CN108734378A - 一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法，包括建立水库调度多目标优化调度模型，得到非劣方案集；量化各方案指标值的不确定性，建立随机决策矩阵；推求不完全信息条件下的可行权重空间；构建基于随机优劣解距离的风险型群决策模型；定量评估风险型群决策结果的不确定性。本发明能够有效融合所有决策者的偏好信息，避免信息损失；同时考虑了指标值和指标权重双重不确定性的影响，定量评估群决策结果的不确定性，降低决策失误风险；能够在随机环境下向决策者提供重要的风险信息，提高水库调度风险型群决策的可靠性，并且具有较高的运算效率、鲁棒性和通用性。

Description

一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法

技术领域

本发明涉及水库调度群决策方法，尤其涉及一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法。

背景技术

水库调度是一个多目标、多层次、多阶段、多属性的复杂决策过程，与社会、自然、经济、环境、生态等因素密切相关。同时水库调度又是不可重复的实时动态校正过程，因此，制定合理的水库调度决策对于大型水库、闸坝、行蓄洪区、分洪河道的安全运行具有重要意义。

水库调度是一个典型的具有不确定性、不完全信息条件下的群决策问题，在调度过程中，需要考虑水库自身及下游防洪点安全、汛期兴利发电、汛后拦蓄洪尾等多个调度目标，在确保防洪安全的前提下，应尽可能地发挥水库的综合利用效益。由于各调度目标之间关系的不可公度性和流域径流形成过程的复杂性，使得决策信息往往带有很强的不确定性。例如，由于目前预报水平的限制，在洪水形成的过程中，尚无法准确地获知未来洪水的全过程，在一定预报精度下每次水文预报只能获得洪水全过程的局部信息，洪水预报的预见期和精度均显不足，实时水库调度所依据的是动态发展变化的不完全预报信息。此外，水库调度是一个由专家群体直接参与决策会商的群决策问题，不同利益主体的决策偏好往往存在一定的差异和冲突，从而使得方案决策的科学性、客观性和实时性成为水库调度问题的难点。

目前的水库调度群决策方法大多忽略了决策过程中所广泛存在的不确定性因素，通过建立确定性或模糊性决策模型，仅根据模型计算的确定性综合评价指标值推求调度方案的确定性排序，从而制定最终的决策。现有的群决策方法普遍缺乏柔性、鲁棒性差、可靠性低，并且未考虑群决策结果的风险信息，直接影响了水库调度决策的科学性和有效性。因此，如何有效地考虑水库调度群决策过程中所客观存在的不确定性因素，建立水库调度风险型群决策模型，并定量评估群决策结果风险是目前亟需解决的技术难题。

发明内容

发明目的：针对现有技术的不足，本发明基于水库调度群决策过程中的不完全信息，结合随机优劣解距离思想，提出了一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法。

技术方案：本发明提供了一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法，包括以下步骤：

(1)建立水库调度多目标优化调度模型，得到非劣方案集；

(2)量化各方案指标值的不确定性，建立随机决策矩阵；

(3)推求不完全信息条件下的可行权重空间；

(4)构建基于随机优劣解距离的风险型群决策模型；

(5)定量评估风险型群决策结果的不确定性。

进一步的，所述步骤(1)中水库调度多目标优化调度模型的两个优化目标分别为：

1)水库防洪安全度最大：

式中，S_R为水库的防洪安全度，定义为水库在调度期内剩余防洪库容占水库设计防洪库容的比例；V^des为水库设计防洪库容；V_R(t)为第t时刻的水库蓄水量；T为调度期时段数；

2)水库最大出库流量最小：

式中，q(t)为第t时段的水库出库流量；

模型的约束条件包括：

1)水量平衡约束：

式中，Q(t-1)，Q(t)水库第t时段始末的入库流量；q(t-1)，q(t)为水库第t时段始末的出库流量；V(t-1)，V(t)为水库第t时段始末的蓄水量；△t为时段长；

