CN108333942A - 一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型 - Google Patents

一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型，所述模型以细胞外1，3‑丙二醇的浓度为性能指标，以非线性时滞动力系统、间歇发酵系统的近似稳定性、细胞内外物质浓度相对误差以及细胞内物质浓度的稳定性等为主要约束条件，构造了强稳定性模型。本发明建立了非线性时滞动力系统并把其转变为线性变分方程，构造了非线性问题线性化处理的方法，更好地求解了非线性时滞动力系统，提出了非线性时滞动力系统的强稳定性模型的条件，给出了强稳定性模型的存在性求解方法。

Description

一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型
技术领域
本发明属于生物工程技术领域，具体涉及一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型。
背景技术
发酵是利用微生物生成和积累特定的代谢产物或菌体的过程.根据原料供给方式和产物输出方式的不同，可以将发酵分为间歇发酵(batch culture)、连续发酵(continuous culture)和批式流加发酵(fed-batch culture).微生物的连续发酵指的是将底物连续不断的注入发酵罐中，同时连续不断地从发酵罐中取出发酵液的培养方法.考虑连续发酵成本低、便于自动化控制，故此种发酵方式比较适合工厂用来大量生产1，3-PD.国内用微生物发酵法生产1，3-PD的技术还不是特别成熟，存在生产强度不高、产量过低、成本较高等问题，复杂的生物过程大多能以微分方程的形式表示成多维非线性复杂动力系统。甘油由微生物发酵产生1，3-PD是一种复杂的过程，分为氧化路径与还原路径，由于氧化途径涉及到的酶众多，代谢途径复杂.而关于十四维基因调控非线性动力系统的连续发酵，目前还没有人全面的进行除了跨膜运输的最可能的代谢路径识别和系统参数辨识的研究。稳定性是指在受到外部扰动或内部参数摄动等不确定因素干扰时，生物系统保持其结构和功能稳定的一种特性，稳定性主要体现在生物体对外部环境的适应上，广泛的应用于数学模型中。
发明内容
为了克服现有技术的不足，提出了一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型，所述模型以细胞外1，3-丙二醇的浓度为性能指标，以非线性时滞动力系统、间歇发酵系统的近似稳定性、细胞内外物质浓度相对误差以及细胞内物质浓度的稳定性等为主要约束条件，构造了强稳定性模型。本发明给出了间歇发酵酶催化非线性时滞动力系统，首先需要假设如下条件：1)歇发酵过程中生物反应器中的培养液无注入或输出；2)反应物的浓度始终一致。
本发明的技术方案为：一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型，所述强稳定性模型在甘油间歇发酵产生1，3-PD的整个时间区间R+为一维非负实数空间，为8维的非负实数空间，为32维的非负实数空间，R4、R8、R12分别表示4维、8维和12维的实空间；t0为初始时刻，tf为阶段终止时刻；x0∈R8表示实验阶段的初始状态，W0为初始状态x0∈R8的允许集合，为不同初始状态x0∈W0的解的集合，Wa为在某种状态a下的xa∈R8的允许集合，为不同初始状态xa∈Wa的解的集合。
所述强稳定性模型的设计方法包括建立一个非线性时滞动力系统，所述非线性时滞动力系统简称为时滞系统，以下为设计步骤：
第一步，确立如下的所述时滞系统：
