CN108884635B - 用于识别平坦片材工艺模型的最优闭环输入设计 - Google Patents

用于识别平坦片材工艺模型的最优闭环输入设计 Download PDF

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Abstract

片材制造横向（CD）控制需要复杂的基于模型的控制器，其操作需要精确的工艺行为模型，但由于工艺的复杂性，识别这些工艺模型具有挑战性。目前的技术依赖于开环工艺实验。使用非因果标量传递函数用于稳态CD工艺模型和控制器模型避免了与CD工艺相关的大尺寸问题。这些非因果传递函数可以由因果传递函数表示，其在输出谱意义上等效于非因果传递函数。基于这些因果等效模型，提出了一种闭环最优输入设计框架。CD致动器沿横向在两侧都具有响应，这可以被视为非因果行为。基于闭环CD工艺的非因果建模，在闭环最优输入设计框架中演示和开发了执行非因果建模的技术。

Description

用于识别平坦片材工艺模型的最优闭环输入设计
相关申请的引用
本申请要求于2016年3月8日提交的美国临时专利申请No.62/305,412的优先权，并且通过引用结合于此。
技术领域
本发明总体上涉及使用基于模型的控制器来监视和控制连续片材制造系统，更具体地说，涉及在系统闭环操作的同时通过产生高质量的工艺数据来识别合适的工艺模型的技术。
背景技术
造纸机是一种将纤维高效转化为纸张的大型工艺。它在沿着横向的头部具有数百个致动器，以控制纸张上浆的性质。在尾部安置了数千个测量箱用于测量纸张性质。对于控制器设计，与造纸机相关的有两个重要方向：机器方向（MD）和横向（CD）。MD指的是纸张移动的方向，而CD是垂直于MD的方向。
除了大量的致动器和测量箱之外，CD工艺也是一个病态的工艺。此外，CD工艺模型存在很大的不确定性。所有这些特性增加了与相应的模型识别和控制器设计相关的复杂性。 解决该问题的常用技术假定所有致动器具有相同的时间（在时间方向上）和空间（在CD上）响应行为。此外，假设时间和空间响应是可分离的。这些假设在实践中是有效的，并使CD工艺更容易处理。即使这样，CD工艺的控制器设计和模型识别仍然具有挑战性。
CD工艺中采用的当前控制是模型预测控制（MPC），需要具有良好质量的模型。因此，CD工艺的模型识别在确定MPC的性能中起着至关重要的作用。就系统识别而言，众所周知，需要良好的激励信号以使识别的模型可靠和精确。 如何以最优方式设计激励信号已受到广泛关注。已经提出了许多众所周知的策略，例如频域方法、时域方法、开环最优输入设计和闭环最优输入设计。
就CD工艺的最优输入设计而言，大多数现有结果都集中在开环情况上，以便为工艺模型识别生成良好的数据，这存在中断正常的工艺操作并牺牲质量的风险。 主要缺点在于，由于正常操作的中断，可能给工厂带来巨大的利润损失。这个行业需要一种能够生成高质量工艺数据的技术，而无需暂停控制并且不会牺牲产品质量。
发明内容
本发明通过使用因果等效（causal equivalent）工艺模型来简化用于闭环CD工艺识别的工艺实验的最优设计，以找到受输入和输出功率约束的最优空间输入谱。该技术包括将当前或标称工艺模型从大矩阵转换为非因果传递函数。这减少了模型中的参数数量，但是将其置于难以用于最优输入设计的形式中。接下来，将非因果模型转换为具有等效输出谱的因果模型，其将模型置于可用于最优输入设计的简单形式中。 然后实施因果模型以设计最优输入谱。该最优输入谱指示在每个频率处应该存在多少输入激励以具有最优实验（产生数据的实验，我们可以从中获得具有最小不确定性的工艺模型估计）。最后，将最优实验的频域表现转换为时域实现，即，对片材制作工艺的一系列扰动，其将生成所需的信息数据。
在一个方面，本发明涉及一种用于工业片材制造系统的模型预测控制器（MPC）的工艺模型的闭环识别方法，所述工业片材制造系统具有沿横向（CD）布置的多个致动器，其中MPC提供对片材制造系统中采用的空间分布片材工艺的控制。该方法包括以下步骤：
（a）为空间分布工艺选择工艺模型，其中工艺模型由矩阵定义。矩阵定义了致动器位置和空间分布工艺测量之间的稳态增益。这种模型形式特别方便与MPC一起使用。初始工艺模型选择可以基于使用现有工艺模型，该现有工艺模型不如期望的那样精确，或者可以基于关于工艺的一些先验信息，由此初始模型的点允许设计针对感兴趣的特定工艺定制的激发序列。
（b）将矩阵转换为非因果传递函数。通过从空间增益矩阵的单个列中获取参数来生成非因果空间有限脉冲响应模型，并且将非因果空间脉冲响应模型分解为因果传递函数和相同但反因果传递函数。
（c）将非因果传递函数转换为具有等效谱的因果模型。这优选地通过取非因果传递函数的因果因子的平方（求平方）来实现。
（d）使用因果模型设计工艺激励的最优输入谱。输入谱被设计为最小化受到输入和输出功率约束的非因果工艺模型参数的协方差。为了解决这个优化问题，进行了谱的有限维参数化，这允许通过容易获得的优化工具箱来解决这个问题。
（e）将最优输入谱的频域表现变换为时域实现，该时域实现是致动器运动的序列。可以使用已建立的技术来构建谱的可控且可观察的状态空间实现。
（f）将致动器运动序列应用于多个致动器，并收集关于由于致动器运动序列引起的横向片材性质变化的数据，以确定测量的致动器响应廓线（profile）。
（g）分析数据以提取新的模型参数。
（h）以及，为工艺模型输入新的模型参数。
