CN108491629A - 机构时变可靠性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种机构时变可靠性分析方法，应用于机构时变可靠性领域，针对现有技术不能完全精确的描述实际工程可靠度的问题，本发明通过envelope方程求解上下边界上的有效扩散点，采用非正态分布的不确定性随机信息作为随机变量输入，获取不确定性随机变量输入下的各扩散点对应的运动误差样本点，并通过copula函数描述各扩散点对应的运动误差样本点的相关性，进而通过vine‑copula函数的分解多维分布函数的特性，构建多个扩散点对应的多维联合概率密度函数，从而求解定积分获得时变可靠度；本发明实现了将传统的正态分布假设推广为非正态分布，具有较高的实用价值和较强的工程意义。

Description

机构时变可靠性分析方法

技术领域

本发明属于机构时变可靠性领域，特别涉及一种不确定性条件下的机构时变可靠度分析技术。

背景技术

基于不确定性条件下的时变可靠性分析是通过考虑材料性质、制造、装配等方面的不缺性对机构输出的影响，通过概率方法分析机构的时变可靠度。在机构的实际工作过程中，由于在制造和装配过程中会对机构的尺寸变量产生影响，在机构的运行过程中基于不同材料性质的物理磨损同样对机构的尺寸产生影响，这些因素在时变可靠性分析中统称为不确定性因素。基于不确定性条件下的时变可靠性分析方法通过考虑这些不确定性因素对机构实际运动输出的影响，来尽可能仿真机构的真实运动情况，并以此来估计机构的时变可靠度。

现有的机构可靠度分析方法中，主要的应用方法有蒙特卡洛仿真分析(MCS)和一次二阶矩(FOSM)方法。蒙特卡洛仿真方法被广泛认为是最接近实际的仿真方法，因其良好的精度而广泛应用并视为参考标准，但是其计算过程较为复杂，计算效率极低，相反，FOSM方法计算效率较高，但是计算结果的误差会比较大；在时变可靠性分析方法中常见的有极值法和首次穿越率法，极值法通过计算时间区间上的极值点，并通过对该点的分布估计来计算可靠度，首次穿越率法是通过计算性能函数在时间区间上第一次穿过上边界和下边界的时间点，获取穿越率来计算可靠度，其中最具有代表性的是Rice公式；envelope法是一种基于FOSM基础上，将整个时间区间上的可靠度分析近似的转化为在该区间上若干个点组成的超平面的分析。相比于普通的FOSM和FORM方法中靠一个点来计算可靠度而言，在不增加计算的复杂程度条件下，提高了计算精度。上述概率分析方法中对于不确定性因素的描述均假设其服从满足一定条件的正态分布，然而，在实际工程应用中的不确定性因素并不完全服从正态分布，因此上述的方法虽然在精度或者效率上能够满足工程需求，但是并不能完全精确的描述实际工程可靠度。

发明内容

为了解决现有技术不能完全精确的描述实际工程可靠度的问题，本发明提出一种机构时变可靠性分析方法，通过将传统的采用正态分布随机变量输入扩展为其他分布类型的基于envelope方法和Vine-copula函数的机构时变可靠性分析方法；并通过计算在时间区间上的多个有效扩散点，并依据Vine-copula函数来描述各扩散点之间的相关性，建立多个扩散点之间的联合概率函数，求解时变可靠度；实现了保证计算精度的前提下，计算非正态分布不确定性输入的可靠性分析。

本发明采用的技术方案为：机构时变可靠性分析方法，采用envelope方法求解机构在给定运动时间区间内扩散时刻点，然后根据Vine-copula函数来描述多个扩散时刻点之间的相关性，建立多个扩散时刻点之间的联合概率函数，求解时变可靠度。包括以下技术：

1、通过envelope方程求解上下边界上的有效扩散点

首先，分析机构的误差产生机理，建立机构实际输出和理论输出之间的误差模型，并给出机构的运动时间区间以及最大的允许误差值；误差模型的计算公式如下：

g(X,θ)＝ψ(X,θ)-ψ_desire(θ)

其中，g(·)为机构的输出误差，ψ(·)为机构的实际输出，ψ_desire(·)为机构的理想输出，X为机构的输入变量，θ为机构的输入角度，给定的运动时间区间可以转化为输入角度区间[θ₀,θ_e]。

