CN108267960A - 一种遥操作轮机器人的运动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，主要包括：步骤100：建立移动机器人数学模型；步骤200：移动机器人控制算法设计；步骤300：算法的仿真验证。本发明的一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，可以现抗干扰能力、具有较强的自适应性，且对负载扰动具有较强的鲁棒性的优点。

Description

一种遥操作轮机器人的运动控制方法

技术领域

本发明涉及技术领域，具体地，涉及一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法。

背景技术

轮式移动机器人具有结构简单、移动灵活的优点，在工业、农业与国防等领域得到广泛应用。安装了各种传感器的移动机器人具有自主行走、障碍物识别和环境检测等功能，可以部分地代替人工作在无法适应的危险环境。一般情况下，无线网络是移动机器人遥操作控制信号传输的媒介，通过无线网络进行控制数据传输时不可避免的会存在网络时延，这种网络传输时延会对机器人遥操作系统的控制性能带来严重的影响。

已有学者对于网络时延的控制问题进行了研究，在文献提出了以常规波变量控制为基础，用线性预测的方法对时延进行预测，在一定程度上克服了时延带来的影响；有文献提出了一种改进的Smith预估器用于补偿系统时延，通过把控制器到传感器的时延从闭环回路中移出的方式来消除时延，但控制方法使用的是常规PID控制器，很难解决可操作性和控制精度之间的矛盾，不利于在实际中的应用；有文献采用波变量法对系统的状态进行预测，抑制了网络传输时延对控制性能的影响，但没有解决系统的稳定性与操作性之间的矛盾；有文献提出了一种处理有界时延的遥操作系统的控制问题的有效方法，但是控制器的设计过程复杂，且不易实现。

发明内容

本发明的目的在于，针对上述问题，提出一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，以实现抗干扰能力、具有较强的自适应性，且对负载扰动具有较强的鲁棒性的优点。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，主要包括：

步骤100：建立移动机器人数学模型；

步骤200：移动机器人控制算法设计；

步骤300：算法的仿真验证。

进一步地，所述步骤100具体包括：

当移动机器人沿一个规定路径运动时，其路径跟踪示意图所示，两个前轮为独立驱动轮，各采用一台直流伺服电机独立驱动，通过调节各自的输入电压以实现两前轮的速度差，达到调整车体与跟踪轨迹的位置关系；移动机器人的后轮为随动轮，仅起支撑车体的作用，而无导向作用；

假设车轮与地面间无滑动，机器人的质心与几何中心重合，由路径跟踪示意图可知在t时刻移动机器人的几何中心O绕瞬心A的转弯半径R_a为

其中，2b为两驱动轮间距；v₁与v₂分别为机器人左右轮相对于地面的线速度；

设移动机器人在时刻t绕瞬心A转动时两驱动轮中点速度为

设机器人左右轮的直流伺服电机电枢电压分别为u₁和u₂，直流电机负载的时间常数为T_m，直流电机反电动势常数为k_d，车轮半径为r，减速机构传动比为n，设k_s为机器人传动系统总的驱动增益，则

由直流电机的特性可知

式中，V₁(s)、V₂(s)、U₁(s)、U₂(s)分别为v₁、v₂、u₁、u₂的Laplace变换；

如果移动机器人在跟踪路径有偏差时，分别在两个驱动轮电机上加上或减去一个纠偏电压控制量Δu，即

式中，u_c为驱动机器人保持速度v_c前进时的直流电机的基准电压，机器人左右轮相应的线速度为

式中，Δv为驱动轮线速度变化量；

在路径跟踪示意图中，θ为移动机器人的方向角(机器人运动方向与x轴正向的夹角)，点P为参考点(机器人中心O与转弯圆弧的圆心A的连线与参考轨迹的交点)，d为机器人中心位置偏差(机器人几何中心O距离P点的距离)，φ为道路切点P处的切向角(道路切点P处的切线与x轴正向的夹角)；在很短的时间间隔Δt内，θ与d的变化量分别为Δθ、Δd，由图1中的几何关系可知：