在另一方面，本发明涉及一种多变量模型预测控制器（MPC），用于向具有至少一个受操纵致动器阵列和至少一个受控测量阵列的横向（CD）工艺提供控制，其中MPC采用由矩阵定义的工艺模型，并且，MPC包括这样配置的处理器：
将矩阵转换为非因果传递函数;
将非因果传递函数转换为具有等效谱的因果模型;
使用因果模型为工艺激励设计最优输入谱;
将最优输入谱的频域表现变换为时域实现，该时域实现是致动器运动序列;
将致动器运动序列应用于多个致动器并收集关于由于致动器运动序列引起的横向片材性质变化的数据，以确定所测量的致动器响应廓线;
分析数据以提取新的模型参数；以及
为工艺模型输入新的模型参数。
本发明特别适用于所谓的“单光束”应用，用于相对于单个致动器阵列识别用于MPC的合适的工艺模型，该单个致动器阵列包括布置在CD中的多个受操纵致动器和相应的单个受控测量阵列。
附图说明
图1,2和3是造纸系统的示意图。
图4示出了闭环最优输入设计配置;
图5A和5B描绘了单个致动器的脉冲响应（实线）和估计的非因果传递函数的脉冲响应（点划线）;和
图6A和6B描绘了在最优设计输入下的闭环中的估计的工艺模型的脉冲响应（图6A）和在100次Monte-Carlo模拟中的冲击输入（图 6B）。
具体实施方式
如图1所示，用于制造连续片材的系统包括各种处理阶段，例如流浆箱（headbox）10，蒸汽箱12，压延堆14和卷筒16。流浆箱10中的致动器阵列18控制湿料（或原料）材料通过多个切片排出到在辊22和24之间旋转的支撑网或金属丝（wire）30上。类似地，蒸汽箱12上的致动器20可以控制在移动的片材上的点处喷射的蒸汽量。离开金属丝30的片材通过干燥器34，干燥器34包括可以改变干燥器的横向温度的致动器36。支撑在支撑框架40上的扫描传感器38连续地横穿并测量成品片材在横向上的性质。然后将成品片材产品42收集在卷筒16上。如本文所用，系统的“湿端”部分包括流浆箱、网和恰好在干燥器之前的那些部分，“干端”包括干燥器下游的部分。通常，金属丝在横向上的两个边缘被指定为“前”和“后”（或者，称为“高”和“低”），其背面与其他机械相邻并且比前侧更不易接近。
该系统还包括轮廓分析器44，其例如分别连接到流浆箱10、蒸汽箱12、真空箱28和干燥器34上的扫描传感器38和致动器18、20、32和36。轮廓分析器是包括控制系统的计算机，该控制系统响应于来自扫描传感器38的横向测量而操作。在操作中，扫描传感器38向分析器44提供信号，该信号指示在各种横向测量点处测量的片材性质的大小，例如厚度、干基重、光泽度或湿度。分析器44还包括用于控制片材制造系统的各个部件包括例如上述致动器的操作的软件。为了实现本发明的控制系统，分析器44可以包括存储器62和处理设备64，以执行用于执行与工业工艺的MPC控制相关的各种操作的软件/固件指令。接口60允许处理设备接收数据并向致动器或控制器提供信号。
图2描绘了切片边缘控制系统，其安装在流浆箱10上，用于控制柔性切片边缘构件46在流浆箱10的基部处在排出间隙48上延伸的程度。切片边缘构件46沿着流浆箱10在横向上横跨网的整个宽度延伸。 致动器18控制切片边缘构件46，但应该理解的是，各个致动器18是可独立操作的。致动器阵列中的各个致动器之间的间隔可以是均匀的，也可以不是均匀的。湿料50支撑在金属丝30上，金属丝30通过辊22和24的作用而旋转。
作为图3所示的示例，通过控制单个致动器18可调节通过切片边缘构件和任何给定致动器的网30的表面之间的间隙排出的原料量。通过该间隙的进料流速最终影响成品片材即纸42的性质。具体地，如图所示，多个致动器18在横向上在网30上延伸，网30沿箭头6所示的机器方向移动。可以操纵致动器18以控制横向上的片材参数。扫描设备38位于致动器的下游，并且它测量片材的一个或多个性质。在该示例中，如箭头4所示，若干致动器18移位，并且如扫描仪廓线54所示，扫描仪38检测到所导致的纸张性质的变化。通过对片材的多次扫描求平均，可以确定由箭头56指示的廓线54的峰值。这种类型的操作通常用于传统的开环和闭环冲击测试中。相反，本发明的反向冲击测试不直接向致动器廓线发送扰动。应该注意的是，除了定位在流浆箱中之外，致动器可以放置在造纸机中的一个或多个战略位置，包括例如在蒸汽箱、干燥器和真空箱中。致动器优选地沿着CD定位在每个位置处。
可以理解，本发明的技术足够灵活，适用于任何大规模工业多致动器阵列的在线实施和由单输入单输出（SISO）控制器或多变量模型预测控制器（MPC）控制的多产品质量测量横向工艺，例如在造纸中。例如，在Backstrom等人的美国专利6,807,510、Chu等人的美国专利8,224,476和Shi等人的US2015/0268645中，进一步描述了用湿原料连续制造纸张的合适的造纸机工艺，这些文献通过引用并入本文。在所谓的“冲击测试”中，片材制造系统例如造纸机上的操作参数被改变，并且测量由此产生的某些因变量的变化。对于开环CD工艺模型估计，在Gorinevsky等人的美国专利6,086,237中描述了冲击测试技术，对于闭环CD工艺对准识别，在Stewart的美国专利7,459,060中描述了冲击测试技术，这些文献通过引用并入本文。虽然将关于造纸机描述本发明，但应理解，本发明可应用于其他空间分布的工艺，例如塑料片材制造、橡胶片材制造和金属板操作。
