CN108763707B - 混合不确定性下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开一种混合不确定性下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法，通过对极限状态方程在随机变量的均值点及区间变量的中心点进行单变量近似，并确定近似后的极限状态方程在区间变量上的最小和最大值；确定极限状态方程在区间变量上的最小和最大值的累积量母函数，并分别计算鞍点值；从而计算系统的可靠性；相比于现有的可靠性方法，本发明的方法不用搜索极限状态方程可靠性设计验算点，提高了计算效率，并且能适用于混合不确定下的结构可靠性分析，具有更好的普适性。

Description

混合不确定性下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法
技术领域
本发明属于可靠性工程领域，特别涉及一种混合不确定性下的结构可靠性分析技术。
背景技术
随着科学技术快速发展，许多重要装备和产品(如：飞机、高铁、汽车、数控机床等)的结构越来越复杂，其分析、设计等涉及众多学科领域。由于这些产品在运行过程中担负重要的作用，并且造价昂贵、工作环境恶劣，如果在运行过程中出现故障，会造成巨大的经济损失、人员伤亡和严重的社会影响。研究表明，装备和产品在分析、设计和运行过程中的波动性和不确定性是导致产品失效和故障的关键原因之一。结构可靠性分析方法由于能刻画不确定性和波动性对产品可靠性的影响，因此在工程中应用较为广泛，是保证产品高可靠性的有力工具。现有的结构可靠性分析方法，如一阶可靠性方法和二阶可靠性方法，被广泛用于结构可靠性分析中，是较有代表性的两种方法。一阶/二阶可靠性方法一般需要变量的非正态到正态空间的转换及搜索极限状态方程的可靠性设计验算点(MPP)。一般而言，变量非正态到正态的转换极大增加了极限状态方程的非线性程度，搜索可靠性设计验算点是迭代优化过程，在工程中效率低下。当极限状态非线性程度和维数较高时，以上方法所得的结果精度较低，误差较大。因此，为了避免变量非正态到正态转换和搜索极限状态方程可靠性设计验算点，相关学者提出了基于鞍点近似的可靠性分析方法(如一阶鞍点近似、二阶鞍点近似)。通常情况下，二阶鞍点近似的精度高于一阶鞍点近似。
需指出的，现有一阶/二阶可靠性方法，一阶/二阶鞍点近似方法，均只能适用于系统中存在随机不确定性的情形(随机变量)。然而，工程中的不确定性通常被分为随机不确定性和认知不确定性两大类。随机不确定性是事物的固有属性，常用随机变量进行建模；认知不确定性是由于缺乏数据等因素引起的，是一种随着认识深入和信息增多而减少的不确定性，常用区间理论进行建模。一般情况下，两种不确定性同时存在，贯穿产品整个全寿命周期。然而，现有基于鞍点近似的可靠性分析方法基本上只能处理随机不确定性，而对混合不确定性不能解决。
发明内容
本发明技术提出混合不确定下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法，无需搜索极限状态方程的可靠性设计验算点，适用于混合不确定性下的结构可靠性分析，且相比于现有技术精度和效率高，并更加符合工程实际。
本发明采用的技术方案为：混合不确定下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法，包括：
S1、分析结构系统的组成、功能和服役环境，确定系统的关键部件及所对应的失效模式及失效机理；
S2、根据步骤S1的失效机理确定影响系统失效的变量，并用随机变量对随机不确定性建模，用区间变量对认知不确定性建模；
S3、构建关键部件失效模式所对应的极限状态方程；
S4、对极限状态方程在随机变量的均值点及区间变量的中心点进行单变量近似，并确定近似后的极限状态方程在区间变量上的最小和最大值；
S5、确定极限状态方程在区间变量上的最小和最大值各自的累积量母函数，并分别计算鞍点值；
S6、根据步骤S5得到的鞍点值计算系统失效概率的最大和最小值。
进一步地，步骤S3具体为：根据步骤S2得到的随机变量、区间变量以及步骤S1确定的关键失效模式，采用有限元分析方法构建各关键失效模式所对应的极限状态方程。
进一步地，步骤S4具体为：
S41、根据单变量降维近似方法，将极限状态方程表示为包括仅含随机变量的随机变量方程与仅含区间变量的区间变量方程的关系式；
S42、对随机变量方程中的随机变量进行Nataf转换，然后在随机变量均值点进行二阶泰勒展开；
S43、对区间变量方程在区间变量中心点进行二阶泰勒展开；
S44、求解步骤S43的二阶泰勒展开式的最小值和最大值；
S45、根据步骤S41的关系式、步骤S42的二阶泰勒展开式以及步骤S44的二阶泰勒展开式的最小值，得到极限状态方程在区间变量上的最小值；
根据步骤S41的关系式、步骤S42的二阶泰勒展开式以及步骤S44的二阶泰勒展开式的最大值，得到极限状态方程在区间变量上的最大值。