根据最大的允许误差值定义时变可靠度为误差函数绝对值小于或等于可接受的误差限度的概率值，定义的时变可靠度表达式如下：

其中，ε为给定的最大允许误差值，它表示机构满足预定运动条件下的误差临界值，超过该临界值即为失效。ε由机构的运动特性和要求的运动精度所决定，通常采用经验值或者由实验数据获取。

然后，利用给定机构进行时变可靠度分析；根据误差模型的计算公式，采用envelope方法求解该机构在给定运动时间区间内扩散时刻点，将机构时变可靠度分析近似的转化为非时变可靠度，即可靠度可以通过由多个扩散点之间对应的多维误差变量的联合分布联合概率密度函数在给定误差限内的积分值。

2、根据Vine-copula函数来描述多个扩散时刻点之间的相关性，建立多个扩散时刻点之间的联合概率函数，求解时变可靠度；具体为：

A1、产生不确定性下各扩散时刻点对应的机构随机变量；不确定性下各扩散时刻点对应的机构随机变量X不仅包括计算较为简单的正态分布随机信息，同样考虑到实际工程中的非正态分布的均匀分布。

A2、根据误差模型以及各扩散时刻点对应的机构随机变量，得到各扩散时刻点的误差样本；将扩散时刻点θ_j和多维随机变量X代入到误差函数g(X,θ)，获得n维扩散点对应的n维误差样本点g＝(g₁,g₂,...,g_n)。

其中，j＝1,2,...,n，n为筛选后的扩散点的个数；

A3、采用Copula函数描述各扩散时刻点的误差样本之间的相关性，选出各误差样本对应的最优二维Copula函数类型；采用极大似然估计方法(MLE)和AIC准则分别对每一组误差样本进行备选Copula函数的参数估计以及选择最优的二维Copula函数类型。

A4、根据各误差样本对应的最优二维Copula函数类型，采用Vine-copula函数建立多个扩散时刻点对应的联合概率密度函数；Vine-copula函数可以将联合概率密度函数分解为多个二维Copula密度函数和各维数据的边缘概率密度函数的乘积形式，根据步骤A3得到的每一组误差样本对应的最优的二维Copula函数，采用Vine-copula函数建立对应的联合概率密度函数；

A5、对多维联合概率密度函数在给定的可靠范围内的定积分，求得机构时变可靠度；如下式所示：

公式(6)中：R(θ₀,θ_e)是机构在给定时间区间内[θ₀,θ_e]的时变可靠度，f(x₁,x₂,...,x_n)为多个扩散点多维运动误差样本点的联合概率密度函数，其中x₁,x₂,...,x_n分别代表与扩散点对应的运动误差变量，对该联合概率密度函数在给定的可靠区间[0,ε]上的定积分来计算该机构的时变可靠度R(θ₀,θ_e)。

本发明的有益效果：本发明的机构时变可靠性分析方法，通过envelope方程求解上下边界上的有效扩散点，获取不确定性随机变量输入下的各扩散点对应的运动误差样本点，该部分采用非正态分布的不确定性随机信息作为随机变量输入，并通过Copula函数描述各扩散点对应的运动误差样本点的相关性，进而通过Vine-copula函数的分解多维分布函数的特性，构建多个扩散点对应的多维联合概率密度函数，从而在给定的可靠范围内对该联合概率密度求解定积分获得时变可靠度。在保证分析精度符合要求的前提下，同时验证该方法对于非正态分布不确定性因素下可靠度分析方法的适用性，从而将传统的正态分布假设推广为非正态分布，具有较高的实用价值和较强的工程意义。

附图说明

图1是本发明的方案框图。

图2为本发明实施例提供的方法详细流程图。

图3是本发明实施例提供的四杆机构示意图。

图4是本发明实施例提供的各扩散点分布示意图。

图5是本发明实施例提供的各扩散点的Copula示意图以及条件分布样本的Copula示意图。

图6是本发明实施例提供的时变可靠性分析结果的精度对比示意图。

具体实施方式

如图1所示为本发明的方案框图，本发明采用的技术方案为：机构时变可靠性分析方法，采用envelope方法求解机构在给定运动时间区间内扩散时刻点，然后根据vine-copula函数来描述多个扩散时刻点之间的相关性，建立多个扩散时刻点之间的联合概率函数，求解联合概率函数得到机构时变可靠度。如图2所示，本发明方法的具体过程为：

