CN108197071A - 保守系统动力学方程的符号推导方法及系统、计算机程序 - Google Patents
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Abstract
本发明属于动力学分析领域，公开了一种保守系统动力学方程的符号推导方法及系统、计算机程序，巧妙将LpY(拉格朗日函数对广义速度的导数)对时间的导数分成了两个部分之和(对广义位移求导乘上广义速度之和；对广义速度求导乘上广义加速度之和)，最终得到了保守系统动力学符号方程。本发明实现了保守系统动力学方程的自动符号推导，克服了手工推导繁琐、易错、效率低下的缺陷；本发明符号推导动力学方程的过程比较简单，且容易用计算机程序实现；本发明的符号推导的动力学方程，代入其初始条件，即可进行数值求解和仿真。该方法能够应用于保守系统的动力学方程的推导，为系统的动力学仿真、分析、优化和控制等奠定了基础。
Description
技术领域
本发明属于动力学分析领域，尤其涉及一种保守系统动力学方程的符号推导方法及系统、计算机程序。
背景技术
目前，业内常用的现有技术是这样的：
动力学方程的准确获得是进行机械系统动力学分析和设计的前提。目前，机械系统的动力学方程的推导主要有三种方法：一是采用矢量动力学的方法，这种方法需要将机械系统隔离开来分析，具有分析过程复杂、自由度数目多以及求解规律大的缺点；二是采用拉格朗日第一类方程来完成，这种方法具有程式化的优点，但方法具有自由度数目多、求解规律大的缺点；三是采用拉格朗日第二类方程手工推导来完成，得到的动力学方程具有方程数目最少，求解规律最少的优点。
然而，手工推导的过程十分复杂且容易出错，即便是自由度数目较少的机械系统，利用拉格朗日第二类方程来手工推导其动力学方程也是相当困难的。尽管拉格朗日第二类方程手工推导过程繁琐，但多数人仍然愿意采用这种方法，因为同一系统的动力学模型的动力学方程是相同的，具有“一次推导，终身受用”的特点。
随着计算机技术的发展，符号推导演算功能日益强大，成为了复杂机械系统动力学推导强有力的工具。利用计算机技术进行符号推导能够直接导出复杂机械系统动力学微分方程，可避免大量的累积误差，提高计算效率和计算精度，减轻人的劳动并实现快速分析。
保守系统是指系统在运动以及变化的过程中，机械能始终不向外流失，动能、势能之和为一恒定值。保守系统在机械系统中是一种典型的系统，利用拉格朗日第二类方程推导其动力学方程具有极强的程式化特点，这种系统适用于计算机符号推导来得到系统的动力学方程。
因此，迫切需要利用计算机技术研究一种动力学方程的符号推导方法。
综上所述，现有技术存在的问题是：
(1)现有技术中利用矢量动力学方法和拉格朗日第一类方程方法具有程式化特征，但得到的方程规模通过较大，不利于方程的求解。
(2)现有技术多通过手工推导系统的动力学方程，而手工推导繁琐易错，不利于大规模复杂问题的动力学方程的推导。
(3)现有技术没有公开利用拉格朗日第二类方程进行系统的动力学方程的符号推导方法，同时也没有公开利用拉格朗日第二类方程进行系统动力学方程符号推导的过程。
解决上述技术问题的难度和意义：本发明实现了动力学方程的自动推导，提高计算效率、减轻人的劳动，使人们从繁琐又容易出错的方程推导中解脱出来，将主要的精力投入到更具有创造性的工作中去；目前文献没有公开利用拉格朗日第二类方程进行系统符号推导的方法，因此没有改进的保守系统动力学方程的符号推导方法及系统。
发明内容
针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种保守系统动力学方程的符号推导方法及系统、计算机程序。
本发明是这样实现的，一种保守系统动力学方程的符号推导方法，为：
在求拉格朗日函数对广义速度的导数LpY对时间的导数时，分成对广义位移求导乘上广义速度之和、对广义速度求导乘上广义加速度之和两个部分；