2)水库最高水位约束：

Z(t)≤Z_max (4)；

式中，Z(t)为水库第t时刻的水位；Z_max为水库允许的最高控制水位；

3)调度期末水位约束：

Z_end≥Z_e (5)；

式中，Z_end为水库调度期末水位；Z_e为水库调度期末控制水位；当满足其他约束时，可以取“＝”；

4)水库泄流能力约束：

q(t)≤q(Z(t)) (6)；

式中，q(t)为水库第t时刻的出库流量；q(Z(t))为水库第t时刻在水位Z(t)时的泄流能力；

5)出库允许变幅约束：

式中，|q(t)-q(t-1)|为水库相邻时段出库流量的变幅；为水库允许的出库流量变幅。

进一步的，所述步骤(2)中随机决策矩阵为：

式中，ξ_ij为第i个方案中第j个指标值的随机变量；m为水库调度方案数；n为指标数。

进一步的，所述步骤(3)中可行权重空间的表达式为：

式中，w为指标权重向量，w_j为第j个指标的权重，w_j ^max和w_j ^min分别为第j个指标权重的取值上、下限，参数α用于反映决策者对于可行权重空间估计的自信程度，实际中，参数α的合理取值范围为[0.1,0.4]；

其中，基于模糊层次分析确定所有决策者的主观偏好信息并将其量化为指标权重，进一步包括以下子步骤：

(31)专家群体参与并构建三角模糊判断矩阵，三角模糊判断矩阵的表达式为：

式中，为模糊数，l_ij和u_ij分别为第i个方案中第j个指标模糊数的上下边界，g_ij为第i个方案中第j个指标隶属度等于1对应的点；

(32)计算初始权重，首先对三角模糊判断矩阵的各行求和，然后采用以下模糊算子对矩阵的各行进行标准化运算：

其中，n为指标数；

(33)逆模糊化运算，采用以下公式计算对于其他n-1个模糊数的可能度，从而得到一个清晰值：

式中，l_i和u_i分别为第i个方案中各指标模糊数的上下边界向量，g_i为第i个方案中各指标隶属度等于1对应点的向量，表示的可能度，计算公式如下：

(34)标准化运算。通过以下公式计算得到指标权重向量w＝{w₁,w₂,…,w_n}：

进一步的，步骤(4)中优劣解距离型效用函数进一步包括以下子步骤：

(41)采用向量标准化公式对决策矩阵X＝(x_ij)_m×n进行标准化，计算得到标准化决策矩阵Z＝(z_ij)_m×n：

式中，x_ij为第i个方案中第j个指标值；z_ij为第i个方案中第j个指标标准化之后的取值；m为水库调度方案数；

(42)计算加权决策矩阵。将标准化决策矩阵Z＝(z_ij)_m×n和随机抽样生成的权重向量w＝{w₁,w₂,…,w_n}相乘，得到加权决策矩阵B＝(b_ij)_m×n，其中b_ij＝z_ij·w_j，m为水库调度方案数；n为指标数；

(43)确定理想最优方案S⁺＝[s₁ ⁺,s₂ ⁺,…,s_n ⁺]和理想最劣方案S^-＝[s₁ ^-,s₂ ^-,…,s_n ^-]，其中s_j ⁺和s_j ^-的计算公式为：

(44)计算各水库调度方案与理想最优、最劣方案之间的欧式距离：

(45)计算各水库调度方案与理想最优、最劣方案的相对贴近度：

进一步的，步骤(5)中将决策失误风险定义为：非最优方案由于随机因素的影响获得最优排序的加权概率，计算公式如下：

式中，b_k ¹表示确定性排序为k的方案在随机因素的作用下获得最优排序的概率；β_k定义为风险权重，体现不同排序的方案获得最优排序对决策失误风险的贡献程度，β_k计算公式如下：

有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下优点和有益效果：

1、本发明方法能够在权重信息完全缺失的情况下对水库调度方案集中明显优和明显劣的方案进行初步辨识，为决策群体表达决策偏好提供有价值的参考依据；

2、本发明方法采用可行权重空间和模糊层次分析能够融合所有决策者的偏好信息，有效避免了信息损失，能够在风险型群决策模型中充分地反映指标权重的不确定性；

3、本发明方法能够有效地考虑指标值和指标权重双重不确定性的影响，定量评估群决策结果的不确定性，降低决策失误风险，并且能够在随机环境下向决策者提供重要的风险信息，从而提高水库调度群决策的可靠性；

