CN108460208A - 基于Copula熵的多性能参数退化过程相依性度量方法 - Google Patents

基于Copula熵的多性能参数退化过程相依性度量方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于Copula熵的多性能参数退化过程的相依性度量方法，包括以下几个步骤：步骤一、使用核密度估计方法计算各个性能参数退化增量的累积分布函数；步骤二、分别使用不同类型的Copula函数对不同性能参数退化增量的累积分布函数进行耦合，用极大似然估计方法对Copula函数的参数进行估计；步骤三、使用赤池信息准则对Copula函数进行选择；步骤四、基于选取的Copula函数构建Copula熵函数，确定Copula熵函数的被积函数；步骤五、使用蒙特·卡罗方法仿真抽样计算Copula熵。本发明提出了一种多性能参数退化过程相依性的度量方法，解决了多退化过程的相依性度量问题。

Description

基于Copula熵的多性能参数退化过程相依性度量方法
技术领域
本发明提出一种基于Copula熵的多性能参数退化过程相依性度量方法，属于性能退化建模与寿命预测领域，用于解决多退化过程相依性分析的技术问题。
背景技术
随着产品的结构和功能越来越复杂，产品的多个关键性能参数可能同时发生退化，首要问题是确定多元退化过程之间的相依性大小，为后续多元退化数据的建模分析提供依据。相依是独立的反义词，是指两个随机变量在概率表现上不具有独立性。相比于相关性只描述了随机变量间的线性关系，相依性是一种对随机变量之间的关联关系更一般化的描述，既包含了线性关系又包含了非线性关系。目前常用的度量方法主要有Pearson相关系数法、Spearman秩相关系数法和Kendll秩相关系数法。但这些方法目前还存在着一定的局限性，Pearson相关系数法只能度量线性相关关系，秩相关系数法在一个随机变量随另一个随机变量的增加同时存在增加和减小两种情况时，会出现严重的偏差。而多元退化数据存在着动态、随机、多维度和非线性等特点，因此需要针对多性能参数退化数据研究更合适的相依性度量方法。
Copula熵是将Copula理论与信息熵理论结合起来的一种方法，它使用Copula函数来刻画变量间的相依关系，并使用信息熵理论对相依关系进行量化。Copula理论是描述变量间相互关联关系的理论，该理论给出一种表示所有变量之间相依性的理论框架。根据该方法，可以将不同变量的分布函数作为边缘分布进行耦合，得到的耦合函数即为Copula函数。熵起源于热力学物理，并在后来的研究中扩充到统计力学、信息论等研究之中。通常，在信息论中将熵称为信息熵，用来衡量信息的不确定性或随机性。通过将这两种理论结合得到的Copula熵，可以用来衡量随机变量间的全阶次相依关系。
Copula熵作为一种新发展起来的相依性度量方法，具有其他度量方法不具有的优势。Copula熵是在Copula理论的基础上建立的，由于Copula函数可以刻画非线性的相依关系，因此Copula熵可以对非线性相依程度进行度量；Copula函数本身没有维数限制，因此Copula熵能够度量两个及两个以上的变量的相依性程度；此外，由于熵具有量纲，Copula熵的度量结果可以直接进行比较。
如今Copula熵已被运用于经济、水文等领域中，但在多性能参数退化过程的相依性度量中还没有得到应用。
发明内容
本发明的目的是解决多性能参数退化过程的相依性度量问题，提出了一种基于Copula熵的多性能参数退化过程相依性度量方法，该方法利用Copula函数描述多性能参数退化过程中的非线性相依关系，使用熵理论对相依关系进行量化。
本发明是一种基于Copula熵的多性能参数退化过程的相依性度量方法，具体步骤为：
步骤一、使用核密度估计方法计算各个性能参数退化增量的累积分布函数(Cumulative Distribution Function，CDF)；
步骤二、分别使用不同类型的Copula函数对不同性能参数退化增量的累积分布函数进行耦合，用极大似然估计(Maximum Likelihood Estimate，MLE)方法对Copula函数的参数进行估计；
