CN108319753A - 一种2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算方法 - Google Patents

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Abstract

一种2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算方法，包括：步骤1，构建2.5维三角形有限元计算模型；步骤2，沿模型的轨道方向坐标变量进行傅里叶变换，得到频域‑波数域变换域中的应变‑变形关系；步骤3，计算频域‑波数域中的移动列车荷载；步骤4，计算模拟单元在二维频域‑波数域中的动力响应解；步骤5，沿模型的轨道方向对动力响应解进行傅里叶逆变换，获得时域‑空间域中的三维动力响应解，根据时域‑空间域中的三维动力响应解计算振动强度。本发明采用2.5维三角形有限元模型，能够较为快速、准确地考察契合实际地铁运营各种工况的隧道结构和地基土的振动特性。

Description

一种2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算方法
技术领域
本发明涉及本发明涉及土木工程动力响应研究领域，具体涉及一种2.5维三角形有限元 计算方法，特别针对地铁运营时的隧道系统及地基振动研究。
背景技术
地铁是在城市地下空间内高效运载高密度人群的复杂公共交通系统，其安全性不容忽视， 一旦发生安全事故，后果极其严重、代价也极其惨重。地铁运营所带来的负面影响包括环境 振动、地面和土体不均匀沉降、人体健康、周边构造物安全、室内高精度仪器设备使用、隧 道及地下结构巨额运营维护费用等多个方面，对城市环境、生命财产和社会经济也都有直接 的影响。随着城市轨道交通建设快速发展，地铁运营引发的地基振动、结构变形等环境影响 及安全问题，已引起广大学者、工程人员的高度重视，如何快速、准确地分析地铁运行引发 的振动响应特征并针对性地提出减振措施，是近年来地下工程研究中的前沿课题之一。
城市地铁运营引起地基振动的危害主要有：(1)过大的振动加速度会造成轨道部件，尤 其是钢轨和道床的提前损伤，甚至破坏；(2)某些地段，振动可能使隧道周围的软弱地层产 生液化，严重的地方可能威胁到地铁列车的运行安全，乃至市民的生命安全；(3)振动对建 筑物的影响，轻微的会出现墙皮剥落、墙壁龟裂、地板裂缝，严重则导致基础变形或下沉。 且地铁的运行是一个长期、频繁的过程，即使在短时间内不足以对邻近建筑物产生明显影响， 但长期积累之后，会出现建筑物疲劳损伤、安全性能下降等问题。
现阶段关于移动荷载引发的动力响应的研究，主要有三种方法——实测分析法、解析法 与数值法。探讨列车荷载引发的环境振动特性，往往需要考虑列车运营条件、轨道-地基结构、 土质情况等条件限制，其中包括列车结构参数、车辆轴重、轮对间距、运营时间间隔、钢轨、 道床、车辆荷载情况等诸多影响因素。实测分析法往往需要投入较大的人力物力，且实测数 据不可避免地会存在较大误差，无法得到较为准确的数据。传统解析方法计算准确有余而效 率不足，且公式繁冗，在解决实际三维动力问题中显然不适用。二维数值分析法解决实际工 程问题的过程中缺乏说服力，而三维数值分析法，在计算动力问题时，需要占用大量的计算 机内存，模型较为复杂且计算效率仍然不高。2.5维三角形有限元法的出现较好地解决了以上 问题，因此开发一套快速有效的2.5维三角形有限元动力响应计算方法具有重要的理论与实 践意义。
发明内容
本发明的目的是提供一种2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算方法，以解决运营 地铁隧道系统及周围地基的动力响应计算问题。
为实现上述目的，本发明提供的2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算方法，包括 如下步骤：
步骤1，基于地铁列车实际运营数据及地层参数，构建2.5维三角形有限元计算模型；所 述模型包括模拟单元，所述模拟单元包括地铁隧道钢轨模拟单元、地铁隧道道床模拟单元、 地铁隧道初砌模拟单元和地铁地基土模拟单元；所述模拟单元均采用三角形有限元单元划分；