最终得到保守系统动力学符号方程。
进一步，所述保守系统动力学方程的符号推导方法，包括：
定义系统的常量参数；
定义系统的符号变量参数；根据系统的自由度数目，定义系统的运动学符号变量参数，分别为广义位移列向量X、广义速度列向量Y和广义加速度列向量Z；
利用定义的常量和变量参数写出系统的动能T和势能U，并构造拉格朗日函数L＝T-U；
拉格朗日函数L对广义位移求偏导，记为LpX：
LpX(i)＝diff(L,X(i)) (i＝1,2...,n)(1)
拉格朗日函数L对广义速度的偏导，记为LpY：
LpY(i)＝diff(L,Y(i)) (i＝1,2...,n)(2)
式(1)和(2)中：diff(L,X(i))表示L对第i个广义位移的导数，diff(L,Y(i))表示L对第i个广义速度的导数，X(i)表示第i个广义位移，Y(i)表示第i个广义速度，n表示广义位移的数目；
对LpY再取时间的导数，记为dLpY；考虑到LpY中既含有广义位移X又含有广义速度Y，故将dLpY分解成两部分：对LpY广义位移求导乘上广义速度之和、对LpY广义速度求导乘上广义加速度之和；
第一部分记为：
第二部分记为：
故dLpY为式(3)和(4)之和，即：
dLpY(i)＝dLpYX(i)+dLpYY(i)(i＝1,2...,n)(5)
式(3)、(4)和(5)中：diff(LpY(i),X(j))和diff(LpY(i),Y(j))分别表示dLpY的第i个表达式对X的第j个广义位移的导数和对Y的第j个广义速度的导数，X(j)、Y(j)和Z(j)分别表示第j个广义位移、广义速度和广义加速度；
利用拉格朗日第二类方程，建立系统的动力学方程为：
EQ(i)＝dLpY(i)-LpX(i) (i＝1,2...,n)(6)
式(6)中：EQ(i)表示第i个动力学方程。
本发明的另一目的在于提供一种实现所述保守系统动力学方程的符号推导方法的计算机程序。
本发明的另一目的在于提供一种一种实现所述保守系统动力学方程的符号推导方法的信息数据处理终端。
本发明的另一目的在于提供一种计算机可读存储介质，包括指令，当其在计算机上运行时，使得计算机执行所述的保守系统动力学方程的符号推导方法。
本发明的另一目的在于提供一种四自由度系统动力学模型包括：
1)定义四自由度系统的常量参数；常量参数有弹簧的刚度k1、k2，刚体的质量m1、m2、m3和m4，刚体的转动惯量J1、J2、J3和J4,刚体B3和B4的长度分别为L1、L2，重力加速度g；
2)定义四自由度系统的符号变量参数；所述弹簧有4个自由度，定义为广义位移列向量X＝[x1,x2,x3,x4]T、广义速度列向量Y＝[y1,y2,y3,y4]T和广义加速度列向量Z＝[z1,z2,z3,z4]T；
其中：x1和x2分别表示为刚体B1和刚体B2沿x方向的位移，x3和x4分别表示B3绕C1点的转角和B4绕C2点的转角，y1和y2分别表示为刚体B1和B2沿x方向的速度，y3和y4分别表示B3绕C1点的角速度和B4绕着C2点的角速度，z1和z2分别表示为刚体B1和B2沿x方向的加速度，z3和z4分别表示B3绕C1点的角加速度和B4绕着C2点的角加速度；
3)利用定义的四自由度系统的常量和符号变量参数写出系统的动能T和势能U：
在此基础上构造拉格朗日函数L＝T-U；
拉格朗日函数L对广义位移求偏导，记为LpX：
LpX(i)＝diff(L,X(i)) (i＝1,2...,n)(1)
拉格朗日函数L对广义速度的偏导，记为LpY：
LpY(i)＝diff(L,Y(i)) (i＝1,2...,n)(2)
式(1)和(2)中：diff(L,X(i))表示L对第i个广义位移的导数，diff(L,Y(i))表示L对第i个广义速度的导数，X(i)表示第i个广义位移，Y(i)表示第i个广义速度，n表示广义位移的数目，其中n＝4；