本发明的有益效果：本发明的混合不确定下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法，通过对极限状态方程在随机变量的均值点及区间变量的中心点进行单变量近似，并确定近似后的极限状态方程在区间变量上的最小和最大值；确定极限状态方程在区间变量上的最小和最大值的累积量母函数，并分别计算鞍点值；相比现有的一阶/二阶可靠性方法，本发明的方法不用搜索极限状态方程可靠性设计验算点，提高了计算效率；并有效拓展了现有基于二阶鞍点近似可靠性分析方法的应用范围，更加符合工程实际。
附图说明
图1是本发明具体实施例的主流程图。
图2是本发明具体实施例步骤S4中求极值第一种情况示意图。
图3是本发明具体实施例步骤S4中求极值第二种情况示意图。
图4是本发明具体实施例步骤S4中求极值第三种情况示意图。
具体实施方式
为便于本领域技术人员理解本发明的技术内容，下面结合附图对本发明内容进一步阐释。
如图1所示为本发明的方案流程图，本发明的技术方案为：混合不确定下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法，包括：
S1、根据产品的说明书、使用规范、设计标准等，分析产品的运行环境、系统的组成和系统根据历史数据、专家经验、用户数据、维护记录等，用重要度分析方法确定出系统的关键部件和子系统。用失效模式与影响分析(Failure Mode and Effects Analysis，FMEA)等确定关键部件的失效模式及失效机理。这里的重要度分析方法、FMEA为现有技术，在此不做详细说明。
S2、用随机变量Xi(i＝1,2,…,n1)对随机不确定性建模，用区间变量Yi∈[Yi L,Yi U](i＝1,2,…,n2)对认知不确定性建模，n1,n2分别表示随机变量和区间变量的个数，Yi L,Yi U分别表示区间变量Yi的下界和上界。
确定影响系统失效的变量(如尺寸、弹性模量等)，由于随机性和波动性的影响，变量的值通常是随机的，当变量的数据量较多时(如大于30个)，变量的不确定性则用随机变量进行建模(如正态分布、威布尔分布等)。当变量的数据和信息较少时，变量的波动性用区间变量进行建模。区间的上下界可以通过咨询领域专家、同类产品类比分析等进行综合考虑后确定。用最大似然估计法和卡方检验法对变量的分布参数(如均值、方差)及分布形式进行估计和检验。这里提到的最大似然估计法和卡方检验为现有技术，本领域的普通技术人员可以根据现有资料得到，在此不再详细描述其具体过程。
S3、构建关键部件失效模式所对应的极限状态方程。确定关键部件的失效模式后(如疲劳、断裂等)，构建变量与失效模式的极限状态方程gj(X,Y)(j＝1,2,…,m)，j表示不同的失效模式，m表示失效模式的种类数，X,Y分别为随机变量与区间变量所构成的矢量。一般而言，失效模式不同，所构建的极限状态方程也不同。在工程实际中，极限状态方程通常不能用显函数进行表示，此时可以用仿真方法如有限元分析(ANSYS软件)。
S4、对极限状态方程在随机变量的均值点及区间变量的中心点进行单变量近似，并确定近似后的极限状态方程在区间变量上的最小和最大值。记随机变量Xi(i＝1,2,…,n1)的均值为μi(i＝1,2,…,n1)，区间变量Yi(i＝1,2,…,n2)的中心值为
Figure BDA0001666899890000041
Yi L,Yi U分别为区间变量Yi的下界和上界。根据单变量降维近似方法，则有：
Figure BDA0001666899890000042
式(1)中，j＝1,2,…,m。记
Figure BDA0001666899890000043
则
Figure BDA0001666899890000044
仅为随机变量Xi的方程。基于Nataf转换
Figure BDA0001666899890000045
可把原始随机变量Xi等价转换为标准正态空间的随机变量Ui，
Figure BDA0001666899890000046
Φ分别为随机变量Xi的累积分布函数和标准正态分布的累积分布函数。设转化后的
Figure BDA0001666899890000047
表示为
Figure BDA0001666899890000048
对其在随机变量Ui均值点进行二阶泰勒展开，则有：
Figure BDA0001666899890000049
为了简便起见，式(2)可进一步表示为：
Figure BDA00016668998900000410
其中，a0j、a1j、a2j表示式(3)中一元二次函数的系数，且
Figure BDA00016668998900000411
Figure BDA0001666899890000051
同理，式(1)中，记
Figure BDA0001666899890000052
则
Figure BDA0001666899890000053
仅为区间变量Yi的方程，对其在区间变量中心点进行二阶泰勒展开，则有：
Figure BDA0001666899890000054
为了简便起见，式(4)可进一步表示为：
Figure BDA0001666899890000055
式(5)中，
Figure BDA0001666899890000056
