CN108446519B - 超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法 - Google Patents
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Abstract
超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法，属于铝合金熔体质量净化领域，具体涉及一种超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法。本发明针对现有的运动模型的缺陷，提供了一种在超声及旋流场中能够为运动模型提供理论支撑、能够得到任意时刻下净化气泡运动轨迹的净化气泡瞬态运动模型构建方法。本发明所涉及的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法，建模前进行假设：构建超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型的完整运动方程；净化气泡运动模型进行仿真分析。本发明尤其适用于实现航空航天、信息产业、交通运载等对铝合金构件的质量要求高的技术领域。
Description
技术领域
本发明属于铝合金熔体质量净化领域，具体涉及一种超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法。
背景技术
随着航空航天、铁路运输等行业的飞速发展，不但对铝合金相关产品需求量加大，而且对高品质高性能的铝合金构件需求量更是日益增加，而高纯净的铝熔体是获得高性能铝合金铸件的基本保障，若没有高质量的铝合金熔液，缺陷一旦从开始产生，就会顽固地存在，并难以弥补，也就不可能获得高质量的构件。而目前现有铝合金熔炼过程都是在非真空条件下进行的，在熔炼过程中存在吸气(主要是氢气)的问题，凝固后，未能离开铝合金熔体的气体就会留在铸件中形成气孔或缩松等缺陷。这些缺陷的存在，会严重削弱铸件的强度、腐蚀抗性和导电性等，影响铸件表面质量，而铝合金熔体除气处理是消除缺陷保证生产高质量铝合金构件的基本措施之一，也是提高铝合金综合性能的主要手段。因此，为获得高质量铝合金构件，有必要研究并采用先进的铝熔体除气处理方法，去除铝液中的气体和夹杂物。
现在已经发展了各种铝熔体除气处理方法，去除铝合金熔体中的气体和夹杂物。旋转吹气法是气泡浮游法的一种，向铝熔体中吹入惰性气体，在铝熔体中产生大量的外来净化气泡(惰性气泡)。初始净化气泡中氢分压为零，依据除氢动力学理论，熔体中的氢不断向气泡中扩散，直到惰性气泡中的氢分压达到平衡时，气泡浮出熔体表面，同时气泡中的氢逸出。功率超声波除气净化处理是利用超声波在熔体中的空化作用，熔体中的氢扩散到空化泡中，部分大气泡在浮力的作用下上浮逸出，从而保证气体的析出。当在旋转吹气除气过程中同时加载功率超声时，惰性气泡可能成为功率超声空化形核的载体，更利于超声空化泡的形成，气泡在熔体中弥散程度增加，也会增加氢向净化气泡中扩散传质系数，提高除气净化效率。但除气效果与净化气泡在熔体中运动轨迹关系密切，延长净化气泡在熔体中停留时间，减小净化气泡的尺寸、增加净化气泡的数量和提高熔体中气泡的传质系数，是提高气泡浮游法除气效率的关键。但是关于熔体中净化气泡瞬态运动的理论分析很少，而且方法还不够严谨，尤其是关于净化气泡在超声及旋转场作用下运动模型构建方法的空缺，使得超声及旋转吹气复合式除气净化理论依据缺乏。
因此，就需要一种在超声及旋流场中能够为运动模型提供理论支撑、能够得到任意时刻下净化气泡运动轨迹的净化气泡瞬态运动模型构建方法。
发明内容
本发明针对现有的运动模型在超声及旋流场的复合场中缺少理论依据、不能得到净化气泡运动轨迹的缺陷，提供了一种在超声及旋流场中能够为运动模型提供理论支撑、能够得到任意时刻下净化气泡运动轨迹的净化气泡瞬态运动模型构建方法。
本发明所涉及的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法，包括如下计算步骤：
步骤一、建模前，进行如下假设：①任意条件影响下熔体中气泡保持球形；②旋转搅拌只引起液相水平方向圆周运动，即在超声及旋流场的复合场影响下，流体竖直方向的速度为0，水平方向运动速度随旋转速率的改变而改变；③不考虑气泡间相互作用；④本过程处于恒温绝热状态；
步骤二、构建超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型的完整运动方程为：
竖直方向:
径向:
横向:
式(36)中，
为净化气泡距离液面深度的导数；
净化气泡竖直方向速度；R为净化气泡半径；g为重力加速度；CDh为竖直方向的阻力系数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导；CDr为径向阻力系数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ωL为流体转速；r为净化气泡径向运动的距离；r＝r(t)；ρL为液相流体密度；pL为液相流体中泡壁表面压力；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；CDθ为横向阻力系数；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；
步骤三、超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型进行仿真分析。