对LpY再取时间的导数，记为dLpY；考虑到LpY中既含有广义位移X又含有广义速度Y，故将dLpY分解成两部分：对LpY广义位移求导乘上广义速度之和、对LpY广义速度求导乘上广义加速度之和；
第一部分记为：
第二部分记为：
故dLpY为式(3)和(4)之和，即：
dLpY(i)＝dLpYX(i)+dLpYY(i) (i＝1,2...,n)(5)
式(3)、(4)和(5)中：diff(LpY(i),X(j))和diff(LpY(i),Y(j))分别表示dLpY的第i个表达式对X的第j个广义位移的导数和对Y的第j个广义速度的导数，X(j)、Y(j)和Z(j)分别表示第j个广义位移、广义速度和广义加速度；
利用保守系统的拉格朗日第二类方程，建立四自由度系统的动力学方程为：
EQ(i)＝dLpY(i)-LpX(i) (i＝1,2...,n)(6)
式(6)中：EQ(i)表示第i个动力学方程；
进一步，所述建立的四自由度系统的动力学方程包括：
EQ＝[z1(m1+m3)+k1x1+(k2(2x1-2x2))/2+(L1m3z3cos(x3))/2-(L1m3y3 2sin(x3))/2
z2(m2+m4)-(k2(2x1-2x2))/2+(L1m4z4cos(x4))/2-(L1m4y4 2sin(x4))/2
z3((m3L1 2)/4+J3)+(L1m3gsin(x3))/2+(L1m3z1cos(x3))/2
z4((m4L2 2)/4+J4)+(L2m4gsin(x4))/2+(L1m4z2cos(x4))/2]。
本发明的另一目的在于提供一种符号推导系统包括：
定义模块，用于定义系统的常量参数；
定义系统的符号变量参数模块；根据自由度数目，用于定义运动学符号变量参数，分别为广义位移列向量X、广义速度列向量Y和广义加速度列向量Z；
构造拉格朗日函数模块，利用定义的常量和变量参数写出系统的动能T和势能U，并构造拉格朗日函数L＝T-U；
推导模块，利用拉格朗日函数L对广义位移求偏导，记为LpX：
LpX(i)＝diff(L,X(i)) (i＝1,2...,n)(1)
拉格朗日函数L对广义速度的偏导，记为LpY：
LpY(i)＝diff(L,Y(i)) (i＝1,2...,n)(2)
式(1)和(2)中：diff(L,X(i))表示L对第i个广义位移的导数，diff(L,Y(i))表示L对第i个广义速度的导数，X(i)表示第i个广义位移，Y(i)表示第i个广义速度，n表示广义位移的数目；
对LpY再取时间的导数，记为dLpY；考虑到LpY中既含有广义位移X又含有广义速度Y，故将dLpY分解成两部分：对LpY广义位移求导乘上广义速度之和、对LpY广义速度求导乘上广义加速度之和；
第一部分记为：
第二部分记为：
故dLpY为式(3)和(4)之和，即：
dLpY(i)＝dLpYX(i)+dLpYY(i) (i＝1,2...,n)(5)
式(3)、(4)和(5)中：diff(LpY(i),X(j))和diff(LpY(i),Y(j))分别表示dLpY的第i个表达式对X的第j个广义位移的导数和对Y的第j个广义速度的导数，X(j)、Y(j)和Z(j)分别表示第j个广义位移、广义速度和广义加速度；
动力学方程建立模块，利用保守系统的拉格朗日第二类方程，建立动力学方程为：
EQ(i)＝dLpY(i)-LpX(i) (i＝1,2...,n)(6)
式(6)中：EQ(i)表示第i个动力学方程。
综上所述，本发明的优点及积极效果为：
本发明实现了保守系统动力学方程的自动符号推导，克服了手工推导繁琐、易错、效率低下的缺陷；
本发明符号推导动力学方程的过程比较简单，且容易用计算机程序实现。
本发明的符号推导的动力学方程，代入其初始条件，即可进行数值求解和仿真。该方法能够应用于保守系统的动力学方程的推导，为系统的动力学仿真、分析、优化和控制等奠定了基础。
