CN108595744B - 基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，将统计机器学习理论中的高斯过程回归方法应用于电磁作动器等效磁场强度建模问题，所述基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法包括如下步骤：基于选择的协方差函数和建立的高斯过程回归模型，通过最大化边缘对数似然对协方差函数的超参数进行优化，得到最终建立的电磁作动器等效磁场强度模型。优点为：本发明提供的一种基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，不依赖于机理模型，建立的模型是条件概率模型，具有很强的通用性，特别适用于解决具有复杂磁场分布的电磁作动器等效磁场强度建模问题。

Description

基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法

技术领域

本发明属于磁悬浮控制和统计机器学习技术领域，具体涉及一种基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法。

背景技术

建立高精度的电磁作动器等效磁场强度模型，是实现电磁作动器高性能的关键。目前，电磁作动器等效磁场强度建模方法有机理分析方法建模、实验法建模以及有限元分析法建模。机理建模通常是在理想假设条件下进行的，假定磁场均匀并忽略漏磁通、边缘效应等因素。由于加工工艺水平的制约，实际电磁作动器的结构尺寸和线圈匝数与理论设计值有一定的差别，因此机理建模的模型误差较大。有限元分析法建模较为精确，但是计算量较大，过程复杂，且有限元模型的精度仍需通过实验加以验证。因此，对于具有复杂磁场分布的电磁作动器，可以采用实验法建立其等效磁场强度模型，无需考虑内部机理过程，建模过程简单，模型精度取决于输入、输出数据的测量精度以及对数据的数学处理方法。

采用实验法建立电磁作动器等效磁场强度模型，其对实验测量数据的处理方法类似于统计机器学习中的回归问题。回归问题是指根据已知实验数据，建立输入变量(自变量)到输出变量(因变量)之间的映射函数模型；并且该模型能够对任意给定的输入，对其相应的输出做出一个好的预测。这里的已知实验数据，亦称训练数据集合，即电磁作动器等效磁场强度实验法建模中测量得到的输入、输出数据。回归问题的学习等价于函数拟合：选择一条函数曲线使其很好地拟合已知数据且很好地预测未知数据。

高斯过程回归方法是一种统计机器学习方法，适用于处理高维数、小样本和非线性等复杂回归问题。高斯过程回归的前提假设条件是：给定一些输入变量的值，对应的输出值服从联合正态分布。基于贝叶斯理论和统计机器学习理论，高斯过程回归建立了非参数概率模型，不仅能够对未知输入进行预测输出，而且对该预测输出的精度参数或不确定性(即估计方差)进行定量分析，已广泛应用于时间序列预测分析、动态系统模型辨识、控制系统设计以及滤波算法状态估计等领域。

然而，目前的各类电磁作动器等效磁场强度建模方法，建立的模型通常是参数模型，不适用于解决具有复杂磁场分布的电磁作动器等效磁场强度建模问题。

发明内容

针对电磁作动器等效磁场强度建模问题，本发明提供一种基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，可有效解决上述问题。

本发明采用的技术方案如下：

本发明提供一种基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，将统计机器学习理论中的高斯过程回归方法应用于电磁作动器等效磁场强度建模问题，所述基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法包括如下步骤：

S1，通过电磁作动器静态标定测试系统，测量得到磁场工作区域内不同位置点处的等效磁场强度，并将实验测试数据分成测试数据集合和训练数据集合；

S2，基于S1测量得到的实验测试数据作图分析，确定高斯过程回归的协方差函数；

S3，基于贝叶斯定理和训练数据集合，建立等效磁场强度的高斯过程回归模型；

S4，基于S2选择的协方差函数和S3建立的高斯过程回归模型，通过最大化边缘对数似然对协方差函数的超参数进行优化，得到最终建立的电磁作动器等效磁场强度模型，并采用测试数据集合检验高斯过程回归模型的预测精度。

优选的，S1具体为：

使电磁作动器的通电线圈平行于永磁铁的N、S极端面，通电线圈中通入某一恒定电流，在电磁作动器的间隙内进行平动，采用力传感器测量不同位置处电磁作动器的输出力，电磁作动器的等效磁场强度表示为输出力与电流的比值。

优选的，S2具体为：

通过对实验测试数据作图，分析图像的分布特性、周期特性、是否带有噪声特点，采用常用协方差函数或其组合作为协方差函数的结构假设，进而确定最终选择的高斯过程回归的协方差函数。