为了讨论方便，假定式(5)中一元二次函数的系数b0j,b1j,b2j均大于0，其小于0时的分析方法类似。
Figure BDA0001666899890000057
最小值和最大值可分为以下三种情况：
1)区间变量Yi的下界和上界Yi L,Yi U均在一元二次方程
Figure BDA0001666899890000058
中心对称线
Figure BDA0001666899890000059
的左边，如图2所示。则函数的最小和最大值分别为：
Figure BDA00016668998900000510
2)区间变量Yi的下界和上界Yi L,Yi U均在一元二次方程
Figure BDA00016668998900000511
中心对称线
Figure BDA00016668998900000512
的右边，如图3所示。则函数的最小和最大值分别为：
Figure BDA00016668998900000513
3)区间变量Yi的下界和上界Yi L,Yi U分别在一元二次方程
Figure BDA00016668998900000514
中心对称线
Figure BDA00016668998900000515
的两侧，如图4所示。则函数的最小和最大值分别为：
Figure BDA00016668998900000516
由式(1)至(8)可知，极限状态方程在区间变量上的最小值为：
Figure BDA0001666899890000061
同理，极限状态方程在区间变量上的最大值为：
Figure BDA0001666899890000062
本步骤中函数的单变量近似方法为现有技术，在此不做详细说明。
S5、确定极限状态方程在区间变量上最小和最大值时的累积量母函数(CumulantGenerating Function,CGF)，并分别计算其鞍点值。标准正态分布Ui的CGF为
Figure BDA0001666899890000063
由于
Figure BDA0001666899890000064
服从自由度为1的卡方分布，其CGF为
Figure BDA0001666899890000065
ln表示自然对数。由式(9)和CGF函数的性质，可得极限状态方程在区间变量上的最小值的CGF为：
Figure BDA0001666899890000066
式(11)中，a0j、a1j、a2j表示式(3)中一元二次函数的系数。
Figure BDA0001666899890000067
Figure BDA0001666899890000068
由式(10)和CGF函数的性质，可得极限状态方程在区间变量上的最大值的CGF为：
Figure BDA0001666899890000069
分别对式(11)、(12)的
Figure BDA00016668998900000610
和
Figure BDA00016668998900000611
进行关于t的偏导数并令其等于0，可得方程：
Figure BDA00016668998900000612
Figure BDA00016668998900000613
求解式(13)和(14)中的方程，可得系统取值最小(最差情形)和最大(最好情形)时的鞍点值
Figure BDA00016668998900000614
和
Figure BDA00016668998900000615
本步骤中的CGF为现有技术，在此不做详细说明。
S6、计算系统失效概率的最大和最小值。根据步骤S5中所求得的系统在最差和最好情形下的鞍点值
Figure BDA0001666899890000071
和
Figure BDA0001666899890000072
则系统失效概率最大和最小值分别为：
Figure BDA0001666899890000073
Figure BDA0001666899890000074
式(15)和(16)中，φ为标准正态分布的概率密度函数，
Figure BDA0001666899890000075
Figure BDA0001666899890000076
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的权利要求范围之内。

Claims (3)

1.一种混合不确定下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法，其特征在于，包括：
S1、分析结构系统的组成、功能和服役环境，确定系统的关键部件及所对应的失效模式及失效机理；
S2、根据步骤S1的失效机理确定影响系统失效的变量，并用随机变量对随机不确定性建模，用区间变量对认知不确定性建模；
S3、构建关键部件失效模式所对应的极限状态方程；
S4、对极限状态方程在随机变量的均值点及区间变量的中心点进行单变量近似，并确定近似后的极限状态方程在区间变量上的最小和最大值；
记随机变量Xi的均值为μi，i＝1,2,…,n1，区间变量Yi的中心值为
Figure FDA0002621283200000011