当Δt→0时，可得式(7)的微分形式：

将式(8)进行Laplace变换并将式(4)相减，得

其中，ΔV(s)、ΔU(s)分别为Δv和Δu的Laplace变换，将式(9)进行Laplace反变换并整理，得

若令系统状态设为x＝[x₁ x₂ x₃]^T＝[d θ Δv]^T，控制输入设为u＝[Δu]，系统的输出取为y＝θ＝x₂；

由式(8)与式(10)可得系统状态方程为

进一步地，所述步骤200具体包括：

根据遥操作移动机器人的增益可变的非线性控制-Smith控制系统结构示意图，增益可变的非线性控制器来克服移动机器人的非线性特性，Smith预估器可以在线估计网络时延，同时补偿这个时延对系统控制性能的影响，所以此控制方法可以消除网络时延对系统性能的影响；Smith预估器的输入u(t)与输出y_τ(t)之间的传递函数为

W_s(s)＝W_R(s)(1-e^-τs)

(12)式中，W_R(s)是机器人输入-输出之间的传递函数，τ＝τ₁+τ₂是总的网络时延；

机器人系统的实际输出为中心偏移量d与方向角θ，机器人系统的跟踪误差e定义为：

e＝k_dd+k_θ(θ-θ_r)

(13)

式中，k_d与k_θ为正的设计参数；

为了设计控制律，选择如下的Lyapunov函数V：

V对时间t的导数为

式中，e_θ＝θ-θ_r，为了保证设计如下的控制律

u＝-k₁d-k₂e_θ

(16)

为了提高系统的响应速度，同时使系统在存在大的跟踪误差时能够稳定，控制增益系数kl、k2必须选择为跟踪误差的函数；通常的原则是在系统跟踪误差较大时采用有较小的控制增益，以保证系统的稳定性，系统跟踪误差较小时采用有较大的控制增益，以保证系统响应的快速性；在移动机器人跟踪期望轨迹过程中，方向角误差e_θ变化比中心偏移量d变化频率快得多，由式(16)可知，由于误差项e_θ的存在，使得系统在大的跟踪误差下变得很不稳定，反而降低了跟踪的响应速度，针对这一情况，本专利提出了这样的解决方案：一次中心偏移量误差项d的增益系数k1，为跟踪误差的线性函数，而方向角误差误项e_θ的增益系数k2为跟踪误差的分段线性函数，所以，根据控制增益与跟踪误差的函数关系示意图所示的分段线性化的控制增益为：

控制增益k₁、k₂与跟踪误差的函数关系可表示如下：

式中，e＝k_dd+k_θ(θ-θ_r)，|e|_m是跟踪误差e绝对量的最大值；如果确定了控制增益与跟踪误差的函数关系示意图中的a、b、c、d的值，则控制增益与跟踪误差的函数关系就完全确定了，通过对方向角误差项e_θ的修正增益的分段线性化，使得系统在较大的跟踪误差时，减弱方向角误差项e_θ的贡献；在误差较小时，增强方向角误差项e_θ的作用，以提高系统的响应速度。这样既避免了引入方向角误差项e_θ所带来的不稳定性,同时也保证了响应速度。

进一步地，所述步骤300具体包括：

在仿真中，机器人的直流电机的传递函数选择如下：k_s＝0.6，T_m＝0.03。仿真参数选择如下：采样周期为T_s＝0.02s，为了验证控制算法的抗干扰能力，在t＝25s时刻加入d＝1m的扰动，Smith预估器中τ₁+τ₂的预估值固定为1s；无线网络传输时延τ₁＝τ₂，假设τ₁、τ₂的变化情况如下：

增益可变的非线性控制器-Smith控制算法的基本参数a＝0.6，b＝0.3，c＝0.3，d＝0.6，k_d＝2.5，k_θ＝1.7；为了对比控制效果，同时对PID-Smith预估控制进行仿真，控制器参数选择为：比例系数K_p＝5，微分系数K_d＝10，积分系数K_i＝0.02；选择一个圆形参考轨迹，参考线速度为v_r(t)＝2m/s，参考角速度为ω_r(t)＝1rad/s；参考轨迹的初始值为