本发明最根本的优点就是替代手工推导动力学方程，克服手工推导繁琐、易错、效率低下的缺点，其次就是利用计算机程序来实现这一自动化的方程推导过程。
附图说明
图1是本发明实施例提供的保守系统动力学方程的符号推导方法流程图。
图2是本发明实施例提供的一种四自由度系统力学模型图。
图3是本发明实施例提供的符号推导系统示意图。
图中：1、定义模块；2、定义系统的符号变量参数模块；3、构造拉格朗日函数模块；4、推导模块；5、动力学方程建立模块。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
本发明实现了动力学方程的自动推导，提高计算效率、减轻人的劳动，使人们从繁琐又容易出错的方程推导中解脱出来，将主要的精力投入到更具有创造性的工作中去。
如图1所示，本发明实施例提供的保守系统动力学方程的符号推导方法，包括：
1、定义系统的常量参数。
2、定义系统的符号变量参数。根据系统的自由度数目，定义系统的运动学符号变量参数，分别为广义位移列向量X、广义速度列向量Y和广义加速度列向量Z。
3、根据系统的结构特点，利用定义的常量和变量参数写出系统的动能T和势能U，并构造拉格朗日函数L＝T-U。
4、拉格朗日函数L对广义位移求偏导，记为LpX：
LpX(i)＝diff(L,X(i)) (i＝1,2...,n)(1)
5、拉格朗日函数L对广义速度的偏导，记为LpY：
LpY(i)＝diff(L,Y(i)) (i＝1,2...,n)(2)
式(1)和(2)中：diff(L,X(i))表示L对第i个广义位移的导数，diff(L,Y(i))表示L对第i个广义速度的导数，X(i)表示第i个广义位移，Y(i)表示第i个广义速度，n表示广义位移的数目。
6、对LpY再取时间的导数，记为dLpY；考虑到LpY中既含有广义位移X又含有广义速度Y，故将dLpY分解成两部分：对LpY广义位移求导乘上广义速度之和、对LpY广义速度求导乘上广义加速度之和；
第一部分记为：
第二部分记为：
故dLpY为式(3)和(4)之和，即：
dLpY(i)＝dLpYX(i)+dLpYY(i) (i＝1,2...,n)(5)
式(3)、(4)和(5)中：diff(LpY(i),X(j))和diff(LpY(i),Y(j))分别表示dLpY的第i个表达式对X的第j个广义位移的导数和对Y的第j个广义速度的导数，X(j)、Y(j)和Z(j)分别表示第j个广义位移、广义速度和广义加速度。
7、利用保守系统的拉格朗日第二类方程，建立系统的动力学方程为：
EQ(i)＝dLpY(i)-LpX(i) (i＝1,2...,n)(6)
式(6)中：EQ(i)表示第i个动力学方程。
下面结合四自由度系统动力学模型对本发明作进一步描述。
图2，为一种四自由度系统动力学模型。
1、定义图2系统的常量参数。图2所示的系统的常量参数有弹簧的刚度k1、k2，刚体的质量m1、m2、m3和m4，刚体的转动惯量J1、J2、J3和J4,刚体B3和B4的长度分别为L1、L2，重力加速度g。
2、定义图2系统的符号变量参数。根据图2系统的结构特点，该系统有4个自由度，因此可以定义广义位移列向量X＝[x1,x2,x3,x4]T、广义速度列向量Y＝[y1,y2,y3,y4]T和广义加速度列向量Z＝[z1,z2,z3,z4]T。其中：x1和x2分别表示为刚体B1和刚体B2沿x方向的位移，x3和x4分别表示B3绕C1点的转角和B4绕C2点的转角，y1和y2分别表示为刚体B1和B2沿x方向的速度，y3和y4分别表示B3绕C1点的角速度和B4绕着C2点的角速度，z1和z2分别表示为刚体B1和B2沿x方向的加速度，z3和z4分别表示B3绕C1点的角加速度和B4绕着C2点的角加速度。
3、根据图2系统的结构特点，利用定义的常量和符号变量参数写出系统的动能T和势能U：
