CN108257628B - 一种任意阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻器 - Google Patents
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Abstract
本发明提出了一种任意阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻器，包括n个重复的格型结构，所述格型结构级联；每一级格型结构包括两个忆阻器和两个电容（或电感），其中，第一忆阻器的级联输入端与第二忆阻器的级联输出端之间连接有第一电容（或第一电感），第一忆阻器的级联输出端与第二忆阻器的级联输入端之间连接有第二电容（或第二电感）；每一级格型结构中忆阻器的电抗值是前一级忆阻器的电抗值的1/
倍，每一级格型结构中电容（电感）的电抗值是前一级电容（或电感）的电抗值的1/
倍。本发明的任意阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻器的阶数只与参数
和
相关，通过调整
和
即可实现任意阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻器。
Description
技术领域
本发明涉及忆阻器技术领域，尤其涉及一种任意阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻。
背景技术
忆阻作为迷失的非线性无源二端元器件是由蔡少堂猜想并推广到忆阻系统的，它具有非易失性。更广义的定义认为忆阻基于电阻开关效应可以涵盖所有形式的双端非易失存储器。单独的所谓非易失性流控忆阻器不能让该忆阻系统抵制白噪声的影响，其动态方程允许违反Landauer的能源量最小原则。忆阻器一般可分为五类分别是：二氧化钛忆阻、聚合物忆阻器、分层的忆阻器、铁电忆阻器和自旋忆阻系统。上述的忆阻和忆阻系统的电气性都是经典整数阶。
分数微积分已成为数学分析的一个重要分支。对于物理科学家和工程技术人员来说，分数微积分是一种新的有用的数学方法，主要是因为它具有长期记忆、非局部性和弱奇异性的固有特点。许多科学领域，如分数扩散过程、分数的粘弹性、分形动力学、分数控制、图像处理、分数阶信号处理、分数阶神经网络、分数阶电路与系统等。目前使用的分数阶微积分并取得了一些可喜的成果。然而，把分数阶微积分应用到忆阻，在已有研究中还是一个新兴课题。因此，基于忆阻器和分数阶微积分已有研究，以模拟电路的形式用普通的忆阻器和电容或电感实现一个分数阶忆阻器，是一个具有挑战性的理论问题。
发明内容
为了解决现有技术中的问题，本发明基于分数阶微积分采用模拟电路实现有意义的任意阶的忆阻器。
本发明采用如下技术方案：
一种高通滤波格型的分数阶忆阻器，包括n个重复的格型结构，所述格型结构级联；每一级格型结构包括两个忆阻器和两个电容(或电感)，其中，第一忆阻器的级联输入端与第二忆阻器的级联输出端之间连接有第一电容(或第一电感)，第一忆阻器的级联输出端与第二忆阻器的级联输入端之间连接有第二电容(或第二电感)；每一级格型结构中的忆阻器的电抗值是前一级忆阻器电抗值的1/α倍，每一级格型结构中电容的电抗值是前一级电容电抗值的1/β倍，即：第一级的忆阻器的电抗值为r[q(s)]，第n级的忆阻器的电抗值为r[q(s)]/αn，其中，r[q(s)]是忆阻值R[q(t)]的Laplace变换。
进一步地，所述分数阶忆阻器的阶数v满足：
v＝log(α)/[log(α)+log(β)],
其中，v是一个任意正有理数，α和β分别表示忆阻器和电容(或电感)的正标度因子，其实质上是对所述分数阶忆阻器的分形标度因子。
进一步地，1/2阶高通滤波容性(或感性)格型分数阶忆阻器是v阶理想高通滤波容性(或感性)分数阶忆阻器的一种特殊情况。