步骤三、使用赤池信息准则(Akaike Information Criterion,AIC)对Copula函数进行选择；
步骤四、基于选取的Copula函数构建Copula熵函数，确定Copula熵函数的被积函数；
步骤五、使用蒙特·卡罗方法(Monte Carlo method)仿真抽样计算Copula熵。
本发明方法的优点在于：
(1)Copula熵能够对不同性能参数退化过程间的非线性相依程度进行度量。
(2)使用信息熵理论对相依性进行量化时，由于熵具有量纲，因此可以基于Copula熵对二元性能参数退化过程的相依性程度进行直接比较。
(3)Copula熵本身没有维数限制，因此能够对多个性能参数的退化过程进行相依性度量，并确定多性能参数相依性的时变规律。
附图说明
图1：本发明详细的方法流程图；
图2：性能参数退化数据；
图3：性能参数退化增量的累积分布函数；
图4：性能参数AB基于Gumbel Copula的被积函数；
图5：性能参数AC基于Clayton Copula的被积函数；
图6：性能参数BC基于Clayton Copula的被积函数；
图7：第I阶段各性能参数退化增量CDF；
图8：第II阶段各性能参数退化增量CDF；
图9：第III阶段各性能参数退化增量CDF；
图10：本发明的方法流程图。
具体实施方式
下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。
本发明是一种基于Copula熵的多性能参数退化过程的相依性度量方法，流程如图1、图10所示，包括以下几个步骤：
步骤一、使用核密度估计方法计算各个性能参数退化增量的累积分布函数；
首先基于各个性能参数的退化数据使用核密度估计方法计算其退化增量的累积分布函数，对某一性能参数来说，其退化数据为Y1,Y2,...,Ym，则退化增量为
Xj＝Yj-Yj-1 (1)
m表示数据观测量，j＝1,2,…,m。Y0表示性能参数的初始退化值。
假设各性能参数的退化增量符合独立同分布等统计数据试验基本要求，则第i个性能参数退化增量的概率密度函数pi(x)计算公式为
其中，i＝1,2,…,d，d表示性能参数的个数；t表示时间区间；T为时间区间宽度；h表示窗体宽的平滑参数；Xt表示t时刻的退化增量；exp表示指数分布；K(·)为核函数，是一个期望为0方差为1的标准高斯分布。
因此，第i个性能参数退化增量的累积分布函数ui为
ui＝∫pi(x)dx (4)
步骤二、分别使用Gaussian Copula、Frank Copula、Clayton Copula、GumbelCopula函数对各个性能参数退化增量的累积分布函数进行耦合，使用极大似然估计方法对Copula函数的参数进行估计。表1给出了上述多元Copula函数的累积分布函数的表达式及其对应参数。
表1常见多元Copula函数
其中：Φ是标准正态分布函数；Φθ是d元标准正态分布函数；d表示性能参数的个数；ui表示各变量的累积分布函数；θ为Copula函数的参数；max表示最大值；exp表示指数分布；ln为对数符号；C(u1,u2,…,ud)表示Copula函数的累积分布函数。
使用极大似然估计方法对不同的Copula函数参数进行估计，估计方法如下：
假设第i个性能参数退化增量的累积分布函数表示为Fi(xi)，i＝1,2,…,d，概率密度函数(Probability Density Function，PDF)为fi(xi)，则X＝(x1,x2,...,xd)的联合分布函数是
H(X,θ)＝C(F1(x1),F2(x2),…,Fd(xd),θ) (5)
其中，C为Copula函数的CDF，θ为Copula函数的未知参数，d为性能参数个数。
对应的概率密度函数为
其中，c为Copula函数的概率密度函数。
若已知观测样本为则未知参数的似然函数可以表示为
对应的对数似然函数为
则Copula函数的参数估计值为
步骤三、使用赤池信息准则(AIC)对Copula函数进行选择；
本方法中应用的Copula函数具有多种类型，不同的Copula函数能够反映不同的相依性结构，针对不同的多元退化过程，使用AIC准则对Copula函数的类型进行选取，以找到最适合的函数描述其相依性结构。AIC的值越小，说明该Copula函数的拟合程度越高。