将用CD工艺的闭环输入设计来说明本发明。由于闭环CD工艺的大部分时间都处于稳态运行，因此首选工艺将采用稳态闭环CD工艺。主要挑战是如何处理工艺的大输入输出维度以及如何合并控制器以执行闭环最优输入设计。利用本发明，开发了用于CD工艺的非因果模型，以避免与传统的多输入多输出（MIMO）CD模型相关联的高维问题。为了消除由此产生的输入设计难度，我们提出了一种方法来获得具有等效输出谱的因果模型作为非因果模型。结果表明，因果等效模型的最大似然估计和参数协方差矩阵将以概率一渐近收敛于非因果模型的那些。在这个意义上，可以基于因果模型直接设计最优激励信号。
I. CD工艺和稳态模型
A. 开环CD工艺模型
在以下的CD工艺模型中，包括图4所示的控制器70和工厂72，
Figure 641766DEST_PATH_IMAGE001
（1）
Figure 762169DEST_PATH_IMAGE002
表示测量的受控变量（CV）廓线，
Figure 20803DEST_PATH_IMAGE003
是沿横向的测量箱的数量。
Figure 353695DEST_PATH_IMAGE004
是操纵变量（MV）廓线，这里我们假设一个平方CD模型。
Figure 620597DEST_PATH_IMAGE005
是作用于工艺输出的干扰。
Figure 911901DEST_PATH_IMAGE006
是单位后移运算符。
Figure 382197DEST_PATH_IMAGE007
用于描述与每个致动器相关的动态，并假设是标量传递函数。换句话说，我们假设所有致动器共享相同的动力学，这是简化工艺建模的常见做法。
Figure 33627DEST_PATH_IMAGE008
是稳态增益矩阵，
Figure 171347DEST_PATH_IMAGE009
矩阵的每列确实是沿着CD在稳态下的单个致动器的采样脉冲响应。
Figure 367973DEST_PATH_IMAGE009
的最显著特征是其病态、Toeplitz结构和稀疏性。这些特性极大地降低了CD工艺的控制器设计和模型识别的复杂性。为清楚起见，我们对
Figure 574833DEST_PATH_IMAGE009
矩阵的结构提出以下假设。
假设1，除了每个致动器的响应形状的中心不同之外，CD工艺的致动器在稳态下沿空间方向具有相同且对称的脉冲响应形状。
Figure 249528DEST_PATH_IMAGE009
的列确实是这些响应的采样版本。
对于动态模型，我们假设
Figure 976175DEST_PATH_IMAGE010
具有以下形式（下标
Figure 861479DEST_PATH_IMAGE011
代表时间），
Figure 306367DEST_PATH_IMAGE012
（2）
其中
Figure 34020DEST_PATH_IMAGE013
是延时。
Figure 615174DEST_PATH_IMAGE014
和
Figure 153603DEST_PATH_IMAGE015
是多项式，并且大多数
Figure 600634DEST_PATH_IMAGE016
是具有单位增益的一阶加时间延迟模型的离散化。类似地，输出干扰
Figure 882711DEST_PATH_IMAGE017
被假定为在时间和空间上的滤波白噪声，
Figure 849530DEST_PATH_IMAGE018
（3）
其中
Figure 73707DEST_PATH_IMAGE019
和
Figure 227607DEST_PATH_IMAGE020
是描述时间方向上的滤波器的单调和标量多项式。同样，这里我们假设影响所有输出通道的干扰具有相同的动态模型。常数矩阵
Figure 578954DEST_PATH_IMAGE021
表示噪声的空间相关性。
Figure 386898DEST_PATH_IMAGE022
是具有零均值和协方差的白噪声
Figure 267129DEST_PATH_IMAGE023
，其中E是期望算子，
Figure 157594DEST_PATH_IMAGE024
是协方差矩阵，
Figure 781473DEST_PATH_IMAGE025
是Dirac
Figure 457305DEST_PATH_IMAGE025
函数。
出于空间最优激励信号设计的目的，下面的稳态CD工艺模型是有意义的，
Figure 757705DEST_PATH_IMAGE026
（4）
其中
Figure 886198DEST_PATH_IMAGE027
是稳态测量的CV廓线，并且
Figure 563036DEST_PATH_IMAGE028
是稳态MV廓线。
Figure 827795DEST_PATH_IMAGE029
是稳态工艺增益。
Figure 315408DEST_PATH_IMAGE030
是稳态输出干扰。为方便起见，我们假设空间滤波器
Figure 183395DEST_PATH_IMAGE031
也是Toeplitz结构的并且稀疏为
Figure 680235DEST_PATH_IMAGE032
。
B. 闭环稳态CD工艺模型
众所周知，闭环抖动信号设计将涉及在目标函数的公式中控制器的显式表达。大多数现代工业CD控制器都是MPC，如果任何约束有效，控制器将变得非常复杂甚至非线性。
控制回路中非线性控制器的存在将增加闭环最优输入设计的复杂性。 因此，为了简化此过程，我们引入以下假设。
假设2，在整个分析过程中，假设MPC以线性模式运行，并且没有约束有效。