采用负阻抗补偿器对所述高通滤波格型的分数阶忆阻器的负电抗和负电容(或负电感)进行补偿。
进一步地，所述负阻抗补偿器进行补偿具体为：在第一级电路中串联一个负阻抗补偿器，所述负阻抗补偿器为一个电抗值为
的电容(或一个电抗值为-Ls/2电感)和一个电抗值为-2r[q(s)]的忆阻器并联，s表示Laplace变换。
本发明的有益效果是：本发明的任意阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻器的阶数只与参数α和β相关，通过调整α和β即可实现任意阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻器。此外，本发明还推导出1/2阶高通滤波容性(或感性)格型分数阶忆阻器是v阶理想高通滤波容性(或感性)分数阶忆阻器的一种特殊情况，在第一级电路中串联一个负阻抗补偿器可提高本发明的高通格型的分数阶忆阻器的精度。
附图说明
图1是本发明的高通滤波格型的分数阶忆阻器的电路图；
图2(a)是1/2阶容性低通滤波格型分忆抗的电路图；
图2(b)是1/2阶容性低通滤波格型分忆抗的等效电路图；
图3(a)是第一次迭代的v阶低通滤波容性格型分忆抗的电路图；
图3(b)是第二次迭代的v阶低通滤波容性格型分忆抗的电路图；
图3(c)是第三次迭代的v阶低通滤波容性格型分忆抗的电路图；
图3(d)是第n次迭代的v阶低通滤波容性格型分忆抗的电路图；
图3(e)是第一次迭代的v阶低通滤波容性格型分忆抗的等效电路图；
图3(f)是第二次迭代的v阶低通滤波容性格型分忆抗的等效电路图；
图3(g)是第三次迭代的v阶低通滤波容性格型分忆抗的等效电路图；
图3(h)是第n次迭代的v阶低通滤波容性格型分忆抗的等效电路图；
图4是本发明的v阶高通滤波容性格型分忆抗的补偿电路图。
具体实施方式
下面结合附图说明及具体实施方式对本发明进一步说明。
本发明的v阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻器(v＝η+p为一个任意正有理数，其中，η为一个正整数，0<p<1)，如图1所示，其包括了n个重复的格型结构，所述格型结构级联；每一级格型结构包括两个忆阻器和两个电容，其中，第一忆阻器的输入端与第二忆阻器的输出端之间连接第一电容，第一忆阻器的输出端与第二忆阻器的输入端之间连接第二电容；每一级格型结构中的忆阻器的电抗值是前一级忆阻器电抗值的1/α倍，每一级格型结构中电容的电抗值是前一级电容电抗值的1/β倍，即：第一级的忆阻器的电抗值为r[q(s)]，第n级的忆阻器的电抗值为r[q(s)]/αn。
在图1中，
表示忆阻，α和β分别表示两个正标度因子，α和β均为一个正数，r[q(s)]是忆阻值R[q(t)]的Laplace变换。n的理论值趋于正无穷，但是，在实际应用中，n可以为一个取值有限的正整数，例如，n＝5。
为了简化讨论，本发明采用迭代法分析v阶低通滤波格型容性分忆抗的分数阶电抗(在本文中，“分数阶忆阻器”也称为“分忆抗,Fracmemristor”)。一个1/2阶容性低通滤波格型分忆抗电路结构如图2(a)和图2(b)所示。在图2(a)和图2(b)中，每一级格型结构的忆阻器电抗的缩放比例均相同(为αn)，每一级格型结构的电容的缩放比例也均相同(为βn)。图2(a)显示1/2阶容性低通滤波格型分抗的每级电路与图1中的第n+1级的电路具有相同的电路结构。该电路可以无限级联，图2(b)中的
是1/2阶容性低通滤波格型分抗的1/2阶容抗。
不失一般性，为了便于说明，本发明中的相关推导都是以“任意阶低通滤波的格型标度容性分忆抗”为例进行推导和讨论的。对于“任意阶低通滤波的格型标度感性分忆抗”而言，其电路结构与“任意阶低通滤波的格型标度容性分忆抗”的唯一不同是将“任意阶低通滤波的格型标度容性分忆抗”中的“电容”全部替换为“电感”，其相应的标度因子不变。“任意阶低通滤波的格型标度感性分忆抗”的“分数阶阶次”的理论推导只需将“任意阶低通滤波的格型标度容性分忆抗”的“分数阶阶次”的理论推导中的“电容”替换为“电感”，其推导过程一致，且结论相同。为了便于数学推导和讨论，下文将v限定为0＜v＜1，但这并不失一般性。