优选的，S3具体为：

根据贝叶斯定理，计算出预测等效磁场强度的高斯过程回归模型为：

式中，

为高斯过程回归模型；r_*为预测等效磁场强度所在空间位置点矢量；R是训练数据集合中N个空间位置矢量构成的3×N维矩阵；σ_n为力传感器的测量噪声标准差；I_N是N×N维单位矩阵；K为协方差函数；K(r_*,R)和K(R,R)分别为1×N和N×N维对称正定的协方差矩阵；B_NN为训练数据集合中N个等效磁场强度构成的N×1维矩阵。

优选的，S4具体为：

根据概率计算贝叶斯公式，得到等效磁场强度的后验概率，进而获得等效磁场强度的边缘似然。通过最大化边缘对数似然对协方差函数的超参数进行优化，最终确定电磁作动器等效磁场强度模型。

本发明提供的基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法具有以下优点：

本发明提供的一种基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，不依赖于机理模型，建立的模型是条件概率模型，具有很强的通用性，特别适用于解决具有复杂磁场分布的电磁作动器等效磁场强度建模问题。

附图说明

图1为MAIS中电磁作动器结构示意图；

图2为某电磁作动器X方向静态推力测定示意图；

图3为某电磁作动器Y方向静态推力测定示意图；

图4为某电磁作动器Z方向静态推力测定示意图；

图5为某电磁作动器X方向静态推力测试结果；

图6为某电磁作动器Y方向静态推力测试结果；

图7为某电磁作动器Z方向静态推力测试结果；

图8为某电磁作动器等效磁场强度预测误差分布图。

图中，各符号的含义如下：

1磁轭，2通电线圈，3永磁铁，4电流方向，5测量辅助工装，6力传感器。

具体实施方式

为了使本发明所解决的技术问题、技术方案及有益效果更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

结合实验法和高斯过程回归方法，本发明提供的一种基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，不依赖于机理模型，建立的模型是条件概率模型，具有很强的通用性，特别适用于解决具有复杂磁场分布的电磁作动器等效磁场强度建模问题。

本发明提供的基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，将统计机器学习理论中的高斯过程回归方法应用于电磁作动器等效磁场强度建模问题，所述基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法包括如下步骤：

S1，通过电磁作动器静态标定测试系统，测量得到磁场工作区域内不同位置点处的等效磁场强度，并将实验测试数据分成测试数据集合和训练数据集合；

S1具体为：

使电磁作动器的通电线圈平行于永磁铁的N、S极端面，通电线圈中通入某一恒定电流，在电磁作动器的间隙内进行平动，采用力传感器测量不同位置处电磁作动器的输出力，电磁作动器的等效磁场强度表示为输出力与电流的比值。

更具体的，电磁作动器等效磁场强度的实验测试过程设计如下：

1)确定实验测试的测试位置点。在磁场的工作区域内进行网格划分，网格节点作为实验测试的位置点。一种实用的网格划分方式为在X、Y和Z方向的取值范围内等间距地取若干点，其中XYZ为图1中定义的电磁作动器本体坐标系的三轴方向。当然，针对不同的电磁作动器和应用任务，网格划分方式可以灵活选择，例如当工作区域中某一或某些局部区域是重点关注或磁场分布更复杂的部分，该局部区域的网格相对其它区域可进行更密集的划分，增加测试位置点的数量，提高模型的预测精度。

2)确定通电线圈中的电流。通电线圈的电流可以按照以下原则进行确定：一是考虑电磁作动器输入电流限制。二是将电磁作动器可能的工作电流值作为实验测试中通电线圈的输入电流值。这样电磁作动器的实验测试过程更接近于实际工作状态，对测量输出力的实验法建模更具信服力。三是考虑实验测试中力传感器的测量量程和精度约束。通电线圈的输出力既不能超出力传感器的测量量程，又不能接近甚至小于力传感器的测量噪声，导致测量不精确。

3)测量电磁作动器的输出力。在第1)步和第2)步的基础上，按照申请号为的201610799077.9发明申请设计实验测试装置和选择力传感器型号，测量电磁作动器的输出力。实验装置主要包括位移台和辅助工装，如图2～图4所示。位移台用于实现通电线圈平行移动到测试位置点处。辅助工装用于电磁作动器、位移台和力传感器的连接。力传感器选型的主要依据是测量精度。根据电磁作动器输出力的精度要求确定力传感器的精度。通常实验测试中力传感器的精度高出电磁作动器输出力精度的2～10倍。此外，力传感器的测量量程以实验测试过程读数处于满量程的20％～80％区间为依据进行确定。