[x_r(0),y_r(0),θ_r(0)]^T＝[2m,0m,90°]^T

机器人初始位姿为

[x(0),y(0),θ(0)]^T＝[-1m,0m,45°]^T

初始位姿误差为的d(0)＝3m，e_θ(0)＝45°，仿真实验结果如附图所示。

本发明的有益技术效果：

一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，主要包括：步骤100：建立移动机器人数学模型；步骤200：移动机器人控制算法设计；步骤300：算法的仿真验证。本发明提出的复合增益可变的非线性控制-预估Smith控制策略，利用Smith预估器补偿网络时延对机器人状态控制性能的影响，并运用增益可变的非线性控制解决移动机器人存在外部扰动的问题，根据机器人跟踪误差的变化情况自主地选择控制不同控制增益，从而进一步提高机器人控制系统的抗干扰能力。通过仿真实验验证了所设计的控制方法对移动机器人遥操作系统的无线网络传输时延具有较强的自适应性，且对负载扰动具有较强的鲁棒性。

本发明的其它特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分地从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明而了解。

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

附图说明

附图用来提供对本发明的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本发明的实施例一起用于解释本发明，并不构成对本发明的限制。在附图中：

图1为本发明所述一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法的移动机器人路径跟踪运动示意图；

图2为本发明所述一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法的增益可变的非线性Smith控制系统结构图；

图3为本发明所述一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法的控制增益与跟踪误差的函数关系示意图；

图4为本发明所述一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法的仿真轨迹跟踪结果示意图；

图5为本发明所述一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法的仿真方向角跟踪误差示意图；

图6为本发明所述一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法的仿真中心偏移量误差d示意图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的优选实施例进行说明，应当理解，此处所描述的优选实施例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，主要包括：

步骤100：建立移动机器人数学模型；

步骤200：移动机器人控制算法设计；

步骤300：算法的仿真验证。

所述步骤100具体包括：

当移动机器人沿一个规定路径运动时，其路径跟踪示意图如图1所示。在图1中，两个前轮为独立驱动轮，各采用一台直流伺服电机独立驱动，通过调节各自的输入电压以实现两前轮的速度差，达到调整车体与跟踪轨迹的位置关系；移动机器人的后轮为随动轮，仅起支撑车体的作用，而无导向作用；

假设车轮与地面间无滑动，机器人的质心与几何中心重合，由图1可知在t时刻移动机器人的几何中心O绕瞬心A的转弯半径R_a为

其中，2b为两驱动轮间距；v₁与v₂分别为机器人左右轮相对于地面的线速度；

设移动机器人在时刻t绕瞬心A转动时两驱动轮中点速度为

设机器人左右轮的直流伺服电机电枢电压分别为u₁和u₂，直流电机负载的时间常数为T_m，直流电机反电动势常数为k_d，车轮半径为r，减速机构传动比为n，设k_s为机器人传动系统总的驱动增益，则

由直流电机的特性可知

式中，V₁(s)、V₂(s)、U₁(s)、U₂(s)分别为v₁、v₂、u₁、u₂的Laplace变换；

如果移动机器人在跟踪路径有偏差时，分别在两个驱动轮电机上加上或减去一个纠偏电压控制量Δu，即

式中，u_c为驱动机器人保持速度v_c前进时的直流电机的基准电压，机器人左右轮相应的线速度为

式中，Δv为驱动轮线速度变化量；

在路径跟踪示意图中，θ为移动机器人的方向角(机器人运动方向与x轴正向的夹角)，点P为参考点(机器人中心O与转弯圆弧的圆心A的连线与参考轨迹的交点)，d为机器人中心位置偏差(机器人几何中心O距离P点的距离)，φ为道路切点P处的切向角(道路切点P处的切线与x轴正向的夹角)；在很短的时间间隔Δt内，θ与d的变化量分别为Δθ、Δd，由图1中的几何关系可知：

当Δt→0时，可得式(7)的微分形式：

将式(8)进行Laplace变换并将式(4)相减，得

其中，ΔV(s)、ΔU(s)分别为Δv和Δu的Laplace变换，将式(9)进行Laplace反变换并整理，得

若令系统状态设为x＝[x₁ x₂ x₃]^T＝[d θ Δv]^T，控制输入设为u＝[Δu]，系统的输出取为y＝θ＝x₂；

由式(8)与式(10)可得系统状态方程为

所述步骤200具体包括：

在图2中，增益可变的非线性控制器来克服移动机器人的非线性特性，Smith预估器可以在线估计网络时延，同时补偿这个时延对系统控制性能的影响，所以此控制方法可以消除网络时延对系统性能的影响；Smith预估器的输入u(t)与输出y_τ(t)之间的传递函数为