我们知道，基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)描述了拓扑约束条件，这也是构建电路系统的基本理论。KCL(电路中任一个节点上流入节点与流出节点的电流代数和为零)和KVL(在任何封闭电路的电压代数和为零)可以描述为两个约束的代数方程组，它仅仅依赖于电路的拓扑结构，与电路中的电路器件的电气特点无关。
由于忆阻器是一个非线性电路元件，包含忆阻器的电路也是一个非线性电路。在经典的电路系统理论中，非线性电路的模型可以描述为一个约束方程
由于包含忆阻器的非线性电路仍满足电荷守恒和能量守恒定律，
符合KCL和KVL。关于
四个电路变量，分别有两个微分映射关系，(q和
)和(I和V)之间的关系为dq/dt＝I和
忆阻器对小信号Q的响应可以被描述为
因此它的小信号阻抗Z(s)＝mQ可以被解释为一个相关Q的线性元阻抗。因此，在小信号Q激励下，一个带忆阻器电路的电气特性可以根据KCL和KVL分析。
在图2(b)中我们假设，ir(s)和ic(s)分别是αnr[q(s)]和1/(βncs)的电流，Vi(s)和Ii(s)＝ir(s)+ic(s)分别表示
的输入电压和输入电流。因此，在小信号Q的激励下，根据KCL和KVL，从图2(a)和图2(b)下面的关系得出：
因此，根据克莱姆的线性代数规则，从式(1)可以得到：
然后，从式(2)可以推导出：
因此，从式(3)可以获得以下内容：
从式(4)可以观察到，首先，有一个负1/2阶复变函数的拉氏变换s-1/2(1/2阶积分电容算子)，同时方程
中也有一个{r[q(s)]}-1/2。因此，比纯分数元更复杂(理想电容因子)，与连接的一系列无限重复的格型的级联电路(当m→∞时)图2(a)达到1/2阶低通滤波非线性电容运转。其次，为了后续的数学推导，给出了串联电路的数量是无限的，从下式(17)可单独推导出一个1/2阶低滤波通容性分忆抗也可以完全来自1/2分数阶。再次，为后续进一步论证以下例子1，在一定的通带下，有m级电路的1/2容性格型分忆抗
其1/2阶容抗的振幅和相位可以高精度的理想逼近1/2阶容性分抗。m越大，1/2阶容性分抗的通带越宽。
从上述讨论，在小信号Q激励下，根据KCL和KVL，一个1/2阶低通滤波容性分抗电气特性可以得到式(4)。
此外，一个v阶低通滤波容性分抗无限级联的电路配置如图3(a)～图3(h)所示。其中Z0、Z1、Z2和Zn-1分别表示v阶低通滤波容性格型分忆抗迭代电路第一、第二、第三和第n的策动点容性阻抗函数。在图3(e)中，让我们假设ir(s)和ic(s)分别是r[q(s)]和c的电流，Vi(s)和Ii(s)分别是Z0输入电压和输入电流。因此，从图3(e)，根据KCL和KVL可以得到：
然后，根据克莱默的线性代数的规则，从式(5)可以有：
然后，式(6)可以重写为：
将(4)代入到(7)中可以得到：
进一步的，从图3(b)、图3(c)、图3(f)和图3(g)，我们分别得到Z1(s)＝αZ0(αβs)和Z2(s)＝αZ1(αβs)。同样的方法，从图3(d)和图3(h)我们得到：
式(8)和(9)表明，v阶低通滤波容性格型分忆抗和v阶高通滤波容性格型分忆抗可以被视为一个无限连续嵌套结构，如图3(a)～图3(d)所示的第一、第二、第三和第n次迭代电路(n→∞)。当n→∞，v阶低通滤波容性格型分忆抗等于极限值的递推方程依次嵌套的Z0(s)、Z1(s)、Z2(s)、...和Zn-1(s)。因此，根据(8)和(9)，如果n→∞，该v阶低通滤波容性格型分忆抗可以推导出：
其中
和