通过上述实验测试，获得不同测试位置点的输出力数据，输出力与输入电流的比值即等效磁场强度。将实验测试数据分为测试数据集合和训练数据集合。训练数据集合用于建立高斯过程回归模型。测试数据集合用于检验高斯过程回归模型的预测精度。

S2，基于S1测量得到的实验测试数据作图分析，确定高斯过程回归的协方差函数；

具体的，通过对实验测试数据作图，分析图像的分布特性、周期特性、是否带有噪声等特点，采用常用协方差函数或其组合作为协方差函数的结构假设。

理论上，在高斯回归过程建模中，任何半正定矩阵都可以是协方差函数，以至于不可能遍历所有函数，因此选型是一个有待解决的问题。表1列举了很多协方差函数。其中d＝r-r′和参数l是过程中的特征长度尺寸，δ是克罗内克函数，σ是噪声波动的标准差。r、r′为磁场工作区域内的任意随机变量。

表1

表1所列的协方差函数只能满足某一类问题，不能用来解决所有问题。协方差函数具备两个性质：1)两个协方差函数的和仍是一个协方差函数；2)两个协方差函数的乘积也可组成一个协方差函数。性质1)可用于合并两个具有不同特性的协方差函数，如两个具有不同特征长度尺寸的平方指数协方差函数。性质2)表明可通过一个协方差函数调节另一个协方差函数的幅度。根据这两条性质，在电磁作动器等效磁场强度的高斯回归过程建模时，可以通过对实验测试数据作图，分析图像的分布特性、周期特性、是否带有噪声等特点，采用表1中的常用协方差函数或其组合作为协方差函数的结构假设。

S3，基于贝叶斯定理和训练数据集合，建立等效磁场强度的高斯过程回归模型；

根据贝叶斯定理，计算出预测等效磁场强度的高斯过程回归模型为：

式中，

为高斯过程回归模型；r_*为预测等效磁场强度所在空间位置点矢量；R是训练数据集合中N个空间位置矢量构成的3×N维矩阵；σ_n为力传感器的测量噪声标准差；I_N是N×N维单位矩阵；K为协方差函数；K(r_*,R)和K(R,R)分别为1×N和N×N维对称正定的协方差矩阵；B_NN为训练数据集合中N个等效磁场强度构成的N×1维矩阵。

具体的，在电磁作动器输出力高斯过程回归建模过程中，假设对应空间位置矢量r₁(i＝1,2,…,N)处的等效磁场强度f(r₁)、f(r₂)、…、f(r_N)服从多元联合高斯分布，其性质完全由对应自变量r的均值函数m(r)和协方差函数k(r,r′)确定，即

m(r)＝E[f(r)]

k(r,r′)＝E[(f(r)-m(r))(f(r′)-m(r′))]

式中，E[X]表示矢量X的均值函数，r、r′为磁场工作区域内的任意随机变量。m(r′)为对应自变量r′的均值函数。f(r)为对应自变量r的等效磁场强度；f(r′)为对应自变量r′的等效磁场强度。

因此，高斯过程可以定义为f(r)～GP(m(r),k(r,r′))；其中，GP就是高斯过程的符号表示。通常为了符号上的简洁，会对数据进行预处理，即让其均值函数为0。

电磁作动器等效磁场强度测量模型，不可避免的引入了力传感器的测量噪声。力传感器的测量噪声可以看成是独立同分布的高斯噪声，即

等效磁场强度的先验分布为：

式中，R是训练数据集合中N个空间位置矢量构成的3×N维矩阵；I_N是N×N维单位矩阵；K(R,R)＝(k_ij)为N×N维对称正定的协方差矩阵，矩阵元素k_ij＝k(r_i,r_j)用来度量r_i和r_j之间的相关性；其中，r_i和r_j均为空间位置矢量。B_NN为训练数据集合中N个等效磁场强度构成的N×1维矩阵。

对于磁场工作区域中任意空间点的位置矢量r_*＝[x_* y_* z_*]^T及对应的预测等效磁场强度B_*，与实验测试数据集的联合分布为：

式中，K(R,r_*)＝K(r_*,R)^T为预测点r_*与实验测试数据集的输入R之间的N×1阶协方差矩阵；k(r_*,r_*)为预测点r_*自身的协方差矩阵。

根据贝叶斯定理，可以计算出预测等效磁场强度的后验分布为：

式中，

为等效磁场强度B_*的预测均值；cov(B_*)是等效磁场强度B_*的预测方差。

S4，基于S2选择的协方差函数和S3建立的高斯过程回归模型，通过最大化边缘对数似然对协方差函数的超参数进行优化，得到最终建立的电磁作动器等效磁场强度模型，并采用测试数据集合检验高斯过程回归模型的预测精度。