从假设2，已知CD工艺在稳态下的模型预测控制器的特定表达式为，
Figure 65080DEST_PATH_IMAGE033
（5）
其中
Figure 972862DEST_PATH_IMAGE034
是MPC目标函数中的权重矩阵，其惩罚CV廓线与其设定点的偏差。
Figure 75947DEST_PATH_IMAGE035
是相应的权重矩阵，用于惩罚稳态操纵变量（MV）与其目标的偏移。
Figure 845320DEST_PATH_IMAGE036
是由致动器的动态模型（2）确定的常数。实际上，为方便起见，加权矩阵
Figure 599518DEST_PATH_IMAGE037
和
Figure 163355DEST_PATH_IMAGE038
通常选择为对角线。从（5）可以看出，控制器
Figure 753736DEST_PATH_IMAGE039
具有与增益
Figure 44909DEST_PATH_IMAGE040
相似的结构。对这一重要观点的认识将极大地促进后续推导的过程。
结合（4）和（5），从图4中，我们可以很容易地得到CD工艺的闭环模型，
Figure 138767DEST_PATH_IMAGE041
（6）
Figure 860123DEST_PATH_IMAGE042
（7）
其中
Figure 672221DEST_PATH_IMAGE043
是要设计的空间激励信号。
C. CD工艺的空间最优输入设计
当涉及空间最优输入时，CD工艺模型的有用的参数将是增益矩阵
Figure 563823DEST_PATH_IMAGE044
中的那些（或更具体地，
Figure 777766DEST_PATH_IMAGE045
的列中的参数）。请注意，由于较大的输入输出维度以及
Figure 214564DEST_PATH_IMAGE046
中的大量参数，直接基于闭环模型（6）-（7）的最优输入设计是有意义的。为了避免这个问题，我们建议沿空间坐标使用标量传递函数来表示致动器的空间响应。从这个意义上讲，针对MIMO CD模型的原始最优输入设计可以重新制定为标量空间模型的设计，这显著降低了相关的复杂性。然而，要付出的代价是标量空间传递函数必须是非因果性的，因为任何冲击的致动器都会在两侧产生响应（见图5），类似于传统时间坐标的“过去”和“未来”。以下部分将演示将CD稳态过程模型
Figure 763226DEST_PATH_IMAGE046
和控制器
Figure 943671DEST_PATH_IMAGE047
转换为标量非因果关系然后进一步转换为因果传递函数形式的具体算法。
II. CD工艺的因果标量传递函数表示
在本节中，我们将展示为CD闭环模型和开环模型开发因果等效模型的过程。让我们关注稳态工艺模型
Figure 12122DEST_PATH_IMAGE048
，因为稳态控制器矩阵
Figure 603509DEST_PATH_IMAGE047
将遵循相同的脉络，只要它具有与
Figure 390199DEST_PATH_IMAGE046
类似的结构。
A. 闭环CD工艺的非因果传递函数形式
通过
Figure 843177DEST_PATH_IMAGE046
的上述结构以及假设1，人们可以很容易地从
Figure 283910DEST_PATH_IMAGE046
的任何单列中提取标量非因果FIR模型，以表示致动器的空间脉冲响应，
Figure 796931DEST_PATH_IMAGE049
（8）
其中，
Figure 320185DEST_PATH_IMAGE050
是空间正向移位算子。
Figure 311275DEST_PATH_IMAGE050
的正负幂表示反因果和因果移位。
Figure 338006DEST_PATH_IMAGE051
，是每个单个致动器的空间脉冲响应系数，并且通常强制执行脉冲响应的对称性，即
Figure 21928DEST_PATH_IMAGE052
。在大多数情况下，非因果FIR模型（8）将具有高阶（即，
Figure 252052DEST_PATH_IMAGE053
通常很大），简化非因果(parsimonious non-causal)传递函数是简化该模型所必需的。在我们展示之前，提出以下假设。
假设3，CD MIMO稳态模型（例如，
Figure 561680DEST_PATH_IMAGE054
和
Figure 724808DEST_PATH_IMAGE055
是Toeplitz结构化，以及相应的空间脉冲响应序列满足Wiener-Hopf分解条件：真实、对称，并以
Figure 612255DEST_PATH_IMAGE056
为例，
Figure 785135DEST_PATH_IMAGE057
（9）
其中，
Figure 836136DEST_PATH_IMAGE058
。这里
Figure 509563DEST_PATH_IMAGE059
具有以下表达式，
Figure 800867DEST_PATH_IMAGE060
（10）
其中
Figure 520430DEST_PATH_IMAGE061
，是系数。
立即观察到，（9）的左侧的频率响应对于任何频率都是非负的和真实的，这对我们可能研究的可能的空间脉冲响应形状的范围设置了某些限制。然而，工业经验表明，大多数的实际致动器响应形状能够满足这种条件。来自（5）的
Figure 922593DEST_PATH_IMAGE062