步骤2，构造所述模型的频域表达，所述频域表达中包含所述地铁运营动力响应，对所 述频域表达沿所述模型的轨道方向坐标变量进行傅里叶变换，得到频域-波数域变换域中的应 变-变形关系，将三维空间应变问题降为二维平面应变问题；
步骤3，基于实例地铁列车荷载情况，计算频域-波数域中的移动列车荷载；
步骤4，根据步骤3中计算的频域-波数域中的移动列车荷载，计算模拟单元在二维频域- 波数域中的动力响应解；
步骤5，沿所述模型的轨道方向对所述二维频域-波数域中的动力响应解进行傅里叶逆变 换，获得时域-空间域中的三维动力响应解，根据所述时域-空间域中的三维动力响应解计算 振动强度。
优选的，所述地铁运营动力响应为振动位移。
优选的，所述地铁运营动力响应为振动速度。
优选的，所述地铁运营动力响应为振动加速度。
本发明的有益效果是：(1)创新性地将2.5维三角形有限元法从理论研究运用到杭州地 铁隧道振动分析中，模拟实际地铁隧道工作运营状态，解决了以往隧道振动预测的复杂性与 滞后性，在保证预测结果准确性的同时，使得计算时间大大缩短，也为今后地基振动预测预 警分析提供了重要的分析工具与研究方向。
(2)已有研究中对地铁振动及隔振研究较为缺乏，在地铁振动方面，大多采用三维数值 方法对进行振动研究，计算量大且与实际工程相差较大，在多线路、多方位隧道隔振方面研 究较少。本发明所述计算方法基于2.5维三角形有限元法，可以计算两平行区间隧道有限元 模型并模拟隧道相对位置关系，研究分析的实际工程价值较高。
(3)以往2.5维三角形有限元法计算列车荷载产生的振动响应研究中，往往把轨道系统 简化为铺设在道床上的复合欧拉梁进行分析，本发明所述计算方法可以根据赋值真实动力学 物理参数的实际轨道模型进行分析计算，使计算结果更准确。
(4)本发明所述2.5维数值方法在建立数值模型的过程中，不同于已有2.5维计算方法 的四边形单元，而是采用三角形单元模拟隧道构件、地基土等材料，网格划分灵活，计算适 应性好，实际应用更方便。
(5)本发明所述计算方法可通过修改2.5维三角形有限元模型，通过参数化分析明确隧 道埋深、土层性质、两区间隧道相对位置关系、列车行车速度、地铁载重情况等重要参数对 动力响应的影响，能够较为快速、准确地考察契合实际地铁运营各种工况的隧道结构(钢轨、 道床、衬砌等)和地基土的振动特性。计算结果可供今后相关科研及工程参，有利于保证地 铁列车运行的稳定性和评估地铁运营的环境影响。
附图说明
图1为本发明2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算过程；
图2为本发明2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算模型；
图3为本发明2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算模型的左侧隧道模型；
图4为本发明2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算模型的钢轨局部模型；
图5为本发明2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算模型的列车荷载示意图；
图6为本发明双线地铁列车振动加速度时程图；
图7为本发明不同隧道埋深下地面竖向速度衰减曲线；
图8为本发明不同土体剪切波速下地面竖向速度衰减曲线；
图9为本发明两平行区间隧道断面位置示意图；
图10为本发明不同隧道位置下地面竖向速度衰减曲线；
图11为本发明不同车速下的地面竖向速度衰减曲线；
图12为本发明不同载客状态下的地面竖向速度衰减曲线。
具体实施方式
结合工程实施例对本发明做进一步描述。下述实施例的说明只是用于帮助理解本发明。 应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对 本发明进行若干改进和修饰，这些改进和修饰也落入本发明权利要求的保护范围内。
