CN108763608A - 一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，涉及复合材料层合板宏观强度的可靠性评估方法。该方法具体步骤包括：(1)根据复合材料层合板的结构特征及材料属性，确定层合板中的随机变量；(2)对各随机变量进行均匀离散化，得到各随机变量的性能值和对应概率值的集合，并构建载荷、强度等发生函数；(3)定义发生函数的复合算子和相应的性能结构函数；(4)通过发生函数的复合运算，根据复合材料层合板的终层失效准则，结合Tsai‑Hill强度理论和增量载荷法原理，并利用同类项合并和K‑means聚类技术建立层合板的可靠性模型。

Description

一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法

技术领域

本发明涉及复合材料层合板宏观强度的可靠性评估技术领域，具体涉及一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，该方法适用于多变量(包含非正态随机变量)且功能函数为非线性的结构系统可靠性评估。

背景技术

复合材料由两种或多种不同性质的材料用物理或化学方法在宏观尺度上组成的具有新性能的材料，它既保留了原组分材料的性能，又增加了原组分材料不具备的新性能。复合材料因较高的比强度、比模量和较好的可设计性等优异性能被广泛应用于航空航天、汽车、机械等领域。

对于复合材料层合板，由于复合材料组分材料存在各向异性和较大的分散性等特点，在强度分析时，受到载荷、环境和层合结构等诸多不确定因素的影响，因此对复合材料层合板结构进行可靠性分析是十分必要的。

目前，大部分的报道主要采用快速积分法(FPI)、解析法、随机有限元(SFE)法和蒙特卡罗法(MCM)对复合材料层合板结构进行宏观或微观的可靠性研究，由于多数复合材料层合板失效准则缺乏完备的物理内涵，导致各失效准则的失效模式、使用场合和数学形式不尽相同，因此建立的极限状态方程缺乏统一的表达范式，不便于在标准化程序框架内集成运算；而失效准则涉及诸多受控于细观随机源的宏观随机变量(如：弹性模量、强度等)，尽管可通过细观力学模型建立宏观变量与细观组分参数之间的确定性关系，但由于尺寸效应、随机性等复杂因素的影响，很难通过细观力学模型精确预报宏观变量的统计信息，不便于概率设计。

发生函数法以统一的表达式描述系统中各元件的性能与其性能概率之间的关系，因易编程、计算效率高等特点，在电子产品、电力系统以及机械系统的可靠性分析中得到了广泛的应用。近10年间，国内外相关学者利用发生函数法在结构系统及多状态系统可靠性研究领域中取得了较多研究成果。

(一)解决的技术问题

本发明所解决的技术问题在于提供一种发生函数法建模。对于复合材料层合板，由于复合材料组分材料存在各向异性和较大的分散性等特点，在强度分析时，受到载荷、环境和层合结构等诸多不确定因素的影响，导致众多随机变量的产生，而通常情况下随机变量的统计信息与正态分布不尽相符，多呈非正态分布；单层板的Tsai-Hill强度准则、Tsai-Wu强度准则和Hoffman准则等及层合板功能函数多为非线性形态；层合板失效路径中的各单元之间会因同一随机载荷的作用，存在失效相关性；在层合板失效的过程中，往往伴随着载荷的转移和再分配等问题。这些给复合材料层合板的可靠性分析带来了一定困难。发生函数法可通过跨尺度传递各随机变量的统计信息，替代概率分布函数描述宏观强度、刚度及细观随机源等，通过复合算子的特性实现随机变量统计信息从细观向宏观的跨尺度精确传递，避免因忽略尺寸效应和非正态随机性导致的分析误差。

(二)技术方案

为实现以上目的，本发明通过以下技术方案予以实现：

一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，包括如下步骤：

S1、确定复合材料层合板材料属性和几何特征：

确定复合材料层合板的材料属性，弹性常数：弹性模量E₁和E₂，剪切模量G₁₂，泊松比ν₂₁，其中1为材料纤维方向，2为层合板平面内垂直于纤维的方向；强度参数：纵向拉伸强度X_T，纵向压缩强度X_C，横向拉伸强度Y_T，横向压缩强度Y_C及剪切强度S；层合板的几何特征为面内长度a和宽度b，各单元厚度t_k(k＝1,2,…,n)，n为层合板总层数；

S2、确定复合材料层合板中的随机变量，并对其均匀离散化：把外载荷Q和强度参数X_T、Y_T和S当作随机变量，并对其做离散化操作；设各随机变量值的集合为其对应的概率值集合为其中1≤i≤n，k_i为各变量所对应的离散个数；