进一步地：在步骤二中，所述的净化气泡瞬态运动方程组的完整运动方程包含以下三组方程：
(1)超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程：
(2)超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程：
(3)超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程：
进一步地：在步骤二(1)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡竖直方向瞬态运动方程的获得过程为：
竖直方向上净化气泡的运动距离h，其值与净化气泡竖直方向分速度存在以下关系：
式(1)中，
为净化气泡距离液面深度的导数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度，通过对净化气泡竖直方向的受力分析求得；净化气泡在竖直方向主要考虑竖直方向的粘性阻力FDh，由净化气泡在流体中竖直方向加速运动引起的该方向的附加质量力Fmh，浮力FV和重力FG作用；由于压力梯度力是指沿流体流动方向单位路程长度上的压力变化，而在竖直方向上，流体运动为相对静止状态，所以实际作用在净化气泡表面的压力梯度力忽略不计，故不考虑此力；因而，净化气泡在竖直方向根据牛顿第二定律得到：
式(2)中，FV为浮力；Fmh为附加质量力；FG为重力；FDh为粘性阻力；αh为净化气泡在竖直方向的加速度，
其中
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；mb为净化气泡质量，其表达式为
ρb为净化气泡中气体密度；R＝R(t)为净化气泡随时间变化的半径；
式(2)中，Fv为浮力，表达式为：
式(3)中，FV为浮力；R为净化气泡半径；ρL为液相流体密度；g为重力加速度；
式(2)中，FG为重力，表达式为：
式(4)中，FG为重力；R为净化气泡半径；g为重力加速度；ρb为净化气泡中气体密度；
由式(2)、式(3)和式(4)得到，净化气泡在竖直方向分速度的导数为：
式(5)中，
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；R为净化气泡半径；g为重力加速度；ρL为液相流体密度；Fmh为附加质量力；FDh为粘性阻力；ρb为净化气泡中气体密度；式(5)中Fmh和FDh表达见式(6)、式(7)：
式(6)中，FV为浮力；Fmh为附加质量力；FG为重力；ρL为液相流体密度；KV为经验系数，理想状态下为Kv＝1/2；π为圆周率；R为净化气泡半径；t为时间；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；vLh为流体在竖直方向分速度，已知超声及旋流场影响下，流体在竖直方向分速度为0，则存在vLh＝0；
式(7)中，FDh为粘性阻力；π为圆周率；R为净化气泡半径；ρL为液相流体密度；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；vLh为流体在竖直方向分速度，CDh为竖直方向的阻力系数，其表达式为：
式(8)中，CDh为竖直方向的阻力系数；Reh为竖直方向雷诺数，其表达为：
式(9)中，Reh为竖直方向熔体中雷诺数；ρL为液相流体密度；R为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；μL为流体黏度系数。
联立式(5)、式(6)、式(7)得超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程为：
式(10)中，R为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；CDh为竖直方向的阻力系数；
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；g为重力加速度。
式(10)中，若想获得净化气泡竖直方向速度
则需要求得半径R的表达式，而净化气泡随时间变化的半径R，根据Noltingk和Neppiras理论的N-N方程求得，即存在超声场的条件下，净化气泡半径满足净化气泡自身振动方程，得到净化气泡半径随时间变化，其表达为：
式(11)中，R为净化气泡半径；
为净化气泡关于时间t的一阶导数；
为净化气泡关于时间t的二阶导数；R0为净化气泡初始半径；h0为净化气泡初始位置的深度；ρL为液相流体密度；PA为超声压幅值；μ为动力粘度系数；ω为超声场角频率，表达式为ω＝2πf，其中f为超声频率；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；σ为熔体表面张力系数；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比。
进一步地：在步骤二(2)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡径向瞬态运动方程的获得过程为：
对净化气泡径向运动过程进行受力分析，求得净化气泡在径向运动距离变化情况，复合场中净化气泡径向受力主要有粘性阻力径向分力FDr，附加质量力径向分力Fmr，压力梯度力径向分力Fpr，根据牛顿第二定律得：
式(12)中，FDr为粘性阻力径向分力；Fmr为附加质量力径向分力；Fpr为压力梯度力径向分力；mb为净化气泡质量；αr为净化气泡径向加速度，表达方式为：
