CN108829974A - 一种基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法 - Google Patents

一种基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于结构可靠性分析相关技术领域，其公开了一种基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，该方法包括以下步骤：(1)建立克里金近似模型；(2)计算各个候选点上的预测值、预测方差及梯度；(3)采用投影轮廓线主动学习方法搜索出更新点；(4)判断更新点是否满足更新的停止条件，若满足，则转至步骤(6)，否则转至步骤(5)；(5)更新实验设计数据，并转至步骤(1)；(6)计算失效概率的上下界；(7)判断失效概率上下界的变异系数是否满足方法停止条件，若满足，转至步骤(9)，否则转至步骤(8)；(8)更新候选点集，并转至步骤(2)；(9)输出步骤(6)得到的失效概率上下界。由此降低了成本，提高了效率。

Description

一种基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法
技术领域
本发明属于结构可靠性分析相关技术领域，更具体地，涉及一种基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法。
背景技术
实际工程结构涉及很多不确定性，这些不确定性可以存在于结构所受载荷、材料属性、几何尺寸等众多因素中。一般来说，不确定性可以分为随机不确定性和认知不确定性。随机不确定性具有客观性，它常来源于物理系统的内部变化，经典的概率论可以用来量化随机不确定性。认知不确定性是主观的，稀少的数据、不完整的信息和认知的不足等会引起认知不确定性，区间理论是一种常见的量化认知不确定性的方法。在实际工程问题中，随机不确定性和认知不确定性经常同时存在。
当工程结构存在不确定性时，开展可靠性分析对于其安全是一项重要的工作。蒙特卡洛采样法是一个操作非常方便的混合不确定性下可靠性分析方法，该方法非常稳定，但是需要大量的失效函数评估次数。在很多实际工程问题中，失效函数经常是复杂的计算机程序，如有限元仿真模型，每次失效函数评估都需要花费几个小时甚至几天的时间，因此蒙特卡罗采样法无法适用于昂贵耗时失效函数的可靠性分析问题。
关于上述昂贵耗时失效函数的可靠性分析问题，目前可以通过近似模型，如克里金近似模型来替代原始失效函数。常用的近似模型更新法是在极限状态面上加点，此类方法虽然能够得到一个较高质量的近似模型，但是真实失效函数的调用次数较多，可靠性分析的计算和时间成本较高。相应地，本领域存在着发展一种成本较低的结构可靠性分析方法的技术需求。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其基于现有混合不确定性分析的特点，研究及设计了一种成本较低的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法。所述结构可靠性分析方法适用于随机不确定性和区间不确定性同时存在的结构可靠性分析，其在近似模型更新时，仅仅关注影响最终失效概率计算的极限状态面上的投影轮廓线，而不关注所述极限状态面的其他区域，节省了大量的真实失效函数的调用次数，提高了效率，降低了可靠性分析的计算及时间成本。此外，所述结构可靠性分析方法采用蒙特卡洛采样法来实现失效概率的计算，具有较好的稳定性。
为实现上述目的，本发明提供了一种基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，该结构可靠性分析方法主要包括以下步骤：
(1)采取多个候选点，并将所述候选点归入到候选点集；
(2)确定采样范围的边界后，在采样范围内采取多个实验设计点，接着评估所述实验设计点处的真实失效函数的响应值，并将所述实验设计点以及响应值加入到实验设计数据中；
(3)依据当前的实验设计数据建立克里金近似模型；
(4)采用当前的克里金近似模型计算各个候选点上的预测值、预测方差及梯度；
(5)结合得到的所述预测值、所述预测方差及所述梯度，采用投影轮廓线主动学习方法自所述候选点集中搜索出一个更新点；
(6)判断所述更新点是否满足克里金近似模型更新的停止条件，若满足，则转至步骤(8)，否则转至步骤(7)；
(7)评估所述更新点处真实失效函数的响应值，将所述更新点以及响应值添加到实验设计数据中，并转至步骤(3)；