S3、构建各随机变量的发生函数：

利用步骤S2中的各随机变量值与对应概率的集合构建描述各随机变量的发生函数：

S4、构建强度序列发生函数：

由Tsai-Hill单层板强度准则与步骤S3构建各单元的强度发生函数定义发生函数的复合算子对各强度发生函数进行复合运算，强度序列发生函数为

U_CAS(s)＝Ω_ω(U₁(s),U₂(s),...,U_n(s))，

其中强度序列从小到大排列为c为强度序列序号，C为强度序列数，rank表示排序函数；在发生函数的复合运算中，通过同类项合并和K-means聚类技术缩减计算量提高计算效率；

S5、建立强度序列抗力发生函数：

利用K-means聚类技术得到步骤S4中的的强度序列发生函数，利用增量载荷法原理建立强度序列抗力发生函数其中U_W(s)中的性能指数 为增量载荷；

S6、层合板可靠度计算：

根据步骤S5得到的强度序列抗力发生函数与载荷发生函数进行δ运算，即为δ(U_W(s),Q_j)并结合层合板终层失效可靠性公式求解层合板可靠度。

根据本发明的一实施例，所述步骤S4中同类项合并和K-means聚类具体步骤如下：

S4.1、同类项合并：

在发生函数中，若存在x_i≈x_m(i,m∈{1,…,K})，则所对应的和项为同类项，由于所以两项合并为或

通过同类项合并，可缩减各类发生函数指数项从而减少在复合运算中的计算量。

S4.2、K-means聚类：

K-means聚类法的中心思想是选取k个初始聚类中心c_i(i＝1,2,…,k)，并采用聚类误差平方和作为聚类准则函数，通过迭代实现数据的分类(k个类别)；其中聚类准则函数为

式中，J(c_i)代表各类中样本与类别质心距离的平方和，x_ij为第i类第j个样本点的坐标向量，A_i是第i类质心c_j的坐标向量；

例如在中，质心为(x₁ ^(c),x₂ ^(c))的类别包含(x₁₁,x₂₁)、(x₁₂,x₂₂)和(x₁ ^(c),x₂ ^(c))三个样本，则U_C(s)的 三项可合并为一项；通过K-means聚类可减少强度序列的状态组合数从而提高计算效率。

根据本发明的一实施例，所述步骤S5的增量载荷具体计算如下：

根据增量载荷法原理，当系统由卸载元件组成时，设卸载矩阵为B，分载矩阵为A，强度序列为增量载荷矩阵为可通过以下公式求得△P＝A^-1BR，式中：分载矩阵A中的元素A_ij＝0(i<j)，A_ij＝e(i≥j)；卸载矩阵B中的元素B_ij＝0(i<j)，B_ij＝1(i＝j)，B_ij＝d(i>j)，其中λ为卸载系数；当λ＝0时，系统完全卸载；当0<λ<1时，系统卸载；当λ＝1时，系统不卸载；

矩阵A和B中部分元素存在对应关系，当增量载荷作用于层合板时，矩阵A的各元素A_ij可通过以下步骤得到：由强度序列得到各单元的失效顺序；当增量载荷作用层合板时，矩阵A的第一列元素为：

当i＝1时，对应的单层板失效后，新增的载荷作用于剩余层合板，此时层合板刚度削弱，矩阵A的第二列元素为：

同理，当i＝n-1时，对应的单层板失效后，新增加的载荷作用于最后一层单层板，矩阵A的第n列元素为：

式中，N(i)为对应的单层板受到的载荷，可通过Tsai-Hill强度理论变形得到。

根据本发明的一实施例，所述步骤S6中δ运算及终层失效层合板可靠性计算公式如下：

S6.1、δ运算

设系统性能分布的发生函数为对其系数进行条件求和，可得系统可靠度

式中：δ(·)为条件求和算子；1(x_j-w>0)为示性函数，当x_j>w时等于1，否则为0；w表示系统安全、失效两性能状态的临界值；

S6.2、终层失效可靠性公式

式中，系统外载荷Q离散为Q₁,…,Q_M，各状态概率为β₁,…,β_M。

(三)有益效果

本发明的有益效果：一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，可根据不同情况定义算子和结构函数，并通过条件枚举、K-means聚类和同类项合并技术实现元件间的解耦及系统可靠度的快速求解，发生函数法可通过跨尺度传递各随机变量的统计信息，替代概率分布函数描述宏观强度、刚度及细观随机源等，通过复合算子的特性实现随机变量统计信息从细观向宏观的跨尺度精确传递，避免因忽略尺寸效应和非正态随机性导致的分析误差；适用于多变量非线性功能函数结构系统的可靠性分析，当随机变量中含有非正态变量时，该方法同样适用；该方法考虑了层合板失效路径中的失效元之间因同一随机载荷引起的失效相关性。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本发明针对复合材料层合板可靠性建模流程图；

