CN108665089A - 一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法，属于运筹学与优化算法的应用技术领域。该方法首先建立用于选址问题的鲁棒凸优化模型，并转化为对应的参数约束模型；然后参数约束模型转化为近似模型，确定该近似模型不确定集采样的样本个数，将约束条件分配到相应进程上并构建进程之间的通信的权重矩阵；根据进程间通信方式为无向通信或有向通信设计了两种分布式算法，通过迭代求解，得到选址问题的最优结果。本发明可以在面临大量服务对象构成的复杂且不确定需求的条件下做出更加鲁棒的选址决策，有助于各应用领域由于优化选址而产生良好的技术效果，最小化由于选址不当带来的潜在风险。

Description

一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法

技术领域

本发明属于运筹学与优化算法的应用技术领域，具体涉及一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法。

背景技术

选址问题是运筹学中经典的问题之一。选址作为一类重要的长期决策问题，在生产、生活、物流中都有着非常广泛的应用，如工厂、物流中心、医院、消防站的选址等。以消防站的选址为例，为提高消防站对于火灾发生的救灾效率，通常希望消防站离火灾发生概率较高的服务对象更近。然而实际情况是，服务对象发生火灾的概率是存在不确定性的，且消防站到服务对象这一段路程可能存在其他不确定事件，如堵车等。因此常规的确定性选址模型无法得到鲁棒的解，使得在某些最坏的情况下消防站无法及时赶到火灾现场进行及时的救灾。因此需要考虑参数的不确定性，包括服务对象位置的不确定性、服务对象对服务距离的代价系数的不确定性等，从而建立新的不确定性模型。

早出现的针对模型不确定性的研究是随机优化模型。在随机优化模型中，不确定参数被看作是一个分布已知的随机变量，随机规划的三个分支是期望值模型、机会约束规划和相关机会规划，均为在一定的概率意义下达到最优的理论。其中机会约束规划考虑到所做决策在不利的情况发生时可能不满足约束条件，即允许所做决策在一定程度上不满足约束条件，但该决策使约束条件成立的概率不小于某一个足够小的置信水平。随机优化的缺点主要体现在以下几个方面：1)在随机优化模型中，不确定参数的分布是需要精确知道的；2)在随机优化模型中，一般采用某种系统性能的期望作为优化目标，具有一定局限性；3)当问题比较复杂是，随机优化模型难以建立，且求解困难，甚至只能使用某些启发式算法。

由于随机优化模型具有以上缺点，另一种处理参数不确定性的鲁棒优化模型得到了研究者的关注。鲁棒优化模型的不确定参数通过区间数据情景进行刻画(一个情景代表不确定参数的一种可能的取值)，相较于随机模型，鲁棒模型面对不确定参数分布未知的情况更有效。鲁棒优化的理论由90年代末Ben-Tal引领，在最近十几年内得到长足的发展。其基本思想是解决鲁棒可行问题，求解最坏情况下的最优值。针对目标函数和约束为凸函数的问题，通过简单的松弛技术可将鲁棒凸优化问题转化为目标函数为线性，约束为包含不确定参数的凸不等式的问题。求解鲁棒优化问题的关键是计算鲁棒可行集，但在大多数情况下不确定参数集合的复杂性会导致鲁棒可行集难以计算。因此Campi等提出一种近似求解鲁棒优化问题的方法——场景建模法，参数在不确定集中进行随机采样得到许多个场景约束，最终解决包含所有场景约束的一般优化问题。显然采样的场景约束越多，新问题越接近精确鲁棒优化问题，新问题的可行解不满足鲁棒约束的概率和采样场景约束个数之间的关系也在Campi的工作中得到定量刻画。

使用场景建模法求解鲁棒优化问题最大的挑战是：要获得精度足够高的鲁棒解需要生成大量的约束，因而需要很长的求解时间。

发明内容

本发明的目的是为克服已有技术的不足之处，提出一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法。本发明可以在面临大量服务对象构成的复杂且不确定需求的条件下做出更加鲁棒的选址决策，使得在某服务对象在最糟糕的情况下也可以被选定地址的服务中心所快速响应。同时，基于分布式求解的构架，所有服务对象可以通过和相邻的服务对象交换信息来分布式地进行最优决策，即使服务对象的相关信息无法全局获得，也能求得全局鲁棒最优的选址，有助于各应用领域由于优化选址而产生良好的技术效果，最小化由于选址不当带来的潜在风险。