4、本发明方法的蒙特卡罗数值迭代求解算法具有较高的运算效率、鲁棒性和通用性，能够与现有的实时水库调度决策支持系统耦合，为随机环境下的水库调度提供决策支持。

附图说明

图1是本发明方法的流程图；

图2是风险型群决策问题中可行权重空间的示意图；

图3是基于蒙特卡罗模拟的风险型群决策模型求解流程图；

图4是随机贴近度系数及其概率分布的示意图。

具体实施方式

下面通过实施例并结合附图，对本发明的技术方案进行详细的说明。

如图1所示，一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法，包括以下步骤：

(1)建立水库调度多目标优化调度模型，得到非劣方案集。

水库多目标优化调度模型的优化目标为水库防洪安全度最大和水库最大下泄流量最小。采用非支配排序遗传算法求解上述多目标优化调度模型，生成一组水库调度非劣方案集。

对于承担下游防洪任务的水库而言，水库调度的目标包括：下游防洪点的防洪安全、水库大坝自身的防洪安全和上游库区的防洪安全。在三类目标中，下游防洪点的安全主要和水库最大出库流量有关。大坝自身以及库区的防洪安全主要与调度期内占用的防洪库容有关，可由坝前最高水位来表征。一般而言，下游防洪点的防洪目标希望水库尽量减小出库流量，以保障下游防洪点安全；而大坝自身以及库区的防洪目标则希望水库少蓄水，降低库区淹没与大坝失事风险。因此，上下游的调度目标之间存在一定的矛盾和冲突，水库调度是一个典型的多目标优化问题。

本发明方法考虑两个优化目标，分别为：

1)水库防洪安全度最大：

式中，S_R为水库的防洪安全度，定义为水库在调度期内剩余防洪库容占水库设计防洪库容的比例；V^des为水库设计防洪库容；V_R(t)为第t时刻的水库蓄水量；T为调度期时段数。

2)水库最大出库流量最小：

式中，q(t)为第t时段的水库出库流量。

模型的约束条件包括：

1)水量平衡约束：

式中，Q(t-1)，Q(t)水库第t时段始末的入库流量；q(t-1)，q(t)为水库第t时段始末的出库流量；V(t-1)，V(t)为水库第t时段始末的蓄水量；△t为时段长。

2)水库最高水位约束：

Z(t)≤Z_max (4)；

式中，Z(t)为水库第t时刻的水位；Z_max为水库允许的最高控制水位。

3)调度期末水位约束：

Z_end≥Z_e (5)；

式中，Z_end为水库调度期末水位；Z_e为水库调度期末控制水位；当满足其他约束时，可以取“＝”。

4)水库泄流能力约束：

q(t)≤q(Z(t)) (6)；

式中，q(t)为水库第t时刻的出库流量；q(Z(t))为水库第t时刻在水位Z(t)时的泄流能力。

5)出库允许变幅约束：

式中，|q(t)-q(t-1)|为水库相邻时段出库流量的变幅；为水库允许的出库流量变幅。

本实施例采用非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)求解上述多目标优化调度模型，进而生成一组水库调度非劣方案集。本步骤中的NSGA-Ⅱ求解算法属于已有技术，在此不作赘述。

(2)量化各方案指标值的不确定性，建立随机决策矩阵。

采用风险分析方法对各个水库调度方案指标值的不确定性进行量化，风险分析方法可以是：一次二阶矩法、随机微分方程法、蒙特卡罗随机模拟法等。

本实施例中，采用风险分析方法对各个水库调度方案指标值的不确定性进行量化，并建立随机决策矩阵。目前应用较多的风险分析方法包括：一次二阶矩法、随机微分方程法、蒙特卡罗随机模拟法等。各种不确定性因素经过水库调洪演算之后进一步转化为调度指标值的不确定性，本实施例采用随机微分方程法对其进行定量描述，即定量推求指标值的概率分布。随机环境下决策矩阵中的各元素不再是一个常量，而是服从相应分布的随机变量，建立如下式所示的随机决策矩阵：