式(13)中，r为净化气泡径向运动的距离，r＝r(t)；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数。
式(12)中，压力梯度力Fp表达式为：
式(14)中，Fp为压力梯度力；π为圆周率；
为净化气泡附近某一方向上的压力梯度变化量；R为净化气泡半径；p为熔体中压力；x为表示在某一方向的距离；由此得到净化气泡压力梯度力径向分力的表达式为：
式(15)中，Fpr为压力梯度力径向分力；r0为净化气泡径向初始位置；π为圆周率；r为净化气泡径向运动的距离；pL为液相流体中泡壁表面压力；在超声及旋转的复合场条件下，泡壁表面压力由净化气泡内外压力差所决定，而超声声压主要作用在净化气泡表面，影响表面压力的数值，故考虑超声因素，其表达式为：
式(15)中，粘性阻力径向分力FDr的表达式为：
径向阻力系数CDr的表达式为：
式(18)中，径向雷诺数Rer的表达式为：
式(19)中，μL为流体黏度系数；pL为液相流体中泡壁表面压力；ρL为液相流体密度；
为净化气泡的径向分速度，任意时刻净化气泡的径向分速度用净化气泡径向运动距离关于时间t的导数
表示，即：
式(20)中，
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；
为流体的径向分速度，任意时刻，流体中某一质点的径向分速度
为：
式(21)中，r为净化气泡径向运动的距离；ωL为流体转速；将式(18)、式(19)、式(20)和式(21)代入式(17)，则式(17)粘性阻力径向分力FDr化简为式：
附加质量力径向分力Fmr的表达式为：
将式(21)、式(22)及经验系数KV值带入式(24)得到化简后的径向附加质量力FDr，其表达式为：
联立公式(12)、式(15)、式(22)和式(24)整理得超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程为：
式(25)中，r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ρL为液相流体密度；CDr为径向阻力系数；R为净化气泡半径；ωL为流体转速；pL为液相流体中泡壁表面压力。
进一步地：在步骤二(3)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡横向瞬态运动方程的获得过程为：
净化气泡横向受力主要有粘性阻力横向分力FDθ，附加质量力横向分力Fmθ，压力梯度力横向分力Fpθ，根据牛顿第二定律三者关系为：
FDθ+Fpθ+Fmθ＝mb+aθ (26)
式(26)中，压力梯度力横向分力Fpθ表达式为：
式(26)、式(27)中，FDθ为粘性阻力横向分力；Fmθ为附加质量力横向分力；Fpθ为压力梯度力横向分力；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；aθ为净化气泡运动的横向加速度，表达式为：
式(28)中，
为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数。
式(26)中，粘性阻力横向分力FDθ表示为：
式(29)中，横向阻力系数CDθ表示为：
式(30)中，Reθ表为：
式(29)、式(30)和式(31)中，FDθ为粘性阻力横向分力；CDθ为横向阻力系数；vLθ为流体的横向分速度，为了使计算简便，已经假设本系统中的流体只做圆周运动，所以其横向速度vLθ＝0；vbθ为净化气泡的横向分速度，其表达式为：
vbθ＝rθ (32)
式(32)中，r为净化气泡径向运动的距离；θ为净化气泡运动转过的角度。
综合式(29)、式(30)、式(31)、式(32)，粘性阻力横向分力FDθ的表达式为：
附加质量力横向分力Fmθ表达式为：
联立式(26)、式(28)、式(33)和式(34)整理得超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程表达式为：
式(35)中，r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；R为净化气泡半径；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；ωL为流体转速；p∞为流体中无穷处的压力；pL为液相流体中泡壁表面压力；ρL为液相流体密度；CDθ为横向阻力系数。
进一步地：在步骤三中，利用MATLAB软件对超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型即式(36)进行数值求解，得到净化气泡半径R关于时间t的关系，根据R(t)求得净化气泡运动速度vb，上升距离h，径向运动距离r及横向运动距离θ关于时间t的变化情况。
本发明所涉及的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法的有益效果是：
本发明所涉及的超声及旋流场下气泡瞬态运动模型构建方法，针对功率超声和旋转吹气复合式除气运动过程中净化气泡瞬态运动模型理论进行研究，为功率超声和旋转吹气有效复合提供重要的理论支撑，弥补了两者复合除气运动缺少理论依据；同时也为研究超声及旋转吹气复合式除气的最佳工艺参数组合，构建高效复合式除气运动装置提供理论依据和参考。与其它领域的净化气泡运动模型相比，本模型可以得到净化气泡在熔体中任意时刻下运动轨迹信息，可以得到净化气泡在熔体中任意时刻下运动位置信息，即实现净化气泡在熔体中运动的定量分析。本发明所涉及的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法尤其适用于实现航空航天、信息产业、交通运载等对铝合金构件的质量要求高的技术领域。