本发明提出一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)建立用于选址问题的鲁棒凸优化模型，并转化为对应的参数约束模型；具体步骤如下：

1-1)建立建立用于选址问题的鲁棒凸优化模型；

设有N个服务对象，N≥2，对于任意服务对象i∈{1，...，N},为选择最优的服务中心的位置建立基于选址问题的鲁棒凸优化模型表达式如下：

s.t.||q_i-x_i||≤δ_i(1)

在给定服务中心的位置后，表示服务对象的最坏情况下的总代价，式(1)的目标就是最小化最坏情况的总代价；

其中，x_i为服务对象i的量测位置坐标；q_i为服务对象i的实际位置坐标；δ_i为服务对象i量测位置和实际位置偏差的上界；c_i为服务对象i与服务中心的距离代价系数；x为服务中心选址的位置；

1-2)将步骤1-1)建立的鲁棒凸优化模型转化为对应的参数约束模型；

引入松弛变量t₁，...，t_N，将式(1)转化为如下所示的无限约束优化模型：

引入如下符号：

c＝[0，0，c₁，c₂，...，c_N]^T

t＝[t₁，t₂，...，t_N]^T

θ＝[x；t]^T

q＝[q₁；...；q_N]^T

f_i(θ，q)＝||x-q_i||-t_i

Q＝B(x₁，δ₁)×…×B(x_N，δ_N)

其中，B(x_i，δ_i)(i＝1，...，N)表示中心坐标为x_i，半径为δ_i的球，×表示笛卡尔积，则式(2)转化为如下一般形式的参数约束模型：

其中，是参数q的不确定集合，f：为凸函数,

2)将步骤1)得到的参数约束模型转化为近似模型，决定不确定集采样的样本个数，将约束条件分配到进程上并构建进程之间的通信的权重矩阵；具体步骤如下：

2-1)将步骤1)得到的参数约束模型转化为近似模型；

假设参数是以相互独立的均匀分布采样自不确定集合Q，建立如式(3)所示模型经不确定参数采样的近似模型如下：

其中，N_bin表示不确定集采样的样本个数；

如式(4)所示的近似模型将如式(5)所示的包含无穷个不确定带参数约束构成的集合减弱为如式(6)所示的包含有限约束构成的集合:

Θ_scenario＝{θ|f(θ，q⁽ⁱ⁾)≤0，i＝1，...，N_bin，q⁽ⁱ⁾∈Q}，(6)

其中，Θ_robust为鲁棒可行集，Θ_scenario是参数采样后的约束构成的集合即情景鲁棒可行集；

2-2)决定不确定集采样的样本个数；

给定式(3)中的决策变量记表示该决策变量在不确定参数集合下的不可行概率；若存在参数∈，δ∈(0，1)，使得概率不等式 成立，则样本个数满足：

其中，e＝2.718为自然底数；

2-3)将约束条件分配到进程上；

设总共有m个进程，将N_bin个约束划分到每个进程上，令进程j处理n_j个约束，则n₁+...+n_m＝N_bin；

对于进程1≤j≤m，引入函数向量：

则每个进程处理的约束表达式如下：

2-4)构建进程之间的通信的权重矩阵；

用图来刻画进程之间的通信连接关系，其中v：＝{1，...，m}表示m个进程，；对于任意两个进程i，j∈V，边(i，j)∈ε当且仅当i从j直接获取信息；若边(i，j)∈ε，则对该边赋予权值a_ij＞0；若边则对该边赋予权值a_ij＝0；对所有的边赋予对应权值后，形成权重矩阵A＝[a_ij]；

3)对步骤2)的近似模型求解，得到选址问题的最优解；

令图是强连通的，即对于任意i，j∈V，存在p个进程i₁，...，i_p∈v使得边(i，i₁)，(i₁，i₂)，...，(i_p-1，i_p)，(i_p，j)∈ε；分别针对无向图和有向图两类通信网络提出两种分布式优化算法，具体如下：