工程实例：依据杭州地铁1号线选取双线隧道系统、地基模型和地铁列车的相关物理参 数，地铁列车由首尾两节拖车和中间四节动车组成，荷载按一般情况的载客量计算，车厢尺 寸荷载参数见表1，材料参数见表2。分析中均考虑振动响应最大的两列地铁同时运营的工况， 车速为地铁正常运营时的速度20m/s。
表1地铁列车尺寸及荷载参数
表2隧道系统与地基参数
本发明提供的计算方法总体设计思路是根据地铁运营实际物理参数(包括土体、隧道、 钢轨、列车荷载等)，建立2.5维有限元数值模型并导出模型数据。通过MATLAB计算程序 实现本发明所述的计算方法，计算思路流程见图1。沿列车轨道方向进行波数离散，进行傅 里叶变换，实现三维数值模拟时域-波数域转换；将计算所得频域-波数域解进行傅里叶逆变 换，将结果转换到时域-空间域解，得到地基土在地铁运营时的振动响应情况。
下面就本发明所述计算过程作进一步说明：
1)结合步骤1，构造的2.5维三角形有限元计算模型如图2至图4所示，分别为地基整 体、隧道局部、钢轨局部模型。本发明所述计算方法采用ANSYS大型通用有限元分析软件， 建立2.5维地铁列车-轨道系统-地基土体耦合三角形有限元模型，以此提供数值计算坐标参 数，x为列车运行方向，z为垂直地面竖直方向，y为垂直列车轨道水平方向。整体模型尺寸 为32m×100m，采用均一弹性土模拟，下方为刚性地基。基于工程实例，地铁隧道a埋深10m， 内外半径分别是2.75m，3.1m，两隧道中心距15m。采用三角形有限单元划分后总节点数为 2511，单元数为4370，模型两侧10m范围内仍然各设置0.2的阻尼比以减少边界反射波影响。 列车b荷载直接作用在钢轨上，钢轨c轨距采用标准列车轨道的1435mm。共设置6个动力 响应观察点，其中在地面上设置三个点，分别距中心线0m，7.5m(左侧隧道正上方)，15m， 见图2中点①～③，其他三个观察点分别设置在左侧隧道的道床、钢轨、衬砌上，见图3～4 中的点④～⑥，由对称性当知右侧隧道振动情况与左侧隧道振动情况相同，不另设观察点。
2)结合步骤2，本发明采用的沿轨道方向(x方向)的傅里叶变换定义如下：
其中，上标x表示波数域中的变量，ξx表示x方向上的波数。
根据Navier方程，三维土体的动力方程在频域中可表示为：
其中，λc、μc为复系数的Lamé常数，λc＝(1+2iβ)λ，μc＝(1+2iβ)μ，β为材料阻尼系数。 对式(2)在列车运行方向进行波数变换，运用虚功原理，可得：
∫Sδεt*σtdS＝∫Sω2ρδut*utdS+∫Sδut*ftdS (3)
其中，δut*为假想位移，δεt*为假想位移相对应的假想应变，“*”表示共轭复数。引入 形函数N后，即可得到在频域中的离散方程：
(K-ω2M)U＝F (4)
其中，M，K，F分别为质量矩阵、刚度矩阵和等效节点力矢量：其中，|J|为Jocobi矩阵行列式，下标e表示对单元进行集成；B和D分别为应变矩阵和弹性矩阵：
3)结合步骤3，地铁列车荷载由一系列列车轴重荷载组成，如图5所示。
列车轴重荷载经轨道方向和时间的傅里叶变换后，得到列车荷载频域-波数域表达如下：
式中：δ为Dirac函数，NT为列车车厢数量，f0为荷载自振频率，c为地铁列车运行速度， Pn为地铁列车的轴重(包括机车轴重PE和普通车轴重PC)，LS为列车长度(包括拖车长度LE和动车长度LC)，wa为相邻两组轮对之间的距离，wb为第二组和第三组轮对之间的距离，LD为列车荷载到观察点之间的距离。
结合步骤2、3计算频域-波数域振动解。
4)结合步骤4、5，将计算所得频域-波数域振动解通过傅里叶逆变换，转换到时域-空间 域中，计算时域-空间域中的三维振动解。本发明所述计算方法定义的傅里叶逆变换如下：
在土动力学相关研究中，环境振动响应水平普遍采用振动强度L(单位：dB)，见公式(11)：
其中，U代表计算所得某时刻的振动响应幅值，U0代表参考系数。公式中的振动响应幅 值U可用观察点处的振动位移、速度、加速度来表示。由于速度、加速度相比地基土体位移 而言对人体、建筑物、精密仪器等的感知更为明显，振动位移影响相对较弱，计算的振动水 平主要以速度响应和加速度响应表示。因此本发明取振动速度响应和振动加速度响应，参考 系数U0为10-8m/s。