图2是复合材料层合板强度序列示意图；

图3是K-means聚类示意图；

图4是复合材料单层板/层合板载荷示意图；

图5是复合材料单层板铺层方案示意图；

图6是复合材料层合板铺层方案示意图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1流程图所示，一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，包括如下步骤：

S1、确定复合材料层合板材料属性和几何特征：

确定复合材料层合板的材料属性，弹性常数：弹性模量E₁和E₂，剪切模量G₁₂，泊松比ν21，其中1为材料纤维方向，2为层合板平面内垂直于纤维的方向；强度参数：纵向拉伸强度X_T，纵向压缩强度X_C，横向拉伸强度Y_T，横向压缩强度Y_C及剪切强度S；层合板的几何特征为面内长度a和宽度b，各单元厚度t_k(k＝1,2,…,n)，n为层合板总层数；

S2、确定复合材料层合板中的随机变量，并对其均匀离散化：

把外载荷Q和强度参数X_T、Y_T和S当作随机变量，并对其做离散化操作；设各随机变量值的集合为其对应的概率值集合为其中1≤i≤n，k_i为各变量所对应的离散个数；

S3、构建各随机变量的发生函数：

利用步骤S2中的各随机变量值与对应概率的集合构建描述各随机变量的发生函数：

S4、构建强度序列发生函数：

由Tsai-Hill单层板强度准则与步骤S3构建各单元的强度发生函数定义发生函数的复合算子对各强度发生函数进行复合运算，强度序列发生函数为

U_CAS(s)＝Ω_ω(U₁(s),U₂(s),...,U_n(s))，

其中强度序列从小到大排列为c为强度序列序号，C为强度序列数，rank表示排序函数；在发生函数的复合运算中，通过同类项合并和K-means聚类技术缩减计算量提高计算效率；

所述步骤S4中同类项合和K-means聚类并具体步骤如下：

S4.1、同类项合并：

在发生函数中，若存在x_i≈x_m(i,m∈{1,…,K})，则所对应的和项为同类项，由于所以两项合并为或

通过同类项合并，可缩减各类发生函数指数项从而减少在复合运算中的计算量。

S4.2、K-means聚类：

K-means聚类法的中心思想是选取k个初始聚类中心c_i(i＝1,2,…,k)，并采用聚类误差平方和作为聚类准则函数，通过迭代实现数据的分类(k个类别)；其中聚类准则函数为

式中，J(c_i)代表各类中样本与类别质心距离的平方和，x_ij为第i类第j个样本点的坐标向量，A_i是第i类质心c_j的坐标向量；

例如在中，质心为(x₁ ^(c),x₂ ^(c))的类别包含(x₁₁,x₂₁)、(x₁₂,x₂₂)和(x₁ ^(c),x₂ ^(c))三个样本，则U_C(s)的 三项可合并为一项；通过K-means聚类可减少强度序列的状态组合数从而提高计算效率。

S5、建立强度序列抗力发生函数：

利用K-means聚类技术得到步骤S4中的的强度序列发生函数，利用增量载荷法原理建立强度序列抗力发生函数其中U_W(s)中的性能指数 为增量载荷；

步骤S5的增量载荷具体计算如下：

根据增量载荷法原理，当系统由卸载元件组成时，设卸载矩阵为B，分载矩阵为A，强度序列为增量载荷矩阵为可通过以下公式求得△P＝A^-1BR，式中：分载矩阵A中的元素A_ij＝0(i<j)，A_ij＝e(i≥j)；卸载矩阵B中的元素B_ij＝0(i<j)，B_ij＝1(i＝j)，B_ij＝d(i>j)。其中λ为卸载系数；当λ＝0时，系统完全卸载；当0<λ<1时，系统卸载；当λ＝1时，系统不卸载；

矩阵A和B中部分元素存在对应关系，当增量载荷作用于层合板时，矩阵A的各元素A_ij可通过以下步骤得到：由强度序列得到各单元的失效顺序；当增量载荷作用层合板时，矩阵A的第一列元素为：