其中x(t)＝[x1(t)，…，x8(t)]T∈R8为连续状态变量，简记为x，它的分量x1(t)，…，x8(t)分别表示在t∈[0，tf]时刻发酵罐中的菌种、细胞外甘油、细胞外1，3-PD、乙酸、细胞内甘油、细胞内三羟基丙酸(3-HPA)和细胞内1，3-PD的浓度。状态延迟向量定义为是发酵的初始状态，φ(t)是定义在上、值域是R8上的已知的连续可微的初始函数，记作：
即，
xτ(t)：＝[x1(t)，x2(t)，x3(t-τ3)，x4(t)，x5(t)，x6(t-τ6)，x7(t-τ7)，x8(t-τ8)]T∈R8
时滞变量τ∈R4非负有界，即
因此所述时滞系统的右端项
h(x，xτ，u)：＝[h1(x，xτ，u)，…，h8(x，xτ，u)]T
的分量可写成如下形式
其中，μ表示比生长速率，q2表示底物比消耗速率，UG和UP分别表示细胞内酶GDHt和PDOR在生物体外的比活性，具体表达式为
其中，p1，…，p10为系统参数，u：＝[u1，…，u4]T∈R4为控制参数；
第二步，构造时滞线性变分系统
下面构造时滞线性变分系统，所述时滞线性变分系统简称为变分系统，所述时滞系统右端函数h(x，xτ，u)关于x，xτ有连续的偏导数，其解对应的所述变分系统进行如下表示：
设x：＝x(t|0，x0，φ)是以为初始条件，以τ∈T为时滞的所述时滞系统的解，则x(t|0，x0，φ)关于是连续的，把所述时滞系统的解x(t|0，x0，φ)∈Wa的集合记为，即
设与z(t)+x(t|0，x0，φ)分别是以为初始条件的所述时滞系统的解，即有
依所述时滞系统的解可得到：
从上式的后一等式可得：
ο(||z(t)||+||zτ(t)||)表示当||z(t)||，||zτ(t)||充分小，趋于零，此时，上式变为如下形式的所述变分系统：
上式是所述时滞系统的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)对应的所述变分系统；
第三步，确定所述变分系统在整个区间上的基本矩阵解，
首先选择整数m＞0，满足把区间[0，tf]分割成m+1个子区间：
依据所述时滞系统时滞性，分别在各自区间Im：＝1，2，…，m和上设计所述变分系统的基本矩阵解。
下面分三种不同情况分别研究：
(2)当j＝1时，即时，所述变分系统可表示为如下的非齐次线性方程：
由于当t∈D1时，为已知函数，上式右端第2项为已知函数，这样，上式是关于z(t)的所述非齐次线性系统，其对应的齐次线性方程为：
其中，
是所述齐次线性方程以
初始条件为主矩阵解，其中I∈R8×8为单位矩阵，R8×8为64维实空间；所述非齐次线性系统在上的基本矩阵解为：
其中ei∈R8为单位阵I∈R8×8的第i列，所述非齐次线性系统在上的终端处的状态为
令
为所述变分系统的基本矩阵解；
(2)当j＝2时，即时，所述变分系统在上，依时滞性，时滞性zτ(t)的值由的值确定；这样zτ(t)在
上的所述变分系统是关于z(t)的非齐次线性系统，求得在D2上的所述变分系统的基本矩阵，即，
令
于是，可以得到所述变分系统在t∈D2上的基本矩阵解为
其在D2的终端时刻的状态为
(3)当3≤j≤m+1时，即依时滞性，在Dj上的
所述变分系统是关于z(t)的非齐次线性系统，能得到所述变分系统在区间上的基本矩阵解，即：
其中
在区间Dj的终端状态为
于是，可得到所述变分系统在整个区间上的基本矩阵解为：
其中，指示函数为
令
Φ0(t)＝Φ0(t|0，x0，φ)＝[Φ0i(t|0，x0，φ)，Φ02(t|0，x0，φ)，…，Φ08(t|0，x0，φ)]∈R8×R8，
则Φ0(t)是时滞的解x(t|0，x0，φ)对应的所述变分系统的基本矩阵解；
设x(t|0，x0，φ)与分别是以
