稳定性。

表5影响线识别结果误差对比

除了图11(b)所示的应力响应时程，挑选了下弦杆另外2个时段的应力响应时程(如图16(a)和16(b)所示)，利用三列不同火车的响应信息所识别的影响线结果对比如图17所示，误差对比列于表6。可以发现，从不同火车响应中识别的影响线形状非常相似。结果表明考虑节点自适应优化的影响线识别方法用于识别不同类型构件的影响线有较好的稳定性。

表6影响线识别结果误差对比

上述实施例仅用来进一步说明本发明的桥梁影响线识别方法，但本发明并不局限于实施例，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均落入本发明技术方案的保护范围内。

Claims (2)

1.一种基于基函数表示和稀疏正则化的桥梁影响线识别方法，其特征在于，包括：

步骤S1，构造影响线识别的数学模型

假设车辆沿固定车道朝某一方向在桥上行驶，各车轴对桥的影响相互独立，则移动车辆所引起的响应可近似为各轴引起响应的叠加：

其中，R_s(x)表示车辆作用在顺桥向位置x时，引起的所关心位置的桥梁响应，x为首个车轴所在位置；Φ(x-D(i))表示单位力在对应位置的影响线函数；N表示车辆的轴数，A(i)表示车辆第i个轴的轴重，D(i)表示车辆第i个轴与首轴的间距；

将连续影响线的识别转换成识别影响线上离散节点的影响线因子，则可将连续函数R_s(x)和Φ(x-D(i))分别离散成向量R_s和Φ，上式写成矩阵形式：

R_s＝LΦ

即

其中，R_s表示桥梁某测点的准静态响应向量，R_s(1),R_s(2),…,R_s(p)表示车辆位于桥梁不同位置的准静态响应，p是响应测量的采样数；L是根据车辆轴重A(i)、轴间距D(i)信息和车辆实时位置信息建立的荷载矩阵；Φ表示由连续影响线离散出影响线因子组成的向量，φ(1),φ(2),…,φ(q)是对应不同单位力作用位置的影响线因子，q是影响线离散后的影响线因子个数；

车辆快速通过桥梁的振动响应中，除了可通过影响线重构的移动荷载准静态响应，还包括桥梁自振以及动荷载引起的其他响应；因此，实测响应R_m可以表示成两部分的叠加：

R_m＝LΦ+η

其中，η表示实测响应误差项，特指实测响应去除移动荷载准静态响应的剩余部分；

根据车辆的瞬时位置与运行车速，对实测动力响应时程进行时空坐标转化，获得与空间位置对应的桥梁响应向量；基于移动车辆的实测信息，确定车轴荷载的大小与实时位置，构造荷载矩阵；基于荷载矩阵和响应向量，建立影响线识别的数学模型，并由下式计算影响线向量Φ的最小二乘解：

Φ＝L⁺R_m＝(L^TL)^-1L^TR_m

其中，L⁺＝(L^TL)^-1L^T表示荷载矩阵的虚拟逆；

步骤S2，建立影响线的基函数表示形式

引入基函数扩展法用于表示影响线，将影响线视为一系列三次B样条基函数的线性组合：

Φ＝Bw

其中，B＝[B_0,3 … B_i,3 … B_m,3]表示三次B样条基函数矩阵，B_i,3是第i个基函数；w＝[w₀… w_i … w_m]^T表示基函数权重系数向量，w_i是第i个基函数权重系数；

通过上式可以看出，影响线可视为m+1条三次B样条基函数的线性组合；采用Cox-deBoor递推公式构造三次B样条基函数，主要过程包括：设置节点向量、定义0次基函数、推导1次基函数、推导2次基函数及推导3次基函数；

采用准均匀节点向量构造B样条基函数，准均匀节点向量内的节点值在两端具有重复度k+1，其定义如下：

Ξ＝{ξ₀ ξ₁ … ξ_m+k+1}

ξ_i＝0 0≤i≤k

ξ_i＝i-k k+1≤i≤m

ξ_i＝m-k+1m+1≤i≤m+k+1

其中，ξ_i是控制节点，Ξ＝{ξ₀ ξ₁ … ξ_m+k+1}是由非递减参数构成的节点向量，即ξ_i≤ξ_i+1；在影响线识别中，节点位置对应于影响线因子位置，利用如下公式可定义0次基函数B_i,0(ξ)：

用如下公式，可逐次推导1次基函数B_i,1(ξ)、2次基函数B_i,2(ξ)和3次基函数B_i,3(ξ)：

通过上式生成大量的三次B样条基函数向量[B_i,3]，进而构造出基函数字典B＝[B_0,3 …B_i,3 … B_m,3]；

基于构造的基函数字典，通过设置不同的基函数权重系数，构造出形状各异的影响线曲线；

步骤S3，基于曲率的影响线节点自适应优化

通过下式计算影响线在控制节点ξ_i处的曲率：

其中，φ(i)为控制节点ξ_i处的影响线因子；

通过对曲率的归一化处理，定义曲线曲率的概率密度函数如下：

由上式可知曲率概率密度f_ξ(i)与曲率κ(i)成正比，且

定义在控制节点ξ_i的曲率概率密度倒数的累积函数F_ξ(i)如下：

假定初始控制节点在影响线上均匀分布，由

可计算每个控制节点的F_ξ(i)；当f_ξ(i)<0.001时，取f_ξ(i)＝0.001；

根据影响线初始控制节点的覆盖长度进行比例缩放，获得新的控制节点坐标ξ_i'：

其中，ξ₀和ξ_m+k+1表示影响线起点和终点的位置坐标，F_ξ(0)和F_ξ(m+k+1)是影响线起点和终点的曲率概率密度倒数累积值；

步骤S4，基于稀疏正则化的影响线识别

采用稀疏正则化方法，建立影响线识别的优化目标函数如下：

其中，{arg min}表示使目标函数取得最小值的自变量集合，Φ∈R^q表示待求的影响线向量Φ属于q维向量空间，

表示实测响应与估计响应的误差平方和，||Φ||₁表示罚函数，λ是罚函数的正则化系数；

将Φ＝Bw代入影响线识别的优化目标函数

影响线识别的优化目标函数可改写成：

计算上式的最优解获得权重系数向量w，进而通过Φ＝Bw构造影响线向量Φ。

2.根据权利要求1所述的桥梁影响线识别方法，其特征在于，正则化系数λ采用后验准则确定，具体如下：

通过建立贝叶斯信息准则BIC来确定最优正则化系数：

其中，μ表示向量R_m的元素个数，ν表示基函数权重系数w_i的非零元素个数，选择最小的BIC值对应的正则化参数λ_i作为最优的正则化参数λ_opt，以及wo_pt＝w_i作为最优的基函数权重系数。

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