附图说明
图1为熔体中的气泡受力分析示意图；
图2为复合场中净化气泡运动轨迹仿真图。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明的技术方案做进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。
实施例1
结合图1说明本实施例，在本实施例中，本发明所涉及的超声旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法它包括以下步骤：
步骤一、建模前，进行如下假设：①任意条件影响下熔体中气泡保持球形；②旋转搅拌只引起液相水平方向圆周运动，即在超声及旋流场的复合场影响下，流体竖直方向的速度为0，水平方向运动速度随旋转速率的改变而改变；③不考虑气泡间相互作用；④本过程处于恒温绝热状态；
步骤二、构建超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型的完整运动方程为：
竖直方向:
径向:
横向:
式(36)中，
为净化气泡距离液面深度的导数；
净化气泡竖直方向速度；R为净化气泡半径；g为重力加速度；CDh为竖直方向的阻力系数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导；CDr为径向阻力系数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ωL为流体转速；r为净化气泡径向运动的距离；r＝r(t)；ρL为液相流体密度；pL为液相流体中泡壁表面压力；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；CDθ为横向阻力系数；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；
步骤三、超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型进行仿真分析。
更为具体地：在步骤二中，所述的净化气泡瞬态运动方程组的完整运动方程包含以下三组方程：
(1)超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程：
(2)超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程：
(3)超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程：
更为具体地：在步骤二(1)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡竖直方向瞬态运动方程的获得过程为：
竖直方向上净化气泡的运动距离h，其值与净化气泡竖直方向分速度存在以下关系：
式(1)中，
为净化气泡距离液面深度的导数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度，可以通过对净化气泡竖直方向的受力分析求得；净化气泡在竖直方向主要考虑竖直方向的粘性阻力FDh，由净化气泡在流体中竖直方向加速运动引起的该方向的附加质量力Fmh，浮力FV和重力FG作用；由于压力梯度力是指沿流体流动方向单位路程长度上的压力变化，而在竖直方向上，流体运动为相对静止状态，所以实际作用在净化气泡表面的压力梯度力可以被忽略，故不考虑此力；因而，净化气泡在竖直方向可根据牛顿第二定律得到：
式(2)中，FV为浮力；Fmh为附加质量力；FG为重力；FDh为粘性阻力；αh为净化气泡在竖直方向的加速度，
其中
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；mb为净化气泡质量，其表达式为
ρb为净化气泡中气体密度；R＝R(t)为净化气泡随时间变化的半径；
式(2)中，Fv为浮力(竖直方向)，表达式为：
式(3)中，FV为浮力；R为净化气泡半径；ρL为液相流体密度；g为重力加速度；
式(2)中，FG为重力，表达式为：
式(4)中，FG为重力；R为净化气泡半径；g为重力加速度；ρb为净化气泡中气体密度；
由式(2)、式(3)、式(4)可得到，净化气泡在竖直方向分速度的导数为：
式(5)中，
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；R为净化气泡半径；g为重力加速度；ρL为液相流体密度；Fmh为附加质量力；FDh为粘性阻力；ρb为净化气泡中气体密度；式(5)中Fmh和FDh表达见式(6)、式(7)：
式(6)中，FV为浮力；Fmh为附加质量力；FG为重力；ρL为液相流体密度；KV为经验系数，理想状态下为Kv＝1/2；π为圆周率；R为净化气泡半径；t为时间；vbh:净化气泡在竖直方向的分速度；vLh为流体在竖直方向分速度，已知超声及旋流场影响下，流体在竖直方向分速度为0，则存在vLh＝0；
式(7)中，FDh为粘性阻力；π为圆周率；R为净化气泡半径；ρL为液相流体密度；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；vLh为流体在竖直方向分速度，CDh为竖直方向的阻力系数，其表达式为：
式(8)中，CDh为竖直方向的阻力系数；Reh为竖直方向雷诺数，其表达为：