为初始条件的所述时滞系统的解，则，
其中
是以
为初始条件的所述时滞系统的解对应的所述变分系统的基本矩阵解；
第四步，时滞系统的强稳定性
间歇发酵酶催化时所述时滞系统关于初始状态扰动后动力系统的强稳定性定义为：
设x(t|0，x0，φ)是以为初始条件的所述时滞系统的解，若存在δ(ε)＞0，使得所述时滞系统的任意以
为初始条件且满足
的解成立：
则称所述时滞系统的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)是强稳定的。
本发明有益效果
1)本发明建立了非线性时滞动力系统并把其转变为线性变分方程，构造了非线性问题线性化处理的方法，更好地求解了非线性多阶段动力系统。
2)本发明提出了非线性时滞间歇酶发酵催化动力系统的强稳定性模型的条件，证明了强稳定性模型的存在性。
具体实施方式
以非线性时滞动力系统为基础建立所述强稳定性模型，下面公式中，以符号“·”表示乘号“×”，建立所述强稳定性模型的方法包括如下步骤：
第一步，确立如下的非线性时滞动力系统：
其中x(t)＝[x1(t)，…，x8(t)]T∈R8为连续状态变量，简记为x，它的分量x1(t)，…，x8(t)分别表示在t∈[0，tf]时刻发酵罐中的菌种、细胞外甘油、细胞外1，3-PD、乙酸、细胞内甘油、细胞内三羟基丙酸(3-HPA)和细胞内1，3-PD的浓度。状态延迟向量定义为是发酵的初始状态，是已知的连续可微的初始函数，
即，
xτ(t)：＝[x1(t)，x2(t)，x3(t-τ3)，x4(t)，x5(t)，x6(t-τ6)，x7(t-τ7)，x8(t-τ8)]T∈R8
时滞变量τ∈R4非负有界，即
因此系统(1)的右端项
h(x，xτ，u)：＝[h1(x，xτ，u)，…，h8(x，xτ，u)]T
的分量可写成如下形式
其中，μ表示比生长速率，q2表示底物比消耗速率，UG和UP分别表示细胞内酶GDHt和PDOR在生物体外的比活性，具体表达式为
其中，p1，…，p10为系统参数，u：＝[u1，…，u4]T∈R4为控制参数；
第二步，构造线性变分系统
非线性时滞动力系统(1)右端函数h(x，xτ，u)关于x，xτ有连续的偏导数，构造非线性时滞动力系统(1)的解对应的时滞线性变分系统可进行如下表示：
设x：＝x(t|0，x0，φ)是以为初始条件，以τ∈T为时滞的系统(1)的解，则x(t|0，x0，φ)关于t∈[0，tf]，x0∈W0，是连续的，把非线性时滞动力系统(1)的解x(t|0，x0，φ)∈Wa的集合记为即
设与z(t)+x(t|0，x0，φ)分别是以为初始条件的非线性时滞动力系统(1)的解，即有
依非线性时滞动力系统(1)的解，有：
从上式的后一等式可得：
ο(||z(t)||+||zτ(t)||)表示当||z(t)||，||zτ(t)||充分小，趋于零，此时，上式变为如下形式的时滞线性变分系统：
称式(11)是时滞非线性动力系统(1)的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)对应的时滞线性变分系统；
第三步，确定时滞线性变分系统(11)在整个区间上的基本矩阵解，
首先选择整数m＞0，满足把区间[0，tf]分割成m+1个子区间：
依据时滞非线性动力系统(1)的时滞性，分别在各自区间
j∈Im：＝1，2，…，m和上讨论时滞线性变分系统(11)的基本矩阵解。
下面分三种不同情况分别叙述。
(3)当j＝1时，即时，时滞线性变分系统(11)可表示为
由于当t∈D1时，为已知函数，即式(12)右端第2项为已知函数，这样，式(12)是关于z(t)的非齐次线性系统，它对应的其次线性方程为：
是齐次线性系统(13)以