3-1)针对无向图网络的分布式原始对偶次梯度算法；

对于无向图，(i，j)∈ε当且仅当(j，i)∈ε，对于任意一个进程i，记它的邻居构成的集合为对于函数f(θ)，记f₊(θ)＝max{0，f(θ)}为f的非负部分,并记0_n表示n维的零向量；如式(4)所示的模型与下面模型形式等价：

对式(9)中第一行等式约束引入拉格朗日乘子对第二行等式约束引入拉格朗日乘子分布式地更新θ_j及λ_j，γ_j，将使θ_j同时收敛到如式(4)所示模型的最优解；具体步骤如下：

3-1-1)初始化：对每个进程j∈V，初始化轮次k＝0，解的状态θ_j＝0_N+2，约束对应的拉格朗日乘子分别初始化为λ_j＝0_N+2及

3-1-2)局部信息交换：对于每个进程i∈V，首先将其当前状态θ_i传递给它的邻居进程；当进程i从其邻居进程收到θ_j后计算然后再将预更新的对偶变量回传给它的邻居进程

3-1-3)局部变量更新：当每个进程收到回传的预更新对偶变量之后，每个进程按照如下方式更新变量：

λ_j←λ_j+ζb_j，

γ_j←γ_j+ζg_j(θ_j)，

其中，s_j是g_j在θ_j处的次梯度，即ρ是一个正的惩罚因子，ζ取步长

3-1-4)结束一次迭代，设置k＝k+1；

3-1-5)重复步骤3-1-2)至3-1-4)，直至k≥k₀，迭代求解结束，其中k₀是预先设置的最大迭代步数；求解完毕后，每个θ_j的前两维表示选址位置的坐标，后N维表示N个服务对象的代价函数，得到选址问题的最优解；

3-2)针对有向图网络的分布式Polyak随机投影算法；

对于任意一个进程i，记它的入邻居进程集合为出邻居集合为具体步骤如下

3-2-1)初始化：对每个进程j∈v，设置迭代轮次k＝0，解的状态θ_j＝0_N+2；

3-2-2)局部信息交换：每个进程j∈v将变量θ_j传递给对应的出邻居；

3-2-3)局部变量更新：每个进程j∈V接收到对应的入邻居发送的向量后采用如下方式更新变量：

计算

以均匀分布随机选取ω_j∈{1，...，n_j}

其中，d_j是在v_j处的次梯度，ζ为满足如下条件的步长：

3-2-4)结束一次迭代，设置k＝k+1；

3-2-5)重复步骤3-1-2)至3-1-4)，直至k≥k₀，迭代求解结束，其中k₀是预先设定的最大迭代次数；求解完毕后，每个θ_j的前两维表示选址位置的坐标，后N维表示N个服务对象的代价函数，得到选址问题的最优解。

本发明的特点及有益效果在于：

1)本发明相对于确定性选址模型，考虑了实际情况中可能发生的不确定性，且能够很好地适配复杂的不确定因素。有别于期望意义最优选址模型需要知道不确定参数的分布，鲁棒选址模型仅需要在不确定集合采样便可以进行求解，若采样涵盖的不确定情形越多，可得到风险更小的选址结果，具有良好的扩展性。

2)场景建模法利用随机采样将带不确定参数的问题转化为确定性问题，避免了复杂的鲁棒可行性分析，且鲁棒可行的概率可以由采样个数进行概率意义上的刻画供算法使用者参考，在工程实践中更具有应用价值。

3)将约束分配到多个进程(可以是多个计算机)中进行计算，降低了对每个进程计算性能的要求，也提升了整体的计算速度。算法非常适合单机计算性能较差但计算单元较多的多传感器网络中执行。算法考虑了通信形式的多样性，在有向图和无向图中各节点均能以简洁迭代形式一致收敛原问题的最优解。

4)本发明应用于选址问题能够仅通过交换局部的服务需求便可以确定全局的鲁棒最优解，且分布式的求解框架可加快计算速度，提高决策效率。

5)通过本发明对各技术领域中的选址问题的优化处理，有助于各应用领域产生良好的技术效果，最小化由于选址不当带来的潜在风险。

说明书附图

图1本发明实施例中两种算法用于求解选址问题的收敛示意图。

具体实施方式

本发明提出一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法，下面结合附图具体实施例进一步详细说明如下。