和
Figure 794734DEST_PATH_IMAGE063
之间的关系证实如果
Figure 485699DEST_PATH_IMAGE062
满足（5）那么
Figure 443291DEST_PATH_IMAGE064
也是如此。
在获得因果FIR模型
Figure 649144DEST_PATH_IMAGE065
之后，下一步将是找到表示
Figure 890638DEST_PATH_IMAGE066
的简约传递函数模型（例如输出误差模型）。这个过程可以从Matlab中的系统识别工具箱完成，原始的非因果
Figure 523745DEST_PATH_IMAGE067
重写如下，
Figure 437474DEST_PATH_IMAGE068
（11）
Figure 430707DEST_PATH_IMAGE069
（12）
Figure 11861DEST_PATH_IMAGE070
（13）
其中
Figure 533978DEST_PATH_IMAGE071
和
Figure 200583DEST_PATH_IMAGE072
分别是
Figure 734857DEST_PATH_IMAGE073
和
Figure 436097DEST_PATH_IMAGE074
的阶数。以类似的方式，控制器的非因果传递函数形式实现为：
Figure 129115DEST_PATH_IMAGE075
（14）
Figure 548595DEST_PATH_IMAGE076
（15）
Figure 634363DEST_PATH_IMAGE077
（16）
其中
Figure 704956DEST_PATH_IMAGE078
和
Figure 850766DEST_PATH_IMAGE079
分别是
Figure 757542DEST_PATH_IMAGE080
和
Figure 647001DEST_PATH_IMAGE081
的阶数。从（11）-（16），原始高维MIMO稳态闭环模型（6）-（7）可以用标量但非因果传递函数代替，
Figure 572101DEST_PATH_IMAGE082
（17）
Figure 888812DEST_PATH_IMAGE083
（18）
其中
Figure 17305DEST_PATH_IMAGE084
代表空间坐标。请注意，输入和输出灵敏度函数具有相同的非因果传递函数表示，如上面的等式所示。
B. 因果等效闭环模型
到目前为止，CD工艺的闭环标量非因果模型（17）-（18）对于进一步处理例如最优输入设计仍然不是便利形式。在本小节中，我们将开发方法来找到非因果传递函数的因果等效模型，例如
Figure 697073DEST_PATH_IMAGE085
。首先，以下引理是必要的。
引理1， 假设
Figure 227411DEST_PATH_IMAGE086
和
Figure 698713DEST_PATH_IMAGE087
满足Wiener-Hopf分解条件。那么总和
Figure 314502DEST_PATH_IMAGE088
也可以满足这些条件。
证明， 由于
Figure 280184DEST_PATH_IMAGE089
和
Figure 179876DEST_PATH_IMAGE090
满足（9），我们有，
Figure 838390DEST_PATH_IMAGE091
Figure 925164DEST_PATH_IMAGE092
因此，它遵循
Figure 694537DEST_PATH_IMAGE093
（19）
此外，（19）的系数序列是真实且对称的。因此，总是能够找到
Figure 668309DEST_PATH_IMAGE094
使得满足（9）。这样就结束了证明。
从（17）-（18）定义
Figure 484343DEST_PATH_IMAGE095
，我们得到，
Figure 74724DEST_PATH_IMAGE096
（20）
从引理1可以得出，（20）的分母可以被分解为因果FIR滤波器及其反因果形式的乘积。 因此，闭环传递函数（17）-（18）被简化为，
Figure 631476DEST_PATH_IMAGE097
（21）
Figure 990913DEST_PATH_IMAGE098
（22）
其中，
Figure 256810DEST_PATH_IMAGE099
，具有与（11）和（14）类似的结构。进一步注意，
Figure 318175DEST_PATH_IMAGE100
也可以用非因果传递函数表示，如前面部分所假设的那样。换句话说，空间噪声
Figure 960509DEST_PATH_IMAGE101
具有以下表达式：
Figure 174453DEST_PATH_IMAGE102
（23）
其中，
Figure 594939DEST_PATH_IMAGE103
是空间白噪声序列。为了找到（21）-（23）的因果等效传递函数，我们建立以下定理。
定理1，考虑一个随机过程，输出序列
Figure 628754DEST_PATH_IMAGE104
（在后面，省略下标，参数
Figure 264659DEST_PATH_IMAGE105
用于表示稳态和输出序列）根据以下非因果Box-Jenkins模型生成
Figure 333109DEST_PATH_IMAGE106
（24）
其中，