(8)采用当前的克里金近似模型及所述候选点集计算失效概率的上下界；
(9)判断得到的失效概率的上下界的变异系数是否满足方法停止条件，若满足，转至步骤(11)，否则转至步骤(10)；
(10)增加候选点到所述候选点集中，并转至步骤(4)；
(11)输出步骤(8)得到的失效概率的上下界，即输出可靠性分析的结果。
进一步地，步骤(1)中采取候选点时，对于随机变量，采用蒙特卡洛采样法根据随机变量的概率密度函数进行采样；对于区间变量，采用拉丁超立方采样方法在区间变量的取值范围内进行采样。
进一步地，步骤(2)中，对于随机变量，采样范围的边界为Fi -1(Φ(±5))(i＝1，2，...，nx)，其中nx表示随机变量的个数，Φ(·)是标准正态分布的累积概率密度函数，Fi -1(·)是第i个随机变量累积概率密度函数的逆函数；对于区间变量，采样范围的边界设定为区间变量的上下界。
进一步地，所述实验设计点的数量为12与所述区间变量的个数及所述随机变量的个数之和中的最大值。
进一步地，所述预测值的计算公式为所述预测方差的计算公式为所述梯度的计算公式为 其中，X表示随机变量的向量；X(S)表示第S个候选点的随机变量；Y表示区间变量的向量；Y(S)表示区间变量的第S个候选点的区间变量；表示克里金近似模型预测函数；表示克里金近似模型的预测方差；表示克里金近似模型在点(X(S),Y(S))处预测值对于第j个区间变量yj的偏导；nmc为当前候选点集中点的数量。
进一步地，步骤(5)包括以下子步骤：
(51)自所述候选点集中选出nKKT个满足公式(1)和(2)或公式(3)和(4)中松弛库恩塔克条件的候选点(X(k),Y(k))(k＝1,2,...,nKKT)；
其中，和H(·)属于松弛的库恩塔克条件；是第k个点的第j个区间变量；是克里金近似模型在点(X(k),Y(k))处预测值对于第j个区间变量的偏导；和是第j个区间变量的上下界允许误差；是第j个区间变量的梯度允许误差；
(52)利用U函数从nKKT个候选点中选出一个更新点(Xnew，Ynew)，在在nKKT个候选点中，所述更新点(Xnew,Ynew)对应的U函数值最小。
进一步地，所述停止条件为所述更新点的U函数值大于等于2；所述U函数采用以下公式表示：
其中，是克里金近似模型的预测标准差。
进一步地，失效概率的上下界和采用公式(8)及公式(9)计算：
其中，和是指示函数，其计算公式分别为：
其中，表示在给定X下，克里金近似模型在区间[YL，YU]上的最小值；表示在给定X下，克里金近似模型在区间[YL，YU]上的最大值。
进一步地，失效概率上下界的变异系数和分别采用以下公式计算：
进一步地，步骤(10)中增加候选点的数量和方法与步骤(1)中采取的候选点的数量和方法相同。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法主要具有以下有益效果：
1.所述结构可靠性分析方法适用于随机不确定性和区间不确定性同时存在的结构可靠性分析，其在近似模型更新时，仅仅关注影响最终失效概率计算的极限状态面上的投影轮廓线，而不关注所述极限状态面的其他区域，节省了大量的真实失效函数的调用次数，提高了效率，降低了可靠性分析的计算及时间成本。
2.采用蒙特卡洛采样法来实现失效概率的计算，具有较好的稳定性。
3.实验设计点的添加考虑到了克里金近似模型的预测标准差，使得所述结构可靠性分析方法能够较精确地评价失效概率。
4.所述结构可靠性分析方法简单易行，不依赖经验，实用性较强，灵活性较高。
附图说明
图1是本发明第一实施方式提供的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法的流程示意图。
图2是本发明第二实施方式提供的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法涉及的十杆桁架的示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
请参阅图1，本发明第一实施方式提供的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法考虑到影响最终失效概率计算的区域是极限状态面上的投影轮廓线，因此近似整个极限状态面是不必要的，可以采用近似模型直接对投影轮廓线进行替代并更新，如此相比整个极限状态面，投影轮廓线范围很小，因此关注投影轮廓线来更新近似模型，可以节省很多真实失效函数的调用次数，进而降低可靠性分析的计算和时间成本。
所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法主要包括以下步骤：