分别是v阶低通滤波容性格型分忆抗电路的策动点容性阻抗函数。式(10)本质上是一个特殊的连分式展开式。因此根据图3(a)～图3(h)，当n→∞时得到：
然后，式(11)、(10)可以改写为：
在式(10)中α和β实际上是对v阶低通滤波容性格型分忆抗分形标度因子。式(10)是v阶低通滤波容性格型分忆抗不规则的迭代方程，符合标准的动态缩放法。因此，式(10)的解可以作为：
其中κ(s)标量因子。虽然不规则迭代方程在纯数学已经有多种解决方案，函数(10)的真正解必须符合v阶低通滤波容性格型分忆抗实际电路，所有其他的解都是错误的。通过嵌套迭代方法，得到一般任意阶容性分抗在自然的实现的分数阶策动点阻抗函数可以得到：
因此，考虑到v阶低通滤波容性格型分忆抗，把式(8)代入式(9)递归，用数学归纳法，我们可以得到n→∞时κ(s)的极限值：
中v＝η+p，式(13)和式(14)与(*)一致。进一步，将式(13)代入式(12)结果：
因为0＜v＜1，当s→0，我们得到s-vs→0和
然后，当s→0(低通滤波)，式(15)可以简化为：
因此，当s→0(低通滤波)，式(16)的解可以导出：
v＝log(α)/[log(α)+log(β)], (17)
其中log()是对数(对数的底可为任意正实数)。
式(17)表明，v阶低通滤波容性格型分忆抗的分数阶阶数本质上取决于它的两个正标度因子(α和β)，与其忆阻器电抗和电容(r[q(s)]和c)无关。特别是，参考图3(a)，每一级电路中忆阻器的电抗和电容正向缩放因子是相同的，分别是αn和βn。从式(17)，提供α→1和β→1，我们可以得出
这是符合推导(4)的。把α＝1、β＝1和v＝1/2代入(13)、(14)和(15)得到：
式(18)表明，如果α＝1和β＝1，式(16)可被精确地简化为
1/2阶低通滤波容性格型分忆抗是v阶理想容性分抗的一种特殊情况。从上述讨论可见，在小信号Q的激励下，根据KCL和KVL，在式(17)中任意阶低通滤波容性格型分忆抗的分数阶阶数可以通过改变两个正标度因子(α和β)来确定。
类似的方式，图1中v阶高通滤波容性格型分忆抗可推导出：
和
因为0＜v＜1，当s→∞(高通滤波)时，我们得到s-v→0，
因此，当s→∞时有：
然后，当s→∞(高通滤波)时，式(19)的解可以导出：
v＝lg(α)/[lg(α)+lg(β)]。 (20)
特别是，如果α＝1和β＝1，
经典的1/2阶高通滤波容性格型分忆抗是理想v阶高通滤波容性分忆抗的一种特殊情况。
此外，式(19)进一步表明，提高逼近精度，阻抗-2r[q(s)]/{r[q(s)]cs+1}，应该在图1所示的v阶高通滤波容性格型分忆抗的第一级电路进行补偿，如图4所示。
在图4中，忆阻的负电抗和负电容可以通过负阻抗补偿器来实现。因此，从图4，v阶高通滤波容性格型分忆抗的分数阶策动点阻抗函数可以推导出：
因此，通过增加v阶高通滤波容性格型分忆抗的第一级补偿串联电路，式(20)可以准确地得到。
以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的保护范围。
Claims (8)
1.一种任意阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻器，其特征在于：所述分数阶忆阻器包括n个重复的格型结构，所述格型结构级联；每一级格型结构包括两个忆阻器和两个电容，其中，第一忆阻器的级联输入端与第二忆阻器的级联输出端之间连接有第一电容，第一忆阻器的级联输出端与第二忆阻器的级联输入端之间连接有第二电容；每一级格型结构中的忆阻器的电抗值是前一级忆阻器的电抗值的1/α倍，每一级格型结构中电容的电抗值是前一级电容的电抗值的1/β倍，即：第一级的忆阻器的电抗值为r[q(s)]，第n级的忆阻器的电抗值为r[q(s)]/αn，其中，r[q(s)]是忆阻值R[q(t)]的Laplace变换；
所述高通滤波的格型标度分数阶忆阻器的阶数v满足：