初始条件为主矩阵解，其中I∈R8×8为单位阵。
非齐次线性系统(12)在上的基本矩阵解为：
其中ei∈R8为单位阵I∈R8×8的第i列。
非齐次线性系统(12)在上的终端处的状态为
令
为时滞线性变分系统(11)的基本矩阵解。
(2)当j＝2时，即时，时滞变分系统(11)在上。依时滞性，时滞性zτ(t)的值由的值确定。这样zτ(t)在上的时滞线性变分系统(11)又是关于z(t)的非齐次线性系统。
与(1)中类似的，可求得在D2上的非齐次时滞线性别拿分时滞线性变分系统(11)的基本矩阵
解：
令
于是，可以得到时滞线性变分系统(11)在t∈D2上的基本矩阵解为
其在D2的终端时刻的状态为
(3)当3≤j≤m+1时，即依时滞性，在Dj上的时时滞线性变分系统(11)又是关于z(t)的非齐次线性系统。
与步骤(2)类似的，可以得时滞线性变分系统(11)在区间上的基本矩阵解：
其中
在区间Dj的终端状态为
从式(14)，(16)和(18)可得到时滞线性变分系统(11)在整个区间上的基本矩阵解为：
其中，指示函数为
令
Φ0(t)＝Φ0(t|0，x0，φ)＝[Φ0i(t|0，x0，φ)，Φ02(t|0，x0，φ)，…，Φ08(t|0，x0，φ)]∈R8×R8，
则Φ0(t)是甘油间歇发酵酶催化时滞非线性动力系统(1)的解x(t|0，x0，φ)对应的时滞线性变分系统(11)的基本矩阵解。
设x(t|0，x0，φ)与分别是以为初始条件的时滞酶催化线性动力系统(1)的解，则
其中
是以(0，x0+s(y0-x0)，
为初始条件的时滞非线性动力系统(1)的解x(0，x0+s(y0-x0)，对应的时滞线性变分系统(11)的基本矩阵解。
第四步，间歇发酵时滞非线性动力系统的强稳定性
首先给出间歇发酵酶催化时时滞非线性动力系统(1)关于初始状态扰动后动力系统的强稳定性定义。即：
设x(t|0，x0，φ)是以为初始条件的时滞非线性系统(1)的解。若存在δ(ε)＞0，使得系统(1)的任意以为初始条件且满足
的解成立
则称时滞系统(1)的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)是强稳定的。
依式(3)定义的函数h(x(t)，xτ(t)，u)可知，h(x(t)，xτ(t)，u)关于x(t)，xτ(t)∈Wa有连续的偏导数，而为有界闭集，线性变分系统(11)的基本矩阵解在D0∈R+上是有界的。
于是有下面的结论：
设x(t)＝x(t|0，x0，φ)是以为初始条件的时滞非线性系统(1)的解，Φ0(t|0，x0，φ)∈R8×R8是时滞系统(1)的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)对应的变分系统(11)的基本矩阵解，则基本矩阵解Φ0(t|0，x0，φ)在D0上是有界的。
理由是：
依式(20)，时滞线性变分系统(11)的基本矩阵解
Φ0(t|0，x0，φ)＝[Φ01(t|0，x0，φ)，Φ02(t|0，x0，φ)，…，Φ08(t|0，x0，φ)]∈R8 ×8，
即有
其中ei∈R8×8为单位阵I∈R8×8的第i列。
根据h(x(t)，xτ(t)，u)关于x(t)，xτ(t)∈Wa又连续偏导数，且为有界闭集，可知与在Wa上有界，即存在M＞0，使得
令
Wi(t，vi(t))：＝8M·vi(t)+8M·vτi(t)，i＝1，2，…，8.
显然系统Wi(t，vi(t))在D0×C1(D0，R+)上连续，因此系统
有唯一解vi(t)，t∈D0且
vi(t)≥1，t∈D0。
由于系统(22)的右端项满足
而系统(17)与系统(18)的初始值分别满足：
||Φi(t|0，x0，φ)||＝||ei||＝1，||vi(0)||＝1.