Figure 940808DEST_PATH_IMAGE107
是高斯白噪声序列。具有参数
Figure 445608DEST_PATH_IMAGE108
和
Figure 898586DEST_PATH_IMAGE109
的多项式分别是因果和反因果部分。假设所有多项式在单位圆上没有零并且是最小相位。那么，存在因果多项式
Figure 336389DEST_PATH_IMAGE110
和白噪声序列
Figure 849410DEST_PATH_IMAGE111
以及随机序列
Figure 372664DEST_PATH_IMAGE112
，其具有与
Figure 894912DEST_PATH_IMAGE113
相同的谱，使得
Figure 937955DEST_PATH_IMAGE114
（25）
证明，如果通过使用
Figure 887456DEST_PATH_IMAGE115
乘以（24）的两边，我们可以得到，
Figure 635357DEST_PATH_IMAGE116
（26）
定义反因果多项式
Figure 961296DEST_PATH_IMAGE117
的根分别为
Figure 858845DEST_PATH_IMAGE118
和
Figure 228515DEST_PATH_IMAGE119
。设：
Figure 211515DEST_PATH_IMAGE120
Figure 793675DEST_PATH_IMAGE121
。
注意
Figure 545730DEST_PATH_IMAGE122
并且同样适用于
Figure 837034DEST_PATH_IMAGE123
和
Figure 822177DEST_PATH_IMAGE124
。将（26）的两边乘以
Figure 958760DEST_PATH_IMAGE125
，经过一些操作后，可以得到，
Figure 96480DEST_PATH_IMAGE126
（27）
其中
Figure 810883DEST_PATH_IMAGE127
（28）
由于
Figure 502895DEST_PATH_IMAGE128
和
Figure 974328DEST_PATH_IMAGE129
是全通滤波器，
Figure 419084DEST_PATH_IMAGE130
是具有与
Figure 786612DEST_PATH_IMAGE131
相同的谱的白噪声序列，但可以对应不同的实现（realization）。此外，
Figure 746347DEST_PATH_IMAGE132
具有与
Figure 490312DEST_PATH_IMAGE133
相同的谱。因此，（25）通过配对
Figure 71466DEST_PATH_IMAGE134
来验证，依此类推（27），结束这个证明。
备注1，从定理1，可以解释
Figure 390320DEST_PATH_IMAGE135
和
Figure 56925DEST_PATH_IMAGE136
之间的等效是基于谱的，尽管实现可能是不同的。然而，这种等效性极大地促进了原始非因果模型的最大似然估计，通过将其简化为因果等效形式。以这种方式执行的基本原理是基于以下结论：非因果模型和因果模型的对数似然函数收敛于为与概率1一样，因为样本数趋于无穷大，这也可以扩展到（24）中的非因果Box-Jenkins模型。
类似地，（22）中的输入信号
Figure 870160DEST_PATH_IMAGE137
也可以通过因果滤波器来表示，
Figure 823597DEST_PATH_IMAGE138
（29）
其中
Figure 532927DEST_PATH_IMAGE139
具有与
Figure 217987DEST_PATH_IMAGE140
具有相同的谱。方程（25）和（29）对于后续的最优输入设计是必要的。
C. 因果和非因果模型参数估计的协方差矩阵等效性
众所周知，如果白噪声是高斯分布的，则具有适当选择标准的预测误差方法将与最大似然估计一致。已经表明，对于开环数据，非因果ARX模型的对数似然函数和对应的因果ARX模型的对数似然函数将收敛到与样本数趋于无穷大的相同值。在本小节中，我们将演示闭环数据的类似陈述。
定理2，让我们考虑以下非因果工艺模型（
Figure 553022DEST_PATH_IMAGE141
是紧凑集
Figure 374347DEST_PATH_IMAGE142
中的参数），
Figure 254579DEST_PATH_IMAGE143
（30）
其中，
Figure 161355DEST_PATH_IMAGE144
在（11）-（13）中被定义，
Figure 300081DEST_PATH_IMAGE145
在（23）中被定义。
Figure 975913DEST_PATH_IMAGE146
是高斯白噪声。假设数据是在闭环中用控制器模型（14）-（16）生成的，并且所有相关的传递函数都是稳定的。将
Figure 292625DEST_PATH_IMAGE147
表示为非因果模型（30）的对数似然函数和将
Figure 935965DEST_PATH_IMAGE148
表示为与（25）类似地获得的（30）的因果等效模型的对数似然函数。我们有
Figure 363535DEST_PATH_IMAGE149
，
Figure 159453DEST_PATH_IMAGE150