1、通过envelope方程求解上下边界上的有效扩散点

首先，分析机构的误差产生机理，建立机构实际输出和理论输出之间的误差模型，并给出机构的运动时间区间以及最大的允许误差值；误差模型的计算公式如下：

g(X,θ)＝ψ(X,θ)-ψ_desire(θ) 公式(1)

其中，g(·)为机构的输出误差，ψ(·)为机构的实际输出，ψ_desire(·)为机构的理想输出，X为机构的输入变量，θ为机构的输入角度，给定的运动时间区间可以转化为输入角度区间[θ₀,θ_e]。

根据最大的允许误差值ε定义时变可靠度为误差函数绝对值小于或等于可接受的误差限度的概率值，定义的时变可靠度表达式如下：

其中，ε为给定的最大允许误差值，它表示机构满足预定运动条件下的误差临界值，超过该临界值即为失效。

误差限度表示机构满足预定运动条件下的误差临界值，超过该临界值即为失效。另外针对不同的机构，误差限度可接受的值也不同，该值由机构的运动特性和要求的运动精度所决定，通常采用经验值或者由实验数据获取；工程实际上，一般取小于1的小数来表示。

然后，利用给定机构进行时变可靠度分析；根据误差模型的计算公式，采用envelope方法求解该机构在给定运动时间区间内扩散时刻点，将机构时变可靠度分析近似的转化为非时变可靠度，即可靠度可以通过由多个扩散点之间对应的多维误差变量的联合分布联合概率密度函数在给定误差限内的积分值。

基于envelope方程的envelope方法，该方法通过将时变可靠度转化为多个扩散点的运动误差联合分布值。Envelope方程包含上下两个边界函数G⁺(X)＝0和G^-(X)＝0，其中上边界G⁺(X)＝0如公式(8)所示：

其中， 和分别为实际输出函数和理想输出函数关于θ的导函数，ε为可允许的机构的最大运动误差限。

公式(3)中的误差函数g(X,θ)可以通过在变量均值处的一阶泰勒展开表达式来近似逼近，计算表达式为：

g(X,θ)≈a₀(θ)+a(θ)·(μ-X) 公式(4)

其中，a₀(θ)＝ψ(μ,θ)-ψ_d(θ)，μ为机构变量X的均值，m为机构变量X的总数。

因此公式(3)可以转化为如下表达式：

由上式可以求解出上边界的扩散点，同理，也可以求解出下边界的扩散点。并对上述扩散点进行筛选出有效的扩散点。

2、根据Vine-copula函数来描述多个扩散时刻点之间的相关性，建立多个扩散时刻点之间的联合概率函数，求解时变可靠度；具体为：

A1、产生不确定性下各扩散时刻点对应的机构随机变量；不确定性下各扩散时刻点对应的机构随机变量X不仅包括计算较为简单的正态分布随机信息，同样考虑到实际工程中的非正态分布的均匀分布。

A2、根据误差模型以及各扩散时刻点对应的机构随机变量，得到各扩散时刻点的误差样本；将扩散时刻点θ_j和多维随机变量X代入到误差函数g(X,θ)，获得n维扩散点对应的n维误差样本点g＝(g₁,g₂,...,g_n)。

其中，j＝1,2,...,n，n为筛选后的扩散点的个数；

A3、采用Copula函数描述各扩散时刻点的误差样本之间的相关性，选出各误差样本对应的最优二维Copula函数类型；采用极大似然估计方法(MLE)和AIC准则分别对每一组误差样本进行备选Copula函数的参数估计以及选择最优的二维Copula函数类型。

A4、根据各误差样本对应的最优二维Copula函数类型，采用Vine-copula函数建立多个扩散时刻点对应的联合概率密度函数f(x₁,x₂,...,x_n)；Vine-copula函数可以将联合概率密度函数分解为多个二维Copula密度函数和各维数据的边缘概率密度函数的乘积形式，根据步骤A3得到的每一组误差样本对应的最优的二维Copula函数，采用Vine-copula函数建立对应的联合概率密度函数；