系统(22)的解满足
又因vi(t)∈C1(D0，R+)，所以vi(t)在D0上有界，记为mi＞0，即
|vi(t)|≤mi＜∞，i＝1，2，…，8.
令
从式(24)得
||Φ0i(t|0，x0，φ)||≤||vi(t)||≤mi，i＝1，2，…，8.
则
这样就证明了时滞线性变分系统(11)的基本矩阵解Φ0(t|0，x0，φ)在上有界。于是由下面的结论：
设x(t|0，x0，φ)是以为初始条件的时滞非线性系统(1)的解，则解x(t|0，x0，φ)关于初始状态是强稳定的。
理由是：
设x(t|0，x0，φ)是系统(1)的解，令
是以为初始条件的时滞线性变分系统(11)的解，且
满足
于是有
根据稳定性定义可知，时滞线性变分系统(11)的解x(t|0，x0，φ)关于初始状态变量是稳定的。

Claims (2)

1.一种非线性时滞动力系统的强稳定性模型，其特征是：所述强稳定性模型在甘油间歇发酵产生1，3-PD的整个时间区间R+为一维非负实数空间，为8维的非负实数空间，为32维的非负实数空间，R4、R8、R12分别表示4维、8维和12维的实空间；t0为初始时刻，tf为阶段终止时刻；x0∈R8表示实验阶段的初始状态，W0为初始状态x0∈R8的允许集合，为不同初始状态x0∈W0的解的集合，Wa为在某种状态a下的xa∈R8的允许集合，为不同初始状态xa∈Wa的解的集合；
所述强稳定性模型的设计方法包括建立一个非线性时滞动力系统，所述非线性时滞动力系统简称为时滞系统，以下为设计步骤：
第一步，确立如下的所述时滞系统：
其中x(t)＝[x1(t)，…，x8(t)]T∈R8为连续状态变量，简记为x，它的分量x1(t)，…，x8(t)分别表示在t∈[0，tf]时刻发酵罐中的菌种、细胞外甘油、细胞外1，3-PD、乙酸、细胞内甘油、细胞内三羟基丙酸(3-HPA)和细胞内1，3-PD的浓度。状态延迟向量定义为i＝3，6，7，8，是发酵的初始状态，φ(t)是定义在上、值域是R8上的已知的连续可微的初始函数，记作：
即，
xτ(t)：＝[x1(t)，x2(t)，x3(t-τ3)，x4(t)，x5(t)，x6(t-τ6)，x7(t-τ7)，x8(t-τ8)]T∈R8
时滞变量τ∈R4非负有界，即
因此所述时滞系统的右端项
h(x，xτ，u)：＝[h1(x，xτ，u)，…，h8(x，xτ，u)]T
的分量可写成如下形式
其中，μ表示比生长速率，q2表示底物比消耗速率，UG和UP分别表示细胞内酶GDHt和PDOR在生物体外的比活性，具体表达式为
其中，p1，…，p10为系统参数，u：＝[u1，…，u4]T∈R4为控制参数；
第二步，构造时滞线性变分系统
下面构造时滞线性变分系统，所述时滞线性变分系统简称为变分系统，所述时滞系统右端函数h(x，xτ，u)关于x，xτ有连续的偏导数，其解对应的所述变分系统进行如下表示：
设x：＝x(t|0，x0，φ)是以x0∈W0，φ(t)为初始条件，以τ∈T为时滞的所述时滞系统的解，则x(t|0，x0，φ)关于t∈[0，tf]，x0∈W0，是连续的，把所述时滞系统的解x(t|0，x0，φ)∈Wa的集合记为，即
设与z(t)+x(t|0，x0，φ)分别是以为初始条件的所述时滞系统的解，即有
依所述时滞系统的解可得到：
从上式的后一等式可得：
表示当||z(t)||，||zτ(t)||充分小，趋于零，此时，上式变为如下形式的所述变分系统：
t∈[0，tf]，
上式是所述时滞系统的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)对应的所述变分系统；