本发明提出一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法，针对存在不确定性的选址问题，将鲁棒优化模型转化为基于不确定性采样的场景模型，通过在不确定参数集合中采样生成大量约束，将鲁棒凸优化问题转化为包含大量凸约束的普通优化问题。为处理大量的约束，本发明将约束分配到多个进程上进行分布式求解，并根据进程间通信方式为无向通信或有向通信设计了两种分布式算法。其中面向无向图通信网络提出了分布式原始对偶次梯度算法，面向有向图网络提出了分布式Polyak随机投影算法。该方法包括以下步骤：

1)建立用于选址问题的鲁棒凸优化模型，并转化为对应的参数约束模型；具体步骤如下：

1-1)建立建立用于选址问题的鲁棒凸优化模型；

本发明考虑一般性的选址问题，设有N(≥2)个服务对象(如快递点)，对于任意服务对象i∈{1，...，N},它的量测位置坐标为但由于对该服务对象的实际位置存在一定的不确定性δ_i，服务对象i的实际位置坐标满足||q_i-x_i||≤δ_i。

为选择最优的服务中心(如物流集散中心)的位置假设每个服务对象和服务中心的距离代价为c_i(＞0)，则建立基于选址问题的鲁棒凸优化模型表达式如下：

s.t.||q_i-x_i||≤δ_i(1)

在给定服务中心的位置后，表示服务对象的最坏情况下的总代价，而式(1)的目标就是最小化最坏情况的总代价。

其中，x_i为服务对象i的量测位置坐标(预先给定的量测)；q_i为服务对象i的实际位置坐标(实际难以直接得到，为未知参数)；δ_i为服务对象i量测位置和实际位置偏差的上界(给定量测的误差范围)；c_i为服务对象i与服务中心的距离代价系数(每个服务对象的边际成本)；x为服务中心选址的位置(待优化的变量)。

1-2)将步骤1-1)建立的鲁棒凸优化模型转化为对应的参数约束模型；

如式(1)所示的优化模型中的目标函数是不可微的，难以求解。因此我们引入松弛变量t₁，...，t_N，将式(1)转化为如下所示的无限约束优化模型：

为将式(2)写成更紧凑的形式，引入如下符号：

c＝[0，0，c₁，c₂，...，c_N]^T

t＝[t₁，t₂，...，t_N]^T

θ＝[x；t]^T

q＝[q₁；...；q_N]^T

f_i(θ，q)＝||x-q_i||-t_i

Q＝B(x₁，δ₁)×…×B(x_N，δ_N)

其中，B(x_i，δ_i)(i＝1，...，N)表示中心坐标为x_i，半径为δ_i的球，×表示笛卡尔积，则式(2)可以转化为如下一般形式的参数约束模型：

其中，是参数q的不确定集合，f：为凸函数,

2)将步骤1)得到的参数约束模型转化为近似模型，决定不确定集采样的样本个数，将约束条件分配到进程上并构建进程之间的通信的权重矩阵；具体步骤如下：

2-1)将步骤1)得到的参数约束模型转化为近似模型；

对于式(3)，由于Q可能为包含无穷多个元素的集合，式(3)理论上是由无数个约束组成的，且当Q不规则时，问题一般是NP难的。所谓情景建模法就是在Q中采样若干个参数形成新的确定性的优化问题来逼近式(1)。假设参数以相互独立的均匀分布采样自不确定集合Q，建立如式(3)所示模型经不确定参数采样的近似模型如下：

其中，N_bin表示不确定集采样的样本个数；

如式(4)所示的近似模型将如式(5)所示的包含无穷个不确定带参数约束构成的集合减弱为如式(6)所示的包含大量有限约束构成的集合:

Θ_scenario＝{θ|f(θ，q⁽ⁱ⁾)≤0，i＝1，...，N_bin，q⁽ⁱ⁾∈Q}，(6)

其中，Θ_robust为鲁棒可行集，Θ_scenario是参数采样后的约束构成的集合，又可称情景鲁棒可行集。显然有但当N_bin足够大的时候，Θ_scenario可以逼近Θ_robust。