式中，ξ_ij为第i个方案中第j个指标值的随机变量；m为水库调度方案数；n为指标数。

本步骤中的随机微分方程法属于已有技术，在本实施例中不作赘述。

(3)推求不完全信息条件下的可行权重空间。

首先基于模糊层次分析和三角模糊数确定所有决策者的主观偏好信息并将其量化为指标权重，然后采用可行权重空间的概念将指标权重不确定性量化为带区间约束的概率分布。

本发明方法采用可行权重空间概念和模糊层次分析将指标权重不确定性量化为带区间约束的概率分布。在群决策环境下，每个决策者都需要提供各自的主观偏好信息，通常用多组权重向量表示。以含有三个指标的群决策问题为例，可行权重空间定义为：

式中，w为指标权重向量，w_j为第j个指标的权重；w_j ^max和w_j ^min分别为第j个指标权重的取值上、下限。

如图2所示，采用条状图进一步形象地阐述可行权重空间的概念。对于一个含有三个指标和三个决策者(专家A、专家B和专家C)的水库调度群决策问题，每个决策者所提供的权重信息都互不相同，图中虚线和实线分别表示指标权重区间的上界和下界，灰色区域表示可行权重空间。本发明方法将可行权重空间进一步拓展至最大最小值区间外更宽的区域，以尽可能全面地包括所有决策者的主管偏好信息，避免决策信息的丢失。更一般地，对于一个n维群决策问题，可行权重空间的表达式为：

式中，w为指标权重向量，w_j为第j个指标的权重；w_j ^max和w_j ^min分别为第j个指标权重的取值上、下限，参数α用于反映决策者对于可行权重空间估计的自信程度。如果决策者通常群决策会商认为对各指标的赋权分歧较小，参数α可以取一个较小的数值；若决策者认为指标赋权的分歧较大，则参数α应该取一个较大的数值。在实用中，参数α的合理取值范围为[0.1，0.4]。

基于模糊层次分析确定所有决策者的主观偏好信息并将其量化为指标权重，即确定图2中的条状图。该步骤进一步包括以下子步骤：

(31)专家群体参与并构建三角模糊判断矩阵。三角模糊判断矩阵的表达式为：

式中，为模糊数，l_ij和u_ij分别为第i个方案中第j个指标模糊数的上下边界，g_ij为第i个方案中第j个指标隶属度等于1对应的点；

(32)计算初始权重。首先对三角模糊判断矩阵的各行求和，然后采用以下模糊算子对矩阵的各行进行标准化运算：

(33)逆模糊化运算。采用以下公式计算对于其他n-1个模糊数的可能度，从而得到一个清晰值：

式中，l_i和u_i分别为第i个方案中各指标模糊数的上下边界向量，g_i为第i个方案中各指标隶属度等于1对应点的向量，表示的可能度，计算公式如下：

(34)标准化运算。通过以下公式计算得到指标权重向量w＝{w₁,w₂,K,w_n}：

(4)构建基于随机优劣解距离的风险型群决策模型。

以步骤(2)中得到的随机决策矩阵和步骤(3)中确定的可行权重空间作为输入，本步骤基于蒙特卡罗模拟和随机优劣距离方法构建水库调度风险型群决策模型。该模型的基本计算流程如图3所示，其思路是首先通过蒙特卡罗模拟从随机决策矩阵和可行权重空间中抽样生成N个指标值和指标权重的样本；然后将该样本作为优劣解距离型效用函数的输入，通过N次蒙特卡罗迭代计算贴近度系数值；最后通过统计分析推求贴近度系数的概率分布，进而确定各方案的概率排序。该步骤中的优劣解距离型效用函数进一步包括以下子步骤：

(41)采用向量标准化公式对决策矩阵X＝(x_ij)_m×n进行标准化，计算得到标准化决策矩阵Z＝(z_ij)_m×n：

式中，x_ij为第i个方案中第j个指标值；z_ij为第i个方案中第j个指标标准化之后的取值；m为水库调度方案数。

(42)计算加权决策矩阵。将标准化决策矩阵Z＝(z_ij)_m×n和随机抽样生成的权重向量w＝{w₁,w₂,…,w_n}相乘，得到加权决策矩阵B＝(b_ij)_m×n，其中b_ij＝z_ij·w_j。