Figure FDA0002621283200000012
分别表示随机变量和区间变量的个数，Yi L、Yi U分别为区间变量Yi的下界和上界；根据单变量降维近似方法，则有：
Figure FDA0002621283200000013
式(1)中，j＝1,2,…,m，j表示不同的失效模式，m表示失效模式的种类数，gj(X,Y)表示变量与失效模式的极限状态方程，记
Figure FDA0002621283200000014
则
Figure FDA0002621283200000015
仅为随机变量Xi的方程，基于Nataf转换
Figure FDA0002621283200000016
可把原始随机变量Xi等价转换为标准正态空间的随机变量Ui，
Figure FDA0002621283200000017
Φ分别为随机变量Xi的累积分布函数和标准正态分布的累积分布函数，设转化后的
Figure FDA0002621283200000018
表示为
Figure FDA0002621283200000019
对其在随机变量Ui均值点进行二阶泰勒展开，则有：
Figure FDA00026212832000000110
为了简便起见，式(2)可进一步表示为：
Figure FDA00026212832000000111
其中，a0j、a1j、a2j表示式(3)中一元二次函数的系数，且
Figure FDA0002621283200000021
Figure FDA0002621283200000022
同理，式(1)中，记
Figure FDA0002621283200000023
则
Figure FDA0002621283200000024
仅为区间变量Yi的方程，对其在区间变量中心点进行二阶泰勒展开，则有：
Figure FDA0002621283200000025
为了简便起见，式(4)可进一步表示为：
Figure FDA0002621283200000026
式(5)中，
Figure FDA0002621283200000027
为了讨论方便，假定式(5)中一元二次函数的系数b0j、b1j、b2j均大于0，其小于0时的分析方法相同；
Figure FDA0002621283200000028
最小值和最大值分为以下三种情况：
1)区间变量Yi的下界和上界Yi L、Yi U均在一元二次方程
Figure FDA0002621283200000029
中心对称线
Figure FDA00026212832000000210
的左边，则函数的最小和最大值分别为：
Figure FDA00026212832000000211
2)区间变量Yi的下界和上界Yi L、Yi U均在一元二次方程
Figure FDA00026212832000000212
中心对称线
Figure FDA00026212832000000213
的右边，则函数的最小和最大值分别为：
Figure FDA00026212832000000214
3)区间变量Yi的下界和上界Yi L,Yi U分别在一元二次方程
Figure FDA00026212832000000215
中心对称线
Figure FDA00026212832000000216
的两侧，则函数的最小和最大值分别为：
Figure FDA00026212832000000217
由式(1)至(8)可知，极限状态方程在区间变量上的最小值为：
Figure FDA0002621283200000031
同理，极限状态方程在区间变量上的最大值为：
Figure FDA0002621283200000032
S5、确定极限状态方程在区间变量上的最小和最大值各自的累积量母函数，并分别计算鞍点值；
S6、根据步骤S5得到的鞍点值计算系统失效概率的最大和最小值。
2.根据权利要求1所述的一种混合不确定下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法，其特征在于，步骤S3具体为：根据步骤S2得到的随机变量、区间变量以及步骤S1确定的关键失效模式，采用有限元分析方法构建各关键失效模式所对应的极限状态方程。
3.根据权利要求2所述的一种混合不确定下基于二阶鞍点近似的结构可靠性分析方法，其特征在于，步骤S4具体为：
S41、根据单变量降维近似方法，将极限状态方程表示为包括仅含随机变量的随机变量方程与仅含区间变量的区间变量方程的关系式；
S42、对随机变量方程中的随机变量进行Nataf转换，然后在随机变量均值点进行二阶泰勒展开；
S43、对区间变量方程在区间变量中心点进行二阶泰勒展开；
S44、求解步骤S43的二阶泰勒展开式的最小值和最大值；
S45、根据步骤S41的关系式、步骤S42的二阶泰勒展开式以及步骤S44的二阶泰勒展开式的最小值，得到极限状态方程在区间变量上的最小值；
根据步骤S41的关系式、步骤S42的二阶泰勒展开式以及步骤S44的二阶泰勒展开式的最大值，得到极限状态方程在区间变量上的最大值。
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