2-2)决定不确定集采样的样本个数；

给定式(3)中的决策变量记表示该决策变量在不确定参数集合下的不可行概率。显然对于θ∈Θ_robust有V(θ)＝0，而对于θ∈Θ_scenario，V(θ)可能不为0。但若存在参数∈，δ∈(0，1)，使得概率不等式成立，那么我们对于简化的Θ_scenario是足够满意的。给定任意较小的误差参数∈，δ∈(0，1)且使得如式(4)所示模型求得的最优解满足该概率不等式成立，只需要选择样本个数满足：

其中e＝2.718为自然底数，N为服务对象的个数。

2-3)将约束条件分配到进程上；

设总共有m个进程(计算机求解单元)，将N_bin个约束划分到每个进程上，令进程j处理n_j个约束，则n₁+...+n_m＝N_bin。一般而言，将约束平均划分给每个进程即可；若进程性能差异比较大，可以将更多约束分配给性能较好的进程，较少的约束分配给性能较差的进程。对于进程1≤j≤m，引入函数向量：

则每个进程需要处理的约束可以写成：

2-4)构建进程之间的通信的权重矩阵；

进程之间可以传递变量信息，用图来刻画进程之间的通信连接关系，其中v：＝{1，...，m}表示m个进程，对于任意两个进程i，，j∈V，边(i，j)∈ε当且仅当i从j直接获取信息。若边(i，j)∈ε，则对该边赋予权值a_ij＞0；若边则对该边赋予权值a_ij＝0；对所有的边赋予对应圈之后，形成权重矩阵A＝[a_ij]；

3)对步骤2)的近似模型求解，得到选址问题的最优解；

本发明分别针对无向图和有向图两类通信网络提出了两种分布式优化算法，其中面向无向图通信网络结构提出了分布式原始对偶次梯度算法，面向有向图网络结构提出了分布式Polyak随机投影算法；本发明提出的两种算法均要求图是强连通的，即对于任意i，j∈V，存在p个进程i₁，...，i_p∈V使得边(i，i₁)，(i₁，i₂)，...，(i_p-1，i_p)，(i_p，j)∈ε。

3-1)针对无向图网络的分布式原始对偶次梯度算法；

对于无向图，(i，j)∈ε当且仅当(j，i)∈ε，对于任意一个进程i，记它的邻居构成的集合为对于函数f(θ)，记f₊(θ)＝max{0，f(θ)}为f的非负部分,并记θ_n表示n维的零向量。在通信网络强连通的假设下，如式(4)所示的模型与下面模型形式等价：

对式(9)中第一行等式约束引入拉格朗日乘子对第二行等式约束引入拉格朗日乘子下述算法分布式地更新θ_j及λ_j，γ_j，将使θ_j同时收敛到如式(4)所示模型的最优解集合中某个相同的解，具体步骤如下：

3-1-1)初始化：对每个进程j∈V，初始化轮次k＝0，解的状态θ_j＝0_N+2，约束对应的拉格朗日乘子分别初始化为λ_j＝0_N+2及

3-1-2)局部信息交换：对于每个进程i∈V首先将其当前状态θ_i传递给它的邻居进程；当进程i从其邻居进程收到θ_j后计算然后再将预更新的对偶变量回传给它的邻居进程

3-1-3)局部变量更新：当每个进程收到回传的预更新对偶变量之后，每个进程按照如下方式更新变量：

λ_j←λ_j+ξb_j，

γ_j←γ_j+ξg_j(θ_j)，

其中s_j是g_j在θ_j处的次梯度，即ρ是一个正的惩罚因子，ζ可取如下步长

3-1-4)结束一次迭代，设置k＝k+1；

3-1-5)重复步骤3-1-2)至3-1-4)，直至k≥k₀，迭代求解结束，其中k₀是预先设置的最大迭代步数；求解完毕后，每个θ_j的前两维表示选址位置的坐标，后N维表示N个服务对象的代价函数，当设定的迭代次数足够大时，所有θ_j将为收敛到相同的选址结果，即为选址问题的最优解。

3-2)针对有向图网络的分布式Polyak随机投影算法；

对于有向图，(i，j)∈ε并不意味着(j，i)∈ε；对于任意一个进程i，记它的入邻居(即向该进程发送消息的)进程集合为出邻居(即该进程发出消息的)进程集合为本发明使用近似的Polyak投影且通过随机选取局部约束进行，再结合线性目标函数使用分布式次梯度下降算法，得到适用于有向图网络的分布式Polyak随机投影算法。具体步骤如下