(43)确定理想最优方案S⁺＝[s₁ ⁺,s₂ ⁺,…,s_n ⁺]和理想最劣方案S^-＝[s₁-,s₂ ^-,…,s_n ^-]，其中s_j ⁺和s_j ^-的计算公式为：

(44)计算各水库调度方案与理想最优、最劣方案之间的欧式距离：

(45)计算各水库调度方案与理想最优、最劣方案的相对贴近度：

相对贴近度c_i反映了水库调度方案的相对优劣程度，c_i越大表明方案越优，反之则越差。在每一次蒙特卡罗模拟中，本发明方法根据c_i的大小对水库调度方案进行排序。经过N次蒙特卡罗迭代后，对每个水库调度方案的N个贴近度系数样本进行统计分析，确定随机贴近度系数及其概率分布，进而获得各方案的概率排序结果。上述风险型群决策模型的求解流程如图3所示。随机贴近度系数的概率分布如图4所示。

步骤5，定量评估风险型群决策结果的不确定性。

在不考虑不确定性的情况下，确定性优劣解距离型效用函数输出各方案的确定性贴近度系数作为最终方案排序的依据。然而，由于水库调度过程中诸多不确定性因素的影响，各方案的贴近度系数不再是常量，而是围绕其均值随机波动且服从一定分布的随机变量，如图4所示。现有技术一般只给出各方案的确定性排序，而忽略了群决策结果的不确定性。为此，本发明方法提出了决策失误风险，定量评估风险型群决策结果的不确定性。

由图4可知，在各种随机因素的作用下，排序靠后的方案也有一定概率获得最优的排序，原先的确定性排序可能出现颠倒和错乱，从而造成决策失误的风险。对于水库调度而言，决策者通常最关注最优方案，而尽量舍弃较差的方案，因为最优的调度方案将在当前时段被实施。因此，排序越靠后的方案由于随机因素的影响获得最优排序对水库调度越为不利。为了度量上述不确定性，本发明方法将决策失误风险定义为：非最优方案由于随机因素的影响获得最优排序的加权概率，计算公式如下：

式中，b_k ¹表示确定性排序为k的方案在随机因素的作用下获得最优排序的概率，可在步骤(4)中经过统计分析确定；β_k定义为风险权重，体现不同排序的方案获得最优排序对决策失误风险的贡献程度，为了体现“排序越靠后的方案获得最优排序所造成的风险越大”这一特性，本发明方法将β_k(k＝2,3,…,m)表示为一个非负、递增的m-1维向量，其计算公式如下：

实施上述技术方案可以得到不完全信息条件下水库调度的群体决策结果、决策的概率信息和令所有决策者满意的水库泄流策略。与现有技术相比，上述技术方案能够在权重信息完全缺失的情况下对水库调度方案集中明显优和明显劣的方案进行初步辨识，能够融合所有决策者的偏好信息，有效避免了信息损失，能够在风险型群决策模型中充分地反映指标权重的不确定性，具有较高的运算效率、鲁棒性和通用性，易于与现有的实时水库调度决策支持系统耦合，从而为不完全信息条件下的水库调度提供决策支持。

以上详细描述了本发明的优选实施方式。但是，本发明并不限于上述实施方式中的具体细节，在本发明的技术构思范围内，可以对本发明的技术方案进行多种等同变换，这些等同变换均属于本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立水库调度多目标优化调度模型，得到非劣方案集；

(2)量化各方案指标值的不确定性，建立随机决策矩阵；

(3)推求不完全信息条件下的可行权重空间；

(4)构建基于随机优劣解距离的风险型群决策模型；

(5)定量评估风险型群决策结果的不确定性。

2.根据权利要求1所述的一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法，其特征在于，所述步骤(1)中水库调度多目标优化调度模型的两个优化目标分别为：

1)水库防洪安全度最大：

式中，S_R为水库的防洪安全度，定义为水库在调度期内剩余防洪库容占水库设计防洪库容的比例；V^des为水库设计防洪库容；V_R(t)为第t时刻的水库蓄水量；T为调度期时段数；

2)水库最大出库流量最小：

式中，q(t)为第t时段的水库出库流量；

模型的约束条件包括：

1)水量平衡约束：

式中，Q(t-1)，Q(t)水库第t时段始末的入库流量；q(t-1)，q(t)为水库第t时段始末的出库流量；V(t-1)，V(t)为水库第t时段始末的蓄水量；△t为时段长；