其中，f_k(x_k)，k＝1,2,...,n为边缘概率密度函数，c(·)为样本对应的最优二维copula密度函数，F(·)为边缘分布函数和条件分布函数。

A5、对多维联合概率密度函数在给定的可靠范围内的定积分，求得机构时变可靠度；如下式所示：

公式(7)中：R(θ₀,θ_e)是机构在给定时间区间内[θ₀,θ_e]的时变可靠度，f(x₁,x₂,...,x_n)为多维运动误差样本点的联合概率密度函数，其中x₁,x₂,...,x_n分别代表与扩散点对应的运动误差变量，对该联合概率密度函数在给定的可靠区间[0,ε]上的定积分来计算该机构的时变可靠度R(θ₀,θ_e)。

下面结合一个具体实例对本发明的方法作进一步说明。本实施例以考虑以服从均匀分布的随机变量为输入来计算机构时变可靠度为例。

图3为本实例所研究的四杆机构示意图。

1)给定的输入角度区间[θ₀,θ_e]为[95.5°,215.5°]，四杆机构的变量L的均值以及随机变量的分布信息如表1所示。对于给定的最大误差限度，取ε＝0.4。

表1随机变量分布信息

由四杆机构的闭环方程，如下式所示：

可以获得机构的输入方程，如下所示：

其中：A＝-2L₁L₃sinθ，B＝2*L₃(L₄-L₁cosθ)，

该四杆机构的理想输出角度为ψ_desire＝76°+60°sin[0.75·(θ-95.5°)]，结合包含随机向量X＝[L₁，L₂，L₃，L₄]的实际输出ψ(X,θ)，可以获得该机构的运动误差函数，如公式(1)所示。

2)利用公式(5)构建该机构误差函数的envelope方程，求解上下边界的扩散点，该求解的扩散点需经过筛选，除去失效概率较小点，对联合分布贡献较大的点为有效的扩散点，本例中扩散点为θ＝[95.5°,122.982°,215.5]。

3)满足表1中均匀分布的随机变量向量L以及扩散点θ＝[95.5°,122.982°,215.5]依次代入到误差函数式(1)中，获取1000组扩散点θ对应的运动误差函数样本点g＝[g₁,g₂,g₃]，其中

4)引入常见的二维Copula函数来描述上述误差样本序列之间的相关性。采用极大似然估计方法(MLE)和AIC准则分别对每一组误差样本进行备选Copula函数的参数估计以及选择最优的二维Copula函数类型。

首先，构造对数Copula函数，如下式：

其中，c(·)为二维Copula密度函数，α为对应的Copula函数中的参数，为(g₁,g₂)样本组中的一组样本，T＝1000，F(·)为一组样本点对应的边缘累积概率分布函数。

极大似然估计方法用于计算Copula函数中的参数α，根据已知的样本点以及公式(10)通过极大似然估计计算参数值，如下式所示：

AIC准则用于从多种备选的二维Copula函数中筛选出最佳的描述相应数据的相关性的二维Copula函数，对于任意一种Copula函数有AIC计算公式，如下：

其中，k为对应的Copula函数参数的个数。对应AIC值较小的Copula函数视为描述数据相关性较好的Copula函数。

针对该例中的三维运动误差样本点，对应的最优Copula函数以及其Copula函数参数如表2所示。

表2三维样本点对应最优copula函数及其参数

(g₁,g₂)和(g₂,g₃)的分布示意图如图4所示。

5)采用Vine-copula函数描述多维样本点之间的相关性，并建立对应的联合概率密度函数f(x₁,x₂,x₃)。Vine-copula函数可以将该联合概率密度函数分解为三个个二维Copula密度函数和各维数据的边缘概率密度函数的乘积形式，对应的3维D-vine函数如下：

其中，f(·)为边缘概率密度函数，F(·)为对应累积概率分布函数，F_1|2，F_3|2为条件分布函数，计算表达式如下：

其中，C₁₂和C₃₂由(4)部分确定为T copula函数。T copula函数的表达式如下：

式中，t_α,k(·)为参数为α，自由度为k的t函数，为自由度为k的t函数的反函数，α为Copula函数的参数。

由已知的三维运动误差样本可以获取上述概率密度函数f(·)和累积概率分布函数F(·)，并根据满足样本点相关性的最优copula函数，可以获得条件分布F_1|2和F_3|2的样本点。通过AIC准则判断条件分布F_1|2和F_3|2的样本点的最优copula函数为T copula函数，其相关参数通过极大似然估计获得，如表3所示。