Figure 922701DEST_PATH_IMAGE151
。
备注2，定理2意味着对数似然函数及其衍生物相对于从原始非因果模型和因果模型获得的参数
Figure 272910DEST_PATH_IMAGE152
都是渐近相同的。因此，我们可以得出结论，来自两个方案的参数协方差矩阵一致，因此我们可以基于因果模型执行最优输入设计。
III. 闭环优化输入设计
研究了稳态CD工艺模型闭环中的最优输入设计。由于MIMO CD闭环模型（6）- （7）的缺点，重点将放在非因果CD工艺模型上。由于定理2，输入设计的实际实施将在因果等效CD闭环模型上。
注意，在实践中，噪声模型参数的用处较小，因此我们将参数
Figure 769751DEST_PATH_IMAGE153
分割为
Figure 403863DEST_PATH_IMAGE154
，其中
Figure 327957DEST_PATH_IMAGE155
是工艺模型参数矢量，
Figure 431042DEST_PATH_IMAGE156
是噪声模型参数矢量。对于输入设计，重点将仅放在最小化
Figure 715262DEST_PATH_IMAGE155
的协方差上。基于这种动机，由于定理2，
Figure 954613DEST_PATH_IMAGE157
、
Figure 784029DEST_PATH_IMAGE158
的参数协方差矩阵表示为，
Figure 623678DEST_PATH_IMAGE159
（31）
其中，
Figure 196742DEST_PATH_IMAGE160
是噪声
Figure 821758DEST_PATH_IMAGE161
的方差。
Figure 74273DEST_PATH_IMAGE162
和
Figure 151950DEST_PATH_IMAGE163
分别是
Figure 263125DEST_PATH_IMAGE164
和
Figure 742648DEST_PATH_IMAGE165
的因果等效形式。 根据（29），输入谱
Figure 163134DEST_PATH_IMAGE166
与激发谱
Figure 462529DEST_PATH_IMAGE167
相关，通过
Figure 642974DEST_PATH_IMAGE168
（32）
闭环最优输入设计可以被公式化为将参数协方差
Figure 226271DEST_PATH_IMAGE169
的函数最小化，受到一组约束，例如输入和输出功率约束，
Figure 833970DEST_PATH_IMAGE170
（33）
Figure 355081DEST_PATH_IMAGE171
（34）
Figure 588485DEST_PATH_IMAGE172
（35）
其中
Figure 777021DEST_PATH_IMAGE173
和
Figure 555621DEST_PATH_IMAGE174
是对输入信号功率和输出信号功率的限制。约束（34）-（35）可以分别根据设计变量
Figure 816226DEST_PATH_IMAGE175
乘以（32）和（25）来写入。由于该优化问题仍然是无限维的（因为
Figure 72895DEST_PATH_IMAGE176
是
Figure 381516DEST_PATH_IMAGE177
的连续函数），所以可以采用称为有限维参数化的技术将其简化为有限维的情况。具体来说，
Figure 314706DEST_PATH_IMAGE178
可以通过谱的定义来参数化，
Figure 341568DEST_PATH_IMAGE179
（36）
其中
Figure 401928DEST_PATH_IMAGE180
是参数，
Figure 814324DEST_PATH_IMAGE181
是选定数量的参数。利用（36），可以将原始优化问题转换为具有有限数量参数的问题。值得指出的是，在搜索最优
Figure 669147DEST_PATH_IMAGE182
时必须满足任何频率下参数化谱（36）的非负性。通过为谱构建可控且可观察的状态空间实现，KYP引理满足了该要求。在这些处理之后，我们将获得一个整洁且可解的凸优化（选择
Figure 652147DEST_PATH_IMAGE183
为凸）问题，这可以通过诸如CVX工具箱的现成求解器容易地解决。
备注3，注意，上述最优输入设计仅考虑输入和输出（34）-（35）的功率约束。然而，在实践中，对CV和MV的硬性约束更有意义，并且这仍然是如上所述的频域最优输入设计的开放问题。此外，特定于CD工艺，防止致动器上的“拾取”的二阶弯曲约束也是重要的。
IV. 案例分析
仿真示例用于验证所提出的CD工艺模型识别和闭环最优输入设计方法。 特别是，将最优设计输入对识别的影响与Chu等人美国专利8,224,476所述的工业中目前使用的冲击激励的影响进行比较，该专利并入本文。
在实践中，假设单个致动器的空间响应形状满足以下非线性方程，
Figure 499886DEST_PATH_IMAGE184
（37）
其中，
Figure 251941DEST_PATH_IMAGE185
分别代表增益，宽度，发散和衰减。
Figure 529863DEST_PATH_IMAGE186
是空间坐标。在该示例中，这些参数分别用值指定，
Figure 265738DEST_PATH_IMAGE187