步骤一，对待进行可靠性分析的结构采样多个候选点，并将所述候选点归入到候选点集。具体地，生成M个候选点，并将所有候选点归入到候选点集Ω中，对于随机变量，采用蒙特卡洛采样方法根据随机变量的概率密度函数进行候选点的采样；对于区间变量，采用拉丁超立方采样方法在区间变量的取值范围内进行候选点的采样。本实施方式中，M取10000。
步骤二，确定采样范围的边界后，在采样范围内采取多个实验设计点，接着评估所述实验设计点处真实失效函数的响应值，并将所述实验设计点以及响应值加入到实验设计数据中。
具体地，确定初始实验设计，对于随机变量，采样范围的边界设定为Fi -1(Φ(±5))(i＝1，2，...，nx)，其中nx表示随机变量的个数，Φ(·)是标准正态分布的累积概率密度函数，Fi -1(·)是第i个随机变量累积概率密度函数的逆函数；对于区间变量，采样范围的边界设定为区间变量的上下界。上下界确定后，采用拉丁超立方采样方法在采样范围内均匀采取max(nx+ny,12)个实验设计点，其中ny表示区间变量的个数，max(·)用来获得最大值；接着评估所述实验设计点处的真实失效函数响应值，并将所述实验设计点以及响应值加入到实验设计数据中。
步骤三，依据当前的实验设计数据建立克里金近似模型。
步骤四，采用当前的克里金近似模型计算各个所述候选点上的预测值、预测方差及梯度。具体地，采用当前的克里金近似模型计算各个所述候选点上的预测值预测方差和梯度 其中X表示随机变量的向量；X(S)表示第S个候选点的区间变量；Y表示区间变量的向量；Y(S)表示第S个候选点的区间变量；表示克里金近似模型预测函数；表示克里金近似模型的预测方差；表示克里金近似模型在点(X(S),Y(S))处预测值对于第j个区间变量yj的偏导；nmc为当前候选点集中点的数量。
步骤五，结合得到的所述预测值、所述预测方差及所述梯度，采用投影轮廓线主动学习方法自所述候选点集中搜索出一个更新点。具体地，首先，自所述候选点集中选出nKKT个满足公式(1)和(2)或公式(3)和(4)中松弛库恩塔克条件的候选点(X(k),Y(k))(k＝1,2,...,nKKT)。
其中，和H(·)属于松弛的库恩塔克条件；是第k个点的第j个区间变量；是克里金近似模型在点(X(k),Y(k))处预测值对于第j个区间变量的偏导；和是第j个区间变量的上下界允许误差；是第j个区间变量的梯度允许误差；一般地，和可以设为其中和分别是第j个区间变量的上界和下界；可以设定为：
其中，rank(·)是升序排序函数，Med(·)是取中间值函数。
接着，利用U学习函数从nKKT个候选点中选出一个点(Xnew，Ynew)，U学习函数定义为：
其中，是克里金近似模型的预测标准差，在nKKT个候选点中，(Xnew,Ynew)应具有最小的U函数值。
步骤六，判断所述更新点是否满足克里金近似模型更新的停止条件，若满足，则转至步骤八，否则转至步骤七；其中，所述停止条件为所述更新点的U函数值大于等于2。具体地，所述停止条件如公式(7)所示。
U(Xnew,Ynew)≥2(7)
步骤七，评估所述更新点处真实失效函数的响应值，将所述更新点以及响应值添加到实验设计数据中，并转至步骤三。
步骤八，采用当前的克里金近似模型及所述候选点集计算失效概率的上下界。具体地，失效概率的上下界(即和)计算公式如下：
其中，和是指示函数，其计算公式分别为：
其中，表示在给定X下，克里金近似模型在区间[YL，YU]上的最小值；表示在给定X下，克里金近似模型在区间[YL，YU]上的最大值；和可以通过顶点法、梯度优化法或采样法等来进行计算。
步骤九，判断得到的失效概率的上下界的变异系数是否满足方法停止条件，若满足，转至步骤十一，否则转至步骤十；其中，所述方法停止条件为失效概率的上下界的变异系数均小于0.05。具体地，所述停止条件为：
其中，和分别为失效概率上下界的变异系数，其计算公式分别为：
步骤十，增加多个候选点到所述候选点集中，并转至步骤四。
步骤十一，结构可靠性分析停止，输出步骤八得到的失效概率的上下界，即输出可靠性分析的结果。
请参阅图2，采用本发明第二实施方式提供的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法对一个十字桁架进行可靠性分析。其中，每根杆的杨氏模量为105MPa，杆(1)、杆(2)、杆(3)及杆(4)的横截面面积均为A1，杆(5)及杆(6)的横截面面积为A2，杆(7)、杆(8)、杆(9)及杆(10)的横截面面积为A3。节点4承受垂直载荷F1，节点2承受垂直载荷F2和水平载荷F3。节点2的最大竖直偏移为9.3毫米，失效函数为：