S4具体为：

根据概率计算贝叶斯公式，得到等效磁场强度的后验概率，进而获得等效磁场强度的边缘似然。通过最大化边缘对数似然对协方差函数的超参数进行优化，最终确定电磁作动器等效磁场强度模型。

具体的，根据概率计算贝叶斯公式可得f(r)的后验概率为：

式中，H是对协方差函数结构的假设功能。p(f(r)|R,B_NN,H,θ)为给定R、B_NN、H、θ条件下f(r)的概率；p(B_NN|R,f(r),H,θ)为给定R、f(r)、H、θ条件下B_NN发生的概率；p(f(r)|R,H,θ)为给定R、H、θ条件下f(r)发生的概率，也称之为f(r)的先验概率；p(B_NN|R,H,θ)为给定R、H、θ条件下B_NN发生的概率，也称之为B_NN发生的全概率。

由此可得基于f(r)的一个边缘似然为：

p(B_NN|R,H,θ)＝∫p(B_NN|R,f(r),H,θ)p(f(r)|R,H,θ)df

对协方差函数的超参数θ的优化可通过最大化边缘对数似然来实现，即：

θ^*＝arcmaxlogp(B_NN|R,H,θ)

式中，θ^*是θ的优化结果；arcmaxlogp是最大化边缘对数似然函数。

以平方指数协方差函数为例，超参数θ＝{l,σ,σ_n}。条件概率的对数似然函数L(θ)及其关于超参数θ的偏导数为：

式中，

α＝C^-1B_NN。其中，C和α没有具体物理意义，仅为了公式的简洁，将式中相同的部分重新用一个符号表示。

采用共轭梯度法、牛顿法等优化方法对偏导数进行最大化以得到超参数的最优解，然后利用高斯过程回归模型便可计算磁场工作区域内任意空间点r_*处的等效磁场强度B_*的预测值

和预测方差cov(B*)。

下面介绍一个具体实施例：

本发明实施例提供的基于高斯过程回归方法的等效磁场强度建模方法，具体步骤如下：

步骤1：定义电磁作动器坐标系，简称

系，如图1所示。坐标原点O为永磁铁N、S极端面中心连线段的中点，X轴为永磁铁N、S极端面中心连线且由N极指向S极，Z轴指向电流正方向，Y轴垂直于X轴和Z轴，构成右手坐标系。

MAIS电磁作动器的磁场分布不均，按照专利201610799077.9采用静态推力测定实验方法测试标定电磁作动器的等效磁场强度。电磁作动器的静态推力测试标定实验如下：电磁作动器线圈输入1A恒定电流，线圈平行于永磁铁N、S极端面，在电磁作动器坐标系±9mm的立体三维工作空间内，以1.8mm为步长进行等间距网格划分，共计11³＝1331个测试位置点。在每个测试位置点，用高精度力传感器(精度2mN)测量永磁铁受到的X、Y和Z方向的作用力，如图2～图4所示。

为了检验高斯过程回归模型的精度水平，当不进行额外的位置点测试时，需要从目前的实验测试数据中选择部分数据作为测试数据集合，其余数据作为建立模型所依据的训练数据集合。本实施例测试数据集合选择空间位置坐标X、Y、Z为±1.8mm、±5.4mm和±7.2mm的任意组合构成的数据点集合，该集合共计6³＝216个数据点；实验测试的其余数据点的集合作为训练数据集合，共计11³-6³＝1115个数据点。

步骤2：根据实验测试数据，按照专利201610799077.9中，通过作图获得等效磁场强度在工作空间的分布情况，如图5～图7所示。在图5～图7中，第一幅图表示Z＝0时，等效磁场强度在XY平面的分布情况，用单位电流输出力大小表征。同理，第二幅图表示X＝0时，等效磁场强度在YZ平面的分布情况。第三幅图表示Y＝0时，等效磁场强度在XZ平面的分布情况。第四幅图表示等效磁场强度在XYZ三维空间中的分布情况。