图6给出了地铁列车移动荷载作用下6个观察点处的竖向加速度响应时程图。设地铁列 车轮轴荷载到达观察点所在地基竖向平面的时刻为0。结合图2～4观察点⑤是左侧隧道靠近 两隧道中心线一侧钢轨的受力点，而观察点①位于两隧道中心线上，观察点②位于左侧隧道 正上方，观察点③是距离荷载作用最远的点。由图中可以看出，隧道附近观察点动力响应波 形与地面位置动力响应波形差别很大，隧道附近观察点振动强度远大于地表观察点，且隧道 系统上的三个观察点虽然相隔距离很近，但加速度时程波形差别依然较大，加速度峰值也不 在同一个量级，加速度响应幅值随着距离钢轨(荷载作用位置)空间距离的增大而减小；地 面处三个观察点由于都处于地铁线路上方近距离范围内，加速度响应幅值变化较小。
本发明实例中列车运行速度20m/s远小于地基中波的传播速度80m/s(见表2土层剪切波 速)，地基中振动传播引起的变形与静荷载(地铁列车自重与载重)引起的土体变形相比很小， 故车辆轴重引发的准静态变形是引起地基土变形的主要原因，地面上的各个观察点的变形主 要由地铁列车的静荷载引起，故在加速度时程波形图中，地面观察点中的列车荷载轮轴分布 相比隧道系统中的轮轴分布并无较大体现，而道床(观察点④)、钢轨(观察点⑤)、衬砌(观 察点⑥)的车辆轮轴分布则十分明显，这一现象在图6中得到了较好的验证。
5)进一步地可对本发明所述工程实例进行下列研究：
(a)地铁隧道埋深影响研究
为分析隧道埋深对地铁运行荷载引起振动响应的影响，选取了埋深h＝10m，h＝15m和 h＝20m三种隧道埋深工况，分别计算了双线隧道均有列车通过时的地面振动速度响应在垂直 列车移动方向(设为y方向)的衰减情况，计算结果如图7所示。在两列地铁列车移动荷载 作用下，不同隧道埋深的地表竖向振动速度响应幅值均出现在y＝0处，即两隧道中心线的地 表处，单个隧道中心线位于y＝7.5m处，由图7可知在地铁线路正上方近距离范围内，振动强 度最大，衰减较为平缓，振动水平基本保持恒定。随着空间距离的增大，地面竖向振动强度 下降更为明显，且衰减率趋于稳定，远场区域的振动水平已衰减到安全水平，可以不考虑减 振措施。在y＝36m的范围内，三种工况的地面振动随埋深减小而增大，在两隧道中心地表处 表现差异最明显，超过此范围时，h＝15m与h＝20m埋深的隧道地面振动强度逐渐趋于一致， 前者振动强度略小于后者，而h＝10m埋深的隧道地面振动强度明显小于另外两种工况，这是 由于埋深较浅的隧道振动水平衰减率更大导致。说明适当增大地铁隧道埋深，可以达到地表 减振降噪的作用；而当隧道埋深较浅时，地铁线路附近区域应当采取一定的地表减振控制措 施。
(b)地基土体性质影响研究
主要考虑了土体剪切波速对地表响应的影响，选取土体剪切波速Vs＝50m/s，Vs＝100m/s， Vs＝150m/s三种不同的土体剪切波速，计算结果如图8所示。由图8可知，竖向振动速度幅值 均出现在y＝0处，不同土质剪切波速下，地表竖向振动速度衰减规律均表现一致，而振动幅 值随剪切波速的增大而减小。由土动力学中的土质剪切模量与剪切波速对应关系，土体剪切 波速增大，剪切模量相应增大，从而其刚度和阻尼随之增大，导致土体振幅减小，计算结果 与实际规律相符合。由计算结果可以看出，当地铁隧道所在地层土体剪切波速变化50m/s时， 地面竖向振动强度变化幅值可达5dB以上，实际工程中土体剪切波速由几十到几百变化不等， 应充分重视地铁线路周边城市人口密集地区的土质勘察，以确定是否需要设置减振措施。
(c)两平行区间隧道断面位置关系影响研究
为研究两平行区间隧道断面相对位置关系对地基中振动传播的影响，在地基纵断面上设 置两隧道水平、竖直、45度倾斜排列三种典型位置，如图9为两隧道相对位置关系示意图， 其中相对位置在上方的隧道埋深均为2.5D(D为单个隧道直径)，两隧道间距均为2D，图10 给出了不同相对位置下两隧道中同时有列车通过时的地表振动速度衰减规律。可以看出，对 于不同的两平行区间隧道相对位置关系，地表竖向振动速度随空间位置变化衰减规律表现一 致，峰值大小基本相近，且均在两隧道中心线地表处出现，说明隧道位置变化不影响线路正 上方地表动力响应水平。由图10可知，两隧道处于水平位置时，地表振动强度最大，竖直位 置的区间运营隧道引起的地表振动强度最小，且衰减幅值较大。说明对两区间隧道设置适当 的角度可以起到地面减振的作用。根据需要进一步的可以计算三线、四线等多线路复杂隧道， 以适应复杂地铁线路。