3-2-1)初始化：对每个进程j∈v，设置迭代轮次k＝0，解的状态θ_j＝0_N+2；

3-2-2)局部信息交换：每个进程j∈v将变量θ_j传递给对应的出邻居；

3-2-3)局部变量更新：每个进程j∈V接收到对应的入邻居发送的向量后采用如下方式更新变量：

计算

以均匀分布随机选取ω_j∈{1，...，n_j}

其中，d_j是在v_j处的次梯度，ζ为满足如下条件的步长：

3-2-4)结束一次迭代，设置k＝k+1；

3-2-5)重复步骤3-1-2)至3-1-4)，直至k≥k₀，迭代求解结束，其中k₀是预先设定的最大迭代次数。求解完毕后，每个θ_j的前两维表示选址位置的坐标，后N维表示N个服务对象的代价函数，当迭代次数足够多，所有θ_j将为一样的选址结果，即为选址问题的最优解。

图1是本发明提出的两种算法用于求解选址问题的收敛示意图。其中横坐标轴表示算法迭代次数，纵坐标轴表示问题当前迭代次数下的解和最优解之间的距离。图1中实曲线表示分布式原始对偶次梯度算法的收敛趋势，虚曲线表示分布式Polyak随机投影算法的收敛趋势。可以发现分布式原始对偶次梯度算法收敛速度更快，但在实际应用中分布式原始对偶次梯度算法单次迭代花费时间更长且需要双向通信。两种算法均可以求得选址问题的鲁棒解。

Claims (1)

1.一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)建立用于选址问题的鲁棒凸优化模型，并转化为对应的参数约束模型；具体步骤如下：

1-1)建立建立用于选址问题的鲁棒凸优化模型；

设有N个服务对象，N≥2，对于任意服务对象i∈{1，...，N},为选择最优的服务中心的位置建立基于选址问题的鲁棒凸优化模型表达式如下：

s.t.||q_i-x_i||≤δ_i(1)

在给定服务中心的位置后，表示服务对象的最坏情况下的总代价，式(1)的目标就是最小化最坏情况的总代价；

其中，x_i为服务对象i的量测位置坐标；q_i为服务对象i的实际位置坐标；δ_i为服务对象i量测位置和实际位置偏差的上界；c_i为服务对象i与服务中心的距离代价系数；x为服务中心选址的位置；

1-2)将步骤1-1)建立的鲁棒凸优化模型转化为对应的参数约束模型；

引入松弛变量t₁，...，t_N，将式(1)转化为如下所示的无限约束优化模型：

引入如下符号：

c＝[0，0，c₁，c₂，...，c_N]^T

t＝[t₁，t₂，...，t_N]^T

θ＝[x；t]^T

q＝[q₁；...；q_N]^T

f_i(θ，q)＝||x-q_i||-t_i

Q＝B(x₁，δ₁)×…×B(x_N，δ_N)

其中，B(x_i，δ_i)(i＝1，...，N)表示中心坐标为x_i，半径为δ_i的球，×表示笛卡尔积，则式(2)转化为如下一般形式的参数约束模型：

其中，是参数q的不确定集合，f：为凸函数,

2)将步骤1)得到的参数约束模型转化为近似模型，决定不确定集采样的样本个数，将约束条件分配到进程上并构建进程之间的通信的权重矩阵；具体步骤如下：

2-1)将步骤1)得到的参数约束模型转化为近似模型；

假设参数是以相互独立的均匀分布采样自不确定集合Q，建立如式(3)所示模型经不确定参数采样的近似模型如下：

其中，N_bin表示不确定集采样的样本个数；

如式(4)所示的近似模型将如式(5)所示的包含无穷个不确定带参数约束构成的集合减弱为如式(6)所示的包含有限约束构成的集合:

Θ_scenario＝{θ|f(θ，q⁽ⁱ⁾)≤0，i＝1，...，N_bin，q⁽ⁱ⁾∈Q}，(6)