分析图5～图7可知，Y方向为该电磁作动器的输出力主方向，满足安培力左手定则；Z方向(电流方向)输出力小于主方向输出力的10％；X方向(磁铁N极指向S极方向)输出力沿空间位置Z方向变化很小，在空间位置X、Y方向的中心区域较小，边缘位置达到甚至超过主方向输出力的50％。从整体的分布情况看，等效磁场强度与空间位置的关系呈现线性或二次曲线的分布特点。因此，高斯过程回归方法建模的协方差函数可选择平方指数协方差形式。

步骤3：根据贝叶斯定理，可以计算出预测等效磁场强度的高斯过程回归模型为：

式中，r_*为预测等效磁场强度所在空间位置点矢量；R是训练数据集合中N个空间位置矢量构成的3×N维矩阵；σ_n为力传感器的测量噪声标准差；I_N是N×N维单位矩阵；K为协方差函数；K(r_*,R)和K(R,R)分别为1×N和N×N维对称正定的协方差矩阵；B_NN为训练数据集合中N个等效磁场强度构成的N×1维矩阵。

步骤4：基于步骤2确定的平方指数协方差函数结构，超参数为θ＝{l,σ,σ_n}。条件概率的对数似然函数及其关于超参数θ的偏导数为：

通过最大化边缘对数似然以得到超参数的最优解，如表2所示。

表2

基于高斯过程回归方法建立的MAIS电磁作动器等效磁场强度模型，对测试数据集合进行预测。比较模型预测结果与实验测量结果，二者之差称之为预测误差，如图8所示。预测精度统计如表3所示。

表3

电磁作动器输出力主方向(Y方向)的等效磁场强度在-2200～-1200mN/A；高斯过程回归模型的预测误差最大值为9.6mN/A，故最大相对误差小于0.8％。验证了高斯过程回归方法建立MAIS电磁作动器等效磁场强度模型的有效性。

通过采用本发明公开的上述技术方案，得到了如下有益的效果：本发明实施例针对空间微重力主动隔振装置用电磁作动器，应用高斯过程回归方法建立了电磁作动器等效磁场强度模型，通过对测试数据集合的预测精度检验，验证了该方法的有效性。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，其特征在于，将统计机器学习理论中的高斯过程回归方法应用于电磁作动器等效磁场强度建模问题，所述基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法包括如下步骤：

S1，通过电磁作动器静态标定测试系统，测量得到磁场工作区域内不同位置点处的等效磁场强度，并将实验测试数据分成测试数据集合和训练数据集合；

S2，基于S1测量得到的实验测试数据作图分析，确定高斯过程回归的协方差函数；

S3，基于贝叶斯定理和训练数据集合，建立等效磁场强度的高斯过程回归模型；

S3具体为：

根据贝叶斯定理，计算出预测等效磁场强度的高斯过程回归模型为：

式中，

为高斯过程回归模型；r_*为预测等效磁场强度所在空间位置点矢量；R是训练数据集合中N个空间位置矢量构成的3×N维矩阵；σ_n为力传感器的测量噪声标准差；I_N是N×N维单位矩阵；K为协方差函数；K(r_*,R)和K(R,R)分别为1×N和N×N维对称正定的协方差矩阵；B_NN为训练数据集合中N个等效磁场强度构成的N×1维矩阵；

S4，基于S2选择的协方差函数和S3建立的高斯过程回归模型，通过最大化边缘对数似然对协方差函数的超参数进行优化，得到最终建立的电磁作动器等效磁场强度模型，并采用测试数据集合检验高斯过程回归模型的预测精度。

2.根据权利要求1所述的基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，其特征在于，S1具体为：

使电磁作动器的通电线圈平行于永磁铁的N、S极端面，通电线圈中通入某一恒定电流，在电磁作动器的间隙内进行平动，采用力传感器测量不同位置处电磁作动器的输出力，电磁作动器的等效磁场强度表示为输出力与电流的比值。

3.根据权利要求1所述的基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，其特征在于，S2具体为：

通过对实验测试数据作图，分析图像的分布特性、周期特性、是否带有噪声特点，采用常用协方差函数或其组合作为协方差函数的结构假设，进而确定最终选择的高斯过程回归的协方差函数。

4.根据权利要求1所述的基于高斯过程回归的电磁作动器等效磁场强度建模方法，其特征在于，S4具体为：

根据概率计算贝叶斯公式，得到等效磁场强度的后验概率，进而获得等效磁场强度的边缘似然；通过最大化边缘对数似然对协方差函数的超参数进行优化，最终确定电磁作动器等效磁场强度模型。

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