AIC计算公式可表示为：
AIC＝-2ln(L(θ))+2k (10)
其中，k表示Copula函数的未知参数个数，ln为对数符号。
步骤四、基于选取的Copula函数构建Copula熵函数，确定Copula熵函数的被积函数。
构造后的Copula熵函数为
式中，c(u1,u2,…,ud)为Copula函数的PDF，ui＝Fi(Xi)＝P(xi≤Xi),i＝1,2,…,d表示各个性能参数退化数据的CDF，c(u1,u2,…,ud)ln c(u1,u2,…,ud)为Copula熵的被积函数。
步骤五、使用Monte Carlo方法仿真抽样计算Copula熵；
采用Monte Carlo仿真抽样的方法对式(11)进行计算。在各个维度寻找到最大值，以各个维度的最大值为边界确定一个已知范围大小为V0的包围区。在已建立的包围区内，沿各个维度方向随机抽样，确定该空间中的一点，并确定该点是否在被积函数与各个坐标面所围的区域内，若在则记落在区域内一次，若不在则记为零次。这一抽样进行N次(N≥10000)，所有落在区域内的次数共计为n次，则Copula熵Hc为
本发明通过计算各个性能参数间的Copula熵来分析其之间相依性的大小，Copula熵的结果越小，说明各个性能参数间的相依性越大，反之说明相依性越小。
实施例1：
案例使用提出的Copula熵方法对微波组件的多性能参数退化过程进行相依性度量。功率和噪声是微波组件的关键性能参数，现得到三组关于功率和噪声的退化数据，分别记为功率A，功率B和噪声C，如图2所示。
步骤一、使用核密度估计方法计算各个性能参数退化增量的累积分布函数。
使用核密度估计方法计算功率A、B和噪声C的退化增量的累积分布函数，如图3所示。
步骤二、分别使用不同类型的Copula函数对不同性能参数退化增量的累积分布函数进行耦合，用极大似然估计方法对Copula函数的参数进行估计。
分别使用Gaussian Copula、Frank Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula函数对功率A、B和噪声C的退化增量的累积分布函数进行两两耦合，使用极大似然估计方法对Copula函数的参数进行估计，功率A、B和噪声C的CDF分别记为u1、u2、u3。Copula参数估计结果见表2。
表2二元性能参数下基于不同边缘分布函数的参数估计结果
步骤三、使用赤池信息准则(AIC)对Copula函数进行选择。
基于不同Copula函数的AIC值见表3，Gumbel Copula拟合性能参数AB的AIC值最小，Clayton Copula拟合性能参数AC和BC的AIC值最小。
表3基于不同Copula函数的AIC
边缘分布函数 Gaussian Frank Clayton Gumbel
u1u2 -19.4968 -7.4316 -4.6556 -56.2379
u1u3 -2.6848 -4.1539 -69.4431 -61.4950
u2u3 -2.1404 -4.0031 -41.5083 -39.3533
步骤四、基于选取的Copula函数构建Copula熵函数，确定Copula熵函数的被积函数。
根据式(11)可以得到在二元情况下Copula熵函数的表达式为
其中c(·)为Clayton Copula函数的PDF。
在两性能参数下的基于最优Copula的被积函数见图4、图5和图6。上述三图中横纵坐标分别表示三组性能参数两两之间退化增量的累积分布函数，竖坐标表示对应的被积函数值。
步骤五、使用Monte Carlo方法仿真抽样计算Copula熵。
通过抽样的方法计算待求结构占空间结构的百分比，进而得到待求空间大小，计算得到的Copula熵结果见表4。可以看出，在计算得到的Copula熵中，AB之间的Copula熵为-1.2940nat，AC之间的Copula熵为-0.0034nat，BC之间的Copula熵为0.0017nat。
表4 Copula熵计算结果
性能参数 Copula熵
AB -1.2940
AC -0.0034