表3条件分布样本的最优copula函数及其参数

(g₁，g₂)，(g₂，g3)和(g_1|2，g_3|2)的copula示意图如图5所示。

由上述可得，三维Vine-copula函数(三维联合概率密度函数)中所有的二维Copula函数均为T copula函数，根据表2和表3中的相关参数，可以公式(13)获取对应的三维联合概率密度函数f(x₁,x₂,x₃)。

6)求解机构时变可靠度方法为对多维联合概率密度函数在给定的可靠范围[0,ε]内的定积分求得，如下式所示：

公式(6)中：R(θ₀,θ_e)是机构在给定时间区间内[θ₀,θ_e]的时变可靠度，f(x₁,x₂,x₃)为三维扩散点对应的运动误差样本点的联合概率密度函数，对该联合概率密度函数在给定的可靠区间[0,ε]上的定积分来计算该机构的时变可靠度R(θ₀,θ_e)。

依次计算对大允许误差限为ε＝[0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1.1]下的时变可靠度R(θ₀,θ_e)，计算结果如表4。

为了证明本技术的计算精度，引入蒙特卡洛仿真方法，将两种方法求解的结果进行对比。通过对比可以得出结论，本技术提供的计算结果是准确的，如表4和图6所述。

表4不同误差限下MCS和本专利方法求解的时变可靠度

表4中以数据的形式，将本发明的方法与仿真(MCS)在不同误差限下的结果进行了对比，从比对结果可知本发明的方法在更真实模拟实际工程应用中的不确定性的情况下得出的结果是精确的。图6中以图形的方式，将本发明所提出方法得出的结果与蒙特卡洛仿真结果进行对比，可以看出，实线代表的本发明方法保证了计算结果的准确性，结合表4的数据比对结果可知，本发明的方法满足精度要求。

本发明的方法在保证计算结果精确的前提下，解决了本行业内采用正态分布模拟不确定性的局限性，将不确定性分布一般化，进而更加精确的模拟实际工程应用中的不确定性，提高可靠度计算方法的准确性和适用性。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的权利要求范围之内。

Claims (7)

1.机构时变可靠性分析方法，其特征在于，采用envelope方法求解机构在给定运动时间区间内扩散时刻点，然后根据Vine-copula函数来描述多个扩散时刻点之间的相关性，建立多个扩散时刻点之间的联合概率函数，求解联合概率函数得到机构时变可靠度。

2.根据权利要求1所述的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，采用envelope方法求解机构在给定运动时间区间内扩散时刻点之前还包括：分析机构的误差产生机理，建立机构实际输出和理论输出之间的误差模型，并给出机构的运动时间区间以及最大的允许误差值。

3.根据权利要求2所述的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，根据最大的允许误差值定义时变可靠度为误差函数绝对值小于或等于可接受的误差限度的概率值。

4.根据权利要求3所述的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，根据Vine-copula函数来描述多个扩散时刻点之间的相关性，建立多个扩散时刻点之间的联合概率函数，求解时变可靠度，包括以下步骤：

A1、产生不确定性下各扩散时刻点对应的机构随机变量；

A2、根据误差模型以及各扩散时刻点对应的机构随机变量，得到各扩散时刻点的误差样本；

A3、采用Copula函数描述各扩散时刻点的误差样本之间的相关性，选出各误差样本对应的最优二维Copula函数类型；

A4、根据各误差样本对应的最优二维Copula函数类型，采用Vine-copula函数建立多个扩散时刻点对应的联合概率密度函数；

A5、对多维联合概率密度函数在给定的可靠范围内的定积分，求得机构时变可靠度。

5.根据权利要求4所述的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，步骤A1所述随机变量包括正态分布的随机变量与非正态分布的随机变量。

6.根据权利要求5所述的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，所述非正态分布为均匀分布。

7.根据权利要求4所述的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤A3具体为：采用极大似然估计方法和AIC准则分别对每一组误差样本进行备选Copula函数的参数估计，并选择最优的二维Copula函数类型。