其中，Θ_robust为鲁棒可行集，Θ_scenario是参数采样后的约束构成的集合即情景鲁棒可行集；

2-2)决定不确定集采样的样本个数；

给定式(3)中的决策变量记表示该决策变量在不确定参数集合下的不可行概率；若存在参数∈，δ∈(0，1)，使得概率不等式 成立，则样本个数满足：

其中，e＝2.718为自然底数；

2-3)将约束条件分配到进程上；

设总共有m个进程，将N_bin个约束划分到每个进程上，令进程j处理n_j个约束，则n₁+...+n_m＝N_bin；

对于进程1≤j≤m，引入函数向量：

则每个进程处理的约束表达式如下：

f_j(θ)≤0，j＝1，...，N_bin(8)

2-4)构建进程之间的通信的权重矩阵；

用图来刻画进程之间的通信连接关系，其中表示m个进程，；对于任意两个进程i，j∈V，边(i，j)∈ε当且仅当i从j直接获取信息；若边(i，j)∈ε，则对该边赋予权值a_ij＞0；若边则对该边赋予权值a_ij＝0；对所有的边赋予对应权值后，形成权重矩阵A＝[a_ij]；

3)对步骤2)的近似模型求解，得到选址问题的最优解；

令图是强连通的，即对于任意i，j∈V，存在p个进程使得边(i，i₁)，(i₁，i₂)，...，(i_p-1，i_p)，(i_p，j)∈ε；分别针对无向图和有向图两类通信网络提出两种分布式优化算法，具体如下：

3-1)针对无向图网络的分布式原始对偶次梯度算法；

对于无向图，(i，j)∈ε当且仅当(j，i)∈ε，对于任意一个进程i，记它的邻居构成的集合为对于函数f(θ)，记f₊(θ)＝max{0，f(θ)}为f的非负部分,并记0_n表示n维的零向量；如式(4)所示的模型与下面模型形式等价：

对式(9)中第一行等式约束引入拉格朗日乘子对第二行等式约束引入拉格朗日乘子分布式地更新θ_j及λ_j，γ_j，将使θ_j同时收敛到如式(4)所示模型的最优解；具体步骤如下：

3-1-1)初始化：对每个进程j∈V，初始化轮次k＝0，解的状态θ_j＝0_N+2，约束对应的拉格朗日乘子分别初始化为λ_j＝0_N+2及

3-1-2)局部信息交换：对于每个进程i∈V，首先将其当前状态θ_i传递给它的邻居进程；当进程i从其邻居进程收到θ_j后计算然后再将预更新的对偶变量回传给它的邻居进程

3-1-3)局部变量更新：当每个进程收到回传的预更新对偶变量之后，每个进程按照如下方式更新变量：

λ_j←λ_j+ζb_j，

γ_j←γ_j+ζg_j(θ_j)，

其中，s_j是g_j在θ_j处的次梯度，即ρ是一个正的惩罚因子，ζ取步长

3-1-4)结束一次迭代，设置k＝k+1；

3-1-5)重复步骤3-1-2)至3-1-4)，直至k≥k₀，迭代求解结束，其中k₀是预先设置的最大迭代步数；求解完毕后，每个θ_j的前两维表示选址位置的坐标，后N维表示N个服务对象的代价函数，得到选址问题的最优解；

3-2)针对有向图网络的分布式Polyak随机投影算法；

对于任意一个进程i，记它的入邻居进程集合为出邻居集合为具体步骤如下

3-2-1)初始化：对每个进程设置迭代轮次k＝0，解的状态θ_j＝0_N+2；

3-2-2)局部信息交换：每个进程将变量θ_j传递给对应的出邻居；

3-2-3)局部变量更新：每个进程j∈V接收到对应的入邻居发送的向量后采用如下方式更新变量：

计算

以均匀分布随机选取ω_j∈{1，...，n_j}

其中，d_j是在v_j处的次梯度，ζ为满足如下条件的步长：

3-2-4)结束一次迭代，设置k＝k+1；

3-2-5)重复步骤3-1-2)至3-1-4)，直至k≥k₀，迭代求解结束，其中k₀是预先设定的最大迭代次数；求解完毕后，每个θ_j的前两维表示选址位置的坐标，后N维表示N个服务对象的代价函数，得到选址问题的最优解。