当i＝1时，对应的单层板失效后，新增的载荷作用于剩余层合板，此时层合板刚度削弱，矩阵A的第二列元素为：

同理，当i＝n-1时，对应的单层板失效后，新增加的载荷作用于最后一层单层板，矩阵A的第n列元素为：

式中，N(i)为对应的单层板受到的载荷，可通过Tsai-Hill强度理论变形得到。

S6、系统的可靠性建模：

根据步骤S5得到的强度序列抗力发生函数与载荷发生函数进行δ运算，即为δ(U_W(s),Q_j)并结合层合板终层失效可靠性公式求解层合板可靠度。

步骤S6中δ运算及终层失效层合板可靠性计算公式如下：

S6.1、δ运算

设系统性能分布的发生函数为对其系数进行条件求和，可得系统可靠度

式中：δ(·)为条件求和算子；1(x_j-w>0)为示性函数，当x_j>w时等于1，否则为0；w表示系统安全、失效两性能状态的临界值。

S6.2、终层失效可靠性公式

式中，系统外载荷Q离散为Q₁,…,Q_M，各状态概率为β₁,…,β_M。

实施例1：

如图4，图5所示，为铺设层为45°单层板，受面内拉伸载荷N_x作用，面内尺寸为(20×12.5)cm²，单层板厚度为1mm，玻璃/环氧单层板的弹性常数为：E₁＝54GPa，E₂＝18GPa，ν₂₁＝0.25，G₁₂＝8.8GPa。材料载荷及强度参数如表1所示。

表1随机变量统计分布特征

UGF法计算结果与一次二阶矩法(FOSM)、JC法和蒙特卡罗法(MCM)(仿真1000000次)比较列于表2

表2实施例1可靠度计算结果

表2中，UGF法结果较JC法和AFOSM法更接近MC法。

实施例2：

如图4，图6所示，一四周简支的8层正交铺设层合板，受面内拉伸载荷N_x，层合板结构为(0°/45°/-45°/90°)_s，面内尺寸为(20×12.5)cm²，单层板的厚度为0.25mm，总厚度为t＝8×0.25＝2mm。玻璃/环氧单层板弹性常数为E₁＝54GPa，E₂＝18GPa，ν₂₁＝0.25，G₁₂＝8.8GPa。材料载荷及强度参数如表3。

表3随机变量统计分布特征

(1)由步骤S1和步骤S2，对各随机变量均匀离散化20个状态点，根据步骤S3，构造载荷发生函数U_Q(s)和各单元强度发生函数U_i(s)。

(2)由步骤S4，得到层合板的强度序列，如表4所示。

表4强度序列

(3)根据步骤S5构建强度序列抗力发生函数

由步骤S5得矩阵A为

表4显示，5个强度序列非常相似，因篇幅有限其余矩阵A不拟列出。继而求出增量载荷由步骤S4得出的强度序列并由步骤S5得强度序列抗力发生函数

(4)根据步骤S6，通过强度序列抗力发生函数U_W(s)与载荷发生函数U_Q(s)进行δ运算，结合层合板终层失效可靠性公式求解层合板可靠度。

本发明方法的计算结果与MC法(仿真1000000次)比较列于表5。

表5实施例2可靠度计算结果

综上所述，本发明实施例，基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，利用发生函数能描述各随机变量统计分布和跨尺度传递统计信息等特点，通过复合算子的良好特性实现随机变量统计信息从细观向宏观的精确传递，避免因忽略尺寸效应和非正态随机性导致的分析误差。在发生函数复合运算中，结合同类项合并和K-means聚类技术达到缩减计算量的目的，提高了可靠度的计算效率。该发明适用于多变量非线性功能函数结构系统的可靠性分析，考虑了随机变量中含有非正态变量以及层合板失效路径中各单元之间因同一随机载荷源引起的失效相关性问题。

Claims (4)

1.一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、确定复合材料层合板材料属性和几何特征：

确定复合材料层合板的材料属性，弹性常数：弹性模量E₁和E₂，剪切模量G₁₂，泊松比ν₂₁，其中1为材料纤维方向，2为层合板平面内垂直于纤维的方向；强度参数：纵向拉伸强度X_T，纵向压缩强度X_C，横向拉伸强度Y_T，横向压缩强度Y_C及剪切强度S；层合板的几何特征为面内长度a和宽度b，各单层板(单元)厚度t_k(k＝1,2,…,n)，n为层合板总层数；