v＝log(α)/[log(α)+log(β)],
其中，v是一个任意正有理数，α和β分别表示忆阻器和电容的正标度因子，其实质上是对所述分数阶忆阻器的分形标度因子。
2.根据权利要求1所述的分数阶忆阻器，其特征在于：1/2阶高通滤波容性格型分数阶忆阻器是v阶理想容性分数阶忆阻器的一种特殊情况。
3.根据权利要求1所述的分数阶忆阻器，其特征在于：采用负阻抗补偿器对所述分数阶忆阻器的负电抗和负电容进行补偿。
4.根据权利要求3所述的分数阶忆阻器，其特征在于：所述负阻抗补偿器进行补偿具体为：在第一级电路中串联一个负阻抗补偿器，所述负阻抗补偿器为一个电抗值为
的电容和一个电抗值为-2r[q(s)]的忆阻器并联。
5.一种任意阶高通滤波的格型标度分数阶忆阻器，其特征在于：所述分数阶忆阻器包括n个重复的格型结构，所述格型结构级联；每一级格型结构包括两个忆阻器和两个电感，其中，第一忆阻器的级联输入端与第二忆阻器的级联输出端之间连接有第一电感，第一忆阻器的级联输出端与第二忆阻器的级联输入端之间连接有第二电感；每一级格型结构中的忆阻器的电抗值是前一级忆阻器的电抗值的1/α倍，每一级格型结构中电感的电抗值是前一级电感的电抗值的1/β倍，即：第一级的忆阻器的电抗值为r[q(s)]，第n级的忆阻器的电抗值为r[q(s)]/αn，其中，r[q(s)]是忆阻值R[q(t)]的Laplace变换；
所述高通滤波的格型标度分数阶忆阻器的阶数v满足：
v＝log(α)/[log(α)+log(β)],
其中，v是一个任意正有理数，α和β分别表示忆阻器和电感的正标度因子，其实质上是对所述分数阶忆阻器的分形标度因子。
6.根据权利要求5所述的分数阶忆阻器，其特征在于：1/2阶高通滤波感性格型分数阶忆阻器是v阶理想感性分数阶忆阻器的一种特殊情况。
7.根据权利要求5所述的分数阶忆阻器，其特征在于：采用负阻抗补偿器对所述分数阶忆阻器的负电抗和负电感进行补偿。
8.根据权利要求7所述的分数阶忆阻器，其特征在于：所述负阻抗补偿器进行补偿具体为：在第一级电路中串联一个负阻抗补偿器，所述负阻抗补偿器为一个电抗值为-Ls/2的电感和一个电抗值为-2r[q(s)]的忆阻器并联。
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| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN105680819A (zh) * | 2016-04-08 | 2016-06-15 | 蒲亦非 | 容性分忆抗元和感性分忆抗元滤波器 |
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2018
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Patent Citations (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN105680819A (zh) * | 2016-04-08 | 2016-06-15 | 蒲亦非 | 容性分忆抗元和感性分忆抗元滤波器 |
Non-Patent Citations (2)
| Title |
|---|
| Fracmemristor：fractional-order memristor;Y. Pu and X. Yuan;《IEEE Access》;20160511;第4卷;第1872-1888页 * |
| 规则RC分形分抗逼近电路的零极点分布;袁子、袁晓;《电子学报》;20171015;第45卷(第10期);第2511-2520页 * |
Also Published As
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