。 幅度5的脉冲信号下的响应形状在图5A的曲线图中示出为实线曲线。为方便起见，我们假设CD工艺有222个致动器和测量箱。选择控制器为CD-MPC，预测范围为25个样本，控制范围为1个样本（采样间隔为12秒）。成本函数中的加权矩阵选择为
Figure 933480DEST_PATH_IMAGE188
，并且
Figure 805621DEST_PATH_IMAGE189
。（5）中的
Figure 517094DEST_PATH_IMAGE190
计算为12.3212。从上面对因果等效模型的发展的讨论中，可以分别获得CD工艺和控制器的非因果标量模型。这些非因果模型的脉冲响应曲线如图5A和图5B所示，以点划线曲线示出。注意，为简单起见，我们选择
Figure 474685DEST_PATH_IMAGE191
，更高阶将提高拟合性能，但也会增加最优输入设计的计算。噪声方差选择为0.1，噪声模型
Figure 680539DEST_PATH_IMAGE192
（输出误差结构）。请注意，小的工艺增益（因果等效模型具有甚至更小的增益）需要大的激励信号以获得良好的信噪比。
为了使最优激励信号与冲击激励之间的比较有意义，我们在激励信号的幅度上设置了±10的硬性约束。对于最优设计的输入，如果其幅度的任何部分违反此约束，我们将在该边界上设置该部分饱和。对于冲击信号，冲击的幅度在-10和10之间交替。为了实现这一目标，我们仔细选择
Figure 922033DEST_PATH_IMAGE193
和
Figure 289561DEST_PATH_IMAGE194
。图6A中的曲线显示了在100次Monte-Carlo模拟中估计模型的脉冲响应。图6B中的曲线示出了在冲击激励信号下的另一100次模拟产生的相应结果。从图6A和6B，冲击信号的估计模型的脉冲响应具有大的方差，并且估计的增益不精确。但是，来自最优输入的估计值显示更小的方差且增益更准确。因此，在闭环识别性能方面，设计的最优输入在该示例中优于冲击激励信号。
在一些实施例中，上述各种功能由计算机程序实现或支持，该计算机程序由计算机可读程序代码形成并且包含在计算机可读介质中。短语“计算机可读程序代码”包括任何类型的计算机代码，包括源代码，目标代码和可执行代码。短语“计算机可读介质”包括能够被计算机访问的任何类型的介质，例如只读存储器（ROM），随机存取存储器（RAM），硬盘驱动器，光盘（CD），数字视频光盘（DVD）或任何其他类型的存储器。“非暂时性”计算机可读介质排除了传输瞬时电信号或其他信号的有线，无线，光学或其他通信链路。非暂时性计算机可读介质包括可以永久存储数据的介质和可以存储和稍后重写数据的介质，例如可重写光盘或可擦除存储器设备。

Claims (10)

1.一种用于工业片材制造系统的模型预测控制器的工艺模型的闭环识别方法，所述工业片材制造系统具有沿横向（CD）布置的多个致动器，其中所述模型预测控制器提供对片材制造系统中采用的空间分布片材工艺的控制，该方法包括以下步骤：
（a）为空间分布工艺选择工艺模型，其中工艺模型由矩阵定义；
（b）将矩阵转换为非因果传递函数；
（c）将非因果传递函数转换为具有等效谱的因果模型；
（d）使用因果模型设计用于工艺激励的最优输入谱；
（e）将最优输入谱的频域表现变换为时域实现，该时域实现是致动器运动的序列；
（f）将致动器运动序列应用于多个致动器，并收集关于由于致动器运动序列引起的横向片材性质变化的数据，以确定测量的致动器响应廓线；
（g）分析数据以提取新的模型参数；以及
（h）为工艺模型输入新的模型参数。
2.根据权利要求1所述的方法，其中，所述矩阵定义致动器位置和空间分布工艺测量之间的稳态增益。
3.如权利要求1所述的方法，其中步骤（a）包括使用初始工艺模型，该初始工艺模型是现有工艺模型，其中，该初始工艺模型允许设计针对感兴趣的特定工艺定制的激发序列。
4.根据权利要求1所述的方法，其中步骤（b）通过从空间增益矩阵的单个列中获取参数来生成非因果空间有限脉冲响应模型。
5.如权利要求1所述的方法，其中步骤（c）包括取得因果传递函数的平方。
6.如权利要求1所述的方法，其中在步骤（d）中，设计输入谱以最小化受到输入和输出功率约束的因果等效模型的参数估计的协方差。
7.如权利要求6所述的方法，其中在步骤（d）中最小化因果等效模型的参数估计的协方差包括进行输入谱的有限维参数化。
8.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述空间分布工艺的工艺模型是关于一个致动器阵列和相应的测量阵列。
9.根据权利要求1所述的方法，其中所述空间分布的片材制造工艺是造纸工艺。
10.一种多变量模型预测控制器，用于向具有至少一个受操纵致动器阵列和至少一个受控测量阵列的横向（CD）工艺提供控制，其中所述模型预测控制器采用由矩阵定义的工艺模型，并且，所述模型预测控制器包括这样配置的处理器：
将矩阵转换为非因果传递函数;
将非因果传递函数转换为具有等效谱的因果模型;
使用因果模型为工艺激励设计最优输入谱;
将最优输入谱的频域表现变换为时域实现，该时域实现是致动器运动序列;
将致动器运动序列应用于多个致动器并收集关于由于致动器运动序列引起的横向片材性质变化的数据，以确定所测量的致动器响应廓线;
分析数据以提取新的模型参数；以及
为工艺模型输入新的模型参数。
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