式(9)中，Reh为竖直方向熔体中雷诺数；ρL为液相流体密度；R为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；μL为流体黏度系数。
联立式(5)、式(6)、式(7)可以得超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程为：
式(10)中，R为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；CDh为竖直方向的阻力系数；
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；g为重力加速度。
式(10)中，若想获得净化气泡竖直方向速度
则需要求得半径R的表达式，而净化气泡随时间变化的半径R，可根据Noltingk和Neppiras理论的N-N方程求得，即存在超声场的条件下，净化气泡半径满足净化气泡自身振动方程(即净化气泡平衡半径附近振动)，可以得到净化气泡半径随时间变化，其表达为：
式(11)中，R为净化气泡半径；
为净化气泡关于时间t的一阶导数；
为净化气泡关于时间t的二阶导数；R0为净化气泡初始半径；h0为净化气泡初始位置的深度；ρL为液相流体密度；PA为超声压幅值；μ为动力粘度系数；ω为超声场角频率，表达式为ω＝2πf，其中f为超声频率；p∞为流体中无穷处的压力，近似于标准大气压patm；patm为标准大气压；σ为熔体表面张力系数；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比。
更为具体地：在步骤二(2)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡径向瞬态运动方程的获得过程为：
对净化气泡径向运动过程进行受力分析，可求得净化气泡在径向运动距离变化情况，复合场中净化气泡径向受力主要有粘性阻力径向分力FDr，附加质量力径向分力Fmr，压力梯度力径向分力Fpr，根据牛顿第二定律可得：
式(12)中，FDr为粘性阻力径向分力；Fmr为附加质量力径向分力；Fpr为压力梯度力径向分力；mb为净化气泡质量；αr为净化气泡径向加速度，表达方式为：
式(13)中，r＝r(t)为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数。
式(12)中，压力梯度力Fp表达式为：
式(14)中，Fp为压力梯度力；π为圆周率；
为净化气泡附近某一方向上的压力梯度变化量；R为净化气泡半径；p为熔体中压力；x为表示在某一方向的距离；由此可以得到净化气泡压力梯度力径向分力的表达式为：
式(15)中，Fpr为压力梯度力径向分力；r0为净化气泡径向初始位置；π为圆周率；r为净化气泡径向运动的距离；p∞为流体中无穷处的压力，近似于标准大气压patm；pL为液相流体中泡壁表面压力；在超声及旋转的复合场条件下，泡壁表面压力由净化气泡内外压力差所决定，而超声声压主要作用在净化气泡表面，影响表面压力的数值，故考虑超声因素，其表达式为：
式(15)中，粘性阻力径向分力FDr的表达式为：
径向阻力系数CDr的表达式为：
式(18)中，径向雷诺数Rer的表达式为：
式(19)中，μL为流体黏度系数；pL为液相流体中泡壁表面压力；ρL为液相流体密度；
为净化气泡的径向分速度，任意时刻净化气泡的径向分速度可用净化气泡径向运动距离关于时间t的导数
表示，即：
式(20)中，
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；
为流体的径向分速度，任意时刻，流体中某一质点的径向分速度
为：
式(21)中，r为净化气泡径向运动的距离；ωL为流体转速；将式(18)、式(19)、式(20)和式(21)代入式(17)，则式(17)粘性阻力径向分力FDr可化简为式：
附加质量力径向分力Fmr的表达式为：
将式(21)、式(22)及经验系数KV值带入式(24)得到化简后的径向附加质量力FDr，其表达式为：
联立公式(12)、式(15)、式(22)和式(24)整理可得超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程为：
式(25)中，r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ρL为液相流体密度；CDr为径向阻力系数；R为净化气泡半径；ωL为流体转速；pL为液相流体中泡壁表面压力；p∞为流体中无穷处的压力，近似于标准大气压patm。
更为具体地：在步骤二(3)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡横向瞬态运动方程的获得过程为：
净化气泡横向受力主要有粘性阻力横向分力FDθ，附加质量力横向分力Fmθ，压力梯度力横向分力Fpθ，根据牛顿第二定律三者关系为：
FDθ+Fpθ+Fmθ＝mb+aθ (26)
式(26)中，压力梯度力横向分力Fpθ表达式为：
式(26)、式(27)中，FDθ为粘性阻力横向分力；Fmθ为附加质量力横向分力；Fpθ为压力梯度力横向分力；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；aθ为净化气泡运动的横向加速度，表达式为：
式(28)中，
为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数。
式(26)中，粘性阻力横向分力FDθ表示为：
式(29)中，横向阻力系数CDθ表示为：
式(30)中，Reθ表为：