在此基础上构造拉格朗日函数L＝T-U。
5、拉格朗日函数L对广义位移求偏导，记为LpX：
LpX(i)＝diff(L,X(i)) (i＝1,2...,n)(1)
6、拉格朗日函数L对广义速度的偏导，记为LpY：
LpY(i)＝diff(L,Y(i)) (i＝1,2...,n)(2)
式(1)和(2)中：diff(L,X(i))表示L对第i个广义位移的导数，diff(L,Y(i))表示L对第i个广义速度的导数，X(i)表示第i个广义位移，Y(i)表示第i个广义速度，n表示广义位移的数目，在图2中n＝4。
7、对LpY再取时间的导数，记为dLpY；考虑到LpY中既含有广义位移X又含有广义速度Y，故将dLpY分解成两部分：对LpY广义位移求导乘上广义速度之和、对LpY广义速度求导乘上广义加速度之和；
第一部分记为：
第二部分记为：
故dLpY为式(3)和(4)之和，即：
dLpY(i)＝dLpYX(i)+dLpYY(i) (i＝1,2...,n)(5)
式(3)、(4)和(5)中：diff(LpY(i),X(j))和diff(LpY(i),Y(j))分别表示dLpY的第i个表达式对X的第j个广义位移的导数和对Y的第j个广义速度的导数，X(j)、Y(j)和Z(j)分别表示第j个广义位移、广义速度和广义加速度。
8、利用保守系统的拉格朗日第二类方程，建立系统的动力学方程为：
EQ(i)＝dLpY(i)-LpX(i) (i＝1,2...,n)(6)
式(6)中：EQ(i)表示第i个动力学方程。
9、根据本发明提出的一种保守系统动力学的符号推导方法开发相应的计算机程序，即可得到图2所示的动力学方程，如下：
EQ＝[z1(m1+m3)+k1x1+(k2(2x1-2x2))/2+(L1m3z3cos(x3))/2-(L1m3y3 2sin(x3))/2
z2(m2+m4)-(k2(2x1-2x2))/2+(L1m4z4cos(x4))/2-(L1m4y4 2sin(x4))/2
z3((m3L1 2)/4+J3)+(L1m3gsin(x3))/2+(L1m3z1cos(x3))/2
z4((m4L2 2)/4+J4)+(L2m4gsin(x4))/2+(L1m4z2cos(x4))/2]。
如图3所示，本发明实施例提供的符号推导系统包括：
定义模块1，用于定义系统的常量参数；
定义系统的符号变量参数模块2；根据自由度数目，用于定义运动学符号变量参数，分别为广义位移列向量X、广义速度列向量Y和广义加速度列向量Z；
构造拉格朗日函数模块3，利用定义的常量和变量参数写出系统的动能T和势能U，并构造拉格朗日函数L＝T-U；
推导模块4，利用拉格朗日函数L对广义位移求偏导，记为LpX：
LpX(i)＝diff(L,X(i)) (i＝1,2...,n)(1)
拉格朗日函数L对广义速度的偏导，记为LpY：
LpY(i)＝diff(L,Y(i)) (i＝1,2...,n)(2)
式(1)和(2)中：diff(L,X(i))表示L对第i个广义位移的导数，diff(L,Y(i))表示L对第i个广义速度的导数，X(i)表示第i个广义位移，Y(i)表示第i个广义速度，n表示广义位移的数目；
对LpY再取时间的导数，记为dLpY；考虑到LpY中既含有广义位移X又含有广义速度Y，故将dLpY分解成两部分：对LpY广义位移求导乘上广义速度之和、对LpY广义速度求导乘上广义加速度之和；
第一部分记为：
第二部分记为：
故dLpY为式(3)和(4)之和，即：
dLpY(i)＝dLpYX(i)+dLpYY(i) (i＝1,2...,n)(5)
式(3)、(4)和(5)中：diff(LpY(i),X(j))和diff(LpY(i),Y(j))分别表示dLpY的第i个表达式对X的第j个广义位移的导数和对Y的第j个广义速度的导数，X(j)、Y(j)和Z(j)分别表示第j个广义位移、广义速度和广义加速度；