BC 0.0017
由于Copula熵的值越小说明相依性越高，通过上述结果可知，AB间的相依性程度最高，其次为AC，最后为BC。因此，本发明根据Copula熵的计算结果可直接确定微波组件三个性能参数两两之间的相依性大小。
实施例2：
本案例对微波组件的功率A、B和噪声C三个退化过程在不同时间段内的相依性进行度量，以确定相依性的时变规律。将三个性能参数的退化数据按时间顺序分为三个阶段，分别有40、40和34组数据。
步骤一、使用核密度估计方法计算各个性能参数退化增量的累积分布函数。
使用核密度估计方法计算三个阶段功率A、B和噪声C的退化增量的累积分布函数，如图7、图8、图9所示。
步骤二、分别使用不同类型的Copula函数对三个性能参数退化增量的累积分布函数进行耦合，用极大似然估计方法对Copula函数的参数进行估计。
分别使用Gaussian Copula、Frank Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula函数对功率A、B和噪声C不同阶段退化增量的累积分布函数进行耦合，使用极大似然估计方法对Copula函数的参数进行估计，Copula参数估计结果见表5。
表5三元性能参数下基于不同Copula函数的参数估计结果
步骤三、使用赤池信息准则(AIC)对Copula函数进行选择。
不同阶段基于不同Copula函数的AIC值见表6，根据AIC结果可知，Gumbel Copula最优。
表6不同阶段基于不同Copula函数的AIC
阶段 Gaussian Frank Clayton Gumbel
I -146.1401 -163.8935 -9.1790 -197.6429
II -141.6369 -96.8582 -10.8301 -183.6651
III 0.3207 -80.8856 -8.3774 -242.2495
步骤四、基于选取的Copula函数构建Copula熵函数，确定Copula熵函数的被积函数。
根据式(11)可以得到在三元情况下Copula熵函数的表达式为
其中c(·)为Frank Copula函数的PDF。
步骤五、使用Monte Carlo方法仿真抽样计算Copula熵。
通过抽样的方法计算待求结构占空间结构的百分比，进而得到待求空间大小，计算得到不同阶段的Copula熵结果见表7。
表7不同阶段Copula熵计算结果
阶段 I II III
Copula熵 -12.5802 -10.5925 -18.2811
可以看出，本实施例解决了三个性能参数的退化数据相依性度量问题，且得到了不同阶段产品三个性能参数的相依性变化情况。由结果可知，第III阶段Copula熵最小，相依性程度最高；第I阶段次之，第II的相依性程度最低。通过上述方法可知在整个退化过程中，三个性能参数的相依性随时间发生着动态变化，得到了其相依性的时变规律。

Claims (6)

1.一种基于Copula熵的多性能参数退化过程的相依性度量方法，其特征在于，具体步骤为：
步骤一、使用核密度估计方法计算各个性能参数退化增量的累积分布函数；
步骤二、分别使用不同类型的Copula函数对不同性能参数退化增量的累积分布函数进行耦合，用极大似然估计方法对Copula函数的参数进行估计；
步骤三、使用赤池信息准则对Copula函数进行选择；
步骤四、基于选取的Copula函数构建Copula熵函数，确定Copula熵函数的被积函数；
步骤五、使用蒙特·卡罗方法仿真抽样计算Copula熵。
2.根据权利要求1所述的一种基于Copula熵的多性能参数退化过程的相依性度量方法，其特征在于，所述的步骤一具体为：
首先基于各个性能参数的退化数据使用核密度估计方法计算其退化增量的累积分布函数，对某一性能参数来说，其退化数据为Y1,Y2,...,Ym，则退化增量为
Xj＝Yj-Yj-1 (1)
其中，m表示数据观测量，j＝1,2,…,m；Y0表示性能参数的初始退化值；
假设各性能参数的退化增量符合独立同分布等统计数据试验基本要求，则第i个性能参数退化增量的概率密度函数pi(x)计算公式为