式(29)、式(30)和式(31)中，FDθ为粘性阻力横向分力；CDθ为横向阻力系数；vLθ为流体的横向分速度，为了使计算简便，已经假设本系统中的流体(液相)只做圆周运动，所以其横向速度vLθ＝0；vbθ为净化气泡的横向分速度，其表达式为：
vbθ＝rθ(32)
式(32)中，r为净化气泡径向运动的距离；θ为净化气泡运动转过的角度。
综合式(29)、式(30)、式(31)、式(32)，粘性阻力横向分力FDθ的表达式为：
附加质量力横向分力Fmθ表达式为：
联立式(26)、式(28)、式(33)和式(34)整理可得超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程表达式为：
式(35)中，r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；R为净化气泡半径；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；ωL为流体转速；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；pL为液相流体中泡壁表面压力；ρL为液相流体密度；CDθ为横向阻力系数。
(4)完整运动方程：
式(10)、式(25)和式(35)综合起来即得到超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型：
竖直方向:
径向:
横向:
式(36)中，
为净化气泡距离液面深度的导数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；R为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；CDh为竖直方向的阻力系数；CDr为径向阻力系数；CDθ为横向阻力系数；
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；g为重力加速度；r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导数；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；θ为净化气泡运动转过的角度；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的一阶导数；ωL为流体转速；pL为液相流体中泡壁表面压力；p∞为流体中无穷处的压力，近似于标准大气压patm；ρL为液相流体密度。
更为具体地：在步骤三中，利用Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)软件对超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型即式(36)进行数值求解，得到净化气泡半径R关于时间t的关系，根据R(t)求得净化气泡运动速度vb，上升距离h，径向运动距离r及横向运动距离θ关于时间t的变化情况。
利用Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)软件对超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型即式(36)进行数值求解，相关参数的赋值情况如下：净化气泡初始半径R0＝100μm，超声压幅值为pA＝100KPa，旋转场转速n＝450r/min，其中ωL＝2πn，在气体流量一定的情况下，对应净化气泡的径向初始速度一定，若取气体的初始流量为500ml/min，经计算可知，此时净化气泡的径向速度为vbr0＝0.3m/s；ρL＝2.4*103kg/m-3，σ＝0.074N*m-1，熔体粘度系数μ＝1.01*10-3Pa*s，patm＝1.013*105Pa，ρg0＝1.63kg*m-3，净化气泡位置初始深度h0＝0.65m，净化气泡径向初始位置r0＝0.25m，净化气泡运动转过的角度θ0＝0，f＝20KHz，净化气泡半径R关于时间t的关系，可由N-N方程(11)可以得到净化气泡半径R关于时间t的关系，最后将R(t)带入相关公式可以求得净化气泡运动速度vb，上升距离h，径向运动距离r及横向运动距离θ关于时间t的变化情况，由于相关方程主要为微分方程，故将相关公式进行联立，可以获得净化气泡在超声及旋转场共同作用下的运动轨迹如图2所示，将其与实验条件下的轨迹进行对比，得到数值求解与实验结果基本吻合。
最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都属于本发明的保护范围。
Claims (5)
1.超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法，其特征在于，它包括以下步骤：
步骤一、建模前，进行如下假设：①任意条件影响下熔体中气泡保持球形；②旋转搅拌只引起液相水平方向圆周运动，即在超声及旋流场的复合场影响下，流体竖直方向的速度为0，水平方向运动速度随旋转速率的改变而改变；③不考虑气泡间相互作用；④本过程处于恒温绝热状态；
步骤二、构建超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型的完整运动方程为：
竖直方向：
径向：
横向：
式(36)中，
为净化气泡距离液面深度的导数；
净化气泡竖直方向分速度；R为净化气泡半径；g为重力加速度；CDh为竖直方向的阻力系数；