动力学方程建立模块5，利用保守系统的拉格朗日第二类方程，建立动力学方程为：
EQ(i)＝dLpY(i)-LpX(i) (i＝1,2...,n)(6)
式(6)中：EQ(i)表示第i个动力学方程。
在上述实施例中，可以全部或部分地通过软件、硬件、固件或者其任意组合来实现。当使用全部或部分地以计算机程序产品的形式实现，所述计算机程序产品包括一个或多个计算机指令。在计算机上加载或执行所述计算机程序指令时，全部或部分地产生按照本发明实施例所述的流程或功能。所述计算机可以是通用计算机、专用计算机、计算机网络、或者其他可编程装置。所述计算机指令可以存储在计算机可读存储介质中，或者从一个计算机可读存储介质向另一个计算机可读存储介质传输，例如，所述计算机指令可以从一个网站站点、计算机、服务器或数据中心通过有线(例如同轴电缆、光纤、数字用户线(DSL)或无线(例如红外、无线、微波等)方式向另一个网站站点、计算机、服务器或数据中心进行传输)。所述计算机可读取存储介质可以是计算机能够存取的任何可用介质或者是包含一个或多个可用介质集成的服务器、数据中心等数据存储设备。所述可用介质可以是磁性介质，(例如，软盘、硬盘、磁带)、光介质(例如，DVD)、或者半导体介质(例如固态硬盘SolidStateDisk(SSD))等。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (8)
1.一种保守系统动力学方程的符号推导方法，其特征在于，所述保守系统动力学方程的符号推导方法为：
在求拉格朗日函数对广义速度的导数LpY对时间的导数时，分成对广义位移求导乘上广义速度之和、对广义速度求导乘上广义加速度之和两个部分；
最终得到保守系统动力学符号方程。
2.如权利要求1所述的保守系统动力学方程的符号推导方法，其特征在于，所述保守系统动力学方程的符号推导方法，包括：
定义系统的常量参数；
定义系统的符号变量参数；根据系统的自由度数目，定义系统的运动学符号变量参数，分别为广义位移列向量X、广义速度列向量Y和广义加速度列向量Z；
利用定义的常量和变量参数写出系统的动能T和势能U，并构造拉格朗日函数L＝T-U；
拉格朗日函数L对广义位移求偏导，记为LpX：
LpX(i)＝diff(L,X(i))(i＝1,2...,n) (1)
拉格朗日函数L对广义速度的偏导，记为LpY：
LpY(i)＝diff(L,Y(i))(i＝1,2...,n) (2)
式(1)和(2)中：diff(L,X(i))表示L对第i个广义位移的导数，diff(L,Y(i))表示L对第i个广义速度的导数，X(i)表示第i个广义位移，Y(i)表示第i个广义速度，n表示广义位移的数目；
对LpY再取时间的导数，记为dLpY；考虑到LpY中既含有广义位移X又含有广义速度Y，故将dLpY分解成两部分：对LpY广义位移求导乘上广义速度之和、对LpY广义速度求导乘上广义加速度之和；
第一部分记为：
第二部分记为：
故dLpY为式(3)和(4)之和，即：
dLpY(i)＝dLpYX(i)+dLpYY(i)(i＝1,2...,n) (5)
式(3)、(4)和(5)中：diff(LpY(i),X(j))和diff(LpY(i),Y(j))分别表示dLpY的第i个表达式对X的第j个广义位移的导数和对Y的第j个广义速度的导数，X(j)、Y(j)和Z(j)分别表示第j个广义位移、广义速度和广义加速度；
利用拉格朗日第二类方程，建立系统的动力学方程为：
EQ(i)＝dLpY(i)-LpX(i)(i＝1,2...,n) (6)
式(6)中：EQ(i)表示第i个动力学方程。
3.一种实现权利要求1～2任意一项所述保守系统动力学方程的符号推导方法的计算机程序。
4.一种实现权利要求1～2任意一项所述保守系统动力学方程的符号推导方法的信息数据处理终端。