其中，i＝1,2,…,d，d表示性能参数的个数；t表示时间区间；T为时间区间宽度；h表示窗体宽的平滑参数；Xt表示t时刻的退化增量；exp表示指数分布；K(·)为核函数，是一个期望为0方差为1的标准高斯分布；
则第i个性能参数退化增量的累积分布函数ui为
ui＝∫pi(x)dx (4)。
3.根据权利要求1所述的一种基于Copula熵的多性能参数退化过程的相依性度量方法，其特征在于，所述的步骤二具体为：
分别使用Gaussian Copula、Frank Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula函数对各个性能参数退化增量的累积分布函数进行耦合，使用极大似然估计方法对Copula函数的参数进行估计；
Gaussian Copula的累积分布函数的表达式为：
Φθ[Φ-1(u1),Φ-1(u2),...,Φ-1(ud)]，θ∈(-1,1)
Frank Copula的累积分布函数的表达式为：
Clayton Copula的累积分布函数的表达式为：
Gumbel Copula的累积分布函数的表达式为：
其中：Φ是标准正态分布函数；Φθ是d元标准正态分布函数；d表示性能参数的个数；ui表示各变量的累积分布函数；θ为Copula函数的参数；max表示最大值；exp表示指数分布；ln为对数符号；C(u1,u2,…,ud)表示Copula函数的累积分布函数；
使用极大似然估计方法对不同的Copula函数参数进行估计，估计方法如下：
假设第i个性能参数退化增量的累积分布函数表示为Fi(xi)，i＝1,2,…,d，概率密度函数为fi(xi)，则X＝(x1,x2,...,xd)的联合分布函数是
H(X,θ)＝C(F1(x1),F2(x2),…,Fd(xd),θ) (5)
其中，C为Copula函数的CDF，θ为Copula函数的未知参数，d为性能参数个数；
对应的概率密度函数为
其中，c为Copula函数的概率密度函数；
若已知观测样本为则未知参数的似然函数表示为
对应的对数似然函数为
则Copula函数的参数估计值为
4.根据权利要求1所述的一种基于Copula熵的多性能参数退化过程的相依性度量方法，其特征在于，所述的步骤三具体为：
针对不同的多元退化过程，使用AIC准则对Copula函数的类型进行选取，选取AIC值最小的Copula函数；
AIC计算公式表示为：
AIC＝-2ln(L(θ))+2k (10)
其中，k表示Copula函数的未知参数个数，ln为对数符号。
5.根据权利要求1所述的一种基于Copula熵的多性能参数退化过程的相依性度量方法，其特征在于，所述的步骤四具体为：
构造后的Copula熵函数为
式中，c(u1,u2,…,ud)为Copula函数的概率密度函数，ui＝Fi(Xi)＝P(xi≤Xi),i＝1,2,…,d表示各个性能参数退化增量的累积分布函数，c(u1,u2,…,ud)ln c(u1,u2,…,ud)为Copula熵的被积函数。
6.根据权利要求1所述的一种基于Copula熵的多性能参数退化过程的相依性度量方法，其特征在于，所述的步骤五具体为：
采用Monte Carlo仿真抽样的方法对构造的Copula熵函数进行计算，在各个维度寻找到最大值，以各个维度的最大值为边界确定一个已知范围大小为V0的包围区，在已建立的包围区内，沿各个维度方向随机抽样，确定该空间中的一点，并确定该点是否在被积函数与各个坐标面所围的区域内，若在则记落在区域内一次，若不在则记为零次，抽样进行N次，N≥10000，所有落在区域内的次数共计为n次，则Copula熵Hc为
通过各个性能参数间的Copula熵得到性能参数之间相依性关系。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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CN112120703A (zh) * 2019-06-25 2020-12-25 株式会社日立制作所 一种跌倒风险评估方法及装置
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