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导；CDr为径向阻力系数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ωL为流体转速；r为净化气泡径向运动的距离；r＝r(t)；ρL为液相流体密度；pL为液相流体中泡壁表面压力；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；CDθ为横向阻力系数；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；
步骤三、超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型进行仿真分析。
2.根据权利要求1所述的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法，其特征在于，在所述的超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程：
竖直方向上净化气泡的运动距离h，其值与净化气泡竖直方向分速度存在以下关系：
式(1)中，
为净化气泡距离液面深度的导数；
为净化气泡在竖直方向的分速度，通过对净化气泡竖直方向的受力分析求得；净化气泡在竖直方向考虑竖直方向的粘性阻力FDh，由净化气泡在流体中竖直方向加速运动引起的该方向的附加质量力Fmh，浮力FV和重力FG作用；由于压力梯度力是指沿流体流动方向单位路程长度上的压力变化，而在竖直方向上，流体运动为相对静止状态，所以实际作用在净化气泡表面的压力梯度力忽略不计，故不考虑此力；因而，净化气泡在竖直方向根据牛顿第二定律得到：
式(2)中，FV为浮力；Fmh为附加质量力；FG为重力；FDh为粘性阻力；ah为净化气泡在竖直方向的加速度，
其中
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；mb为净化气泡质量，其表达式为
ρb为净化气泡中气体密度；R＝R(t)为净化气泡随时间变化的半径；
式(2)中，Fv为浮力，表达式为：
式(3)中，FV为浮力；R为净化气泡半径；ρL为液相流体密度；g为重力加速度；
式(2)中，FG为重力，表达式为：
式(4)中，FG为重力；R为净化气泡半径；g为重力加速度；ρb为净化气泡中气体密度；
由式(2)、式(3)和式(4)得到，净化气泡在竖直方向分速度的导数为：
式(5)中，
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；R为净化气泡半径；g为重力加速度；ρL为液相流体密度；Fmh为附加质量力；FDh为粘性阻力；ρb为净化气泡中气体密度；式(5)中Fmh和FDh表达见式(6)、式(7)：
式(6)中，Fmh为附加质量力；ρL为液相流体密度；KV为经验系数，理想状态下为Kv＝1/2；π为圆周率；R为净化气泡半径；t为时间；
为净化气泡在竖直方向的分速度；
为流体在竖直方向分速度，已知超声及旋流场影响下，流体在竖直方向分速度为0，则存在
式(7)中，FDh为粘性阻力；π为圆周率；R为净化气泡半径；ρL为液相流体密度；
为净化气泡在竖直方向的分速度；
为流体在竖直方向分速度，CDh为竖直方向的阻力系数，其表达式为：
式(8)中，CDh为竖直方向的阻力系数；Reh为竖直方向雷诺数，其表达为：
式(9)中，Reh为竖直方向熔体中雷诺数；ρL为液相流体密度；R为净化气泡半径；
为净化气泡在竖直方向的分速度；μL为流体黏度系数；
联立式(5)、式(6)、式(7)得超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程为：
式(10)中，R为净化气泡半径；
为净化气泡在竖直方向的分速度；CDh为竖直方向的阻力系数；
为净化气泡在竖直方向分速度的导数；g为重力加速度；
式(10)中，若想获得净化气泡竖直方向的分速度
则需要求得半径R的表达式，而净化气泡随时间变化的半径R，根据Noltingk和Neppiras理论的N-N方程求得，即存在超声场的条件下，净化气泡半径满足净化气泡自身振动方程，得到净化气泡半径随时间变化，其表达为：
式(11)中，R为净化气泡半径；
为净化气泡关于时间t的一阶导数；
为净化气泡关于时间t的二阶导数；R0为净化气泡初始半径；h0为净化气泡初始位置的深度；ρL为液相流体密度；PA为超声压幅值；μ为动力粘度系数；ω为超声场角频率，表达式为ω＝2πf，其中f为超声频率；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；σ为熔体表面张力系数；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比。
3.根据权利要求2所述的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法，其特征在于，在步骤二(2)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡径向瞬态运动方程的获得过程为：
对净化气泡径向运动过程进行受力分析，求得净化气泡在径向运动距离变化情况，复合场中净化气泡径向受力有粘性阻力径向分力FDr，附加质量力径向分力Fmr，压力梯度力径向分力Fpr，根据牛顿第二定律得：
式(12)中，FDr为粘性阻力径向分力；Fmr为附加质量力径向分力；Fpr为压力梯度力径向分力；mb为净化气泡质量；ar为净化气泡径向加速度，表达方式为：