5.一种计算机可读存储介质，包括指令，当其在计算机上运行时，使得计算机执行如权利要求1～2任意一项所述的保守系统动力学方程的符号推导方法。
6.一种如权利要求1所述保守系统动力学方程的符号推导方法的四自由度系统动力学模型，其特征在于，所述四自由度系统动力学模型包括：
1)定义四自由度系统的常量参数；常量参数有弹簧的刚度k1、k2，刚体的质量m1、m2、m3和m4，刚体的转动惯量J1、J2、J3和J4,刚体B3和B4的长度分别为L1、L2，重力加速度g；
2)定义四自由度系统的符号变量参数；所述弹簧有4个自由度，定义为广义位移列向量X＝[x1,x2,x3,x4]T、广义速度列向量Y＝[y1,y2,y3,y4]T和广义加速度列向量Z＝[z1,z2,z3,z4]T；
其中：x1和x2分别表示为刚体B1和刚体B2沿x方向的位移，x3和x4分别表示B3绕C1点的转角和B4绕C2点的转角，y1和y2分别表示为刚体B1和B2沿x方向的速度，y3和y4分别表示B3绕C1点的角速度和B4绕着C2点的角速度，z1和z2分别表示为刚体B1和B2沿x方向的加速度，z3和z4分别表示B3绕C1点的角加速度和B4绕着C2点的角加速度；
3)利用定义的四自由度系统的常量和符号变量参数写出系统的动能T和势能U：
在此基础上构造拉格朗日函数L＝T-U；
拉格朗日函数L对广义位移求偏导，记为LpX：
LpX(i)＝diff(L,X(i))(i＝1,2...,n) (1)
拉格朗日函数L对广义速度的偏导，记为LpY：
LpY(i)＝diff(L,Y(i))(i＝1,2...,n) (2)
式(1)和(2)中：diff(L,X(i))表示L对第i个广义位移的导数，diff(L,Y(i))表示L对第i个广义速度的导数，X(i)表示第i个广义位移，Y(i)表示第i个广义速度，n表示广义位移的数目，其中n＝4；
对LpY再取时间的导数，记为dLpY；考虑到LpY中既含有广义位移X又含有广义速度Y，故将dLpY分解成两部分：对LpY广义位移求导乘上广义速度之和、对LpY广义速度求导乘上广义加速度之和；
第一部分记为：
第二部分记为：
故dLpY为式(3)和(4)之和，即：
dLpY(i)＝dLpYX(i)+dLpYY(i)(i＝1,2...,n) (5)
式(3)、(4)和(5)中：diff(LpY(i),X(j))和diff(LpY(i),Y(j))分别表示dLpY的第i个表达式对X的第j个广义位移的导数和对Y的第j个广义速度的导数，X(j)、Y(j)和Z(j)分别表示第j个广义位移、广义速度和广义加速度；
利用保守系统的拉格朗日第二类方程，建立四自由度系统的动力学方程为：
EQ(i)＝dLpY(i)-LpX(i)(i＝1,2...,n) (6)
式(6)中：EQ(i)表示第i个动力学方程。
7.如权利要求6所述的四自由度系统动力学模型，其特征在于，所述
建立的四自由度系统的动力学方程包括：
EQ＝[z1(m1+m3)+k1x1+(k2(2x1-2x2))/2+(L1m3z3cos(x3))/2-(L1m3y3 2sin(x3))/2
z2(m2+m4)-(k2(2x1-2x2))/2+(L1m4z4cos(x4))/2-(L1m4y4 2sin(x4))/2
z3((m3L1 2)/4+J3)+(L1m3gsin(x3))/2+(L1m3z1cos(x3))/2
z4((m4L2 2)/4+J4)+(L2m4gsin(x4))/2+(L1m4z2cos(x4))/2]。
8.一种如权利要求1～2任意一项所述保守系统动力学方程的符号推导方法的符号推导系统，其特征在于，所述符号推导系统包括：
定义模块，用于定义系统的常量参数；
定义系统的符号变量参数模块；根据自由度数目，用于定义运动学符号变量参数，分别为广义位移列向量X、广义速度列向量Y和广义加速度列向量Z；