2)水库最高水位约束：

Z(t)≤Z_max (4)；

式中，Z(t)为水库第t时刻的水位；Z_max为水库允许的最高控制水位；

3)调度期末水位约束：

Z_end≥Z_e (5)；

式中，Z_end为水库调度期末水位；Z_e为水库调度期末控制水位；当满足其他约束时，可以取“＝”；

4)水库泄流能力约束：

q(t)≤q(Z(t)) (6)；

式中，q(t)为水库第t时刻的出库流量；q(Z(t))为水库第t时刻在水位Z(t)时的泄流能力；

5)出库允许变幅约束：

式中，|q(t)-q(t-1)|为水库相邻时段出库流量的变幅；为水库允许的出库流量变幅。

3.根据权利要求1所述的一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法，其特征在于，所述步骤(2)中随机决策矩阵为：

式中，ξ_ij为第i个方案中第j个指标值的随机变量；m为水库调度方案数；n为指标数。

4.根据权利要求1所述的一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法，其特征在于，所述步骤(3)中可行权重空间的表达式为：

式中，w为指标权重向量，w_j为第j个指标的权重，w_j ^max和w_j ^min分别为第j个指标权重的取值上、下限，参数α用于反映决策者对于可行权重空间估计的自信程度，实际中，参数α的合理取值范围为[0.1,0.4]；

其中，基于模糊层次分析确定所有决策者的主观偏好信息并将其量化为指标权重，进一步包括以下子步骤：

(31)专家群体参与并构建三角模糊判断矩阵，三角模糊判断矩阵的表达式为：

式中，为模糊数，l_ij和u_ij分别为第i个方案中第j个指标模糊数的上下边界，g_ij为第i个方案中第j个指标隶属度等于1对应的点；

(32)计算初始权重，首先对三角模糊判断矩阵的各行求和，然后采用以下模糊算子对矩阵的各行进行标准化运算：

其中，n为指标数；

(33)逆模糊化运算，采用以下公式计算对于其他n-1个模糊数的可能度，从而得到一个清晰值：

式中，l_i和u_i分别为第i个方案中各指标模糊数的上下边界向量，g_i为第i个方案中各指标隶属度等于1对应点的向量，表示的可能度，计算公式如下：

(34)标准化运算。通过以下公式计算得到指标权重向量w＝{w₁,w₂,…,w_n}：

5.根据权利要求1所述的一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法，其特征在于，步骤(4)中优劣解距离型效用函数进一步包括以下子步骤：

(41)采用向量标准化公式对决策矩阵X＝(x_ij)_m×n进行标准化，计算得到标准化决策矩阵Z＝(z_ij)_m×n：

式中，x_ij为第i个方案中第j个指标值；z_ij为第i个方案中第j个指标标准化之后的取值；m为水库调度方案数；

(42)计算加权决策矩阵。将标准化决策矩阵Z＝(z_ij)_m×n和随机抽样生成的权重向量w＝{w₁,w₂,…,w_n}相乘，得到加权决策矩阵B＝(b_ij)_m×n，其中b_ij＝z_ij·w_j，m为水库调度方案数；n为指标数；

(43)确定理想最优方案S⁺＝[s₁ ⁺,s₂ ⁺,…,s_n ⁺]和理想最劣方案S^-＝[s₁ ^-,s₂ ^-,…,s_n ^-]，其中s_j ⁺和s_j ^-的计算公式为：

(44)计算各水库调度方案与理想最优、最劣方案之间的欧式距离：

(45)计算各水库调度方案与理想最优、最劣方案的相对贴近度：

6.根据权利要求1所述的一种不完全信息条件下的水库调度风险型群决策方法，其特征在于，步骤(5)中将决策失误风险定义为：非最优方案由于随机因素的影响获得最优排序的加权概率，计算公式如下：

式中，b_k ¹表示确定性排序为k的方案在随机因素的作用下获得最优排序的概率；β_k定义为风险权重，体现不同排序的方案获得最优排序对决策失误风险的贡献程度，β_k计算公式如下：