G(A,F)＝9.3-Δ2
其中，Δ2表示节点2的偏移；A表示向量[A1，A2，A3]；F表示向量[F1，F2，F3]；A1、A2和A3是随机变量，均服从于相同的正态分布，正态分布的均值为1000mm，标准差为50mm。F1、F2和F3是区间变量，F1和F2的取值区间为[79.5kN，80.5kN]，F3的取值区间为[9.9kN，10.1kN]。
本发明第二实施方式提供的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法主要包括以下步骤：
(1)生成10000个候选点，并将所述候选点归入到候选点集合中；对于随机变量，利用蒙特卡洛采样方法根据随机变量的概率密度函数进行候选点的采样；对于区间变量，采用拉丁超立方采样方法在区间变量的取值范围内采样候选点。
(2)确定初始实验设计，对于随机变量，采样范围的边界界定为Fi -1(Φ(±5))(i＝1，2，...，nx)，其中nx表示随机变量的个数，Φ(·)是标准正态分布的累积概率密度函数，Fi -1(·)是第i个随机变量累积概率密度函数的逆函数；对于区间变量，采样范围的边界设定为区间变量的上下界。之后，采用拉丁超立方采样方法在采样范围内均匀采取12个实验设计点，并评估所述实验设计点的真实失效函数响应值，将所述实验设计点以及响应值加入到实验设计数据中。
(3)依据当前的实验设计数据建立克里金近似模型。
(4)采用当前的克里金近似模型来计算各个所述候选点上的预测值预测方差和梯度 其中X表示随机变量的向量；X(S)表示第S个候选点的随机变量；Y表示区间变量的向量；Y(S)表示第S个候选点的区间变量；表示克里金近似模型预测函数；表示克里金近似模型的预测方差；表示克里金近似模型在点(X(S),Y(S))处预测值对于第j个区间变量yj的偏导；nmc为当前候选点集合中点的数量。
(5)采用投影轮廓线主动学习方法自所述候选点集合中搜索出一个更新点(Xnew,Ynew)，具体包括以下步骤：首先，自所述候选点集合中搜索出nKKT个满足公式(1)和(2)或公式(3)和(4)中松弛库恩塔克条件的候选点(X(k),Y(k))(k＝1,2,...,nKKT)；接着，采用U学习函数自搜索出的nKKT个候选点中选出一个更新点(Xnew,Ynew)，且在nKKT个候选点中，更新点(Xnew,Ynew)对应的U函数值最小。
(6)判断所述更新点是否满足近似模型更新的停止条件，若满足则转至步骤(8)，否则转至步骤(7)；其中，所述停止条件为所述更新点的U函数值U(Xnew,Ynew)≥2。
(7)评估所述更新点处真实失效函数的响应值，将所述更新点以及响应值添加到实验设计数据中后转至步骤(3)。
(8)采用当前的克里金近似模型及所述候选点集合计算失效概率的上下界，失效概率的上下界采用公式(8)及(9)进行计算。本实施方式中，采用采样法计算失效概率的上下界。
(9)采用公式(13)及公式(14)计算概率失效函数的上下界的变异系统，并判断得到的两个变异系数是否都小于0.05，若都小于0.05，转至步骤(11)，否则转至步骤(10)。
(10)增加10000个候选点到所述候选点集合中，并转至步骤(4)。对于随机变量，采用蒙特卡洛采样方法根据随机变量的概率密度函数进行采样；对于区间变量，采用拉丁超立方采样方法在区间变量的取值范围内采样。
(11)结构可靠性分析停止，输出步骤(8)得到的失效概率的上下界，即输出可靠性分析的结果。本实施方式中，得到失效函数G(A,F)的失效概率上下界分别为0.0202和0.00844，真实失效函数的评估次数共为47次。
本发明提供的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，所述结构可靠性分析方法适用于随机不确定性和区间不确定性同时存在的结构可靠性分析，其在近似模型更新时，仅仅关注影响最终失效概率计算极限状态面上的投影轮廓线，而不是关注所述极限状态面的其他区域，节省了大量的真实失效函数的调用次数，提高了效率，降低了可靠性分析的计算及时间成本。此外，所述结构可靠性分析方法采用蒙特卡洛采样法来实现失效概率的计算，具有较好的稳定性。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
(1)采取多个候选点，并将所述候选点归入到候选点集；
(2)确定采样范围的边界后，在采样范围内采取多个实验设计点，接着评估所述实验设计点处真实失效函数的响应值，并将所述实验设计点以及响应值加入到实验设计数据中；