构造拉格朗日函数模块，利用定义的常量和变量参数写出系统的动能T和势能U，并构造拉格朗日函数L＝T-U；
推导模块，利用拉格朗日函数L对广义位移求偏导，记为LpX：
LpX(i)＝diff(L,X(i))(i＝1,2...,n) (1)
拉格朗日函数L对广义速度的偏导，记为LpY：
LpY(i)＝diff(L,Y(i))(i＝1,2...,n) (2)
式(1)和(2)中：diff(L,X(i))表示L对第i个广义位移的导数，diff(L,Y(i))表示L对第i个广义速度的导数，X(i)表示第i个广义位移，Y(i)表示第i个广义速度，n表示广义位移的数目；
对LpY再取时间的导数，记为dLpY；考虑到LpY中既含有广义位移X又含有广义速度Y，故将dLpY分解成两部分：对LpY广义位移求导乘上广义速度之和、对LpY广义速度求导乘上广义加速度之和；
第一部分记为：
第二部分记为：
故dLpY为式(3)和(4)之和，即：
dLpY(i)＝dLpYX(i)+dLpYY(i)(i＝1,2...,n) (5)
式(3)、(4)和(5)中：diff(LpY(i),X(j))和diff(LpY(i),Y(j))分别表示dLpY的第i个表达式对X的第j个广义位移的导数和对Y的第j个广义速度的导数，X(j)、Y(j)和Z(j)分别表示第j个广义位移、广义速度和广义加速度；
动力学方程建立模块，利用保守系统的拉格朗日第二类方程，建立动力学方程为：
EQ(i)＝dLpY(i)-LpX(i)(i＝1,2...,n) (6)
式(6)中：EQ(i)表示第i个动力学方程。
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| CN201810119021.3A CN108197071A (zh) | 2018-02-06 | 2018-02-06 | 保守系统动力学方程的符号推导方法及系统、计算机程序 |
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| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
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| CN201810119021.3A CN108197071A (zh) | 2018-02-06 | 2018-02-06 | 保守系统动力学方程的符号推导方法及系统、计算机程序 |
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|---|---|---|---|---|
| CN105975733A (zh) * | 2016-06-24 | 2016-09-28 | 上海交通大学 | 十杆欠驱动机构的运动学和动力学混合解降维方法 |
| CN107169196A (zh) * | 2017-05-11 | 2017-09-15 | 西北工业大学 | 空间机器人由末端执行器向基座的动力学建模方法 |
-
2018
- 2018-02-06 CN CN201810119021.3A patent/CN108197071A/zh active Pending
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|---|
| 何锃等: "《理论力学》", 31 August 2007, 华中科技大学出版社 * |
| 王金安等: "《航天发射场数值分析技术研究与应用》", 31 May 2016, 国防工业出版社 * |
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