式(13)中，r为净化气泡径向运动的距离，r＝r(t)；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；
式(12)中，压力梯度力Fp表达式为：
式(14)中，Fp为压力梯度力；π为圆周率；
为净化气泡附近某一方向上的压力梯度变化量；R为净化气泡半径；p为熔体中压力；x为表示在某一方向的距离；由此得到净化气泡压力梯度力径向分力的表达式为：
式(15)中，Fpr为压力梯度力径向分力；r0为净化气泡径向初始位置；π为圆周率；r为净化气泡径向运动的距离；pL为液相流体中泡壁表面压力；在超声及旋转的复合场条件下，泡壁表面压力由净化气泡内外压力差所决定，而超声声压作用在净化气泡表面，影响表面压力的数值，故考虑超声因素，其表达式为：
式(12)中，粘性阻力径向分力FDr的表达式为：
径向阻力系数CDr的表达式为：
式(18)中，径向雷诺数Rer的表达式为：
式(19)中，μL为流体黏度系数；ρL为液相流体密度；
为净化气泡的径向分速度，任意时刻净化气泡的径向分速度用净化气泡径向运动距离关于时间t的导数
表示，即：
式(20)中，
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；
为流体的径向分速度，任意时刻，流体中某一质点的径向分速度
为：
式(21)中，r为净化气泡径向运动的距离；ωL为流体转速；将式(18)、式(19)、式(20)和式(21)代入式(17)，则式(17)粘性阻力径向分力FDr化简为式：
附加质量力径向分力Fmr的表达式为：
将式(21)、式(22)及经验系数KV值带入式(24)得到化简后的径向附加质量力FDr，其表达式为：
联立公式(12)、式(15)、式(22)和式(24)整理得超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程为：
式(25)中，r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ρL为液相流体密度；CDr为径向阻力系数；R为净化气泡半径；ωL为流体转速；pL为液相流体中泡壁表面压力。
4.根据权利要求3所述的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法，其特征在于，在步骤二(3)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡横向瞬态运动方程的获得过程为：
净化气泡横向受力有粘性阻力横向分力FDθ，附加质量力横向分力Fmθ，压力梯度力横向分力Fpθ，根据牛顿第二定律三者关系为：
FDθ+Fpθ+Fmθ＝mb+aθ (26)
式(26)中，压力梯度力横向分力Fpθ表达式为：
式(26)、式(27)中，FDθ为粘性阻力横向分力；Fmθ为附加质量力横向分力；Fpθ为压力梯度力横向分力；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；aθ为净化气泡运动的横向加速度，表达式为：
式(28)中，
为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；
式(26)中，粘性阻力横向分力FDθ表示为：
式(29)中，横向阻力系数CDθ表示为：
式(30)中，Reθ表为：
式(29)、式(30)和式(31)中，FDθ为粘性阻力横向分力；CDθ为横向阻力系数；vLθ为流体的横向分速度，为了使计算简便，已经假设本系统中的流体只做圆周运动，所以其横向速度vLθ＝0；vbθ为净化气泡的横向分速度，其表达式为：
vbθ＝rθ (32)
式(32)中，r为净化气泡径向运动的距离；θ为净化气泡运动转过的角度；
综合式(29)、式(30)、式(31)、式(32)，粘性阻力横向分力FDθ的表达式为：
附加质量力横向分力Fmθ表达式为：
联立式(26)、式(28)、式(33)和式(34)整理得超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程表达式为：
式(35)中，r为净化气泡径向运动的距离；
为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；R为净化气泡半径；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；
为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；ωL为流体转速；p∞为流体中无穷处的压力；pL为液相流体中泡壁表面压力；ρL为液相流体密度；CDθ为横向阻力系数。
5.根据权利要求4所述的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型构建方法，其特征在于：在步骤三中，利用MATLAB软件对超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型即式(36)进行数值求解，得到净化气泡半径R关于时间t的关系，根据R(t)求得净化气泡运动速度vb，上升距离h，径向运动距离r及横向运动距离θ关于时间t的变化情况。
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Patent Citations (3)
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