W_s(s)＝W_R(s)(1-e^-τs)

(12)式中，W_R(s)是机器人输入-输出之间的传递函数，τ＝τ₁+τ₂是总的网络时延；

机器人系统的实际输出为中心偏移量d与方向角θ，机器人系统的跟踪误差e定义为：

e＝k_dd+k_θ(θ-θ_r)

(13)

式中，k_d与k_θ为正的设计参数；

为了设计控制律，选择如下的Lyapunov函数V：

V对时间t的导数为

e＝k_dd+k_θ(θ-θ_r)，为了保证设计如下的控制律

u＝-k₁d-k₂e_θ

(16)

为了提高系统的响应速度，同时使系统在存在大的跟踪误差时能够稳定，控制增益系数kl、k2必须选择为跟踪误差的函数；通常的原则是在系统跟踪误差较大时采用有较小的控制增益，以保证系统的稳定性，系统跟踪误差较小时采用有较大的控制增益，以保证系统响应的快速性；在移动机器人跟踪期望轨迹过程中，方向角误差e_θ变化比中心偏移量d变化频率快得多，由式(16)可知，由于误差项e_θ的存在，使得系统在大的跟踪误差下变得很不稳定，反而降低了跟踪的响应速度，针对这一情况，本专利提出了这样的解决方案：一次中心偏移量误差项d的增益系数k1，为跟踪误差的线性函数，而方向角误差误项e_θ的增益系数k2为跟踪误差的分段线性函数，所以，设计如图3所示的分段线性化的控制增益：

控制增益k₁、k₂与跟踪误差的函数关系可表示如下：

式中，e＝k_dd+k_θ(θ-θ_r)，|e|_m是跟踪误差e绝对量的最大值；如果确定了控制增益与跟踪误差的函数关系示意图中的a、b、c、d的值，则控制增益与跟踪误差的函数关系就完全确定了，通过对方向角误差项e_θ的修正增益的分段线性化，使得系统在较大的跟踪误差时，减弱方向角误差项e_θ的贡献；在误差较小时，增强方向角误差项e_θ的作用，以提高系统的响应速度。这样既避免了引入方向角误差项e_θ所带来的不稳定性,同时也保证了响应速度。

为了验证增益可变的非线性控制器-Smith预估控制策略的有效性，采用MATLAB软件对本文所设计的控制算法以及常规PID-Smith控制算法进行对比仿真实验。所述步骤300具体包括：

在仿真中，机器人的直流电机的传递函数选择如下：k_s＝0.6，T_m＝0.03。仿真参数选择如下：采样周期为T_s＝0.02s，为了验证控制算法的抗干扰能力，在t＝25s时刻加入d＝1m的扰动，Smith预估器中τ₁+τ₂的预估值固定为1s；无线网络传输时延τ₁＝τ₂，假设τ₁、τ₂的变化情况如下：

增益可变的非线性控制器-Smith控制算法的基本参数a＝0.6，b＝0.3，c＝0.3，d＝0.6，k_d＝2.5，k_θ＝1.7；为了对比控制效果，同时对PID-Smith预估控制进行仿真，控制器参数选择为：比例系数K_p＝5，微分系数K_d＝10，积分系数K_i＝0.02；选择一个圆形参考轨迹，参考线速度为v_r(t)＝2m/s，参考角速度为ω_r(t)＝1rad/s；参考轨迹的初始值为