(d)地铁运行速度影响研究
根据杭州地铁1号线实际地铁列车行车速度c，选取了地铁列车行车速度c＝10m/s， c＝15m/s，c＝20m/s三种行车工况，图11给出了不同地铁列车速度下地面竖向振动速度随空间 位置衰减情况，由此可得，随着速度的提高，地表振动强度随之增大，而不同车速下地面振 动强度衰减规律一致，故车速对地面振动响应的影响主要体现在振动幅值的大小。但地铁列 车实际运营速度在0～80km/h(约0～22m/s)，由图11中结果可知，由于地铁运营速度远小于 土体剪切波速，不同于高铁列车运营时容易引发共振现象，该速度范围行驶的列车仍符合正 常振动规律，较为安全。
(e)地铁载荷影响研究
城市地铁在不同时段的载客量各有不同，为研究列车不同载客状态对地基中振动传播的 影响，参考杭州地铁实际运营情况，选取四种荷载工况进行分析，荷重参数见表3，其中， AW0表示列车空载状态，AW1座客荷载状态，AW2表示列车定员荷载状态(6人/m2)，AW3表示列车超员荷载状态(9人/m2)。2.5维有限元数值计算结果如图12所示，由图12可知， 地表动力响应衰减率基本不随地铁载重变化，而随列车载客量增大，地铁线路中心振动强度随之增大，AW0工况时地基振动幅值最小，AW3工况状态下地基振动强度最大，二者振动 强度差值最大可达5dB，可见地铁载客情况对振动响应影响也不容忽视，地铁超载现象不仅影响到居民出行的质量，同样会对运营地铁线路周边环境造成不良影响，建议城市轨道交通 相关部门对高峰期地铁载客量进行必要的疏导和管理。
表3地铁列车在载客状态下的重量
上述实施例仅例示性说明本发明的原理及其功效，而非用于限制本发明。任何熟悉此技 术的人士皆可在不违背本发明的精神及范畴下，对上述实施例进行修饰或改变。因此，举凡 所属技术领域中具有通常知识者在未脱离本发明所揭示的精神与技术思想下所完成的一切等 效修饰或改变，仍应由本发明的权利要求所涵盖。

Claims (4)

1.一种2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1，基于地铁列车实际运营数据及地层参数，构建2.5维三角形有限元计算模型；所述模型包括模拟单元，所述模拟单元包括地铁隧道钢轨模拟单元、地铁隧道道床模拟单元、地铁隧道初砌模拟单元和地铁地基土模拟单元；所述模拟单元均采用三角形有限元单元划分；
步骤2，构造所述模型的频域表达，所述频域表达中包含所述地铁运营动力响应，对所述频域表达沿所述模型的轨道方向坐标变量进行傅里叶变换，得到频域-波数域变换域中的应变-变形关系，将三维空间应变问题降为二维平面应变问题；
步骤3，基于实例地铁列车荷载情况，计算频域-波数域中的移动列车荷载；
步骤4，根据步骤3中计算的频域-波数域中的移动列车荷载，计算模拟单元在二维频域-波数域中的动力响应解；
步骤5，沿所述模型的轨道方向对所述二维频域-波数域中的动力响应解进行傅里叶逆变换，获得时域-空间域中的三维动力响应解，根据所述时域-空间域中的三维动力响应解计算振动强度。
2.根据权利要求1所述的一种2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算方法，其特征在于，所述地铁运营动力响应为振动位移。
3.根据权利要求1所述的一种2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算方法，其特征在于，所述地铁运营动力响应为振动速度。
4.根据权利要求1所述的一种2.5维三角形有限元地铁运营动力响应计算方法，其特征在于，所述地铁运营动力响应为振动加速度。
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