(3)依据当前的实验设计数据建立克里金近似模型；
(4)采用当前的克里金近似模型计算各个候选点上的预测值、预测方差及梯度；
(5)结合得到的所述预测值、所述预测方差及所述梯度，采用投影轮廓线主动学习方法自所述候选点集中搜索出一个更新点；
(6)判断所述更新点是否满足克里金近似模型更新的停止条件，若满足，则转至步骤(8)，否则转至步骤(7)；
(7)评估所述更新点处真实失效函数的响应值，将所述更新点以及响应值添加到实验设计数据中，并转至步骤(3)；
(8)采用当前的克里金近似模型及所述候选点集计算失效概率的上下界；
(9)判断得到的失效概率的上下界的变异系数是否满足方法停止条件，若满足，转至步骤(11)，否则转至步骤(10)；
(10)增加候选点到所述候选点集中，并转至步骤(4)；
(11)输出步骤(8)得到的失效概率的上下界，即输出结构可靠性分析的结果。
2.如权利要求1所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于：步骤(1)中采取候选点时，对于随机变量，采用蒙特卡洛采样法根据随机变量的概率密度函数进行采样；对于区间变量，采用拉丁超立方采样方法在区间变量的取值范围内进行采样。
3.如权利要求1所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于：步骤(2)中，对于随机变量，采样范围的边界为Fi -1(Φ(±5))(i＝1，2，...，nx)，其中nx表示随机变量的个数，Φ(·)是标准正态分布的累积概率密度函数，Fi -1(·)是第i个随机变量累积概率密度函数的逆函数；对于区间变量，采样范围的边界设定为区间变量的上下界。
4.如权利要求3所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于：所述实验设计点的数量为12与所述区间变量的个数及所述随机变量的个数之和中的最大值。
5.如权利要求1-4任一项所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于：所述预测值的计算公式为所述预测方差的计算公式为所述梯度的计算公式为其中，X表示随机变量的向量；X(S)表示第S个候选点的随机变量；Y表示区间变量的向量；Y(S)表示第S个候选点的区间变量；表示克里金近似模型预测函数；表示克里金近似模型的预测方差；表示克里金近似模型在点(X(S),Y(S))处预测值对于第j个区间变量yj的偏导；nmc为当前候选点集中点的数量。
6.如权利要求5所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于：步骤(5)包括以下子步骤：
(51)自所述候选点集中选出nKKT个满足公式(1)和(2)或公式(3)和(4)中松弛库恩塔克条件的候选点(X(k),Y(k))(k＝1,2,...,nKKT)；
其中，和H(·)属于松弛的库恩塔克条件；是第k个点的第j个区间变量；是克里金近似模型在点(X(k),Y(k))处预测值对于第j个区间变量的偏导；和是第j个区间变量的上下界允许误差；是第j个区间变量的梯度允许误差；
(52)利用U函数从nKKT个候选点中选出一个更新点(Xnew，Ynew)，在在nKKT个候选点中，所述更新点(Xnew,Ynew)对应的U函数值最小。
7.如权利要求6所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于：所述停止条件为所述更新点的U函数值大于等于2；所述U函数采用以下公式表示：
其中，是克里金近似模型的预测标准差。
8.如权利要求6所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于：失效概率的上下界和采用公式(8)及公式(9)计算：
其中，和是指示函数，其计算公式分别为：
其中，表示在给定X下，克里金近似模型在区间[YL，YU]上的最小值；表示在给定X下，克里金近似模型在区间[YL，YU]上的最大值。
9.如权利要求8所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于：失效概率上下界的变异系数和分别采用以下公式计算：
10.如权利要求1-4任一项所述的基于投影轮廓线主动学习的结构可靠性分析方法，其特征在于：步骤(10)中增加候选点的数量和方法与步骤(1)中采取的候选点的数量和方法相同。
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