[x_r(0),y_r(0),θ_r(0)]^T＝[2m,0m,90°]^T

机器人初始位姿为

[x(0),y(0),θ(0)]^T＝[-1m,0m,45°]^T

初始位姿误差为的d(0)＝3m，e_θ(0)＝45°，仿真实验结果如附图4所示。

由仿真结果可知，在机器人控制器工作过程中，克服了无线网络时延的变化与负载扰动的影响，所设计的增益可变非线性控制-Smith控制器能够根据机器人系统的跟踪误差的变化自动地切换控制增益。对方向角误差而言，所设计的增益可变的非线性控制-Smith控制器扰动最大值只有0.52rad，扰动调节时间为1.8s，而PID-Smith预估控制的扰动最大值为0.75rad，扰动调节时间为12.7s；从中心偏移量误差来看，所设计的增益可变的非线性控制-Smith控制器的扰动最大值只有0.25m，扰动调节时间为1.3s，PID-Smith预估控制的扰动最大值为0.40m，扰动调节时间为11.6s。

这个结果表明本专利所设计的增益可变非线性控制-Smith预估控制能够使移动机器人更快更准地完成对干扰的调节过程，迅速跟踪期望的路径，其控制效果大大好于常规的PID-Smith控制。

至少可以达到以下有益效果：

一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，主要包括：步骤100：建立移动机器人数学模型；步骤200：移动机器人控制算法设计；步骤300：算法的仿真验证。本发明提出的复合增益可变的非线性控制-预估Smith控制策略，利用Smith预估器补偿网络时延对机器人状态控制性能的影响，并运用增益可变的非线性控制解决移动机器人存在外部扰动的问题，根据机器人跟踪误差的变化情况自主地选择控制不同控制增益，从而进一步提高机器人控制系统的抗干扰能力。通过仿真实验验证了所设计的控制方法对移动机器人遥操作系统的无线网络传输时延具有较强的自适应性，且对负载扰动具有较强的鲁棒性。

最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，其特征在于，主要包括：

步骤100：建立移动机器人数学模型；

步骤200：移动机器人控制算法设计；

步骤300：算法的仿真验证。

2.根据权利要求1所述的一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，其特征在于，所述步骤100具体包括：

当移动机器人沿一个规定路径运动时，其路径跟踪示意图所示，两个前轮为独立驱动轮，各采用一台直流伺服电机独立驱动，通过调节各自的输入电压以实现两前轮的速度差，达到调整车体与跟踪轨迹的位置关系；移动机器人的后轮为随动轮，仅起支撑车体的作用，而无导向作用；

假设车轮与地面间无滑动，机器人的质心与几何中心重合，由路径跟踪示意图可知在t时刻移动机器人的几何中心O绕瞬心A的转弯半径R_a为

其中，2b为两驱动轮间距；v₁与v₂分别为机器人左右轮相对于地面的线速度；

设移动机器人在时刻t绕瞬心A转动时两驱动轮中点速度为

设机器人左右轮的直流伺服电机电枢电压分别为u₁和u₂，直流电机负载的时间常数为T_m，直流电机反电动势常数为k_d，车轮半径为r，减速机构传动比为n，设k_s为机器人传动系统总的驱动增益，则

由直流电机的特性可知

式中，V₁(s)、V₂(s)、U₁(s)、U₂(s)分别为v₁、v₂、u₁、u₂的Laplace变换；

如果移动机器人在跟踪路径有偏差时，分别在两个驱动轮电机上加上或减去一个纠偏电压控制量Δu，即

式中，u_c为驱动机器人保持速度v_c前进时的直流电机的基准电压，机器人左右轮相应的线速度为

式中，Δv为驱动轮线速度变化量；

在路径跟踪示意图中，θ为移动机器人的方向角(机器人运动方向与x轴正向的夹角)，点P为参考点(机器人中心O与转弯圆弧的圆心A的连线与参考轨迹的交点)，d为机器人中心位置偏差(机器人几何中心O距离P点的距离)，φ为道路切点P处的切向角(道路切点P处的切线与x轴正向的夹角)；在很短的时间间隔Δt内，θ与d的变化量分别为Δθ、Δd，由图1中的几何关系可知：

当Δt→0时，可得式(7)的微分形式：

将式(8)进行Laplace变换并将式(4)相减，得

其中，ΔV(s)、ΔU(s)分别为Δv和Δu的Laplace变换，将式(9)进行Laplace反变换并整理，得

若令系统状态设为x＝[x₁ x₂ x₃]^T＝[d θ Δv]^T，控制输入设为u＝[Δu]，系统的输出取为y＝θ＝x₂；

由式(8)与式(10)可得系统状态方程为

3.根据权利要求1所述的一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，其特征在于，所述步骤200具体包括：