第三步，确定所述变分系统在整个区间上的基本矩阵解，
首先选择整数m＞0，满足把区间[0，tf]分割成m+1个子区间：
依据所述时滞系统时滞性，分别在各自区间j∈Im，Im：＝1，2，…，m和上设计所述变分系统的基本矩阵解。
下面分三种不同情况分别研究：
(1)当j＝1时，即时，所述变分系统可表示为如下的非齐次线性方程：t∈[0，tf]，t∈D1，由于当t∈D1时，为已知函数，上式右端第2项为已知函数，这样，上式是关于z(t)的所述非齐次线性系统，其对应的齐次线性方程为：
t∈D1
其中，
是所述齐次线性方程以
初始条件为主矩阵解，其中I∈R8×8为单位矩阵，R8×8为64维实空间；所述非齐次线性系统在上的基本矩阵解为：
其中ei∈R8为单位阵I∈R8×8的第i列，所述非齐次线性系统在上的终端处的状态为
i∈I8
令
Φ18(t|0，x0，φ)]∈R8×R8，
为所述变分系统的基本矩阵解；
(2)当j＝2时，即时，所述变分系统在上，依时滞性，时滞性zτ(t)的值由的值确定；这样zτ(t)在
上的所述变分系统是关于z(t)的非齐次线性系统，求得在D2上的所述变分系统的基本矩阵，即，
令
于是，可以得到所述变分系统在t∈D2上的基本矩阵解为
其在D2的终端时刻的状态为
i∈I8；
(3)当3≤j≤m+1时，即依时滞性，在Dj上的
所述变分系统是关于z(t)的非齐次线性系统，能得到所述变分系统在区间上的基本矩阵解，即：
其中
在区间Dj的终端状态为
Φj-1(t))，i∈I8，j∈{3，4，…，m，m+1}，
于是，可得到所述变分系统在整个区间上的基本矩阵解为：
其中，指示函数为
令
Φ0(t)＝Φ0(t|0，x0，φ)＝[Φ0i(t|0，x0，φ)，Φ02(t|0，x0，φ)，…，Φ08(t|0，x0，φ)]∈R8×R8，
则Φ0(t)是时滞的解x(t|0，x0，φ)对应的所述变分系统的基本矩阵解；
设x(t|0，x0，φ)与分别是以
为初始条件的所述时滞系统的解，则，
其中
Φ0(t|0，x0+s(y0-x0)，
是以(0，x0+s(y0-x0)，
为初始条件的所述时滞系统的解对应的所述变分系统的基本矩阵解；
第四步，时滞系统的强稳定性
间歇发酵酶催化时所述时滞系统关于初始状态扰动后动力系统的强稳定性定义为：
设x(t|0，x0，φ)是以为初始条件的所述时滞系统的解，若存在δ(ε)＞0，使得所述时滞系统的任意以为初始条件且满足
||y0-x0||＜δ(ε)，
的解成立：
t∈D0，
则称所述时滞系统的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)是强稳定的。
2.根据权利要求1所述的非线性时滞动力系统的强稳定性模型，其特征是：得出的强稳定性模型结论的思路为：
由函数h(x(t)，xτ(t)，u)可知，h(x(t)，xτ(t)，u)关于x(t)，xτ(t)∈Wa有连续的偏导数，而为有界闭集，因此，所述变分系统的基本矩阵解在D0∈R+上是有界的，即：
设x(t)＝x(t|0，x0，φ)是以为初始条件的所述时滞系统的解，Φ0(t|0，x0，φ)∈R8×R8是所述时滞系统(1)的解x(t)＝x(t|0，x0，φ)对应的所述变分系统的基本矩阵解，则基本矩阵解Φ0(t|0，x0，φ)在D0上是有界的，设x(t|0，x0，φ)是以为初始
条件的所述时滞系统的解，则解x(t|0，x0，φ)关于初始状态是强稳定的。
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