S2、确定复合材料层合板中的随机变量，并对其均匀离散化：把外载荷Q和强度参数X_T、Y_T和S当作随机变量，并对其做离散化操作；设各随机变量值的集合为其对应的概率值集合为其中1≤i≤n，k_i为各变量所对应的离散个数；

S3、构建各随机变量的发生函数：

利用步骤S2中的各随机变量值与对应概率的集合构建描述各随机变量的发生函数：

S4、构建强度序列发生函数：

由Tsai-Hill单层板强度准则与步骤S3构建各单元的强度发生函数定义发生函数的复合算子对各强度发生函数进行复合运算，强度序列发生函数为U_CAS(s)＝Ω_ω(U₁(s),U₂(s),...,U_n(s))，

其中强度序列从小到大排列为c为强度序列序号，C为强度序列数，rank表示排序函数；在发生函数的复合运算中，通过同类项合并和K-means聚类技术缩减计算量提高计算效率；

S5、建立强度序列抗力发生函数：

利用K-means聚类技术得到步骤S4中的强度序列发生函数，利用增量载荷法原理建立强度序列抗力发生函数其中U_W(s)中的性能指数 为增量载荷；

S6、层合板可靠度计算：

根据步骤S5得到的强度序列抗力发生函数与载荷发生函数进行δ运算，即为δ(U_W(s),Q_j)并结合层合板终层失效可靠性公式求解层合板可靠度。

2.如权利要求1所述的一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，其特征在于：所述步骤S4中K-means聚类和同类项合并具体步骤如下：

S4.1、同类项合并：

在发生函数中，若存在x_i≈x_m(i,m∈{1,…,K})，则所对应的和项为同类项，由于所以两项合并为或

通过同类项合并，可缩减各类发生函数指数项从而减少在复合运算中的计算量；

S4.2、K-means聚类：

K-means聚类法的中心思想是选取k个初始聚类中心c_i(i＝1,2,…,k)，并采用聚类误差平方和作为聚类准则函数，通过迭代实现数据的分类(k个类别)；其中聚类准则函数为式中，J(c_i)代表各类中样本与类别质心距离的平方和，x_ij为第i类第j个样本点的坐标向量，A_i是第i类质心c_j的坐标向量；

在中，质心为(x₁ ^(c),x₂ ^(c))的类别包含(x₁₁,x₂₁)、(x₁₂,x₂₂)和(x₁ ^(c),x₂ ^(c))三个样本，则U_C(s)的 三项可合并为一项。

3.如权利要求1所述的一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，其特征在于，所述步骤S5的增量载荷具体计算如下：

根据增量载荷法原理，当系统由卸载元件组成时，设卸载矩阵为B，分载矩阵为A，强度序列为增量载荷矩阵为可通过以下公式求得△P＝A^-1BR，式中：分载矩阵A中的元素A_ij＝0(i<j)，A_ij＝e(i≥j)；卸载矩阵B中的元素B_ij＝0(i<j)，B_ij＝1(i＝j)，B_ij＝d(i>j)，其中λ为卸载系数；当λ＝0时，系统完全卸载；当0<λ<1时，系统卸载；当λ＝1时，系统不卸载；

矩阵A和B中部分元素存在对应关系，当增量载荷作用于层合板时，矩阵A的各元素A_ij可通过以下步骤得到：由强度序列得到各单元的失效顺序；当增量载荷作用层合板时，矩阵A的第一列元素为：

当i＝1时，对应的单层板失效后，新增的载荷作用于剩余层合板，此时层合板刚度削弱，矩阵A的第二列元素为：

同理，当i＝n-1时，对应的单层板失效后，新增加的载荷作用于最后一层单层板，矩阵A的第n列元素为：

式中，N(i)为对应的单层板受到的载荷，可通过Tsai-Hill强度理论变形得到。

4.如权利要求1所述的一种基于发生函数法的复合材料层合板可靠性评估方法，其特征在于，所述步骤S6中δ运算及终层失效层合板可靠性计算公式如下：

S6.1、δ运算

设系统性能分布的发生函数为对其系数进行条件求和，可得系统可靠度

式中：δ(·)为条件求和算子；1(x_j-w>0)为示性函数，当x_j>w时等于1，否则为0；w表示系统安全、失效两性能状态的临界值；

S6.2、终层失效可靠性公式

式中，系统外载荷Q离散为Q₁,…,Q_M，各状态概率为β₁,…,β_M。