根据遥操作移动机器人的增益可变的非线性控制-Smith控制系统结构示意图，增益可变的非线性控制器来克服移动机器人的非线性特性，Smith预估器可以在线估计网络时延，同时补偿这个时延对系统控制性能的影响，所以此控制方法可以消除网络时延对系统性能的影响；Smith预估器的输入u(t)与输出y_τ(t)之间的传递函数为

W_s(s)＝W_R(s)(1-e^-τs) (12)

式中，W_R(s)是机器人输入-输出之间的传递函数，τ＝τ₁+τ₂是总的网络时延；

机器人系统的实际输出为中心偏移量d与方向角θ，机器人系统的跟踪误差e定义为：

e＝k_dd+k_θ(θ-θ_r) (13)

式中，k_d与k_θ为正的设计参数；

为了设计控制律，选择如下的Lyapunov函数V：

V对时间t的导数为

式中，e_θ＝θ-θ_r，为了保证设计如下的控制律

u＝-k₁d-k₂e_θ (16)

为了提高系统的响应速度，同时使系统在存在大的跟踪误差时能够稳定，控制增益系数kl、k2必须选择为跟踪误差的函数；通常的原则是在系统跟踪误差较大时采用有较小的控制增益，以保证系统的稳定性，系统跟踪误差较小时采用有较大的控制增益，以保证系统响应的快速性；在移动机器人跟踪期望轨迹过程中，方向角误差e_θ变化比中心偏移量d变化频率快得多，由式(16)可知，由于误差项e_θ的存在，使得系统在大的跟踪误差下变得很不稳定，反而降低了跟踪的响应速度，针对这一情况，本专利提出了这样的解决方案：一次中心偏移量误差项d的增益系数k1，为跟踪误差的线性函数，而方向角误差误项e_θ的增益系数k2为跟踪误差的分段线性函数，所以，根据控制增益与跟踪误差的函数关系示意图所示的分段线性化的控制增益为：

控制增益k₁、k₂与跟踪误差的函数关系可表示如下：

式中，e＝k_dd+k_θ(θ-θ_r)，|e|_m是跟踪误差e绝对量的最大值；如果确定了控制增益与跟踪误差的函数关系示意图中的a、b、c、d的值，则控制增益与跟踪误差的函数关系就完全确定了，通过对方向角误差项e_θ的修正增益的分段线性化，使得系统在较大的跟踪误差时，减弱方向角误差项e_θ的贡献；在误差较小时，增强方向角误差项e_θ的作用，以提高系统的响应速度。这样既避免了引入方向角误差项e_θ所带来的不稳定性,同时也保证了响应速度。

4.根据权利要求1所述的一种遥操作轮移动机器人的运动控制方法，其特征在于，所述步骤300具体包括：

在仿真中，机器人的直流电机的传递函数选择如下：k_s＝0.6，T_m＝0.03。仿真参数选择如下：采样周期为T_s＝0.02s，为了验证控制算法的抗干扰能力，在t＝25s时刻加入d＝1m的扰动，Smith预估器中τ₁+τ₂的预估值固定为1s；无线网络传输时延τ₁＝τ₂，假设τ₁、τ₂的变化情况如下：

增益可变的非线性控制器-Smith控制算法的基本参数a＝0.6，b＝0.3，c＝0.3，d＝0.6，k_d＝2.5，k_θ＝1.7；为了对比控制效果，同时对PID-Smith预估控制进行仿真，控制器参数选择为：比例系数K_p＝5，微分系数K_d＝10，积分系数K_i＝0.02；选择一个圆形参考轨迹，参考线速度为v_r(t)＝2m/s，参考角速度为ω_r(t)＝1rad/s；参考轨迹的初始值为

[x_r(0),y_r(0),θ_r(0)]^T＝[2m,0m,90°]^T

机器人初始位姿为

[x(0),y(0),θ(0)]^T＝[-1m,0m,45°]^T

初始位姿误差为的d(0)＝3m，e_θ(0)＝45°，仿真实验结果如附图所示。